Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 28 4. QUAN HỆ 4.1. ĐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT. 4.1.1. ĐỊNH NGHĨA . ℜ Được gọi là một QUAN HỆ hai ngôi trên tập E nếu ℜ là một tập con của tích Descartes E x E. Phần tử a được gọi là có quan hệ ℜ với phần tử b khi (a,b) ∈ ℜ, Ký hiệu a ℜ b, nếu không, ta ghi a ⎯ℜ b. Thí dụ. Cho E ={1,2,3}. ℜ = {(1,1), (1,3),(2,3)}. Ta có 1 ℜ 3 nhưng 3⎯ℜ 1. 4.1.2. TÍNH CHẤT. Tính phản xạ : ∀ a ∈ E, a ℜ a. Đối xứng : ∀ a, b ∈ E, Nếu a ℜ b thì b ℜ a Phản (Đối) xứng : ∀ a, b ∈ E, Nếu a ℜ b và b ℜ a thì a= b. Bắc cầu (truyền) : ∀ a, b, c ∈ E, Nếu a ℜ b và b ℜ c thì a ℜ c. 4.1.3. BIỂU DIỄN. Ngoài phương pháp biểu diễn một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn, người ta còn có thể sử dụng ma trận để biểu diễn cho Quan hệ. Giả sử ℜ là một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn E = {x 1, x 2,…, x n }. Quan hệ ℜ có thể được biểu diễn bởi ma trận E ℜ = [e ij ], trong đó e ij = 1 nếu (x i ,x j ) ∈ ℜ e ij = 0 nếu (x i ,x j ) ∉ ℜ Thí dụ. Với hai quan hệ ℜ 1 = {(1,1), (1,2),(1,3)} và ℜ 2 = {(1,1), 1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3)}, ta có ma trận biểu diễn như sau: 1 1 1 1 1 1 Aℜ 1 = 0 0 0 Aℜ 2 = 0 1 1 0 0 0 0 0 1 Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 29 4.2. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG. 4.2.1. ĐỊNH NGHĨA ℜ được gọi là một QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG khi ℜ có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu. 4.2.2. LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG. Khi ℜ là một quan hệ tương đương trên E, và x ∈ E, ta gọi LỚP TƯƠNG ĐƯƠNG chứa x là tập con x = {y ∈ E: y ℜ x}. 4.2.3. TÍNH CHẤT. x ∈ x, suy ra x ≠ ∅. y ∈ x thì y = x: Lớp tương đương không phụ thuộc phần tử đại diện. y ∩ x ≠ ∅ ⇔ y = x. Sưu tập các lớp tương đương khác nhau sẽ tạo nên một phân hoạch của tập E. 4.3. QUAN HỆ THỨ TỰ. 4.3.1. ĐỊNH NGHĨA. Một QUAN HỆ THỨ TỰ trên E, ký hiệu ≤ là một quan hệ có tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắt cầu. Lúc đó (E,≤) là tập có thứ tự. Khi x ≤ y : y là một trội của x (y lớn hơn x). y là một trội trực tiếp (kề trên) của x nếu x ≤ y và y ≠ x, không có trội nào nằm giữa x và y : x ≤ z ≤y thì x= z hoặc y=z. Biểu đồ HASSE. Ta dùng đồ thò có đònh hướng có rút gọn để biểu diễn cho một quan hệ. x y QUAN HỆ THỨ TỰ TOÀN PHẦN. Khi ấy, biểu đồ HASSE có dạng dây chuyền: ∀ x, y ∈ E, ta có x ≤ y hay y ≤ x. Cho (E,≤) là một tập hợp có thứ tự, và A ⊆ E, x ∈ E x là CHẬN DƯỚI của A nếu và chỉ nếu ∀ a ∈ A : x ≤ a. CHẬN DƯỚI LỚN NHẤT của A, ký hiệu Inf (A) là phần tử lớn nhất trong tập hợp tất cả những chận dưới của A. Tương tự, ta có đònh nghóa cho CHẬN TRÊN NHỎ NHẤT, Supp(A). 4.3.2. ĐINH LÝ. Max (A) nếu có thì duy nhất và cũng là phần tử Supp(A) duy nhất. Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 30 4.3.3. ĐINH LÝ. Cho (E, ≤) là tập thứ tự hữu hạn. Ta có: Trong E có ít nhất một phần tử tối tiểu (tối đại). Nếu E tồn tại một phần tử tối tiểu (tối đại) duy nhất thì phần tử đó chính là phần tử nhất tử nhỏ nhất (lớn nhất) của E. 4.4. DÀN (LATTICE) . 4.4.1. ĐỊNH NGHĨA. Cho (L, ≤) là tập hợp có thứ tự. L được gọi là một DÀN nếu và chỉ nếu: ∀ a, b ∈ L có chận dưới lớn nhất và chận trên nhỏ nhất (tức là có tồn tại Supp(a, b) và Inf(a,b). 4.4.2. ĐỊNH LÝ Mọi tập có thứ tự toàn phần là một DÀN. 4.4.3. TÍNH CHẤT Lũy đẳng : Supp(a, a) = a Inf (a,a) = a Giao hoán: Supp(a, b) = Supp(b, a) Inf (a, b) = Inf (b,a) Kết hợp : Supp(Supp(a, b),c) = Supp(a, Supp(b,c) Inf(Inf(a, b),c) = Supp(a, Supp(b,c) (a ≤ b) ⇔ Supp(a, b) = b ⇔ Inf (a, b) = a Inf(a,Supp (a, b)) = a = Supp( a,Inf(a, b)) 4.4.4. ĐỊNH LÝ Mọi DÀN hữu hạn đều có phần tử lớn nhất, phần tử bé nhất. 4.4.5. ĐỊNH NGHĨA. Cho (L,≤) là một DÀN và B là tập con của L. Ta nói B là DÀN CON của L khi và chỉ khi ∀ a, b ∈ B, ta có Supp(a, b) và Inf( a, b) ∈ B. 4.4.6. ĐỊNH NGHĨA. Một DÀN được gọi là DÀN phân bố nếu Supp và Inf phân bố lẫn nhau: Supp(x,Inf((y, z)) = Inf(Supp(x, y),Supp(x, z)) Inf(x,Supp(y, z)) = Supp(Inf(x, y),Inf(x, z)) Thí dụ. ℘(A) là một DÀN phân bố. DÀN {a, b, c, d} như biểu đồ không phải là DÀN phân bố vì: b e Inf(d,Supp (b, c)) = Inf(d, e) = d, Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 31 mà Supp(Inf(d, b),Inf(d, c)) = Supp( a, a) ≠ d. d a c 4.4.7. ĐỊNH NGHĨA. Giả sử DÀN L có phần tử lớn nhất Max(L) (ký hiệu là 1) và phần tử nhỏ nhất Min(L) (ký hiệu là 0). Phần tử x ∈ L có PHẦN BÙ ⎯x ∈ L sao cho Supp(x,⎯x ) = 1 và Inf (x,⎯x ) = 0. L là DÀN bù khi và chỉ khi mọi phần tử của L có phần tử bù. Thí dụ. Trong DÀN bù sau đây e c Phần tử d có 2 phần tử bù. d b a L ={ước dương của 75} thì L không phải là dàn bù. Chú ý. ⎯x là bù của x thì x cũng là bù của ⎯x. Max(L) và Min(L) luôn luôn là bù của nhau. 4.4.8. ĐỊNH NGHĨA. Cho (L,≤) và (M,≤) là 2 DÀN. Một ánh xạ f:L → M được gọi là ĐỒNG CẤU DÀN nếu và chỉ nếu: ∀ x, y ∈ L f(Supp(x, y)) = Supp(f(x), f(y)), f(Inf(x, y)) = Inf(f(x), f(y)). Trường hợp f có thêm tính song ánh thì ta nói f là một ĐẲNG CẤU DÀN. Thí dụ. Cho 2 DÀN L, M có biểu đồ HASSE sau: v 4 • nh xạ f: L → M được đònh nghóa bởi: • e • • • u f(1) = b, f(2) = e, f(3) = c, f(4) = v 2 • • 3 b • c • d là một đồng cấu dàn. nh xạ g: L → M được đònh nghóa bởi: • • g(1) = a, g(2) = b, g(3) = d, g(4) = v 1 a không phải là đồng cấu dàn vì DÀN L DÀN M Supp(g(2), g(3)) = Supp(b,d) = c ≠ v = g(4)=g(Supp(2, 3). . Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 28 4. QUAN HỆ 4.1. ĐỊNH NGHĨA & TÍNH CHẤT. 4.1.1. ĐỊNH NGHĨA . ℜ Được gọi là một QUAN HỆ hai ngôi trên tập E nếu ℜ. một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn, người ta còn có thể sử dụng ma trận để biểu diễn cho Quan hệ. Giả sử ℜ là một Quan hệ 2 ngôi trên một tập hợp hữu hạn E = {x 1, x 2,…, x n }. Quan. = 0 0 0 Aℜ 2 = 0 1 1 0 0 0 0 0 1 Chương 4. Quan hệ Trương Mỹ Dung 29 4.2. QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG. 4.2.1. ĐỊNH NGHĨA ℜ được gọi là một QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG khi ℜ có tính phản xạ, đối