Chương III: Quan hệ pot

1 Định nghĩa:  Một quan hệ hai ngôi R trên tập một tập A (khác rỗng)  được  gọi  là  một  quan  hệ  thứ  tự  nếu  và  chỉ  nếu  có  ba  tính chất: phản xạ, phản xứng và truyền ( bắc cầu ) Ta kí hiệu quan hệ thứ tự là: ≺ Cặp (A, ≺)  được gọi là tập sắp thứ tự hay poset Chương IV: Quan hệ Vd1: Với số a b tập N* ta nói a b có quan hệ lũy thừa (“^”) tồn số nguyên dương k cho a mũ k b Khi (N*, ^ ) tập thứ quan hệ “ ^ “ có tính: • Phản xạ: ∀a∈N* ta có, a^a a=a1 • Phản xứng: a^b nghĩa ∃ k cho ak =b      b^a nghĩa ∃ j cho bj =a (k, j nguyên) Khi đó, ta có ak = b ⇔ akj =bj akj = a ⇔ k=1 j=1 ⇔ a = b •Bắc cầu: a^b nghĩa ∃ k cho ak = b b^c nghĩa ∃ j cho bj = c Khi đó, akj = c tức a^c Chương IV: Quan hệ Vd2: Với số a b tập R*+ ta nói a b có quan hệ R phương trình: ax = b có nghiệm Khi đó, (R*+ , R ) khơng tập thứ quan hệ R khơng có tính phản xứng Vì: Phương trình: 2x =3 có nghiệm phương trình 3x =2 có nghiệm, ≠ Chương IV: Quan hệ Cho  (S,≺)  là  tập  sắp  thứ  tự.  Khi  đó,  với  2  phần  tử a và b thuộc S. Nếu a  ≺ b hoặc b  ≺ a thì a và  b được gọi là so sánh được. Ngược lại, ta nói a và  b khơng so sánh được  Cho  (S,≺)  là  1  tập  sắp  thứ  tự  và  với  mỗi  hai  phần tử a và b tùy ý thuộc S ta đều có a và b so  sánh  được  thì  ta  nói  đó  là  tập  sắp  thứ  tự  tồn  phần Ta cũng nói rằng  ≺ là thứ tự tồn phần hay thứ tự  tuyến tính  Ngược lại, nếu tồn tại 2 phần tử a và b thuộc S  sao cho a và b khơng so sánh được thì ta nói (S,≺)  là tập sắp thứ tự bán tồn phần và  ≺ là quan hệ  bán toàn ph Chương IV: Quan hệần  Vd: Quan hệ (N*,^) tập thứ tự bán tồn phần vì:  Nó tập thứ tự  Không tồn 2^3 hay 3^2 Chương IV: Quan hệ Vd: Quan hệ “ ≤ ” tập số nguyên dương thứ tự toàn phần Cho (R , ≤) tập thứ quan hệ “≤ “ có tính:  Phản xạ: ∀a∈R ta có, a ≤ a  Phản xứng: a ≤ b b ≤ a ⇒ a = b    Bắc cầu: a ≤ b b ≤ c a ≤ c Ta có quan hệ “ ≤ ” quan hệ thứ tự tồn phần ∀ a ≤ b ta có b ≤ a (b=a) Chương IV: Quan hệ Định nghĩa: Cho (A, ≤) (B, ≤’) hai tập thứ tự toàn phần Ta định nghĩa thứ tự ≺ A x B sau: (a1,b1) ≺ (a2,b2) a1 < a2 hay (a1 = a2 b1 ≤’ b2 ) Ta thấy thứ tự toàn phần A x B có tính: Phản xạ: ∀(a,b) ∈ A x B ta có (a,b) ≺ a = a và  b ≤’ b Phản xứng: Nếu (a1,b1) ≺ (a2,b2)(1) (a2,b2) ≺ (a1,b1)(2) ta có: nếu a1 ≠ a2 (1) ⇒ a1 < a2 (2) ⇒ a2 < a1 (Vô lý) Vậy a1 = a2 Tương tự, ta có b1 = b2 Vậy, ta có: (a1,b1) = (a2,b2) Chương IV: Quan hệ 3.  Bắc cầu: Nếu (a1,b1) ≺ (a2,b2)(1) (a2,b2) ≺ (a3,b3)(2) ta có a1 ≤ a2 a2 ≤ a3 ⇒ a1 ≤ a3 Nếu a1 < a3 ta có (a1,b1) ≺ (a3,b3) Nếu a1 = a3 chứng minh tương tự ta có b1 ≤’ b3 Vây ta ln có (a1,b1) ≺ (a3,b3) Quan hệ thứ tự toàn phần ≺ gọi thứ tự tự điển Chương IV: Quan hệ Phần tử trội:  Phần tử b tập thứ tự S gọi phần tử trội phần tử a tập S a ≺ b  Chúng ta nói a trội b Phần tử b  gọi trội trực tiếp a b trội a, và  không tồn trội c a cho: a ≺ c ≺ b, a ≠ b ≠ c Vd: Với tập thứ tự (N,