Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 6 pps

158 = + + 2 22 4 2 K ziz z zd J i i )( exp . (D.2) Cực bây giờ nằm tại gốc của mặt z trong khi đó đờng lấy tích phân nằm ở trên trục z thực. Theo định lý Cauchy, đờng lấy tích phân có thể đợc thay bằng trục z thực nghĩa l ở trên gốc. Bây giờ ta tách tích phân thnh hai phần: một tích phân giá trị gốc p J : 22 4K p eJ / = z zd 2 2 42 Kziz e /)( , (D.3) v một tích phân dọc theo chỗ tách: 2222 4 0 0 4 K i i K ei e ed eJ // lim = = = = . (D.4) Ký hiệu tích phân giá trị gốc trong (D.3) bằng F = F z zd 2 2 42 Kziz e /)( , (D.5) ta tìm == 2222 2 2 44 2 42 2 22 KKiKziz eezd K i ezd K iF //)(/)( 2222 4 21 421 2 2 2 KK e K i eK K i / / // == . (D.6) Khi 0= , hm bị tích trong phơng trình (D.5) l lẻ theo z ; nh thế 00 == )(F . Ta có thể tích phân phơng trình (D.6) để có = = = 0 2 0 21 4 21 2 erf 2 222 K K K ideide K i F / / / / . (D.7) Cộng p J v J lại ta có =+= K eiJJJ K p 2 erf1 22 4/ . (D.8) Nếu 0< , ta viết = , điều ny có nghĩa l thay thế i bằng i trong hm bị tích của phơng trình (D.1), tức thay đổi dấu. Chơng 6 - Các hiệu ứng tổn thất cột nớc tại eo hẹp đối với sự phân tán sóng di: Lý thuyết thuỷ lực Trong lý thuyết lý tởng về sóng phân tán trong chất lỏng không nhớt, ngời ta thờng giả thiết chất lỏng chuyển động song song với biên cứng của tờng hay của vật thể. Tuy nhiên, trên thực tế gradient áp suất ngợc v độ nhớt có thể lm chậm chuyển động gần nơi dòng uốn lợn đột ngột, buộc dòng chảy bị phân tách v tạo ra các xoáy nớc có độ xoáy cao, gây mất năng lợng đáng kể. Khuynh hớng tự nhiên ny giống nh các tấm lới lỗ trên tờng nh hấp thụ năng lợng âm. Jarlan (1965) đã đa ý tởng ny vo kỹ thuật vùng bờ v sáng chế thiết kế đê chắn sóng với tấm dạng lới khoét lỗ gắn phía trớc tờng cứng. Sự tiêu tán đợc tăng cờng do các tia nớc chui qua các lỗ khi mực nớc bề mặt ở hai phía khác nhau. Các đê chắn sóng dạng tơng tự đã đợc xây dựng tại các cảng Baie Comeau v cảng Chandler ở Quebec, Canada v cảng Roscoff ở Pháp (Richey v Sollitt, 1969). Một thí dụ mới hơn v ấn tợng hơn l bể chứa dầu Ekofisk ở Bắc Hải: nó đợc bao bọc bởi một một đê chắn sóng dạng lới lỗ vòng tròn đờng kính xấp xỉ 90 m trên vùng 159 biển sâu 70 m (Gerwick v Hognestad, 1973). ở cảng Osaka Nhật bản (Hayashi, Kano v Shirai, 1966) có một đê chắn sóng gồm một dãy ống tròn đờng kính 2 m đặt cách nhau 0,5 cm đã đợc sử dụng. Trong tất cả các thiết kế ny, sự phân tách dòng do sự co hẹp v dãn ra đột ngột l đặc tính vật lý cơ bản. Sự phân tách dòng xung quanh một hình trụ nhỏ l một chủ đề quan trọng đối với các công trình ngoi khơi v ngời ta đã nghiên cứu thực nghiệm nhiều với các cột trụ đơn độc có biên chu vi trơn hay sắc cạnh (thí dụ, xem Sarpkaya v Issacson, 1981). Từ các thực nghiệm thấy rằng số Strouhal aU / (hay tơng đơng l số KeuleganCarpenter aUT / trong công trình đầu tiên của G. H. Keulegan v L. H. Carpenter, 1956 về các dòng dao động) l một tham số quan trọng, ở đây U l biên độ vận tốc v a l kích thớc của vật. Theo Graham (1980), có ít nhất l hai chế độ phân biệt trong khoảng 1002 << aUT / . Với 20>aUT / (con số ny phụ thuộc vo thiết diện ngang của trụ), thì vết rẽ nớc giới hạn gồm một số các xoáy sẽ toả rộng xuống phía xuôi dòng kể từ điểm phân dòng. Khi aUT / tăng thì vết rẽ nớc sẽ di ra v cng giống với tình huống dòng ổn định của đờng xoáy Karman. Tuy nhiên, với 20<aUT / thì các xoáy tản ra khỏi các điểm phân dòng của trụ; từng xoáy một bị cuốn trở lại bởi dòng chảy ngợc đến phía bên kia của trụ để liên kết thnh cặp với một xoáy kế tiếp với dấu ngợc lại. Cặp xoáy ny sau đó cuốn trôi khỏi vật thể với một góc lớn (~45 o ) so với dòng tới. Công thức tổn thất do ma sát tỉ lệ với bình phơng vận tốc địa phơng (xem phơng trình (1.17) dới đây) chỉ đúng với các giá trị aUT / lớn. Đáng tiếc, ta cha có một chỉ tiêu tơng tự áp dụng cho các khe hay các lỗ hở. Vì số KeuleganCarpenter có thể l lơn hơn * trong trờng hợp các kích thớc của đê chắn sóng v chu kỳ sóng thông thờng, nên công thức tổn thất bình phơng ít ra cũng giúp ta có ớc lợng thô một khi cha có thêm các dữ liệu thực nghiệm. Với các bi toán phân tán một chiều, một lý thuyết bán kinh nghiệm kiểu đó đã đợc đề xớng bởi Hayashi, Kano v Shirai (1966), Terrett, Osorio v Lean (1968) Sau ny lý luận của họ đã đợc Mei, Liu v Ippen (1974) hon thiện thêm v đợc trình by dới đây. 6.1 Sự phân tán một chiều bởi đê chắn sóng dạng sẻ rãnh hoặc dạng lới lỗ 6.1.1 Các phơng trình mô tả Ta giới hạn nghiên cứu với các sóng biên độ nhỏ trên nớc nông. Vì tốc độ địa phơng ở lân cận điểm thu hẹp đột ngột có thể lớn, ta nên kể đến sự phi tuyến v bắt đầu bằng các phơng trình Airy các phơng trình (5.11) v (5.12) đã thấy trong chơng 3: 0 =++ u)( h t , (1.1) =+ g t uu u . (1.2) Xét một bức cản mỏng với hai cột thẳng đứng rộng b2 . Khoảng cách tâm tới tâm giữa hai cột l a2 . Tính chất tuần hon cho phép ta xét một kênh với các tờng biên bên trùng với hai đờng xuyên tâm của hai cột đứng kề cận nh trên hình 1.1. Giả * Với sóng thần truyền qua một đê chắn sóng, ta có thể lấy m/s 1=U , s 360=T v =a độ dầy đê chắn sóng =10 m, vậy 360=aUT / . Với sóng gió tấn công vo một đê chắn sóng dạng lới lỗ ta có thể lấy tốc độ qua lỗ 3=U m/s, 10=T s, 50,=a m, khi đó 60=aUT / . 160 thiết độ sâu h không đổi. Sóng tới di, biên độ thấp v truyền tới thẳng góc. Vậy phải thoả mãn các phơng trình: 0 = + x u h t , (1.3) 0 = + x g t u , (1.4) hai phơng trình ny l giới hạn của các phơng trình (1.1) v (1.2) khi 1<<hA / . Một cách tờng minh hơn, sóng tới có thể viết nh sau: [ ] )()( txkitxkiI eeA += 2 1 , (1.5) II kg u = . (1.6) ở đây đã giả định sóng tới không chỉ l sóng di so với độ sâu m thậm chí di hơn so với độ rộng kênh, do đó 1<<ka . Căn cứ trên hình 1.1, gọi vùng cách vùng thắt một đoạn )( 1 kO l vùng xa. Vì 1<<ka nên dòng chảy l một chiều v mô tả bằng các phơng trình (1.3) v (1.4) ở cả hai phía của bức cản. Nghiệm của chúng phải đợc liên kết lại tại bức cản nhờ vo những điều kiện ghép nhất định tuỳ thuộc vùng gần tức lân cận )(aO quanh bức cản. 6.1.2 Các điều kiện ghép v vùng gần Với vùng thắt đủ hẹp v biên độ vừa phải, dòng bị chia ra ở phía sau bức chắn. Một tia nớc hình thnh, nó mở rộng ra v đụng phải các tia xuất phát từ các cột chắn bên cạnh để tạo thnh hai dải xoáy. ở xa hơn về phía xuôi, dòng lại trở nên gần nh dòng một chiều. Ta ký hiệu giới hạn ngoi của vùng gần l x v + x nh trên hình 1.1. Tình huống sẽ ngợc lại nếu dòng đổi chiều. Hình 1.1 Vùng gần v vùng xa Trong vùng gần phức tạp ny, phơng trình liên tục (1.1) có thể đợc đơn giản hoá. Thậm chí ngay khi không có khe hay lỗ hổng, biên độ sóng tối đa có thể bằng A2 , do đó ta có thể bỏ qua so với h . Hơn hữa giữa x v + x kích thớc ngang l a , )(AO= , )( 1 = Ot v ))()/(( / 21 ghhAOu ; suy ra 1 << )()( akOh t u . Phơng trình liên tục (1.1) trở thnh 0 u . (1.7) Bên ngoi vùng xoáy rối, ta áp dụng phơng trình chuyển động không nhớt. Vì vận tốc qua các cột chắn có thể lớn, ta giữ lại số hạng đối lu quán tính, tức ton bộ phơng trình (1.2), phơng trình ny đúng ở bên ngoi dải xoáy. Bây giờ ta áp dụng quan điểm thuỷ lực bằng cách khảo sát các trị số trung bình thiết diện ngang gữa x v + x . Sau khi tích phân phơng trình (1.7), thấy rằng SuSuSu cc +==_ , (1.8) ở đây S l tổng diện tích kênh, c S l diện tích tại đoạn thắt tĩnh mạch v có quan hệ với diện tích biên mở ròng 0 S bằng một hệ số thoát nớc thực nghiệm c : 161 0 cSS c = ; (1.9) c u l vận tốc trung bình tại đoạn thắt tĩnh mạch. Bên ngoi vùng xoáy, để nhất quán với phơng trình (1.2) ta xem u l không xoáy, tức =u . Khi đó phơng trình Becnoulli có dạng const 2 2 =++ g t u . (1.10) áp dụng phơng trình (1.1) cho đoạn giữa x v 0 x , tức tại đoạn thắt tĩnh mạch (xem hình 1.1), ta đợc 0 22 2 1 =++ )()()( ccc guu t , (1.11) trong đó giả thiết rằng ở cả hai trạm sự biến thiên ngang hớng có thể bỏ qua. Phía xuôi dòng của bức chắn, ta áp dụng sự bảo ton động lợng chung cho thể tích EBCF trên hình 1.1. Trong vùng chia dòng của bức chắn cứng vận tốc trung bình chất lỏng có thể bỏ qua v độ cao mặt tự do, do đó áp suất động, thực chất đồng nhất theo y , v bằng so với trong vùng tia nớc xiết. Nh vậy, áp lực dọc theo EF l Sg c . Sự cân bằng tổng động lợng đòi hỏi () () 22 + =+ = x x Jccc c xduS t pSuSuppgS , (1.12) với J S l diện tích thiết diện ngang của vùng tia xiết. Trừ phơng trình (1.11) cho phơng trình (1.12) v sử dụng (1.8), ta đợc () + + = + ++ x x J x x c c xd S S uxdu tgcS S u g 1 1 2 1 2 0 2 , (1.13) trong đó tích phân thứ nhất suy ra từ định nghĩa . Nếu ta đa ra hệ số tổn thất f : 2 0 1 = cS S f , (1.14) v độ di L ++ += + x x J x x c dx S S udxuLu , (1.15) thì phơng trình (1.13) có thể đợc viết thnh t u g L u g f 2 2 += + ++ , 0> + u . (1.16) Nếu đối số đợc lặp lại cho 0 < + u , một dấu âm sẽ xuất hiện phía trớc số hạng thứ nhất ở vế phải phơng trình (1.16). Tính đến cả hai hớng của dòng, ta có t u g L uu g f 2 ++= + ++ . (1.17) Khi các hệ số f v L đợc xác định (bằng thực nghiệm) thì các phơng trình (1.8) v (1.17) cung cấp các điều kiện biên cho các nghiệm vùng xa trên hai phía của vật chắn. Do kích thớc di của vùng xa l )( 1 kO , một cách xấp xỉ, các điều kiện ghép có thể đợc áp dụng cho các nghiệm vùng xa bằng cách cho 0x . Nếu có một tờng cứng tại lx = , nh trong trờng hợp một đê chắn với tờng dạng lới lỗ, ta phải thêm điều kiện biên 0 = + x/ tại lx = . Nếu vùng mở rộng tới x , thì các sóng phân tán phải đi ra từ 0 =x (điều kiện phát xạ). Trên thực tế, độ rộng của đê l thờng có bậc O (10m) v ngắn hơn so với bớc sóng thiết kế. Sử dụng phơng trình (1.9) v phơng trình (1.17) cho tờng lới lỗ l hon ton không đợc phép về góc độ lý thuyết. 162 Hiển nhiên, có thể quy nạp một công thức cho lực tác động lên tờng cứng. Xét chất lỏng trong ABCD v ở bên ngoi vật v dải rẽ nớc của nó. Hiệu ứng thực của phân bố áp suất trên mặt phía thợng lu của vật v trong dải rẽ nớc của nó l tạo ra một lực F chống lại chất lỏng trong thể tích đang xét. Nh vậy từ cân bằng động lợng [] + =+ + ++ 0 0 22 x x J uSdxuSdx t FuugS )()( , từ các phơng trình (1.8), (1.15) v (1.17) suy ra () ++ + + = = uuSpf t u pLpgSF 2 1 (1.18) 6.1.3 Các hệ số f v L Đợc biết rằng trong các dòng ổn định qua các lỗ có rìa sắc, thì hệ số thoát nớc c (cũng nh f ) chủ yếu phụ thuộc vo hình dạng lỗ, nếu số Reynolds đủ lớn sao cho sự chia dòng biểu hiện rất rõ. Đối với lỗ có cạnh sắc, công thức thực nghiệm l 3 0 4060 += S S c ,, . (1.19) Đối với các cạnh dầy v thuôn tròn thì hệ số thoát nớc c xấp xỉ 1. Theo công thức ny, c biến thiên trong khoảng 0,6 v 1. Khi luồng chất lỏng chảy qua giảm tốc thì tần số xoáy giảm đi. Nh vậy, f v c thay đổi theo vận tốc v gia tốc tức thời, v do đó, theo số Reynolds v số Strouhal. Vì không có dữ liệu thực nghiệm tổng hợp về f v c cho loại dòng dao động ny cho nên trong văn liệu kỹ thuật thờng sử dụng các giá trị của trờng hợp ổn định. Mặt khác, độ di L l khó ớc lợng nhất. Trong lúc Hayashi (1966) hon ton bỏ qua L , thì Terrett (1968) đã chọn một giá trị hằng số để tiến hnh thực nghiệm. Nếu không có sự phân dòng, thì bi toán giá trị biên sẽ tuyến tính; độ di tơng ứng, ký hiệu bằng 0 L ở đây, có thể đợc tính bằng lý thuyết hai chiều. Thực tế l với các sóng di, 0 L có quan hệ với các hệ số truyền qua T v phản xạ R nh sắp chỉ ra dới đây. ở vùng xa, nơi dòng chảy l một chiều, thì li độ của mặt tự do xác định bằng các phơng trình: )( tkxi Ae = , 0<x , (1.20) )( tkxi ATe + = , 0>x . (1.21) Ước lợng tại x , + tại + x v lu ý kx , 1 << + xk ta có () ti eTRA + + 1 . (1.22) Tại + x trờng vận tốc ở phía phải bằng ti ATe gkgk u ++ = . (1.23) Với phơng trình (1.23), phơng trình (1.22) có thể đợc viết thnh dạng () t u g L t u gikT RT 0 11 = + = + , (1.24) ở đây 0 L xác định bằng () + = ikT RT L 1 0 . (1.25) Sau khi nhân với gS , ta có thể lý giải phơng trình (1.24) nh l định luật thứ hai của Newton đối với khối lợng 0 SL chịu một lực thực )( + gS ; ảnh hởng của lỗ tơng đơng với việc thêm một khối lợng 0 SL tại thiết diện 0=x . Các hệ số truyền qua v phản xạ cần phải đợc xác định bằng lý thuyết hai chiều tại các vị trí cụ thể. Các sóng di biên độ nhỏ bây giờ giống hệt nh các sóng âm; những kết quả phân tích cho một số lỗ âm thanh (khe trong tấm hình chữ nhật, lỗ hình tròn trong 163 một đờng ống tròn ) cũng có thể đợc áp dụng trong trờng hợp ny. Thí dụ nh đối với một khe hẹp hai chiều, ta có: + a b a b a L 4 ctg 4 tg 2 11 2 0 ln , 1<<ka (1.26) (Morse v Ingard, 1968). Thấy rằng với sóng di thì 0 L phụ thuộc vo k trong phép xấp xỉ trên. Chúng tôi ginh phần dẫn lập công thức ny lm một bi tập về phép tiệm cận ghép. Trong các giới hạn lớn v nhỏ của các khe, ta có 0 0 2121 2 S S b a a L = lnln , 1<< a b , a L 2 0 ~ 2 8 a ba ; 1<< a ba . (1.27) Thậm chí đối với 0 SS / rất lớn, )/(ln 0 SS thực tế vẫn có bậc l )(1O ; tỉ số () 0 0 0 kL t u g L = + (1.28) rất nhỏ đối với các sóng di. Do đó, + v chỗ thắt không có tác dụng. Kết quả ny có liên quan đến lập luận trong mục 5.5, ở đó nói rằng các hệ số truyền qua gần bằng 1 trong thuyết không xoáy, trừ khi 0 SS / l một số rất lớn. Nếu có sự phân dòng, thì rõ rng l khó vận dụng L về mặt lý luận. So với dòng không bị phân tách, thì sự phân dòng đã lm giảm độ cong của các luồng chảy cục bộ quanh khe hẹp. Gia tốc địa phơng, nguyên nhân gây ra phản ứng thuỷ động lực v do đó, khối lợng biểu kiến, cũng bị giảm đi. Nói cách khác, ta có thể kỳ vọng 0 L không nhớt l giới hạn trên của L . Bây giờ ta hãy so sánh số hạng quán tính với số hạng tổn thất ma sát trong phơng trình (1.17): ()( ) () = = = ++ + hAf aLak O hAf Lk O uugf tugL / / / / // 2 1 2 1 22 2 . Thay 0 L trong phơng trình (1.26) cho L , ta thấy tỉ số trên chỉ quan trọng đối với các sóng tơng đối ngắn. Khi tỉ lệ diện tích 0 SS / tăng, )/(ln~/ 0 2 SSaL v 2 0 )/(~ SSf , do đó tỉ số trên giảm đi nhanh chóng theo () ()( ) ()( ) 2 0 0 24 SShAf SSka // //ln/ . (1.29) Nh vậy, đối với các lỗ hoặc khe nhỏ sự mất mát do ma sát chiếm u thế đối với các biên độ sóng nhỏ. Lấy một thí dụ bằng số, giả thiết rằng 1 =A m, 10=h m, 102 = = /T s, 21/ )/(ghk = m060 /,= v 1=c . Đối với đê chắn sóng dạng lới lỗ của bể chứa dầu ở Bắc Hải thì 2 0 SS / với đờng kính lỗ gần bằng 1m. Ta có thể lấy ớc lợng 1 =a m v 50,=b m l các độ rộng tơng ứng của kênh v lỗ. Đối với đê chắn sóng Osaka, các giá trị xấp xỉ l 1 =a m, 25=b mm v 40 0 =SS / . Độ di của lỗ đợc tính theo phơng trình (1.26) v tỉ số đợc tính theo phơng trình (1.29) (xem bảng 1.1). Nhận thấy rằng đối với các sóng gió thì rất nhỏ v nó còn giảm đi đối với các sóng có biên độ lớn hơn hoặc sóng di hơn, hoặc cả hai. Do vậy trong tính toán thực tế thờng có rất nhiều các trờng hợp trong đó đại lợng quán tính bị bỏ qua. Bảng 1.1 Tỉ số theo phơng trình (1.29) a (m) b (m) a b hoặc S S 0 a L 2 f h fA 2 1 1 0,5 0,5 0,22 1 00,5 0,1332 1 0,025 0,025 2,32 1,521 76 0,0018 164 Bi tập 1.1: Sử dụng phơng pháp đồ thị v tiệm cận ghé p để kiểm chứng phơng trình (1.26). 6.1.4 Phép tuyến tính hoá tơng đơng Số hạng ma sát bình phơng trong phơng trình (1.17) lm cho ton bộ bi toán trở nên phi tuyến v đầu vo l một sóng đơn điều ho sẽ gây ra phản ứng gồm nhiều hi điều ho. Nếu nh phản ứng l sự ngự trị bởi hi thứ nhất ở đầu vo, thì dần sau ny chúng ta sẽ thấy, có thể áp dụng cái gọi l phép tuyến tính hoá tơng đơng. Giả sử số hạng ma sát đợc biểu diễn dới một dạng tuyến tính uc e , tức l uc e = + , (1.30) ở đây e c chỉ hệ số ma sát tơng đơng. Ta sẽ chọn e c lm sao để sai số bình phơng trung bình ucuu g f e e = 2 (1.31) cực tiểu. Lấy trung bình qua một chu kỳ, bình phơng trung bình sẽ bằng 222 2 2 2 ucuuc g f uu g f e ee + = . (1.32) Cực tiểu xuất hiện khi 0 2 = e ce / , phơng trình ny cho phép xác định e c tốt nhất 2 2 2 u uu g f c e = . (1.33) Hệ số ma sát tơng đơng bây giờ phụ thuộc vo u v l cha biết khi nghiệm cha đợc giải ra. Cách khác, phơng trình (1.33) có thể thu đợc bằng cách yêu cầu rằng lực ma sát phi tuyến v ma sát tuyến tính tơng đơng cùng cho cùng một tổn thất năng lợng trong một chu kỳ. Xấp xỉ u bằng một hi đơn, tức () () +=+ tUeUeUu titi cos * 000 2 1 , (1.34) với l pha của 0 U , tức = i eUU 00 , ta có 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 0 2 2 1 2 1 2 UdUtUdtu = =+ = cos)(cos / ____ = = 2 0 3 0 3 0 22 3 4 2 1 UUduu coscos ______ . Suy ra 0 3 8 2 U g f c e = (1.35) phụ thuộc vo biên độ chuyển động. 6.1.5 Nghiệm xấp xỉ v nghiệm chính xác Trớc tiên ta rút ra nghiệm xấp xỉ bằng sử dụng phơng trình (1.30) thay cho phơng trình (1.17). Nghiệm có thể đợc viết dới dạng sau: [ ] [] , , ikxikxti ikxikxti eReAe gk u eReAe + + = += 0<x (1.36) , , ikxti ikxti ATe gk u ATe + + + + = = 0>x . (1.37) Sử dụng tính liên tục của vận tốc (1.8), ta đợc 21 00 / ))(/( ghhA U A U gk T = , (1.38) A U gk TR 0 11 == . (1.39) 165 á p dụng điều kiện tổn thất cột nớc (1.30), ta có 0 2 U gk c A e += v nếu tính tới phơng trình (1.35) sẽ trở thnh 000 3 2 UU g f U gk A + = . (1.40) Các pha của 0 U v 0 A bằng nhau v có thể lấy bằng không, nghĩa l . 00 UU = Phơng trình (1.40) l phơng trình bậc hai đối với 0 U v có thể giải ra: + == 121 21 2121 0 / // )( )()( gh h A Tgh h A U (1.41) với )/)(/( hfA= 34 (Hayashi v nnk., 1966). Với các sóng biên độ nhỏ hay với khe mở rộng, nhỏ hơn rất nhiều so với đơn vị. Khai triển Taylor của vế phải phơng trình (1.41) cho ta [] )()( / 2 2 1 21 0 1 += Ogh h A U . Nh vậy h fA gh h A g f c e 3 4 2 1 1 3 8 2 21/ )( , (1.42) 2 1 2 1 1 RT ),( . Đối với các khe mở hẹp, 1 0 <<SS / , thì f lớn theo phơng trình (1.14); phơng trình (1.41) có thể đợc xấp xỉ đối với giá trị lớn bằng 21 0 21 21 21 21 0 2 3 2 32 / / / / / )()( gA S cS gA f gh h A U = = . (1.43) Hình 1.2 So sánh giữa lý thuyết (đờng liền nét), các phơng trình (1.14) v (1.41), với các thực nghiệm của Hayashi et al. (1966). Các thí nghiệm đợc thực hiện với nhiều giá trị ab / : : 0,055; : 0,075; : 0,091; : 0,141; : 0,182. a) T ; b) R (Ozsoy, 1977) Giới hạn ở trên có thể đợc suy diễn một cách trực tiếp hơn nh dới đây. Bằng việc giả định rằng sự phản xạ gần nh ton phần v sẽ có một sóng đứng với biên độ A2 ở phía 0<x . Sự chênh lệch cực đại của mặt tự do ở hai phía bằng A2, nó tạo 166 nên tốc độ chảy 21 2 / )( gA qua lỗ nhỏ theo định luật Torricelli. Tốc độ thoát nớc, đợc xác định bằng cách lấy trung bình trên tổng diện tích của S , khi đó bằng SSgAU /)( / 0 21 0 2= , điều ny ứng với 21 32 / )/( =c =0,65 trong phơng trình (1.43), khoảng lý thuyết của c l 160 << c, . Cuối cùng, hệ số truyền qua tơng ứng l: S cS A h fA h T 0 21 21 21 2 3 2 32 / / / = = . (1.44) Các hệ số phân tán T v R đợc vẽ trên các hình 1.2a v 1.2b. Ozsoy (1977) đã so sánh các thực nghiệm của Hayashi (1966) với lý thuyết trong phần ny cho trờng hợp đê chắn sóng có ống xếp xít nhau. Với f cho theo phơng trình (1.14), Ozsoy đã thấy rằng sự phù hợp của các hệ số phản xạ v truyền qua l khá tốt (xem hình 1.2a v 1.2b). Ozsoy cũng đã thực hiện các thí nghiệm đối với các khe đứng trong một vật chắn mỏng ( =ab / 0,052, 0,103, 0,162, 0,441 v bd 2/ 0,133 trong đó =d độ dầy, =b2 độ rộng khe, v =a2 0,87 m). Hệ số thực nghiệm f có sự phân tán khá lớn đối với một giá trị cố định của ab / (hình 1.3) đã gợi ý cho ta rằng các tham số khác, thí dụ nh số Strouhal có thể l rất quan trọng. Bạn đọc có thể xem thêm những thông tin đáng quan tâm trong ti liệu của Ozsoy. Bi toán hiện tại với điều kiện biên phi tuyến (1.17) v không có thnh phần )/()/( tugL đã đợc Mei, Liu v Ippen (1974) giải một cách chính xác. Ta sẽ diễn giải ở đây để chỉ ra rằng mặc dù các dao động điều ho bậc lẻ cao hơn tồn tại, dao động điều ho cơ sở vẫn chiếm u thế trong thực tiễn v phơng pháp xấp xỉ tuyến tính tơng đơng l hon ton chính xác. Do điều kiện biên phi tuyến, ta biểu diễn nghiệm: + += )( tkxim mI eA 2 1 , (1.45) + = )( tkxim mI eA gk uu 2 , 0<x , (1.46) + = )( tkxim m eB 2 1 , (1.47) + = )( tkxim m eB gk u 2 , 0>x . (1.48) Bằng cách trung bình hoá theo thời gian các điều kiện mô tả, có thể chứng minh rằng sẽ bằng không nếu u đợc giả thiết bằng không tại một đầu. Nh vậy, không có hi bậc không trong các chuỗi ở trên. Đối với mỗi hi ta đòi hỏi phải có: ** , mmmm BBAA == , (1.49) vì vậy tất cả các đại lợng vật lý l thực. Bằng việc ghép vận tốc tuân theo phơng trình (1.8), suy ra . , 1 1 11 =+= = mAAB mAB mm (1.50) Vì )( + = = + = uu gk eA gk uu gk eA gk u gk I tim mII tim mI 2 2 2 2 tại = 0x v ++ = u gk tại += 0x , từ phơng trình (1.17) suy ra với 0=L thì tAu gk u gk uu g f I 222 2 = = + +++ cos . 167 Hình 1.3 Hệ số ma sát nh l hm của ab / (theo Ozsoy, 1977) Rõ rng + u v I u l cùng dấu, nghĩa l + u v ),( tu I 0 l luôn đồng pha. Khi đó phơng trình trên cho 2 2 2 2 tAu gk u g f = + ++ cos . (1.51) Theo biến không thứ nguyên W đợc định nghĩa l )()(),( / tWgh h A W gk Atu 21 0 = = + , (1.52) nghiệm của phơng trình (1.51) bằng + = 121 21 / )cos( t W , (1.53) trong đó == 8 3 2 h fA . (1.54) Khi W đợc biểu diễn bằng một chuỗi Fourier = tim m eTW 2 1 (1.55) thì hệ số Fourier phải bằng = 2 0 2 1 2 )()sgn(cos Wed T im m . Các kết quả l 6 4 2 0 ,,,, == mT m , các số chẵn (1.56) 5 3 1 12 23 2 1 ,,,, )( )( /)( = = + m M m T m m m , các số lẻ (1.57) trong đó += 2 0 21 21 / / )cos(cos)( mdM m (1.58) có thể đợc biểu diễn dới dạng các tích phân elliptic nhng dễ dng lấy đợc tích phân bằng phơng pháp số. Kết hợp các phơng trình (1.46), (1.50), (1.52) v (1.55), ta đợc mm ATB = , (1.59) do đó m T l hệ số truyền qua của hi thứ m . Hệ số phản xạ của hi thứ m bằng mm TRTR == 1 11 , , (1.60) với mm ARA = . Bảng 1.2 cho thấy các hi thứ nhất v thứ ba đợc tính theo lý thuyết chính xác v hi thứ nhất bằng phép xấp xỉ tuyến tính hoá tơng đơng cho .51 < < Sự nhỏ bé của hi thứ ba v sự hiệu quả của lý thuyết xấp xỉ l thực tế. [...]... tơng tự nh các phơng trình (7 . 1) v (7 . 7), trong chơng 5, ngoại trừ đối với nhân tố i / g Thế các phơng trình (2 .12 ) v (2 .13 ) vo phơng trình (2 .11 ), ta đợc a f 8 f 8 2 i a M ( y y ) U ( y) d y 2 A = ceU ( y) = 2 g 3 U U = 2 g 3 U e (2 . 16 ) M ( y ý ' ) = G H (0 , y y ' ) G0 (0 , y y ' ) (2 .17 ) Phơng trình (2 . 16 ) l một tích phân phi tuyến có thể đợc giải bằng số cho U ( y ) Do việc không xác định chắc... wave groups in a random wave field J Geophys Res 83: 411 7- 412 2 Momoi T Tsunami in the vicinity of a wave origin (I-IV Bull Earthquake Res Inst Univ Tokyo I: (1 964 a) 42: 13 3 -1 4 6; II: (1 964 b) 42: 36 9-3 81; III: (1 96 5) 43: 5 3-9 3; IV: (1 965 b) 43: 75 5-7 72 Monin A S and A M Yaglom (1 9 7 1) Statistical Fluid Mechanics M.I.T Press, Cambridge, 769 pp Moore D (1 97 0) The mass transport velocity induced by the free oscillation... + ln 16 3 (A .11 ) Tóm lại tích phân trong phơng trình (A . 1) bằng 1 4a 2 a i i M (y y ') dydy' g 2 + F I + O(k 2 a 2 ln ka) (A .12 ) a theo Collin (1 960 , tr 57 9) có thể thấy rằng 1 3 1 cos nz z 2 = ln z z 2 + O ( z 4 ) + 3 , 3 2 4 n 1 n Do đó 1 (2 ) 2 3 ln 2 (2 ) 2 + O () 4 2 4 2 2 1 3 = ln 2 1 + O( 2 ) 2 Ti liệu tham khảo F'= [ = Abbot M B (1 97 9) Computational Hydraulics,... 28: 889902 Miles J W (1 97 9) On the Korteweg - deVries equation for a gradually varying channel J Fluid Mech 91: 18 1 -1 9 0 Miles J W (1 98 0) Solitary waves Annual Rev Fluid Mech 12 : 11 -4 4 Miles J W and Y K Lee (1 97 5) Helraholtz resonance of harbors J Fluid Mech 67 : 44 5-4 64 Miles J W and W Munk (1 9 6 1) Harbor paradox J Waterways Harbors Div Proc ASCE 87: 11 1 -1 3 0 Miline-Thomson M N (1 96 7) Theoretical Hydrodynamics,... l 16 / (ka) 2 O (1 ) v hệ số suy giảm đợc tính toán ( 0, 0 ) với hi cộng hởng bậc thấp nhất hay đối với cửa vo hẹp Từ phơng trình (2 . 2 1) giá trị của W = f S U / a cũng lớn v có thể ~ ~ f =0 3 = 10 4 = 10 5 2 = 10 ~ Bảng 2 .1 cho thấy giá trị của 16 /(k a) 2 có thể rất lớn đối 2 = 10 6. 2.5 Suy giảm lớn do ma sát (2 , 0) , (0 , 1) 2 0,825 ì 10 B 2 = 10 16 ~ 2 (k a) (1 , 0) 0,55 ~ 2a k B = 10 ... 2 .1 đối với các giá trị (4 ) 1 / 2 W Chú ý rằng theo định luật Torricelli cơ sở vận tốc U tỉ lệ thuận với (2 gA) 1 / 2 Lu lợng tơng ứng trên một đơn vị độ sâu qua cửa k 11 L = 51 / 2 đợc xấp xỉ theo các bậc đại lợng dẫn đầu l 1/ 2 3 = 10 4 = 10 5 2 4, 71 ì 10 2 9,42 ì 10 (1 , 1) 5 2 10 ,53 ì 10 2350 72 ,1 18,0 14 ,43 23,5 0,7 21 0 ,18 1, 44 23,5 2,35 0,7 21 0,07 21 0 ,18 0, 018 0,04 0,209 2 0,373 0 ,14 4 0, 014 4... bằng (2 . 4 1) Vì = 0 (2 .4 2) rút ra từ phơng trình (2 .2 0) v W có thể đợc giải ra từ phơng trình (2 . 2 1) : ~ phơng trình (2 .3 7) sẽ đợc định rõ bằng k mn Vì F v I không phụ thuộc vo f nên các vị trí của những đỉnh cộng hởng D 1 hay W= fSU a = 1 1 + 16 (ka) 2 2 1/ 2 , (2 .4 3) ~ k = k mn trong đó = 2 fA / 3h (phơng trình (2 .2 2)) Lu ý rằng điều kiện nguyên bản (2 .3 5) có nghĩa l 16 O ( 1) (ka) 2 (2 .4 4). ..Bảng 1. 2 Các hệ số truyền qua l hm của = fA / 2h, Tm : hi thứ m T1 T3 Chính xác 0,0 0 ,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0 ,6 0,7 0,8 0,9 1, 0 2,0 3,0 4,0 5,0 Xấp xỉ Chính xác 1 0, 96 01 0,92 71 0,8978 0,8 719 0,84 86 0,82 76 0,8084 0,7907 0,7744 0,7593 0 ,64 98 0,5 813 0,53 26 0,4954 1 0, 960 8 0,9290 0,8975 0,8 712 0,84 76 0,8 262 0,8 067 0,7888 0,7722 0,7 569 0 ,64 59 0,5 766 0,5275 0,4902 0 -0 ,0052 -0 , 012 0 -0 , 0 16 9 -0 ,0207 -0 ,0238 -0 ,0 264 ... 52 9-5 54 Brevik I and B Aas (1 98 0) Flume experiments on waves and currents, I Rippled bed Coastal Eng 3: 14 9 -1 7 7 Bryant P J (1 97 6) Periodic waves in shallow water J Fluid Mech 59: 62 564 4 Boussinesq J (1 87 7) Essai sur la théorie des eaux courantes Mém Pres Acad Sci Paris (Ser 2) 23: 1- 68 0 Buchwald V T (1 9 7 1) The diffraction of tides by a narrow channel J Fluid Mech 46: 5 0 1- 51 1 Boussinesq J (1 87 8) Complement... Res 83: 19 13 -1 9 20 Byatt-Smith J G B and M S Longuet-Higgins (1 97 6) On the speed and profile of steep solitary waves Proc R Soc Lond A 350: 17 5 -1 8 9 Bowen A J and D L Inman (1 96 9) Rip currents II Laboratory and field observations J Geophys Res 74: 547 9-5 490 Carrier G F (1 96 6) Gravity waves on water of variable depth J Fluid Mech 24: 6 4 1- 65 9 Bowen A I., D L Inman and V P Simrnons (1 96 8) Wave set-down and . Phơng trình (1 .4 0) l phơng trình bậc hai đối với 0 U v có thể giải ra: + == 12 1 21 212 1 0 / // )( )( ) ( gh h A Tgh h A U (1 . 4 1) với )/ )( / ( hfA= 34 (Hayashi v nnk., 19 6 6). Với các sóng biên. 0 ,64 59 0,5 766 0,5275 0,4902 0 -0 ,0052 -0 , 012 0 -0 , 0 16 9 -0 ,0207 -0 ,0238 -0 ,0 264 -0 ,0285 -0 ,0304 -0 ,0 319 -0 ,0332 -0 ,0400 -0 ,0 418 -0 ,04 21 -0 ,0 418 Bi tập 1. 2 Xét một đê chắn sóng. 2 2 tAu gk u g f = + ++ cos . (1 . 5 1) Theo biến không thứ nguyên W đợc định nghĩa l )( ) () ,( / tWgh h A W gk Atu 21 0 = = + , (1 .5 2) nghiệm của phơng trình (1 . 5 1) bằng + = 12 1 21 / )cos( t W , (1 .5 3) trong