Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 4 potx

70 Nhằm mục đích tính toán với các trờng hợp thực tế: biến thiên độ sâu v dòng chảy l tuỳ ý, Booij (1981) đã sử dụng lý thuyết Lagrange để khái quát hoá phơng trình (5.7). Cả khúc xạ v tán xạ đều đợc đa vo. Song, việc tính toán thực tế có thể khá tốn kém v nên tiến hnh xấp xỉ hoá tiếp. Chơng 4 - Sóng di biên độ nhỏ vô hạn trên nền đáy biến đổi đáng kể Khi sóng lan truyền vo vùng có độ sâu biến t hiên đáng kể trong khoảng bớc sóng, hiện tợng phân tán xuất tiện, trong đó sự phản xạ trở thể hiện rõ. Lý thuyết tia đơn bỏ qua sự phản xạ sẽ không phù hợp nữa. Trớc khi bn luận về sự phân tán các sóng tản mát, ta khảo sát các bi toán tơng tự đối với các sóng di trên vùng nớc nông trờng hợp quá trình phân tán đợc xem l không quan trọng. Để đơn giản về phơng diện toán học, ta chủ yếu đề cập tới trờng hợp độ sâu biến đổi không liên tục. Một hiện tợng thú vị khi xét độ sâu biến đổi l hiện tợng bẫy sóng, tức các sóng bị giữ lại ở một vùng no đó của biển. Chủ đề ny đã thảo luận đối với các sóng ngắn ở chơng 3. Các bi toán về bẫy sóng di ở những bãi biển thoải, những vùng thềm lục địa v các dãy núi ngầm đại dơng sẽ đợc xét ở đây bằng một số mô hình đơn giản nh l miền hình chữ nhật v độ nghiêng bãi đồng nhất, v.v Ngoi ra, ở đây cũng sẽ nghiên cứu một số khía cạnh về ma trận phân tán. Vì chỉ có thể giải đợc bằng giải tích theo phơng pháp đại số cho một số ít ỏi trờng hợp biến thiên độ sâu liên tục, nên các phơng pháp gần đúng, hay phơng pháp số, sẽ rất cần thiết v sẽ đợc xem xét ở cuối của chơng ny. 4.1 Xây dựng lý thuyết sóng di tuyến tính hoá 4.1.1 Các phơng trình mô tả Trong mục 1.4 ta đã thấy rằng, với các sóng nhỏ vô hạn trên nền sâu không đổi, thì chuyển động của nớc trong sóng di chủ yếu diễn ra trong phơng ngang, tức sự biến đổi trong thẳng đứng yếu v áp suất l thuỷ tĩnh. Nhận xét ny đã đợc k hẳng định lại trong mục 3.6 khi rút ra các phơng trình phi tuyến cho các dòng chảy qui mô lớn, tức chính l các sóng di biên độ hữu hạn. Vậy chuyển động sóng di l chuyển động gần đúng hai chiều. Tuyến tính hoá các phơng trình (6 .11) v (6.12), chơng 3, đối với các sóng biên độ nhỏ vô hạn 1<< h (1.1) v đổi các ký hiệu từ U thnh u , từ thnh , ta có phơng trình bảo ton khối lợng 0 =+ )( uh t , (1.2) v phơng trình bảo ton động lợng = g t u . (1.3) áp suất tổng l áp suất thuỷ tĩnh )( zgP = . (1.4) Loại u từ phơng trình (1.2) v phơng trình (1.3), ta đợc 71 2 2 t hg = )( . (1.5) Đây l một phơng trình đạo hm riêng dạng hyperbolic với các hệ số biến đổi. Nếu các sóng có dạng sin theo thời gian với tần số góc , ta có thể tách riêng các phần phụ thuộc không gian v thời gian thnh ti eyx = ),( , ti eyxtyx ),(),,( uu . (1.6) Từ các phơng trình ( 1.2) v (1.3), các nhân tố không gian liên quan với )( uhi = , (1.7) = ig u (1.8) v 0 2 = + g h )( . (1.9) Với độ sâu không đổi ( const=h ), phơng trình (1.5) trở thnh phơng trình sóng cổ điển: 2 2 2 1 t gh = , (1.10) trong khi phơng trình (1.9) trở thnh phơng trình Helmholtz: 21 22 0 / )( , gh kk ==+ . (1.11) Nếu biên bên l tờng thẳng đứng, thì điều kiện biên phải l dòng năng lợng pháp tuyến bằng không. Từ phơng trình (1.8) rút ra 0 = n hoặc 0 = n , (1.12) có nghĩa rằng độ cao mặt tự do có thể l cực đại hoặc cực tiểu. Nếu biên l một bãi biển nghiêng tơng đối v nếu sóng không quá dốc đến mức có thể đổ (xem mục 10.5), thì phơng trình (1.12) có thể biến đổi thnh 0 0 = nuh h lim hoặc 0 0 = n h h lim . (1.13) Mặt khác, điều kiện biên dọc theo đê chắn sóng lởm chởm hoặc dọc theo một bã i biển thoải có sóng đổ thì khó có thể xác định, vì sự tiêu tán năng lợng trên các biên ny l một quá trình phi tuyến khó mô tả bằng toán học. Cuối cùng, phải xác định một điều kiện biên thích hợp tại vô cực. Để diễn đạt luận chứng luận lý trên, ta tiến hnh dẫn lập các phơng trình (1.1) v (1.4) một cách chí nh thức hơn, bằng cách vận dụng lý thuyết tuyến tính hoá tổng quát cho trờng hợp sóng di. Những lập luận ở đây thuân theo Friedrichs (1948) đối với các sóng di phi tuyến v một phần nh trong mục 3.1. Ta sẽ quy chuẩn tất cả các biến theo các qui mô đã biết trớc dựa trên các căn cứ vật lý: [] ,)(,,)( ,,),,(),( // = = = = = = 21 0 00 21 0 00 1 gh h A kA tghkt h h h h z zyxkyx (1.14) trong đó kgh 21 0 / )(~ . Việc quy chuẩn đối với t v tuân theo phơng trình (2.2), chơng 1. Các phơng trình phi thứ nguyên quả sẽ đúng nh các phơng trình (1.3)(1.5) ở chơng 3, nếu ta thay tất cả các dấu gạch trên bằng dấu '. Để cho ngắn gọn, từ đây trở đi ta sẽ bỏ các dấu phảy trên trong các phơng trình. 72 Giả sử ta có chuỗi +++= 4 4 2 2 0 (1.15) Tại bậc )( 0 ta có 0 0 2 0 2 <<= zh z , , (1.16) hz z == 0 0 0 ,, , (1.17) sao cho ),,( tyx 00 = . Tại bậc )( 2 ta có 0 0 2 2 2 2 <<= zh z , , (1.18) 0 2 0 2 2 = = z t z , , (1.19) hzh z == 0 2 , , (1.20) áp dụng công thức Green (phơn g trình 4.11, chơng 2) với 0 v 2 sẽ cho điều kiện khả giải với 2 2 0 2 0 t h = )( . (1.21) Nếu các biến tự nhiên đợc k hôi phục v phơng trình Bernoulli tuyến tính hoá t g = đợc sử dụng, thì phơng trình (1.21) dẫn đến phơng trình (1.5). 4.1.2 Các sóng tựa một chiều trong kênh di tiết diện ngang biến thiên chậm Đối với một kênh di, tiết diện ngang hình chữ nhật, chiều rộng kênh nhỏ hơn nhiều so với quy mô di phơng dọc, thì biến thiên theo phơng ngang nhỏ hơn nhiều so với biến thiên theo chiều dọc. Xét theo kinh nghiệm ta thấy điều ny l đúng, vì các điều kiện biên dòng pháp tuyến bằng không tại các bờ của kênh hẹp có nghĩa rằng sự biến đổi phơng ngang của có thể bỏ qua ở mọi nơi. Chuyển động có thể mô tả bằng phơng trình một chiều; cách thiết lập luận lý sẽ trình by dới đây. Giả sử x l trục dọc v y l trục ngang, )(xb l độ rộng v ),( yxh l độ sâu. Giả sử )(xay 1 = v )(xa 2 l các bờ, khi đó , 12 aab = diện tích = 2 1 a a hdyA . (1.22) Tích phân phơng trình liên tục (1.2) từ bờ ny đến bờ kia v lợi dụng công thức Leibniz, ta có 0 2 1 2 1 2 1 = + + = = ay ay a a a a x a uvhyduh x yd t . Các số hạng tích phân triệt tiêu dọc theo cả hai bờ, do đó 0 1 = + x Au bt . (1.23) Khi bỏ qua những biến thiên phơng ngang của v u , thì phơng trình động lợng dạng gần đúng sẽ l x g t u = . (1.24) Kết hợp các phơng trì nh (1.23) v (1.24), ta có 0 2 2 = t g b x A x . (1.25) Với các sóng dạng sin ti e = , phơng trình mô tả sẽ l 0 2 = + g b x A x ; (1.26) đây l một kiểu phơng trình lo ại SturmLiouville quen biết. Phải nhấn mạnh rằng từ giờ trở đi bớc sóng v kích thớc dọc của kênh đợc xem nh cùng bậc. 73 Bi tập 1.1: Sử dụng phơng pháp Friedrich để rút ra phơng trình (1.25) bằng phép phân tích nhiễu. 4.1.3 Nhận xét thêm về điều kiện phát xạ Theo mục 2.4, với các bi toán sóng dạng sin ổn định, thì phải đặt điều kiện biên phát xạ: các sóng gây bởi những nhiễu địa phơng đợc lan ra ngoi. Một cách tiếp cận tơng đơng khác: đó l xuất phát từ bi toán giá trị ban đầu v xem trạng thái ổn định l trạng thái giới hạn khi t . Một cách lựa chọn khác: đó l duy trì theo cách dẫn lập với trạng thái ổn định, nhng yêu cầu một sự tiêu giảm nho nhỏ, sự tiêu giảm ny có thể l thực hay l nhân tạo, v sau đó đòi hỏi nghiệm điều ho đơn phải triệt tiêu ở vô cùng. Khi sự tiêu giảm đợc phép giảm đi ở cuối, thì kết quả cuối cùng sẽ thoả mãn điều kiện phát xạ. Tính nhân tạo của tiêu giảm nhân tạo l ý tởng của Rayleigh. Trong nớc nông, ngời ta có thể tởng tợng ma sát đáy l nguồn tiêu giảm tự nhiên. Giả sử lực ma sát đợc diễn tả bằng u 2 , một hệ số dơng giá trị bé. Phơng trình động lợng sẽ nh sau u u 2 = g t , (1.27) phơng trì nh ny có thể kết hợp với phơng trình liên tục (1.2) cho 2 2 2 t t hg = , (1.28) Đối với chuyển động điều ho đơn, phơng trình (1.28) trở thnh 02 2 =++ )( ihg , (1.29) hay có thể viết lại thnh 0 2 =++ )( ihg (1.30) với nhỏ. Điều kiện biên tại vô cùng l phải có hạn. Vậy trạng thái ổn định cuối cùng sẽ l giới hạn của nghiệm tại 0 . Thay vì cách tiếp cận vật lý hoặc giả vật lý về đa ra sự tiêu giảm, con đờng toán học tơng đơng l phát biểu rằng thoả mãn 0 2 = + hg , (1.31) ở đây l số phức với phần ảo nhỏ, dơng. Để thấy ý nghĩa của tiêu giảm hay số phức , ta xét quá trình phân tán một chiều gần một vật cản. Trong các vùng độ sâu h không đổi, sóng phân tán bằng xki e hoặc xki e ở đây 21 / )( += hgikk , (1.32) 21 / )( = hgk . Muốn nghiệm giới hạn khi x , phải loại bỏ xki e . Trong giới hạn của 0 , nhiễu trở thnh S xik e , xk . (1.33) điều ny có nghĩa l các sóng đi ra. Nh vậy giá trị phức chỉ điều kiện phát xạ. Dễ dng kiểm tra đợc rằng điều kiện phát xạ có thể diễn tả nh sau 0 xkki x S , . (1.34) Trong sự phân tán hai chiều gây ra do các vật cản, nghiệm trong vùng biển độ sâu không đổi có thể xây dựng bằng tổng của các số hạng dới đây: )( )( )( )( rkH rkH n n 2 1 n n cos sin . Do biến thiên bất đối xứng của các hm Hankel 74 )( )( )( )( rkH rkH n n 2 1 24 2 21 n rki rk exp / , (1.35) )(2 n H phải đợc loại bỏ khi k phức với phần thực dơng. Tại giới hạn 0 , nghiệm tổng quát của các sóng phân tán có thể viết nh sau: )()sincos( )( krHnn nn n n S 1 0 += = . (1.36) Với S kr >> 1, biến thiên nh [] + 4 21 2 2 / / / )sincos(( iikrin nn S e kr enn 4 21 2 / / )( iikr e kr A , (1.37) đây lại l m ột sóng đi ra. Vì vậy, phơng trình (1.37) l điều kiện phát xạ cho sự phân tán hai chiều gây bởi các vật cản hữu hạn. Một cách khác, điều kiện ny có thể biểu diễn tả bằng 1 0 21 >> rkki r rk S ,)( / . (1.38) Ta phải nhấn mạnh ngay rằng phơng trìn h (1.38) mạnh hơn nhiều so với yêu cầu 0 S tại vô cùng. Những nhận xét trên đây gợi ra một thủ tục quy tắc giản để xây dựn g các nghiệm biến thiên thời gian từ các nghiệm điều ho đơn. Nếu nhiễu bắt đầu sinh ra tại một thời điểm hữu hạn, thì 0 khi t . Với quá trình tiêu giảm, ta cũng kỳ vọng rằng 0 khi +t . Vậy có thể vận dụng phép biến đổi Fourier dtet ti = 2 1 ),(x . (1.39) Biến đổi của phơng trình (1.28) chính l phơng trình (1 .29) v bi toán giá trị biên đúng l bi toán về nhiễu điều ho tiêu giảm ),( x . Do đó, nhiễu biến thiên có thể nhận đợc bằng phép biến đổi ngợc: = det ti ),(),( xx , (1.40) đây l tổng cộng tuyến tính của các nghiệm điều ho đơn bị tiêu giảm. Vì + = i , phơng trình (1.40) có thể viết lại thnh = = deet tit ),(),( xx = + + dee ti i i t ),(x . (1.41) Nghiệm không nhớt đơn giản l giới hạn của 0 , nếu quan niệm rằng tích phân Fourier trong phơng trình (1.41) thực hiện dọc theo một đờng ở bên trên một chút so với trục thực x trong mặt phẳng phức . Bây giờ vì mục đích cuối cùng đã đạt đợc, ta có thể quên đi tính nhân tạo của sự tiêu giảm v đơn giản nói rằng ) x, t( l tích phân Fourier của nghiệm điều ho đơn thoả mãn điều kiện phát xạ = det ti ),(),( xx , (1.42) trong đó đờ ng lấy tích phân phải ở phía trên trục thực một chút. Các ý tởng trong phụ mục ny có thể khái quát hoá c ho trờng hợp ba chiều với kh tuỳ ý. 4.2 Độ sâu gián đoạn sóng tới vuông góc 4.2.1. Nghiệm Xét đại dơng đơn giản độ sâu biến thiên gián đoạn: tại 0=x , 1 hh = tại 0<x v 2 hh = tại 0>x , 21 hh , các hằng số. Hai 75 sóng tới tần số đến từ x ~ . Từ mỗi chuỗi sóng đó, có một phần năng lợng đợc truyền qua chỗ gián đoạn độ sâu v một phần bị phản xạ trở lại, tạo thnh các sóng phân tán truyền ra xa từ chỗ gián đoạn ny. Vấn đề l phải tìm các sóng truyền qua v các sóng phản xạ. Sóng trên hai phía của 0=x thoả mãn 0 = + )(hu xt (2.1) v 0 = + x g t u , (2.2) trong đó ),( 21 = , ),( 21 uuu = , v ),( 21 hhh = tuần tự tại 0<x v 0>x . Bây giờ ta phải tìm các điều kiện tơng hợp tại 0=x . Để lập luận chu đáo hơn, bây giờ ta giả sử các phơng trình (2.1) v (2.2) l đúng ngay cả khi qua điểm gián đoạn độ sâu v có thể tích phân đợc theo x từ = 0x đến += 0x . Vì khoảng lấy tích phân l vô cùng bé v t / v tu / l hữu hạn, nên các số hạng đầu của các phơng trình (2.1) v (2.2) không đóng góp vo kết quả, do đó + = 0 0 2211 xx uhuh ,limlim (2.3) + = 0 0 21 , lim lim xx (2.4) Những điều kiện ny (Lamb, 1932) liên hệ v dòng uh qua điểm gián đoạn độ sâu. Đối với chuyển động điều ho đơn, ta sử dụng phơng trì nh (1.9) sao cho các thừa số không gian thoả mãn phơng trình ,,, 2 1 0 2 2 2 ==+ mk xd d mm m (2.5) với 21 / )( m m gh k = . (2.6) Thừa số không gian của vận tốc đợc cho bằng xd d gi u m m = . (2.7) Các điều kiện tơng hợp tại điểm nối l 21 = , (2.8a) x h x h 2 2 1 1 = . (2.8b) Để kết thúc việc thiết lập công thức, ta phải bổ sung thêm điều k iện phát xạ: nhiễu gây ra bởi sóng tới chỉ có thể đi ra ngoi. Vậy nếu chỉ có một sóng tới từ phía trái (hoặc từ phía phải), thì các sóng ở phía phải (trái) phải l sóng chỉ chạy sang phải (hoặc sang trái). Một cách tổng quát hơn, ta giả sử rằng có các sóng tới đến từ cả hai phía của vô cùng xki eA 1 v xki eB 2 + . Nghiệm tổng quát sẽ có dạng sau: xikxik eBeA 11 1 += với 0<x (2.9) v xkixki eAeB 2 11 + + += với 0>x . (2.10) Các biên độ của những sóng tới A v + B l biết trớc v các biên độ của các sóng phân tán + A v B sẽ phải tìm thấy. áp dụng các điều kiện xứng hợp (2.8a) v (2.8b), ta thu đợc ++ +=+ BABA , )()( ++ += ABhkBAhk 2211 từ các biểu thức ny có thể giải ra 2211 222211 2 hkhk BhkAhkhk B + + = + )( , (2.11) 76 2211 221111 2 hkhk BhkhkAhk A + = + + )( . (2.12) Các kết quả có thể viết gọn hơn dới dạng ma trận nh sau {} [] {} IS ASA = (2.13) với {} {} = = + + B A A B A A SI , , (2.14) v [] = = 222211 221111 1 2211 2 2 hkhkhk hkhkhk hkhkS )( )( = 21 21 TR RT . (2.15) Ma trận [] S đợc gọi l ma trận phân tán. Để hiểu ý nghĩa của 121 RTT ,, v 2 R , hãy giả sử sóng chỉ tới từ phía trái, sao cho 0 A v 0= + B . Rõ rng rằng 2211 11 1 2 hkhk hk T A A + == + , (2.16a) 2211 2211 1 hkhk hkhk R A B + == . (2.16a) Nh vậy, 1 T v 1 R có thể đợc định nghĩa tuần tự l hệ số truyền qua v hệ số phản xạ khi sóng tới xuất phát phía 1 hh = . 2 T v 2 R đợc định nghĩa tơng tự cho sóng đến từ phía 2 h . Do 21 / )/( ghhk mmm = , ta có 21 12 21 2 21 1 21 1 1 1 2 2 /// / )/()()( )( hhhh h T + = + = , (2.17a) 21 12 21 12 21 2 21 1 21 2 21 1 1 1 1 / / // // )/( )/( )()( )()( hh hh hh hh R + = + = . (2.17b) Biến thiên của 1 T v 1 R theo tỉ số độ sâu thể hiện trên hình 2.1. Chú ý rằng pha của sóng phản xạ không thay đổi khi sóng tới đến từ phía sâu hơn, nhng nó lệch pha bằng khi sóng tới đến từ phía nông hơn. Việc chứng minh rằng năng lợng do các sóng phân tán (phản xạ v truyền qua) truyền tải bằng năng lợng do sóng tới chuyển tải sẽ ginh cho bạn đọc nh l một bi tập. Đối với vùng thềm rất nông, 1 12 <<hh / , thì = 21 1 2 1 1 2 / h h T 21 1 2 1 21 / = h h R . (2.18) Hình 2.1 Các hệ số truyền qua 1 T v phản xạ 1 R vùng độ sâu gián đoạn, hớng sóng tới vuông góc Hệ số phản xạ 1 1 R , thnh thử tổng các sóng tới v sóng phản xạ trên thực tế lm thnh một sóng đứng với một điểm bụng có biên độ I A 2 tại 0=x . Phải nhận xét rằng các hiệu ứng phi tuyến từ trớc đến giờ bị bỏ qua, ở đây nó có thể trở nên rất quan trọng đối với trờng hợp 2 h đủ nhỏ. Mặc dù biên độ sóng truyền qua tăng lên hai lần so với biên độ sóng tới do giảm độ sâu 2 h , nhng chỉ có một phần năng lợng rất nhỏ xuyên qua đợc vì tốc độ dòng năng lợng l 21 2 2 1 / )(hCT g . Trong trờng hợp đặc 77 biệt, 1 12 >>hh / hệ số phản xạ 1 1 =R , tức hệ thống sóng tổng cộng trong phần 0<x cũng l một sóng đứng nhng với điểm nút tại 0=x . Bi tập 2.1 Xét một thềm có độ sâu 1 h trong vùng 1 xx < nối với đại dơng có độ sâu lớn hơn 2 h trong vùng 2 xx > . Tại vùng chuyển tiếp 21 xxx << , độ sâu đợc cho bằng 2 axh = , với 2 11 axh = , 2 22 axh = v 112 hxx > hoặc 2 h . Giả sử một chuỗi sóng chu kỳ di l sóng tới trực diện từ phía đại dơng. Hãy chứng minh rằng các hệ số phân tán l = 21 / ib T v [] = 212 2 1 2 sh / )/(exp ln gai b iR , trong đó 2 1 21 2 41 x x ga b = = , / , v + = 1 2 b ch 1 2 b sh2 21 2 lnln / ib ga . Vẽ các kết quả v k hảo sát các hiệu ứng của ga/ 2 v (Kajiura, 1961). 4.2.2 Hiệu chỉnh các điều kiện tơng hợp tại điểm nối Mặc dù các điều kiện tơng hợp phơng trình (2.8a) v (2.8b) l hợp lý về mặt linh nghiệm, chúng đã đợc rút ra trên cơ sở các phơng trình (2.1) v (2.2), m các phơng trình ny chỉ có hiệu lực khi các chuyển động thẳng đứng không đáng kể so với chuyển động ngang v khi x / nhỏ. Tuy nhiên, những giả thiết ny sẽ không còn đúng ở lân cận điểm bậc thềm. Vậy lý thuyết của ta ở mục 4.2.1 có còn đúng hay không? Câu hỏi ny l chủ đề bi báo của Bartholomeuz (1958), ông đã xuất phát từ bi toán với kh tuỳ ý v chứng minh chặt chẽ rằng các kết quả của mục trớc l giới hạn tiệm cận chính xác của 0 mm hk . Lập luận của ông rất di v gồm một số phép toán rất phức tạp. Dới đây, chúng tôi sẽ giới thiệu một cách dẫn giải đơn giản hơn thông qua phơng pháp tiệm cận tơng hợp, phơng pháp ny l một phiên bản đầy đủ hơn của phép xấp xỉ lớp biên ở mục 3.3.3 v đã đợc Ogilvie (1960), Tuck (1975) v một số nh khoa học khác sử dụng rất hiệu nghiệm trong nhiều bi toán về sóng di. Trớc tiên, ta chia miền tự nhiên thnh vùng gần v vùng xa theo qui mô ngự trị ở mỗi vùng. Thí dụ, qui mô độ di ở phía sóng tới ở cách xa điểm nối l bớc sóng 1 1 k/ , vậy phơng trình )Re( xkixki eA 1 11 += (2.19) mô tả chính xác các sóng. Vùng ny có bậc đại lợng )( 1 1 k l một vùng xa. Dới mắt của ngời quan sát ở vùng xa thì miền lân cận điểm độ sâu gián đoạn nhỏ đến mức chỉ một số ít các số hạng khai triển Taylor phơng trình (2.19) đã đủ để xấp xỉ mặt tự do ở đó; vậy 0 11 1 2 111 +++= xkxkxkiRRA )(])([ . (2.20) Với một ngời quan sát tơng tự k hác ở phía truyền qua của vùng xa thì sóng đợc mô tả bằng phơng trình xki ATe 2 2 = , (2.21) phơng trình ny có xu thế trở thnh 2 222 1 )()( xkxkiAT ++= (2.22) 78 trong vùng lân cận của gián đoạn độ sâu. Đối với vùng nớc nông, phơng trình Bernoulli cho = ig , do đó 0 11 11 xa 1 ++ xkxikRRA ig ],)()[( , (2.23) 0 1 22 xa 2 + xkxikAT ig ),( . (2.24) Bây giờ miền lân cận điểm gián đoạn cấu thnh một vùng gần có chuyển động hai chiều v kích thớc đặc trng l độ sâu địa phơng h ( 1 h hoặc 2 h ). Phơng trình chuyển động v điều kiện biên tại điểm gián đoạn) l 0 2 2 2 2 = + zx , (2.25) 0 = n . (2.26) Mặc dù điều kiện biên tuyến tính hoá chính xác tại mặt tự do l 0 2 = gz , (2.27) hai số hạng trên đây có tơng quan tỉ lệ l )( )/( / 22 2 2 hk g h z g = = . Do đó điều kiện (2.27) l một xấp xỉ 0 z (2.28) với sai số 2 )(kh . Về vật lý, phơng trình (2.28) ám chỉ rằng ngời quan sát ở vùng gần đã không chú ý đến các sóng kích thớc di v nhìn thấy, tại mọi thời điểm, một dòng chảy đi qua một kênh nối với điểm gián đoạn nh trên hình 2.2. Nghiệm hình thức của bi toán dòng chảy thế đơn giản hoá ny, về nguyên tắc, có thể nhận đợc bằng cách vẽ bản đồ đồng dạng hay những phơng tiện khác. Cho đến giờ, các nghiệm vùng gần v vùng xa chứa các hệ số cha đợc xác định. Bớc tiếp theo của phơng pháp tiệm cận tơng hợp đòi hỏi các nghiệm ny đợc nối trơn trên các vùng trung gian, ở rất gần với điểm nối theo ngòi quan sát ở vùng xa nhng ở rất xa điểm nối theo ngòi quan sát ở vùng gần; nói cách khác 2 1 1 gần xa )( / kh hxkx += >><< . (2.29) Trớc khi thực hiện tơng hợp, ta viết ra biểu thức xấp xỉ vùng xa gần : 1 1 gần h x xUhDUC ,+= (2.30) 22 1 1 h x x h h UhDUC ,++= + đặc biệt chú ý rằng, các hằng số cộng tại x ~ khác nhau một lợng 1 2 hDU ; thực tế, D liên quan đến hằng số cha biết U . Do tính liên tục, tại x bất kỳ ta có ),( hx x h zd x zd x hU hh = = 00 1 , biểu thức ny, sau khi lấy tích phân từ 1 x đến 2 x với 11 hx / v 1 22 >>hx / , sẽ cho += 2 1 2 1 121 0 x x x x h xdhx x h xxhUzd ),()( . (2.31) Vì phơng trình (2.30) áp dụng tại 1 x v 2 x , vế trái của phơng trình (2.31) có thể viết lại 79 )()()( 12121112 xxhUhhhDUhhC +++ , trong khi vế phải của phơng trình (2.31) l ++ xdChx x h hhCxxhU 12121 ]),([)()( . Thế các biểu thức ny vo phơng trình (2.31), ta đợc + = 121 1 hU Chx x h xd hh D ),( . (2.32) Vì C phải có bậc l 1 hU , D l một số phi thứ nguyên có bậc đơn vị v chỉ phụ thuộc vo hình học của vùng gần. Giá trị tờng minh của D có thể thu đợc cho trờng hợp miền gián đoạn độ sâu hình chữ nhật nh ở mục 4.2.3. Hình 2.2 Vùng gần của một thềm gián đoạn độ sâu Giả sử rằng vùng gần v do đó D đợc biết trớc theo C v U , ta đi thực hiện so sánh các phơng trình (2.23) v (2.24) với phơng trình (2.30). Bằng cách cho bằng nhau các hệ số của các số hạng chứa cùng luỹ thừa của x , ta đợc: )( R Aig DhUC + = 1 1 , 1 1 ikR Aig U )( = , T Aig DhUC =+ 1 , 2 2 1 kiT Aig h h U = . Các phơng trình ny có thể giải đối với UTR ,, v C ; các kết quả l: 11 11 21 21 hiDks hiDks R + + = , (2.33) 11 21 2 hiDks s T + = , (2.34) 11 221 21 2 hiDks s hik igA Uh + = (2.35) v 11 11 21 2 hiDks hiDks igA C + = . (2.36) trong đó 22 11 hk hk s . (2.37) Vì D l số thực v có bậc đơn vị (xem phơng trình (2.32)), nó chỉ tác động đến pha của UTR , , v C , nhng có thể đợc bỏ qua do độ lớn của chúng, với sai số bậc 2 )(kh . Kết luận ny phù hợp với Bartholomeuz (1958) v đã đợc Tuck (1976) rút ra theo cách ny. Nh vậy, những đòi hỏi đơn giản của phơng trình (2.8) đã đợc đáp ứng. 4.2.3 Vùng gần trong miền gián đoạn hình chữ nhật Nói chung, vùng gần của phần chuyển tiếp thô phải đợc giải bằng số nh bi toán kinh điển về dòng thế ổn định. Đối với một miền gián đoạn hình chữ nhật, nghiệm có thể nhận đợc bằng phơng pháp giải tích nhờ lý thuyết các hm phức (xem MilneThomson, 1967). Ta đa ra biến phức yj x z += v thế vận tốc phức )(zW với )(Re),( zWyx j = . Chú ý rằng đơn vị ảo đợc ký hiệu bằng j nhằm phân biệt với đơn vị i đợc dùng để chỉ biến thiên thời gian. Mặc dù cả i v j l 21 1 / )( , nhng mỗi [...]... (1 0 . 14 ) cho Y nhỏ, X 1+ i dV () A( X , Y ) 1 + VY + , Y >> 1 (1 0.2 3) 1 / 2 0 ( X )1 / 2 2(K ) với phép xấp xỉ bên của phơng trình (1 0.2 0) cho giá trị lớn Y >> 1, A B + CY , (1 0.2 4) ta đợc B =1 + 1+ i 2(K )1 / 2 X 0 dV () ( X )1 / 2 (1 0.2 5) v C = V1 / 2 X 0 dV () = 1 + Z ( X )V ( X ) , ( X )1 / 2 (1 0.2 7) trong đó 1/ 2 h h / 2 1 Z(X ) = ctg K 1 b h h0 K (h / h0 1) 1 / 2 0 (1 0.2 8). .. trình (4 .13 ) v (4 . 14 ) ta có thể biểu diễn A v B theo T hoặc T : A = T e i 2 a (1 + s32 ) , B = 1 T e i 2 a (1 s32 ) 2 (4 .16 ) Khử A v B từ các phơng trình (4 .11 ) v (4 .12 ), ta có thể giải phơng trình cho R v T : R = 2 4s2 1 2 2 2 = (1 s 2 )2 sin 2 2 a 4 s + (1 s ) sin 2 2 a 2 [ (4 .15 ) 1 2 [ ] e i 2 a (1 s12 ) (1 + s32 ) + (1 + s32 ) (1 s32 )e 2i 2 a , 4s T = 12 , (4 .17 ) 2 (4 .19 ) Cuối... f 2 ( x, ) = R2 f1 ( x, ) + f1 ( x ,) Đạo hm các phơng trình trên theo x , ta có T2 f 2( x, ) = R2 f 1( x, ) + f 1( x ,) 2 f 2 dx = 0 , (7 .13 ) tức: (7 . 14 ) Ta giải T2 v R2 từ các phơng trình (7 .13 ) v (7 . 14 ): 2i , T2 = W { f1 ( x, ), f 2 ( x, )} R2 = (7 .16 ) W { f1 ( x ,), f 2 ( x, )} W { f1 ( x, ), f 2 ( x, )} Nếu có các cực đối với T2 , thì chúng phải ứng với các giá trị không của: W { f1 ( x, ), f... sau: (3 .11 b) 1 = eiy (ei1 ( x + a ) + R e i 1 ( x + a ) ), Rõ rng rằng, R = 1 , sự phản xạ l ton phần Với các phơng 2 = e ( Ae trình (3 .11 ), nghiệm có thể chuẩn hoá lại thnh 3 = T e e 1 = A cos (1 x + )ei y , h1 2 = A 2 2 1 2 2 1 / 2 e 2 x ei y (1 h1 + 2 h2 ) i y i 2 x + Be i y i 3 ( x a ) (3 .12 ) i 2 x ), x < a , (4 . 1) -a < x < a , (4 . 2) , x>a, (4 . 3) Ta có thể định nghĩa R = Re 2i1 a (4 . 4) T... 19 64, tr 46 7) 2 /2 d (1 0 .13 ) A( X , Y ) = 1 1+ i 2 (K )1 / 2 X 0 d V ( ) iKY 2 exp , ( X )1 / 2 2 ( X ) 0 < X < 1 (1 0 . 14 ) Gần chân đế, các biến bên trong thích hợp l x y X= , Y = L L (1 0 .15 ) Giả sử nghiệm bên trong có dạng = A ( X , Y ) eiKX , (1 0 .16 ) khi đó ở phía ngoi chân đế, nghiệm ny phải thoả mãn phơng trình (1 .11 ), ta đợc 2 A A 2 A + 2 2iK + 2 = 0, X X 2 Y 2 Y > b( X ) (1 0 .17 ) Bỏ... hạng bậc ( 2 ), ta có A = B + C (Y b) (1 0 .18 ) Phía trên chân đế, phơng trình Helmholtz có cùng dạng nh 2 phơng trình (1 .11 ), nhng k2 phải đợc thay bằng k0 = 2 / gh0 Thế phơng trình (1 0 .16 ) vo, khi đó ta có 10 4 h 2 A + K 2 1 2 (1 ) A = ( 2 A) 2 h Y 0 (1 0 .19 ) Từ các phơng trình (1 0. 2 1) , (1 0.2 2), (1 0.2 5) v (1 0.2 6) B, C v A có thể đợc khử để có kết quả 1+ i 2(K )1 / 2 Nghiệm, đối xứng qua... phía l h1 , x < 0 v h2 , x > 0 , một cách tổng quát h1 h2 I = Aei ( 1 x + y ) 2c ln (t c) + ln c 2 1 1 = tg 1 ( / 1 ) U h1 c 1 2c j + ln 2c + ln c + 1 + ln c 2 1 h2 1 c 1 + j ln (t 1) + ln 2 , ln c c +1 [ 1 = A(ei1 x + Re i1 x )e iy , 2 = ATe i ( 2 x + y ) , ] U h1 ln (c 2 1) + j ln 2 ln (t 1) Loại ln (1 t ) , ta đợc 1 c 1 U h1 z U h1 2 + W ln (1 c ) 2... v (9 .13 ) thoả mãn; vậy An J n (k2 a) = J n (k1 a ) + Bn H n (k1 a ) , k2 h2 An J n (k2 a ) = k1 h1 [ J n (k1a ) + Bn H n (k1 a )] , trong đó các dấu phẩy chỉ các đạo hm theo đối số Với các ký hiệu kh s= 2 2 k1 h1 h 1 / 2 k = 2 = 1 , h1 k2 v = k2 a (9 .18 ) các nghiệm cho An v Bn sẽ l: An = [ J n ( sv) H n ( sv) J n ( sv) H n ( sv) 2i = , n sv n (9 .19 a) J n (v) J n ( sv) sJ n (v)... các phơng trình (4 . 6) (4 . 9) Các tính toán có thể đợc đơn giản hoá nếu dùng các ký hiệu mới sau đây: S = h h với , = 1, 2, 3 (không lấy tổng) (4 .10 ) Các phơng trình (4 .6 )( 4 . 9) trở thnh Ae i 2 a + Bei 2 a = 1 + R , Hình 4 .1 Sống đất ngầm (4 .11 ) Ae i 2 a Bei 2 a = s12 (1 R) , (4 .12 ) 83 A e i 2 a + B e i 2 a = T , Ae i 2 a Be i 2 a (4 .13 ) (4 . 14 ) = s32 T Năng lợng của các sóng truyền qua v... (4 .2 4) (1 s 2 ) 2 ; (1 + s 2 )2 (4 .2 5) (1 + s 2 ) 2 những giá trị ny phụ thuộc vo s 2 nh trên hình 4. 2a Phụ thuộc của T v R vo 2 2 a l phụ thuộc kiểu dao động (hình 4. 2b) Sóng trên thềm thu đợc bằng cách thế phơng trình (4 . 2 1) 84 vo các phơng trình (4 .15 ) v (4 .16 ) với s12 = s32 = s , tức l A = T (1 + s ) e 1 2 i 2 a , B = T (1 s ) e 1 2 i 2 a cho nên giao thoa lm giảm sóng, tức 2 nhỏ nhất khi (4 .26) . / ) /( ghhk mmm = , ta có 21 12 21 2 21 1 21 1 1 1 2 2 /// / ) / () ( )( )( hhhh h T + = + = , (2 .17 a) 21 12 21 12 21 2 21 1 21 2 21 1 1 1 1 / / // // ) /( ) /( )( ) ( )( ) ( hh hh hh hh R + = + = . (2 .17 b). 2 2 32323 212 11 11 )( ) ( )( ) ( , (4 .17 ) = 12 4s T , (4 .18 ) trong đó aiai essess 2 2 2 3 212 2 3 212 11 11 ++= )( ) ( )( ) ( . (4 .19 ) Cuối cùng, A v B có thể nhận đợc từ phơng trình (4 .15 ) v phơng. RBeAe aiai +=+ 1 22 , (4 .11 ) )( RsBeAe aiai = 1 12 22 , (4 .12 ) 84 TeBeA aiai =+ 2 2 , (4 .13 ) TseBeA aiai = 2 2 32 . (4 . 14 ) Từ các phơng trình ( 4 .13 ) v (4 . 14 ) ta có thể biểu