1 500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn.doc PHẦN 2: TIẾP TUYẾN A. Kiến thức cơ bản • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y f x ( ) = tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm ( ) M x f x 0 0 0 ; ( ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm ( ) M x f x 0 0 0 ; ( ) là: y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) ′ = ( ) y f x 0 0 ( ) = • Điều kiện cần và đủ để hai đường (C 1 ): y f x ( ) = và (C 2 ): y g x ( ) = tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm: = = f x g x f x g x ( ) ( ) '( ) '( ) (*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó. B. Một số dạng thường gặp và cách giải: Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): y f x ( ) = tại điểm M x y C 0 0 ( ; ) ( ) ∈ : • Nếu cho x 0 thì tìm y f x 0 0 ( ) = . Nếu cho y 0 thì tìm x 0 là nghiệm của phương trình f x y 0 ( ) = . • Tính y f x ( ) ′ ′ = . Suy ra y x f x 0 0 ( ) ( ) ′ ′ = . • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) ′ = . Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): y f x ( ) = , biết ∆ ∆∆ ∆ có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M x y 0 0 ( ; ) là tiếp điểm. Tính f x 0 ( ) ′ . • ∆ có hệ số góc k ⇒ ′ = f x k 0 ( ) (1) • Giải phương trình (1), tìm được x 0 và tính y f x 0 0 ( ) = . Từ đó viết phương trình của ∆ . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: = + y kx m . • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: = + = f x kx m f x k ( ) '( ) (*) • Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆ . Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: +. ∆ tạo với trục hoành một góc α thì = k a tan . +. ∆ song song với đường thẳng d: = + y ax b thì = k a +. ∆ vuông góc với đường thẳng = + ≠ d y ax b a : ( 0) thì = − k a 1 +. ∆ tạo với đường thẳng = + d y ax b : một góc α thì − = + k a ka tan 1 α Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): y f x ( ) = , biết ∆ ∆∆ ∆ đi qua điểm A A A x y ( ; ) . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M x y 0 0 ( ; ) là tiếp điểm. Khi đó: ′ ′ = = y f x y x f x 0 0 0 0 ( ), ( ) ( ) . • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: ′ = y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) • ∆ đi qua A A A x y ( ; ) nên: ′ = A A y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) (2) • Giải phương trình (2), tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình của ∆ . Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A A A x y ( ; ) và có hệ số góc k: = A A y y k x x – ( – ) • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: = − + = A A f x k x x y f x k ( ) ( ) '( ) • Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆ . 2 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): y f x ( ) = , biết ∆ ∆∆ ∆ tạo với trục Ox một góc α αα α . • Gọi M x y 0 0 ( ; ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc ′ = k f x 0 ( ) . • ∆ tạo với trục Ox một góc α ⇔ 0 f (x ) tan ′ = α . Giải phương trình tìm được x 0 . • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: ′ = y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): y f x ( ) = , biết ∆ ∆∆ ∆ tạo với đường thẳng d: y ax b = + một góc α αα α . • Gọi M x y 0 0 ( ; ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc ′ = k f x 0 ( ) . • ∆ tạo với d một góc α ⇔ − = + k a ka tan 1 α . Giải phương trình tìm được x 0 . • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: ′ = y y f x x x 0 0 0 – ( ).( – ) Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ ∆∆ ∆ của (C): = y f x ( ) , biết ∆ ∆∆ ∆ cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước. • Gọi M x y 0 0 ( ; ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc ′ = k f x 0 ( ) . • ∆ OAB vuông cân ⇔ ∆ tạo với Ox một góc 0 45 và O ∉ ∆ . (a) • = ⇔ = OAB S S OA OB S . 2 ∆ . (b) • Giải (a) hoặc (b) tìm được x 0 . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆ . Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị = = C y f x C y g x 1 2 ( ) : ( ), ( ): ( ) . a) Gọi ∆ : = + y ax b là tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ). u là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C 1 ), v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C 2 ). • ∆ tiếp xúc với (C 1 ) và (C 2 ) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm: = + = = + = f u au b f u a g v av b g v a ( ) (1) '( ) (2) ( ) (3) '( ) (4) • Từ (2) và (4) ⇒ ′ ′ = = ⇒ f u g v u h v ( ) ( ) ( ) (5) • Thế a từ (2) vào (1) ⇒ = b k u ( ) (6) • Thế (2), (5), (6) vào (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b. Từ đó viết phương trình của ∆. b) Nếu (C 1 ) và (C 2 ) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x 0 thì một tiếp tuyến chung của (C 1 ) và (C 2 ) cũng là tiếp tuyến của (C 1 ) (và (C 2 )) tại điểm đó. Dạng 8: Tìm những điểm trên đồ thị (C): = y f x ( ) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước. • Gọi M x y 0 0 ( ; ) ∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính ′ f x 0 ( ) . • Vì ∆ // d nên ′ = d f x k 0 ( ) (1) hoặc ∆ ⊥ d nên ′ = − d f x k 0 1 ( ) (2) • Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x 0 . Từ đó tìm được M x y 0 0 ( ; ) ∈ (C). Dạng 9: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): = y f x ( ) . Giả sử + + = d ax by c : 0 . ∈ M M M x y d ; )( . • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: = + M M y k x x y )( – • ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: = − + = M M f x k x x y f x k ( ) ( ) (1) '( ) (2) • Thế k từ (2) vào (1) ta được: ′ = + M M M f x x f x y x( ) )( – . ( ) (3) • Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): = y f x ( ) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 3 Gi M M M x y ( ; ) . Phng trỡnh ng thng qua M cú h s gúc k: = + M M y k x x y )( tip xỳc vi (C) khi h sau cú nghim: = + = M M f x k x x y f x k ( ) ( ) (1) '( ) (2) Th k t (2) vo (1) ta c: = + M M M f x x f x y x( ) )( . ( ) (3) Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) (3) cú 2 nghim phõn bit x x 1 2 , . Hai tip tuyn ú vuụng gúc vi nhau = f x f x 1 2 ( ). ( ) 1 T ú tỡm c M. Chỳ ý: Qua M v c 2 tip tuyn vi (C) sao cho 2 tip im nm v hai phớa vi trc honh thỡ < coự nghieọm phaõn bieọt f x f x 1 2 (3) 2 ( ). ( ) 0 Bi tp Dng 1: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y f x ( ) = ti im M x y C 0 0 ( ; ) ( ) : 1. (ĐH Thái Nguyên 2001) Cho đồ thị (C): 24 2xxy += .Viết phơng trình tiếp tuyến tại ( ) 0;2A . 2. (ĐH Ngoại Ngữ 1999) Cho đồ thị (C): 4 9 2 4 1 24 = xxy .Viết ph ng trỡnh ti p tuy n tại các giao điểm của (C) với Ox. 3. Vi t ph ng tỡnh ti p tuy n v i th (C) c a hm s y = 1 x 1x2 + t i giao i m (C) v ng th ng d: y = 3x -1. Dng 2: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y f x ( ) = , bit cú h s gúc k cho trc, hoc tip tuyn song song hoc tip tuyn vuụng gúc vi ng thng cho trc. 4. Cho đồ thị (C): 2x 1 y x 1 = + . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C), bi t ti p tuy n cú HSG l : a. 3 , b . 3 4 5. Cho (C) 42 3 1 23 += xxxy . Viết phơng trình tiếp tuyến có hệ số góc k = - 2 6. Cho đồ thị (C): 5 2 73 + = x x y . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết a. Tiếp tuyến song song với đờng thẳng 1 2 1 += xy b. Tiếp tuyến vuông góc với đờng thẳng 4 y x = . 7. Vi t ph ng tỡnh ti p tuy n v i th (C) c a hm s y = 3 x 3x 1 + a . Bi t ti p tuy n cú HSG l 9. b. Bi t ti p tuy n cú HSG nh nh t. 8. Cho (C): 3 2 y x 3x 3 = + + , L p tiếp tuyến c a (C) có hệ số góc l n nhất. 9. Cho hm s 2x 1 y x 1 = + (1). Tỡm i m M thu c th (C) ti p tuy n c a (C) t i M v i ng th ng i qua M v giao i m hai ng ti m c n cú tớch h s gúc b ng - 9. HD : +) Ta cú I(- 1; 2). G i M I 0 IM 2 0 M I 0 y y 3 3 M (C) M(x ;2 ) k x 1 x x (x 1) = = + + +) H s gúc c a ti p tuy n t i M: ( ) M 0 2 0 3 k y'(x ) x 1 = = + +) M IM ycbt k .k 9 = +) Gi i c x 0 = 0; x 0 = -2. Suy ra cú 2 i m M th a món: M(0; - 3), M(- 2; 5) 4 10. Cho hàm s ố ( ) x 1 y C x 1 + = − . Xác đị nh m để đườ ng th ẳ ng y 2x m = + c ắ t ( ) C t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A, B sao cho ti ế p tuy ế n c ủ a ( ) C t ạ i A và B song song v ớ i nhau. HD : Ph ươ ng trình hoành độ giao đ i ể m c ủ a ( ) d : y 2x m = + và ( ) C là: x 1 2x m x 1 + = + − ( ) ( ) 2 2x m 3 x m 1 0 1 x 1 + − − − = ⇔ ≠ Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 m 3 8 m 1 m 1 16 0, m g 1 2 0, m ∆ = − + + = + + > ∀ = − ≠ ∀ ⇒ ph ươ ng trình (1) luôn luôn có hai nghi ệ m phân bi ệ t khác 1. V ậ y ( ) d luôn luôn c ắ t ( ) C t ạ i hai đ i ể m phân bi ệ t A và B . G ọ i 1 2 x , x ( ) 1 2 x x ≠ l ầ n l ượ t hoành độ c ủ a A và B thì 1 2 x , x là nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình (1). Theo đị nh lí Vi-et, ta có: ( ) 1 2 1 x x 3 m 2 + = − . Ti ế p tuy ế n ( ) ( ) 1 2 , ∆ ∆ t ạ i A, B có h ệ s ố góc l ầ n l ượ t là : ( ) 2 2 y' x 1 − = − ( ) ( ) 1 1 2 1 2 k y' x x 1 − ⇒ = = − , ( ) ( ) 2 2 2 2 2 k y' x x 1 − = = − ( ) ( ) 1 2 1 2 / / k k ∆ ∆ ⇔ = ( ) ( ) 2 2 1 2 2 2 x 1 x 1 − − ⇔ = − − ( ) ( ) 2 2 1 2 x 1 x 1 ⇔ − = − 1 2 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 − = − ⇔ − = − + ( ) 1 2 1 2 x x x x 2 = ⇔ + = loaïi ( ) 1 3 m 2 2 ⇔ − = m 1 ⇔ = − . V ậ y, giá tr ị c ầ n tìm là: m 1 = − . 11. Cho hàm s ố 4 2 y f(x) x 2x = = − 1. Kh ả o sát và v ẽ đồ th ị (C) c ủ a hàm s ố . 2. Trên (C) l ấ y hai đ i ể m phân bi ệ t A và B có hoành độ l ầ n l ượ t là a và b. Tìm đ i ề u ki ệ n đố i v ớ i a và b để hai ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B song song v ớ i nhau. HD : Ta có 3 '( ) 4 4 f x x x = − . G ọ i a, b l ầ n l ượ t là hoành độ c ủ a A và B. H ệ s ố góc ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B là 3 3 A B k f '(a) 4a 4a, k f '(b) 4b 4b = = − = = − Ti ế p tuy ế n t ạ i A, B l ầ n l ượ t có ph ươ ng trình là: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y f ' a x a f a f ' a x f (a) af' a = − + = + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y f ' b x b f b f ' b x f(b) bf' b = − + = + − Hai ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B song song ho ặ c trùng nhau khi và ch ỉ khi: ( ) ( ) 3 3 2 2 A B k k 4a 4a = 4b 4b a b a ab b 1 0 (1) = ⇔ − − ⇔ − + + − = Vì A và B phân bi ệ t nên a b ≠ , do đ ó (1) t ươ ng đươ ng v ớ i ph ươ ng trình: 2 2 a ab b 1 0 (2) + + − = M ặ t khác hai ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B trùng nhau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 2 4 2 a ab b 1 0 a ab b 1 0 a b f a af ' a f b bf ' b 3a 2a 3b 2b + + − = + + − = ⇔ ≠ ⇔ − = − − + = − + Gi ả i h ệ này ta đượ c nghi ệ m là (a;b) = (-1;1), ho ặ c (a;b) = (1;-1), hai nghi ệ m này t ươ ng ứ ng v ớ i cùng m ộ t c ặ p đ i ể m trên đồ th ị là ( ) 1; 1 − − và ( ) 1; 1 − .V ậ y đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ để hai ti ế p tuy ế n c ủ a (C) t ạ i A và B song song v ớ i nhau là 2 2 a ab b 1 0 a 1 a b + + − = ≠ ± ≠ 12. Cho hàm s ố 4 2 y x mx m 1 = + − − , (C m ). Ch ứ ng minh r ằ ng khi m thay đổ i thì (C m ) luôn luôn đ i qua hai đ i ể m c ố đị nh A, B. Tìm m để các ti ế p tuy ế n t ạ i A và B vuông góc v ớ i nhau. HD : Hai đ i ể m c ố đị nh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: 3 y 4x 2mx ′ = + . 5 Cỏc ti p tuy n t i A v B vuụng gúc v i nhau y (1).y ( 1) 1 = 2 (4 2m) 1 + = 3 5 2 2 m m = = . 13. Cho hm s 3 2 y x 3x 1 = + cú th (C). Tỡm hai i m A, B thu c th (C) sao cho ti p tuy n c a (C) t i A v B song song v i nhau v di o n AB = 4 2 . HD : Gi s 3 2 3 2 A(a;a 3a 1), B(b;b 3b 1) + + (a b) Vỡ ti p tuy n c a (C) t i A v B song song suy ra y (a) y (b) = (a b)(a b 2) 0 + = a b 2 0 + = b = 2 a a 1 (vỡ a b). 2 2 3 2 3 2 2 AB (b a) (b 3b 1 a 3a 1) = + + + = 6 4 2 4(a 1) 24(a 1) 40(a 1) + AB = 4 2 6 4 2 4(a 1) 24(a 1) 40(a 1) + = 32 a 3 b 1 a 1 b 3 = = = = A(3; 1) v B(1; 3) 14. Cho hàm số: y = x 3 + 3x 2 + mx + 1. Xác định m để đồ thị (C m ) cắt đờng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau. 15. Gọi (C m ) là đồ thị hàm số: y = 3 2 1 1 3 2 3 m x x + (*) Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại điểm M song song với đờng thẳng 5x - y = 0 16. (ĐHQG TPHCM 1996) Cho (C m ) 1)( 23 ++== mxxxfy . Tìm m để (C m ) cắt đờng thẳng y= - x+1 tại 3 điểm phân biệt A(0,1) , B, C sao cho tiếp tuyến với (C m ) tại B và C vuông góc với nhau. 17. (HVCNBCVT 2001) Cho hàm số (C): xxxfy 3)( 3 == 1. CMR đờng thẳng (d m ): y = m( x + 1) + 2 luôn cắt (C ) tại điểm A cố định. 2. Tìm m để (d m ) tại 3 điểm phân biệt A , B, C sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vuông góc với nhau 18. (ĐH Ngoại Ngữ HN 2001) Cho (C) 3 2 3 1 )( 3 +== xxxfy . Tìm các điểm trên (C) mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đờng thẳng 3 2 3 1 += xy 19. Cho (C) 73)( 3 +== xxxfy , a. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y= 6x - 1 b. Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 2 9 1 += xy 20. (ĐH Mở TPHCM 1999) Cho (C) 23)( 23 +== xxxfy , Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với 5y - 3x + 4 = 0. 21. (ĐH Huế khối D 1998) Cho (C m ) 122)( 24 ++== mmxxxfy Tìm m để các tiếp tuyến với đồ thị tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc với nhau 22. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): 5 2 1 3 1 4 1 234 ++= xxxxy song song với đờng thẳng y= 2x - 1. 23. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C): 142 24 += xxxy vuông góc với đờng thẳng 3 4 1 += xy 24. Cho đồ thị (C m ): 1 24 += mmxxy . Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A song song với đờng thẳng y=2.x với A là điểm cố định có hoành độ dơng của (C m ). 25. (ĐH Thơng Mại 1994). Cho đồ thị (Cm) (3m 1)x m y x m + = + . Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của (Cm) với Ox song song với y= - x- 5. 6 26. (ĐH Xây Dựng 1998) Cho đồ thị (C) 2 3 3 2 xxy += a. Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) song song với y= k. x b. Tìm GTLN của khoảng cách giữa đờng thẳng y= k.x với tiếp tuyến nói trên khi k 0,5 27. Cho đồ thị (C) 3 3 56 + = x x y . CMR trên đồ thị (C) tồn tại vô số các cặp điểm sao cho tiếp tuyến tại các cặp điểm này song song với nhau đồng thời tập hợp các đờng thẳng nối các cặp tiếp điểm đồng qui tại một điểm cố định. 28. Cho hm s y f x mx m x m x 3 2 1 ( ) ( 1) (4 3 ) 1 3 = = + + + cú th l (C m ). Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho trờn th (C m ) t n t i m t i m duy nh t cú honh õm m ti p tuy n t i ú vuụng gúc v i ng th ng (d): x y 2 3 0 + = . HD: (d) cú h s gúc 1 2 ti p tuy n cú h s gúc k 2 = . G i x l honh ti p i m thỡ: f x mx m x m mx m x m 2 2 '( ) 2 2( 1) (4 3 ) 2 2( 1) 2 3 0 = + + = + + = (1) YCBT (1) cú ỳng m t nghi m õm. + N u m 0 = thỡ (1) x x 2 2 1 = = (lo i) + N u m 0 thỡ d th y ph ng trỡnh (1) cú 2 nghi m l m x hay x= m 2 3 1 = Do ú (1) cú m t nghi m õm thỡ m m hoaởc m m 2 3 2 0 0 3 < < > V y m hay m 2 0 3 < > . 29. Cho hm s y mx m x m x 3 2 1 ( 1) (4 3) 1 3 = + + + (C m ). Tỡm cỏc giỏ tr m sao cho trờn (C m ) t n t i ỳng hai i m cú honh d ng m ti p tuy n t i ú vuụng gúc v i ng th ng + = d x y : 2 3 0 . HD: Ta cú: y mx m x m 2 2( 1) 4 3 = + + ; d y x 1 3 : 2 2 = + . YCBT ph ng trỡnh y 2 = cú ỳng 2 nghi m d ng phõn bi t mx m x m 2 2( 1) 2 3 0 + + = cú ỳng 2 nghi m d ng phõn bi t m S P 0 0 0 0 > > > m m 1 0 2 1 2 2 3 < < < < . V y m 1 1 2 0; ; 2 2 3 . 30. Cho hm s = x y x 2 1 1 . G i I l giao i m hai ti m c n c a (C). Tỡm i m M thu c (C) sao cho ti p tuy n c a (C) t i M vuụng gúc v i ng th ng MI. HD: Giao i m c a hai ti m c n l I(1; 2). G i M(a; b) (C) a b a 2 1 1 = (a 1) PTTT c a (C) t i M: a y x a a a 2 1 2 1 ( ) 1 ( 1) = + PT ng th ng MI: y x a 2 1 ( 1) 2 ( 1) = + Ti p tuy n t i M vuụng gúc v i MI nờn ta cú: a a 2 2 1 1 . 1 ( 1) ( 1) = a b a b 0 ( 1) 2 ( 3) = = = = V y cú 2 i m c n tỡm M 1 (0; 1), M 2 (2; 3) Dng 3 : Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y f x ( ) = , bit i qua im A A A x y ( ; ) . 31. Cho hm s ( ) x 2 y C . x 2 + = Vi t ph ng trỡnh ti p tuy n c a ( ) C , bi t ti p tuy n i qua i m 7 ( ) A 6;5 . − ĐS : 2 ti ế p tuy ế n là : ( ) ( ) 1 2 x 7 d : y x 1; d : y 4 2 = − − = − + 32. (§H NT TPHCM 1999). Cho hµm sè (C): 2 2 − + = x x y . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(-6;5) ®Õn ®å thÞ (C) . 33. (§H HuÕ 2001 Khèi D) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn tõ ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C): 2 )1(3 − + = x x y 34. Vi ế t ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n c ủ a đồ th ị (C) 3 2 1 y x 2x 3x. 3 = − + bi ế t ti ế p tuy ế n này đ i qua g ố c t ọ a độ O. HD : Ph ươ ng trình ti ế p tuy ế n ∆ t ạ i đ i ể m ( ) 0 0 0 ; M x y là ( ) ( ) 2 3 2 0 0 0 0 0 0 1 : y x 4x 3 x x x 2x 3x 3 ∆ = − + − + − + . ∆ qua O 0 0 0, 3 x x ⇔ = = . Khi: 0 0 x = thì : 3 y x ∆ = . Khi: 0 3 x = thì : 0 y ∆ = . 35. (B2008) Cho hàm s ố y = 4x 3 – 6x 2 + 1 (1). Viêt pttt c ủ a đồ th ị (1), bi ế t ti ế p tuy ế n đ ó đ i qua đ i ể m M(-1,-9). Đ s: y = 24x + 15 và y = 15 21 x 4 4 − 36. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua ) 2 3 ;0( A tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè : 2 3 3 2 1 24 +−= xxy 37. Cho hµm sè: y = 2x 4 - 4x 2 + 1 (C). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1 ;-1). 38. (§H C«ng §oµn 2001 ) T×m ®iÓm M thuéc (C) 11232 23 −−+= xxxy sao cho tiÕp tuyÕn cña (C ) t¹i ®iÓm M ®i qua gèc to¹ ®é. 39. (§H Y Th¸i B×nh 2001) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0) ®Õn xxy 9 3 +−= 40. (HV Ng©n Hµng TPHCM 1998). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(1;3) ®Õn 3 43 xxy −= . 41. Cho (C) 24 2 1 2 1 )( xxxfy −== . ViÕt p tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C). 42. (§H KT 1997) Cho (C) 22 )2()( xxfy −== . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(0;4) ®Õn ®å thÞ (C). 43. Cho (C) 2 3 3 2 1 )( 24 +−== xxxfy ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm 2 3 ;0A ®Õn ®å thÞ (C). 44. Cho ®å thÞ (C): 5312)( −−−== xxxfy . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm 4 27 ;2A ®Õn (C) . 45. Cho ®å thÞ (C): 41)( 2 xxxfy −−+== . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm ( ) 221;1 −− A ®Õn (C) 46. Cho ®å thÞ (C): ).43()( 2 x exxfy −== vµ gèc to¹ ®é O(0;0) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C) . 47. Cho ®å thÞ (C): x lnx1 y + = . Vݪt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua 0(0;0) ®Õn (C) 48. (§H Ngo¹i Ng÷ 1998) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua 3 4 ; 9 4 A ®Õn ®å thÞ (C) 432 3 1 23 ++−= xxxy . 49. Cho hµm sè: y = x 3 + 3mx 2 + (m + 1)x + 1. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -1 ®i qua ®iÓm A(1:2). 8 50. Tìm m để từ điểm A(1;2) kẻ đợc 2 tiếp tuyến AB, AC đến đồ thị (C) 2 + = x mx y sao cho tam giác ABC đều (ở đây B,C là 2 tiếp điểm). 51. ( ĐH Xây Dựng 2001) Cho đồ thị (C): ln.)( xxxfy = = và M(2;1). Từ điểm M kẻ đợc bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C) . Dng 4: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y f x ( ) = , bit to vi trc Ox mt gúc . 52. Cho (C) 42 3 1 23 += xxxy , a. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 60 0 b. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với chiều dơng Ox góc 15 0 c. Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với trục hoành góc 75 0 Dng 5: Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C): y f x ( ) = , bit to vi ng thng d: y ax b = + mt gúc . 53. Cho đồ thị (C): 5 2 73 + = x x y . Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) khi biết : a. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - 2x góc 45 0 b. Tiếp tuyến tạo với đờng thẳng y= - x góc 60 0 54. Cho (C) 3 2 y f (x) 2x 3x 12x 5 = = . Viết phơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với 5 2 1 += xy góc 45 0 55. Cho (C): 3 2 1 y x 2x x 4 3 = + . Viết phơng trình tiếp tuyến tạo với đờng thẳng 3 2 1 += xy góc 30 0 56. Cho đồ thị (C): 1 34 = x x y . Viết pt tiếp tuyến tạo với đờng thẳng (d): y= 3x góc 45 0 . 57. Cho hàm số 3 2 m y x 3mx mx 1 (C ) = + + . Tìm tất cả các giá trị của m để tiếp tuyến của đồ thị (C m ) tại điểm có hoành độ x = -1 tạo với đờng thẳng (d): y = x + 1 một góc 45 0 . 58. Cho hm s y x m x m x m 3 2 (1 2 ) (2 ) 2 = + + + + (1) ( m l tham s ). Tỡm tham s m th c a hm s (1) cú ti p tuy n t o v i ng th ng d: x y 7 0 + + = gúc , bi t 1 cos 26 = . HD: G i k l h s gúc c a ti p tuy n ti p tuy n cú VTPT n k 1 ( ; 1) = ng th ng d cú VTPT n 2 (1;1) = . Ta cú n n k k k k k n n k 1 2 2 2 1 2 . 1 1 3 2 cos 12 26 12 0 2 3 . 26 2 1 = = + = = = + YCBT tho món ớt nh t m t trong hai ph ng trỡnh sau cú nghi m: y y 3 2 2 3 = = x m x m x m x m 2 2 3 3 2(1 2 ) 2 2 2 3 2(1 2 ) 2 3 + + = + + = / 1 / 2 0 0 m m m m 2 2 8 2 1 0 4 3 0 m m m m 1 1 ; 4 2 3 ; 1 4 m 1 4 ho c m 1 2 Cõu h i t ng t : 9 a) V ớ i y x mx d x y 3 1 3 2; : 7 0; cos 26 α = − + + + = = . Đ S: m 2 9 ≥ − . Dạng 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): = y f x ( ) . 59. Cho hàm s ố y x x 3 3 = − (C). Tìm trên đườ ng th ẳ ng (d): y x = − các đ i ể m M mà t ừ đ ó k ẻ đượ c đ úng 2 ti ế p tuy ế n phân bi ệ t v ớ i đồ th ị (C). HD: G ọ i M m m d ( ; ) − ∈ . PT đườ ng th ẳ ng ∆ qua M có d ạ ng: y k x m m ( ) = − − . ∆ là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ⇔ h ệ PT sau có nghi ệ m: x x k x m m x k 3 2 3 ( ) (1) 3 3 (2) − = − − − = (*) Thay (2) vào (1) ta đượ c: x mx m 3 2 2 3 4 0 − + = ⇔ x m x 3 2 2 3 4 = − (**) T ừ M k ẻ đượ c đ úng 2 ti ế p tuy ế n v ớ i (C) ⇔ (**) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t Xét hàm s ố x f x x 3 2 2 ( ) 3 4 = − . T ậ p xác đị nh D R 2 3 2 3 \ ; 3 3 = − x x f x x 4 2 2 2 6 24 ( ) (3 4) − ′ = − ; x f x x 0 ( ) 0 2 = ′ = ⇔ = ± D ự a vào BBT, (**) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ m m 2 2 = − = . V ậ y: M ( 2;2) − ho ặ c M (2; 2) − . 60. Cho hàm s ố = − + y x x 3 3 2 . Tìm trên đườ ng th ẳ ng d y : 4 = các đ i ể m mà t ừ đ ó k ẻ đượ c đ úng 2 ti ế p tuy ế n v ớ i (C). HD: G ọ i M m d ( ;4) ∈ . PT đườ ng th ẳ ng ∆ qua M có d ạ ng: y k x m ( ) 4 = − + ∆ là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ⇔ h ệ PT sau có nghi ệ m: x x k x m x k 3 2 3 2 ( ) 4 (1) 3 3 (2) − + = − + − = (*) Thay (2) vào (1) ta đượ c: x x m x m 2 ( 1) 2 (3 2) 3 2 0 (3) + − + + + = ⇔ x x m x m 2 1 2 (3 2) 3 2 0 (4) = − − + + + = YCBT ⇔ (3) có đ úng 2 nghi ệ m phân bi ệ t. + TH1: (4) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t, trong đ ó có 1 nghi ệ m b ằ ng –1 ⇔ m 1 = − + TH2: (4) có nghi ệ m kép khác –1 ⇔ m m 2 2 3 = − ∨ = V ậ y các đ i ể m c ầ n tìm là: ( 1;4) − ; 2 ;4 3 − ; (2;4) . 61. Cho hàm s ố y x x m x m 3 2 2 ( 1) 2 = − + − + (C m ). Tìm m để t ừ đ i ể m M (1;2) k ẻ đượ c đ úng 2 ti ế p tuy ế n v ớ i (C m ). HD: PT đườ ng th ẳ ng ∆ qua M có d ạ ng: y k x ( 1) 2 = − + . ∆ là ti ế p tuy ế n c ủ a (Cm) ⇔ h ệ PT sau có nghi ệ m: x x m x m k x x x m k 3 2 2 2 ( 1) 2 ( 1) 2 3 4 1 − + − + = − + − + − = ⇒ f x x x x m 3 2 ( ) 2 5 4 3( 1) 0 = − + − − = (*) Để qua M k ẻ đượ c đ úng hai ti ế p tuy ế n đế n (Cm) thì (*) có đ úng 2 nghi ệ m phân bi ệ t Ta có f x x x f x x x 2 2 ( ) 6 10 4 ( ) 0 1; 3 ′ ′ = − + ⇒ = ⇔ = = Các đ i ể m c ự c tr ị c ủ a (Cm) là: A m B m 2 109 (1;4 3 ), ; 3 3 27 − − . 10 Do đ ó (*) có đ úng 2 nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ m A Ox B Ox m 4 3 109 81 = ∈ ⇔ ∈ = . 62. Cho hàm s ố y x x 3 2 3 2 = − + − (C). Tìm trên đườ ng th ẳ ng ( d ): y = 2 các đ i ể m mà t ừ đ ó k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n phân bi ệ t v ớ i đồ th ị (C). HD: G ọ i M m d ( ;2) ( ) ∈ . PT đườ ng th ẳ ng ∆ đ i qua đ i ể m M có d ạ ng : y k x m ( ) 2 = − + ∆ là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ⇔ h ệ PT sau có nghi ệ m x x k x m x x k 3 2 2 3 2 ( ) 2 (1) 3 6 (2) − + − = − + − + = (*). Thay (2) và (1) ta đượ c: x m x mx x x m x 3 2 2 2 3( 1) 6 4 0 ( 2) 2 (3 1) 2 0 − + + − = ⇔ − − − + = ⇔ x f x x m x (3) 2 2 ( ) 2 (3 1) 2 0 = = − − + = T ừ M k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n đế n đồ th ị (C) ⇔ h ệ (*) có 3 nghi ệ m x phân bi ệ t ⇔ (3) có hai nghi ệ m phân bi ệ t khác 2 m m f m 5 0 1 3 (2) 0 2 ∆ > < − ∨ > ⇔ ⇔ ≠ ≠ . V ậ y t ừ các đ i ể m M(m; 2) ∈ (d) v ớ i m m m 5 1 3 2 < − ∨ > ≠ có th ể k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n v ớ i (C). Câu h ỏ i t ươ ng t ự : y x x d Ox 3 2 3 2,= − + − ≡ . Đ S: M m ( ;0) v ớ i m m 2 2 1 3 > − ≠ < − 63. Cho hàm s ố ( ) ( ) y x x 2 2 1 . 1 = + − . Cho đ i ể m A a ( ;0) . Tìm a để t ừ A k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n phân bi ệ t v ớ i đồ th ị (C). HD: Ta có y x x 4 2 2 1 = − + . PT đườ ng th ẳ ng d đ i qua A a ( ;0) và có h ệ s ố góc k : y k x a ( ) = − d là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) ⇔ h ệ ph ươ ng trình sau có nghi ệ m: x x k x a I x x k 4 2 3 2 1 ( ) ( ) 4 4 − + = − − = Ta có: k I A x 2 0 ( ) ( ) 1 0 = ⇔ − = ho ặ c x x k B f x x ax 2 2 4 ( 1) ( ) ( ) 3 4 1 0 (1) − = = − + = + T ừ h ệ (A), ch ỉ cho ta m ộ t ti ế p tuy ế n duy nh ấ t là d y 1 : 0 = . + V ậ y để t ừ A k ẻ đượ c 3 ti ế p tuy ế n phân bi ệ t v ớ i (C) thì đ i ề u ki ệ n c ầ n và đủ là h ệ (B) phả i có 2 nghi ệ m phân bi ệ t x k ( ; ) v ớ i x 1 ≠ ± , t ứ c là ph ươ ng trình (1) ph ả i có 2 nghi ệ m phân bi ệ t khác 1 ± ⇔ a f 2 4 3 0 ( 1) 0 ∆ ′ = − > ± ≠ ⇔ a hoaëc a 3 3 1 1 2 2 − ≠ < − ≠ > 64. Cho hàm s ố x y x 1 1 + = − (C). Tìm trên O y t ấ t c ả các đ i ể m t ừ đ ó k ẻ đượ c duy nh ấ t m ộ t ti ế p tuy ế n t ớ i (C). HD: G ọ i o M y (0; ) là đ i ể m c ầ n tìm. PT đườ ng th ẳ ng qua M có d ạ ng: o y kx y = + (d) (d) là ti ế p tuy ế n c ủ a (C) o o o o x kx y y x y x y x x k k x x 2 2 2 1 ( 1) 2( 1) 1 0 (1) 1 2 2 1; ( 1) ( 1) + = + − − + + + = − ⇔ ⇔ − − ≠ = = − − (*) YCBT ⇔ h ệ (*) có 1 nghi ệ m ⇔ (1) có 1 nghi ệ m khác 1 o o o o o o o y y x y k x y y y x y k 2 1 1 1 ; 1 8 1 2 ' ( 1) ( 1)( 1) 0 0; 1 2 2 ∆ = ≠ = = ⇒ = − ⇔ ∨ ⇔ = = + − − + = = = − ⇒ = − V ậ y có 2 đ i ể m c ầ n tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). [...]... = x 3 + 3 x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 1 Cho đồ thị (C): y = x 4 x 3 3 x 2 + 7 Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến 2 song song với đờng thẳng y = mx Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến đồ thị y = 9 x 2 (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau Cho hm s y = x4 x2 + 1 Tỡm tt c cỏc im thuc trc Oy m t ú k c ỳng ba tip tuyn n (C) Cho hàm số: y = 3x - x3 có đồ thị là (C)... thị (C) Cho đồ thị (C) : y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 2 x + x 2 4 x + 7 Tìm trên đờng thẳng x = 1 các điểm có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 5 2 x 2 + 7 x 10 Tìm trên đờng thẳng y = 4 2 các điểm có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) Dng 7: Tỡm iu kin ca tham s hai ng tip xỳc... Du = xy ra khi m = 2 2 ( m 2) Vy im M cn tỡm cú ta l : M(2; 2) 112 2x 1 x +1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất Cho hàm số y = 3 HD: M x 0 ; 2 (C) thì tiếp tuyến tại M có phơng trình : x0 +1 3 3 y2+ = (x x 0 ) hay 3(x x 0 ) (x 0 + 1) 2 (y 2) 3(x 0 + 1) = 0 2 x 0 +... 1)2 9 + ( x0 + 1) 2 2 9 = 6 , vây d 6 Khoảng cách d lớn nhất bằng ( x0 + 1) 2 9 2 = (x 0 + 1) 2 ( x 0 + 1) = 3 x 0 = 1 3 2 (x 0 + 1) ( Vậy có hai điểm M : M 1 + 3 ; 2 3 113 Cho hm s y = ) ( hoặc M 1 3 ; 2 + 3 6 khi ) 2x 4 (C) x +1 1 Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s 2 Gi M l mt im bt kỡ trờn th (C), tip tuyn ti M ct cỏc tim cn ca (C) ti A, B CMR din tớch tam giỏc ABI (I l giao ca hai... M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai x +1 1 trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 3x + 1 Cho hàm số y = (1) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ x +1 thị hàm số (1) tại điểm M(-2;5) Cho hàm số (C) y = f (x) = x 3 3x 2 + 1 CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng... TCN ti B(2 x0 m;2 m) x0 m 1 4m2 + 6 58 ; IB = 2 x0 m SIAB = IA.IB = 4 m 2 + 6 = 64 m = x0 + m 2 2 2mx + 3 Tìm m để tiếp tuyến bất kỳ của (Cm) cắt 2 đờng thẳng tiệm xm cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8 x 103 Cho hm s y = Vit phng trỡnh tip tuyn ca (C), bit tip tuyn to vi 2 ng tim x 1 102 Cho đồ thị (Cm): y = cn ca (C) mt tam giỏc cú chu vi P = 2 ( 2 + 2 ) HD: (C) cú tim cn ng x... Cõu hi tng t: 83 Vi y = x 3 3 x 2 + 2; AB = 4 2 S: A(3;2), B(2; 2) Cho hm s y = f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C) Tỡm tt c cỏc giỏ tr k, tn ti 2 tip tuyn vi (C) phõn bit v cú cựng h s gúc k, ng thi ng thng i qua cỏc tip im ca hai tip tuyn ú ct cỏc trc Ox, Oy tng ng ti A v B sao cho OA = 2011.OB HD: PTTT ca (C) cú dng: y = kx + m Honh tip im x0 l nghim ca phng trỡnh: 2 f ( x0 ) = k 3 x0 +... l mt tip tuyn bt k ca x +1 th (C) d l khong cỏch t I n Tỡm giỏ tr ln nht ca d HD: y = 1 x +2 Giao im ca hai ng tim cn l I(1; 1) Gi s M x0 ; 0 (C ) x0 + 1 ( x + 1) Phng trỡnh tip tuyn vi thi hm s ti M l: 2 y= 1 ( x0 + 1) 2 ( x x0 ) + Khong cỏch t I n l d = Vy GTLN ca d bng 90 Cho hm s y = x0 + 2 2 x + ( x0 + 1) y x0 ( x0 + 1)( x0 + 2 ) = 0 x0 + 1 2 x0 + 1 1 + ( x0 + 1) 2 khi 4 = 2... v B sao cho AB = OA 2 2 x0 4 HD: Gi M ( x0 ; y0 ) (C ), x0 2 PTTT ti M: y = ( x x0 ) + 2 x0 2 ( x 2) Cho hm s y = 0 Tam giỏc vuụng OAB cú AB = OA 2 nờn OAB vuụng cõn ti O Do ú d vuụng gúc vi mt trong hai ng phõn giỏc d1 : y = x; d2 : y = x v khụng i qua O 4 + Nu d d1 thỡ ( x0 2)2 4 + Nu d d2 thỡ 96 Cho hm s y = ( x0 2)2 = 1 x0 = 4 d : y = x + 8 = 1 vụ nghim Vy PTTT cn tỡm l: y = x... cặp tiếp điểm này đồng qui tại một điểm cố định Cho (C): y = f ( x) = x 3 + 1 k ( x + 1) , a Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy b Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8 (ĐH An Ninh 2000 ) Cho (C) y = f ( x) = x 3 + mx 2 m 1 Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó 4x 5 Cho . 1 500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn. doc PHẦN 2: TIẾP TUYẾN A. Kiến thức cơ bản • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm. − − + + + = YCBT ⇔ (3) có đ úng 2 nghi ệ m phân bi ệ t. + TH1: (4) có 2 nghi ệ m phân bi ệ t, trong đ ó có 1 nghi ệ m b ằ ng –1 ⇔ m 1 = − + TH2: (4) có nghi ệ m kép khác –1 ⇔ m. (C m ) t ạ i đ i ể m M có hoành độ = − x 1 c ắ t đườ ng tròn (C) có ph ươ ng trình x y 2 2 ( 2) ( 3) 4 − + − = theo m ộ t dây cung có độ dài nh ỏ nh ấ t. HD: Ta có: y x m 2 3 ′ = −