Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phần 3. TÍCH PHÂN I.Nguyên hàm và tích phân bất định: 1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với x(a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a + ) = f(a) và F’(b )=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là dx)x(f . Vậy dx)x(f = F(x)+C F ’(x) = f(x) với x(a;b) và C là hằng số. Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó. 2.Tính chất: a) )'dx)x(f( = f(x) b) dx)x(kf = k dx).x(f k0 c) dx)]x(g)x(f[ = dx)x(f + dx)x(g d) C)t(Fdt)t(f C)u(Fdu)u(f với u = u(x) 3.Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ Nguyên hàm của các hàm số hợp Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật cấp dx =x+C du =u+C 1 x dxx 1 +C, 1 1 u duu 1 +C, 1 x dx = lnx+ C, x 0 u du = lnu+ C, x 0 dxe x = e x +C due u = e u +C aln a dxa x x +C, 0<a1 aln a dua u u +C, 0<a1 xdxcos = sinx+C uducos = sinu+C xdxsin = cosx+C udusin = cosu+C x cos dx 2 = tgx+C, x 2 +k và kZ ucos du 2 = tgu+C, u 2 +k và kZ x sin dx 2 = cotgx+C, x k và kZ usin du 2 = cotgu+C, u k và kZ II. Phương pháp đồng nhất: a.Hai đa thức đồng nhất: Cho hai đa thức : f(x) = a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 (a n 0) Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 3 - Gv soạn: Phạm Văn Luật g(x) = b n x n +b n-1 x n-1 + +b 1 x+b 0 (b n 0) 00 nn ba ba )x(g)x(f b.Phép đồng nhất: 1) Dạng f(x) = n )ax( )x(g ( với degg(x) < n): Phương pháp: Phải tìm n số r 1 , r 2 , r 3 , , r n sao cho: f(x) = ax r )ax( r )ax( r n 1n 2 n 1 Kiến thức: 1) 1n n n )ax)(1n( 1 )ax(d)ax( )ax( dx +C với 2 nN 2) Caxln a x )ax(d a x dx 2) Dạng f(x) = )bx)(ax( )x(g ( với degg(x) 1 ): Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho: f(x) = )bx)(ax( )x(g = b x B a x A 3) Dạng f(x) = )cbxax)(x( )x(g 2 ( với degg(x) < 3 và =b 2 4ac < 0 ) Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 4 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho: f(x) = cbxax CBx x A 2 4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác,… ta có thể dùng phương pháp đồng nhất các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau. III. Tích phân xác định: 1) Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,bK; F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là b a dx)x(f . Ta viết : )a(F)b(F)x(Fdx)x(f b a b a (Công thức Niutơn-Laipnit) 2) Các tính chất của tích phân : Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c K. * a a dx)x(f =0 * a b dx)x(f = b a dx)x(f * b a dx)x(kf =k b a dx)x(f (k|R) * b a dx)]x(g)x(f[ = b a dx)x(f b a dx)x(g Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 9 - Gv soạn: Phạm Văn Luật diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng () vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi: V= b a dx)x(S 2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= b a 2 dxy 3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= b a 2 dyx Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Một số lưu ý khi sử dụng công thức này: a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi x[a;b] thì b a b a dx).x(fdx.)x(f b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) : Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x 1 < x 2 =b. Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì : a= x 1 < x 2 <… < x n =b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi: S= b a dx.)x(f = 2 x a dx.)x(f + 3 x 2 x dx.)x(f +…+ b 1n x dx.)x(f = 2 x a dx)x(f + 3 x 2 x dx)x(f +…+ b 1n x dx)x(f 2) Cho f 1 (x) và f 2 (x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f 1 (x); y= f 2 (x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi: S= b a 21 dx.)x(f)x(f 2.Thể tích vật thể hình học: 1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng () và () đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 5 - Gv soạn: Phạm Văn Luật * c a dx)x(f = b a dx)x(f + c b dx)x(f * f(x) 0 trên [a;b] b a dx)x(f 0 * f(x) g(x) trên [a;b] b a dx)x(f b a dx)x(g * m f(x) M trên [a;b] m(ba) b a dx)x(f M(ba) * t[a;b] G(t)= t a dx)x(f là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0. IV. Các phương pháp tính tích phân xác định: 1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần tính b a dx)x(f , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] . a) Đổi biến số dạng 1: Đặt x = u(t) - Tính dx=u’(t)dt - Đổi cận x = a u(t) = a t = x = b u(t) = b t = Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 6 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Đổi biến dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,] Tính dt)t(gdx)x(f b a =G(t) )(G)(G| b) Đổi biến số dạng 2: Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) x = u(t)) - Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt ) - Đổi cận: x = a t = v(a) = x = b t= v(b) = Đổi biến dt)t(gdx)x(f b a và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [,] Tính dt)t(gdx)x(f b a = G(t) )(G)(G| 2) Phương pháp tính tích phân từng phần : a) Định ly: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì: b a )x(u .v’(x)dx= u(x) v(x) b a b a )x(v .u’(x)dx hay: b a b a b a vduuvudv b) Cách tính: Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 7 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Biến đổi b a b a udvdx)x(f với cách đặt hợp lý : )x(vv dx)x('udu dx)x('vdv )x(uu Biến đổi về: b a b a b a vduuvudv , sau đó tính từng phần uv b a b a vdu,| c) Chú y : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần (a0): )baxcos( a 1 dx).baxsin( + C )1(a )bax( dx)bax( 1 +C, 1 )baxsin( a 1 dx).baxcos( + C a 1 b ax dx lnax+b+ C )bax(cos dx 2 = a 1 tg(ax+b) +C baxbax e a 1 dx.e + C )bax(sin dx 2 = a 1 cotg(ax+b)+C ax ax ln a2 1 ax dx 22 + C, V. Ứng dụng của tích phân : 1.Diện tích hình phẳng: 1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi: S= b a dx.)x(f . Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 1 - Gv soạn: Phạm Văn Luật Phần 3. TÍCH PHÂN I.Nguyên hàm và tích phân bất định: 1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x). với u = u(x) 3.Bảng các nguyên hàm: Nguyên hàm của các hàm số sơ Nguyên hàm của các hàm số hợp Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 2 - Gv soạn: Phạm Văn Luật cấp dx =x+C du =u+C. x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= b a 2 dyx Tích Phân và Đại số tổ hợp - Trang 8