Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. pdf

Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. 1. Tọa độ của điểm, vectơ. Lý huyết Yêu cầu nắm được: - Tính độ dài vecto   ; ; u a b c  : 2 2 2 u a b c     - Cho   ; ; A A A A x y z ,   ; ; B B B B x y z ,   ; ; C C C C x y z Tính tọa độ trung điểm I của đoạn AB, và trọng tâm G của tam giác ABC. 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y I y z z z                ; 3 3 3 A B C G A B C G A B C G x x x x y y y G y z z z z                   - Tính tọa độ vecto AB  :   ; ; B A B A B A AB x x y y z z      - Độ dài đoạn AB:       2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z        - Tính tích có hướng của 2 vecto   ; ; u a b c  ,   ; ; v a b c     , ; ; b c c a a b u v b c c a a b                      , ; ' u v bc b c ca c a ab a b                 - Tính tích vô hướng của 2 vecto   ; ; u a b c  ,   ; ; v a b c     . . . u v aa b b c c         - Tính góc giữa hai vecto   ; ; u a b c  ,   ; ; v a b c       . cos , . u v u v u v        2 2 2 2 2 2 . aa bb cc a b c a b c              - Nắm được: Cách tính tọa độ điểm, tọa độ vecto thỏa mãn môt hệ thức vecto. Ví dụ: 2. Mặt cầu. Lý huyết  Mặt cầu tâm   ; ; I a b c và bán kính R có ph/trình       2 2 2 2 x a y b z c R        Dạng thứ hai: 2 2 2 2 2 2 0 x y z ax by cz d        (2) Với đ/kiện 2 2 2 0 a b c d     , thì (2) là p/trình mặt cầu tâm   ; ; I a b c , bán kính 2 2 2 R a b c d     . Một số dạng thường gặp: Mặt cầu có tâm   ; ; I a b c và đi qua một điểm hoặc tiếp xúc với một mặt phẳng; mặt cầu đí qua 4 điểm không đồng phẳng. Chú ý: Khoảng cách từ điểm   ; ; M M M M x y z đến đường thẳng   : 0 Ax By Cz D      được tính theo công thức   ; 2 2 2 . . . M M M M A x B y C z D d A B C           Dạng 1: Mặt cầu đi qua một điểm M và có tâm cho trước   ; ; I a b c Cách giải: - Bán kính mặt cầu là R MI  Ví dụ 1: Viết phương trình mặt cầu tâm   1;2; 3 A  và đi qua điểm   0;2;2 M . Lời giải:  Mặt cầu đi qua điểm   0;2;2 M nên có bán kính bằng       2 2 2 1 0 2 2 3 2 26 R MA          P/trình mặt cầu (tâm   1;2; 3 A  ):           2 2 2 2 1 2 3 26 x y z       Hay       2 2 2 1 2 3 26 x y z       Ví dụ 2: Viết phương trình mặt cầu đường kính AB biết   1; 2; 1 A   và   3;0; 3 B  . Giải:  Mặt cầu đường kính AB có tâm là trung điểm I của đoạn AB. Tọa độ tâm I là   1 3 2 2 2 2 0 1 2 2 1 3 2 2 2 A B I A B I A B I x x x y y y z z z                              Hay   2; 1; 2 i    Bán kính mặt cầu           2 2 2 1 2 2 1 1 2 3 R IA             P/trình mặt cầu cần tìm:             2 2 2 2 2 1 2 3 x y z        Hay       2 2 2 2 1 2 3 x y z       Dạng 2: Mặt cầu có tâm   ; ; I a b c và tiếp xúc với mặt phẳng   : 0 P Ax By Cz D     . Cách giải: - Bán kính mặt cầu bằng khoảng cách từ tâm I đến mp   P . Ví dụ 3: Viết ph/trình mặt cầu có tâm   0; 1;1 M  và tiếp xúc với mặt phẳng   : 2 1 0 P x y z     . Lời giải:  Mặt cầu tiếp xúc với mp   P nên bán kính m/cầu bằng khoảng cách từ tâm M đến mp   P :       , 2 2 2 0 1 2.1 1 1 1 2 M P R d              2 2 6 6     P/trình mặt cầu cần tìm (tâm   0; 1;1 M  ):         2 2 2 2 2 0 1 1 6 x y z              Hay     2 2 2 2 1 1 3 x y z      Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng EF . 3. Phương trình mặt phẳng. Lý huyết Dạng 1: Mặt phẳng đi qua điểm   ; M M M M x y z và có vecto pháp tuyến   ; ; n A B C   . PTTQ của mp là       0 M M M A x x B y y C z z       Một số dấu hiệu: - Mặt phẳng   P vuông góc với đường thẳng AB¸ hoặc đường thẳng   d . Khi đó vecto AB  hoặc vecto chỉ phương d u  của   d là vecto pháp tuyến của mp   P . - Mặt phẳng   P song song với mặt phẳng   Q , khi đó vecto pháp tuyến Q n  của mp   Q cũng là vecto pháp tuyến của mp   P . Ví dụ 1: Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng   P đi qua điểm   1;2; 3 A  và : a) vuông góc với đường thẳng   1 2 : 2 1 3 x y z d      b) song song với mặt phẳng   : 3 0 Q x y z    c) vuông góc với đường thẳng AB với   0;1;1 A ,   1;2;0 B  Lời giải: a) Đ/thẳng   d có vecto chỉ phương   2; 1;3 u    .      P d  nên   P nhận   2; 1;3 u    làm vecto pháp tuyến. Mặt khác   P đi qua điểm   1;2; 3 A  .  Vậy p/trình tổng quát của   P :           2 1 1 2 3 3 0 x y z         Hay 2 3 9 0 x y z     b)      || P Q nên vecto pháp tuyến của   Q ,   1; 1; 3 n     cũng là vecto pháp tuyến của   P .  Mặt khác   P đi qua điểm   1;2; 3 A  .  Vậy p/trình tổng quát của   P :         1 1 1 2 3 3 0 x y z        Hay 3 8 0 x y z     c)   P AB  nên   P nhận   1;1; 1 AB     làm vecto pháp tuyến Mặt khác   P đi qua điểm   1;2; 3 A  .  Vậy p/trình tổng quát của   P :         1 1 1 2 1 3 0 x y z         Hay 4 0 x y z      4 0 x y z      Dạng 2: Mặt phẳng   P xác định bởi hai vecto u  , v  không cùng phương và có giá song song hoặc nằm trên   P . {Ôn thi ĐH-CĐ} Cách giải: Vecto pháp tuyến của   P là , n u v         , tích có hướng của hai vecto u  , v  . Một số dấu hiệu thường gặp: - Mp   P song song với hai đường thẳng     1 2 , d d không cùng phương. - Mp   P vuông góc với hai mặt phẳng     ,   không song song. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;4;-1), B(2;4;3) và C(2;2;-1). 1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. 2) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHXH): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(-1; 1; 2), B(0; 1; 1), C(1; 0; 4). 1. Chứng minh tam giác ABC vuông. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. 2. Gọi M là điểm sao cho 2 MB MC     . Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và vuông góc với đường thẳng BC. 4. Phương trình đường thẳng. Lý huyết  Đường thẳng    đi qua điểm   ; ; M M M M x y z có vecto chỉ phương   ; ; u a b c   . - P/trình tham số của    : M M M x x at y y bt z z ct            ,   t   - P/trình chính tắc của    : M M M x x y y z z a b c      Yêu cầu: Từ các p/trình tham số và p/trình chính tắc của đ/thẳng phải biết lấy vecto chỉ phương và điểm thuộc đường thẳng. Dạng 1: Đường thẳng đi qua điểm   ; ; M M M M x y z và có vecto chỉ phương xác định trước. Một số dấu hiệu thường gặp: - Đường thẳng    đi qua hai điểm , M N , khi đó vecto MN  là vecto chỉ phương của    . - Đường thẳng    vuông góc với mặt phẳng   P . Khi đó vecto pháp tuyến P n  của   P là vecto chỉ phương của    . - Đường thẳng    song song với đường thẳng   d , khi đó vecto chỉ phương của   d cũng là vecto chỉ phương của    . Ghi nhớ: Nên vẽ hình minh họa để dễ xác định các yếu tố giải thiết cho và liên hệ tới mối quan hệ giữa chúng. Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng    , biết: a)    đi qua hai điểm   1;2; 3 A  ,   0;1; 2 B  b)    đi qua điểm   1; 1;1 M  và vuông góc với mặt phẳng   : 3 0 x y z     . c)    đi qua điểm   0;0;2 N và song song với đường thẳng   d có p/trình   2 : 1 2 x t d y t z           Lời giải: a)  Đường thẳng    đi qua hai điểm A, B nên nhận vecto     0 1;1 2; 2 3 AB          1; 1;1    làm vecto chỉ phương.   Mặt khác    đi qua   1;2; 3 A  nên có p/trình tham số 1 2 3 x t y t z t             ,   t   b)  Đường thẳng    vuông góc với mp   P nên nhận vecto pháp tuyến   1; 3;1 n    của   P làm vecto chỉ phương của    .  Mặt khác    đi qua điểm   1; 1;1 M  nên có p/trình tham số 1 1 3 1 x t y t z t             ,   t   c) Đ/thẳng   d có vecto chỉ phương   2;1;0 u  .  Đ/thẳng    song song với   d nên nhận   2;1;0 u  làm vecto chỉ phương.  Mặt khác    đi qua điểm   0;0;2 N nên có p/trình tham số 0 2 0 2 x t y t z           ,   t   . Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2007, Bổ túc): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm E(1;0;2) , M(3;4;1) và N(2;3;4). 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng MN. 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm E và vuông góc với đường thẳng MN. Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(1;0;2),N(3;1;5)và đường thẳng (d) có phương trình   1 2 : 3 6 x t d y t z t             . 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). 2. Viết p/trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm M và N. 5. Góc, khoảng cách. Lý huyết  Khoảng cách từ điểm   ; ; M M M M x y z đến đường thẳng   : 0 Ax By Cz D      được tính theo công thức   ; 2 2 2 . . . M M M M A x B y C z D d A B C           Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; -2;-2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. 1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 2) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P). Viết phương trình của mặt phẳng (Q) sao cho (Q) song song với (P) và khoảng cách giữa (P) và (Q) bằng khoảng cách từ điểm A đến (P). Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm M(1;-2;0), N(-3;4;2) và mặt phẳng (P) có phương trình 2 2 7 0 x y z     . 1. Viết phương trình đường thẳng MN. 2. Tính khoảng cách từ trung điểm của đoạn thẳng MN đến mp(P). Câu 3 (Đề TN 2008, L2, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm   2; 1;3 A  , mặt phẳng   : 2 2 10 0 P x y z     . 1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mp(P). 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P). 6. Tương giao giữa đường thẳng, mặt pẳng, mặt cầu. Bài toán tổng hợp Lý huyết Bài tập: Câu 1 (Đề TN BTTH 2006): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(4; 3; 2), B(3; 0; 0), C(0; 3; 0) và D(0; 0; 3). 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A và trọng tâm G của tam giác BCD. 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng đi qua ba điểm B, C, D. [...]...Câu 2 (Đề TN 2006, Ban KHTN): Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6) 1 Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C Tính diện tích tam giác ABC 2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Viết phương trình mặt cầu đường kính OG Câu 3 (Đề TN 2006, KPB): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 0; -1), B(1; 2; 1), C(0;... Viết phương trình đường thẳng OG 2 Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm O, A, B, C 3 Viết phương trình các mặt phẳng vuông góc với đường thẳng OG và tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu 4 (Đề TN 2007, L1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm E 1;2;3 và mặt phẳng   : x  2 y  2 z  6  0 1) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với mp   2) Viết phương . Chuyên đề V: Phương pháp toạ độ trong trong không gian. 1. Tọa độ của điểm, vectơ. Lý huyết Yêu cầu nắm được: - Tính độ dài vecto   ; ; u a b c  : 2.     1 2 , d d không cùng phương. - Mp   P vuông góc với hai mặt phẳng     ,   không song song. Bài tập: Câu 1 (Đề TN 2008, Lần 1, Ban KHXH): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho. tập: Câu 1 (Đề TN 2007, L2, Ban KHTN): Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm E(1;-4;5) và F(3;2;7). 1. Viết phương trình mặt cầu đi qua điểm F và có tâm là E. 2. Viết phương trình