Động lực học ứng dụng về sóng mặt đại dương ( Quyển 1 ) - Chương 1 doc

3 Trong sách chứa đựng nhiều diễn giải toán học, tuy đợc trình by cẩn thận, nhng không tránh khỏi một số sai sót. Rất mong các độc giả góp ý để hon thiện. Chơng 1 Giới thiệu Trong đại dơng có nhiều kiểu sóng gây bởi những nhân tố vật lý khác nhau. Giống nh trong bi toán cơ bản về một hệ đn hồi, tất cả các sóng phải liên quan tới một loại lực phục hồi no đó. Vì vậy, để thuận tiện, nên sơ bộ phân loại các sóng đại dơng tuỳ theo lực phục hồi nh trong bảng 1.1. Sóng gió v sóng lừng phát sinh bởi bão tại chỗ hoặc bão ở xa l loại sóng m con ngời thờng gặp nhiều nhất. Loại ít gặp hơn, nhng với hậu quả đôi khi rất nặng nề, đó l sóng thần, sóng ny đợc xếp vo loại các dao động chu kỳ di, gây bởi động đất hoặc trợt đất mạnh dới nớc. Sóng cũng có thể sinh ra do hoạt động của con ngời (nh chuyển động tầu, nổ mìn ) v những sóng ny cũng có dải chu kỳ rộng. Vì các sóng ny thờng hiện diện trên mặt nớc v lực phục hồi chủ yếu l trọng lực, nên chúng đợc gọi l sóng mặt trọng lực. Một thuật ngữ ngắn hơn - sóng mặt, thờng đợc dùng trong trờng hợp không kể tới các sóng mặt mao dẫn. Trong hải dơng học có một loại s óng quan trọng l sóng nội trọng lực, xảy ra tại các nêm nhiệt - đó l lớp nớc phía dới mặt biển với cờng độ phân tầng mật độ mạnh. Chuyển động sóng của các sóng ny thờng không lộ ra trên mặt nớc, ngoại trừ một số dấu hiệu biểu hiện gián tiếp của chúng. Những sóng ny góp phần vo quá trình xáo trộn v ảnh hởng đến độ nhớt rối của hải lu. Sóng nớc dâng do bão l hậu quả tức thì của thời tiết địa phơng v có thể lm tổn hại nặng nề tới sinh mạng cũng nh của cải con ngời khi nó trn ngập vùng ven biển. Thực ra, một số lực phục hồi có thể cùng tồn tại, do đó việc phân ra các sóng khác nhau trong bảng 1.1 không phải l luôn chính xác. Cuốn sách ny chỉ đề cập tới những loại chuyển động sóng với qui mô thời gian sao cho sự nén, sức căng bề mặt v sự quay của Trái Đất ít quan trọng. Ngoi ra, cũng giả thiết rằng sự phân tầng thẳng đứng trong lớp nớc nghiên cứu đủ nhỏ. Nh vậy, ta chỉ quan tâm đến sóng mặt trọng lực, tức sóng gió, sóng lừng v sóng thần. Về các loại sóng khác liệt kê ở bảng 1.1 có thể tìm đọc trong những chuyên luận của Hill (1962), LeBlond v Mysak (1978). Bảng 1.1 Loại sóng, cơ chế vật lý v vùng hoạt động Loại sóng Cơ chế vật lý Chu kỳ đặc trng Vùng hoạt động Sóng âm Tính nén 10 2 10 5 giây Trong lòng đại dơng Sóng mao dẫn Sức căng bề mặt <10 1 giây Sóng gió v sóng lừng Trọng lực 1 25 giây Sóng thần Trọng lực 10 phút 2 giờ Mặt phân cách nớc không khí Sóng nội Trọng lực v phân tầng mật độ 2 phút 10 giờ Lớp đột biến mật độ Sóng nớc dâng do bão Trọng lực v lực quay Trái Đất 1 10 giờ Gần đờng bờ Thuỷ triều Trọng lực v lực quay Trái Đất 12 24 giờ Sóng hnh tinh Trọng lực, lực quay Trái Đ ất v biến thiên vĩ độ địa lý hoặc độ sâu đại dơng O(100 ngy) Ton bộ lớp nớc đại dơng 4 Trong chơn g ny, trớc hết sẽ tổng quan các phơng trình cơ bản của chuyển động chất lỏng v một số lý luận chung về chất lỏng không nhớt v chuyển động không xoáy. Sau đó rút ra các phơng trình tuyến tính hoá đối với sóng biên độ nhỏ vô hạn. Sau khi đa ra những nhận xét khái quát về các sóng lan truyền, ta sẽ khảo sát những tính chất của sóng tiến điều ho đơn trên nền độ sâu không đổi. ở đây sẽ bớc đầu phân tích về tốc độ nhóm sóng theo hai góc độ động học v động lực học. 1.1 Tổng quan những kết luận cơ bản về chất lỏ ng không nén v mật độ không đổi 1.1.1 Các phơng trình mô tả Trong nhiều bi toán về sóng trọ ng lực, trong quy mô thời gian v không gian ta quan tâm, thì sự biến thiên mật độ nớc l không đáng kể. Các định luật bảo ton cơ bản đợc mô tả đúng đắn bằng các phơng trình Navier-Stokes: đối với khối lợng: 0= u , (1.1) đối với động lợng: uuu 2 + += + gz P t , (1.2) trong đó ),( txu l vectơ vận tốc ),,( wvu , ),( yP x l áp suất, l mật độ, g l gia tốc trọng trờng, l độ nhớt động học không đổi v ),,( zyx=x với trục z hớng thẳng đứng lên trên. Một trong những suy diễn quan trọng từ các phơng trình ny l vectơ xoáy ),( tx xác đ ịnh bằng u ì= , (1.3) nó bằng hai lần tốc độ xoáy địa phơ ng. Tác dụng toán tử xoáy lên phơng trình (1.2) v sử dụng phơng trình (1.1), ta có 2 += + uu t . (1.4) Về mặt vật lý, phơng trình trên có nghĩa: theo sau chất lỏng chuyển động, tốc độ biến thiên của xoáy l do sự dãn ra v xoắn của các đờng xoáy v khuếch tán nhớt (xem Batchelor, 1967). Trong nớc, nhỏ ( 10 2 cm 2 /s), thnh phần cuối cùng của phơng trình (1.4) có thể bỏ qua, ngoại trừ trong các vùng có gradient vận tốc lớn v xoáy mạnh. Phép xấp xỉ sau đây đúng với gần nh mọi chất lỏng: uu = + t . (1.5) Một lớp bi toán rất quan trọng l những bi toán trong đó 0 v đợc gọ i l dòng không xoáy. Lấy tích vô hớng của phơng trình (1.5) v , ta dợc )]([ 2 2 2 ueeu = + t , ở đây, e l vectơ đơn vị dọc theo . Vì gradient vận tốc hữu hạn trong mọi tình huống vật lý thực, nên trị số cực đại của )( uee phải có giá trị hữu hạn, thí dụ bằng 2/M . Độ lớn ),( 2 tx theo sau một phần tử chất lỏng không thể lớn hơn tM e x )0,( 2 . Do đó, nếu không có một xoáy no tại thời điểm 0=t , thì dòng sẽ mãi giữ nguyên l dòng không xoáy. Đối với chuyển động không xoáy, không nhớt, vận tốc u có thể biểu diễn qua gradient của hm thế vận tốc vô hớng =u . (1.6) Sự bảo ton khối lợng đòi hỏi thế vận tốc phải thoả mãn phơng trình Laplace 5 0 2 = . (1.7) Nếu thế vận tốc đợc biết, thì có thể tìm đợc trờng áp suất từ phơng trình động lợng (1.2). Sử dụng đồng nhất thức vectơ )( 2 uu u uu 2 ìì= v tính kh ông xoáy, ta có thể viết lại phơng trình (1.2) với 0= nh sau += + gz P t 2 2 1 . áp dụng tích phân theo các biến không gian, ta đợc )(tC t gz P ++ += 2 2 1 , (1.8) trong đó )(tC l một hm tuỳ ý phụ thuộc vo t v thờng bị loại bỏ nhờ việc định nghĩa lại m không ảnh hởng gì đến trờng vận tốc. Phơng trình (1.8) đợc gọi l phơng trình Bernoulli. Số hạng thứ nhất, z g ở vế phải của phơng trình (1.8) chính l phần áp suất thuỷ tĩnh, các số hạng khác l phần áp suất thuỷ động lực trong áp suất ton phần P . 1.1.2 Các điều kiện biên cho dòng không xoáy v không nhớt Có hai kiểu biên đáng quan tâm: mặt phân cách nớc không khí, còn đợc gọi l mặt tự do, v mặt tiếp xúc rắn không xuyên. Dọc theo hai biên ny, chất lỏng đợc xem nh chỉ chuyển động theo phơng tiếp tuyến với mặt. Giả sử phơng trình tức thời của biên l 0),,(),( == tyxztF x , (1.9) trong đó l độ cao tính từ 0=z v giả sử vận tốc của một điểm hình học x trên mặt tự do đang di chuyển l q . Sau một khoảng thời gian ngắn dt , mặt tự do đợc mô tả nh sau 2 0 )(),(),( dtdtF t F tFdttdtF + + +==++ qxqx . Kết hợp với phơng trìn h (1.9), suy ra 0=+ F t F q với mọi dt nhỏ. Giả thiết chất lỏng chỉ chuyển động dọc theo mặt biên đòi hỏi phải có FF = qu , điều ny có nghĩa rằng 0=+ F t F u tại =z , (1.10) hay, một cách tơng đơng: zyyxxt = + + tại =z . (1.11) Ngời ta gọ i phơng trình (1.10) hay (1.11) l điều kiện biên động học . Trong trờng hợp đặc biệt, khi biên l mặt tờng cứng bất động B S thì 0 = t/ v phơng trình (1.10) trở thnh 0= n tại B S . (1.12) Tại đáy biển 0 B ở độ sâu ),( yxh , phơng trình (1.9) trở thnh 0),( =+ yxhz v phơng trình (1.12) có thể viết lại thnh y h yx h xz + = tại 0 B . (1.13) Trên mặt phân cách nớc không khí, cả hai đại lợn g v đều cha biết, do đó cần phải có thêm một điều kiện biên động lực học liên quan đến các lực tác động. Đối với hầu hết các vấn đề trong cuốn sách ny thì bớc sóng l đủ lớn để sức căng bề mặt không đáng kể; áp suất ngay dới mặt tự do phải bằng áp suất khí quyển a P ở phía trên. áp 6 dụng phơng trình (1.8) cho mặt tự do, ta có 2 2 1 + += t g P a tại =z . (1.14) Hai điều kiện (1.11) v (1.14) có thể kết hợp thnh một điều kiện đối với hm bằng cách lấy đạo hm ton phần của phơng trình (1.14): 0 2 2 = ++ + + + g tt P t a u uu , =z . (1.15) Sử dụng phơng trình (1.11) v đẳng thức 2 2 1 uu tt = từ phơng trình (1.15) ta có 0 2 1 2 2 2 2 = + + + + uu u tz g t P Dt D a , =z . (1.16) Ngoi ra, nếu const= a P , điều kiện trên sẽ trở thnh 0 2 1 22 2 2 =+ + + uuu)( tz g t , =z , (1.17) đây thực sự l một đi ều kiện đối với . Thấy rằng chẳng những các thnh phần phi tuyến đã xuất hiện trong các điều kiện biên ny, m vị trí của mặt tự do cũng l một đại lợng cha biết. Do đó, khó có thể có một lý thuyết giải tích chính xác đối với các bi toán về sóng trên nớc. Khi chuyển động của không khí bên trên l đá ng kể, thì áp suất khí quyển không thể luôn luôn đợc mô tả trớc; chuyển động của không khí v nớc thờng gắn liền với nhau. Thật vậy, sự trao đổi động năng v năng lợng giữa không khí v biển chính l điểm trọng tâm của lý thuyết phát sinh sóng mặt do gió. Tuy nhiên, ta sẽ chỉ giới hạn nghiên cứu những vùng tơng đối cục bộ, nơi không có tác động trực tiếp của gió. Khi đó có thể không tính đến lớp không khí do mật độ tơng đối của nó khá nhỏ, nhng vẫn đáp ứng đợc nhiều mục đích của chúng ta. 1.2 Phép xấp xỉ tuyến tính hóa đối với sóng biên độ nhỏ Giả thiết rằng những qui mô vật lý cụ thể của chuyển động có thể đợc biết trớc. Thí dụ, giả sử 2 2 1 / / A A đặc trng cho t hzyx ,,, (2.1) trong đó , , v A tuần tự l các giá trị tiêu biểu của bớc sóng, tần số v biên độ dao động của mặt tự do. Ta đã gán quy mô của bằng 2/A , do đó tốc độ có quy mô l A ở gần mặt tự do. Bây giờ ta đa ra các biến phi thứ nguyên v ký hiệu chúng nh sau: = A t hzyx A t hzyx / /),,,( / ,,, 2 2 (2.2) Nếu thế các biến phi thứ nguyên ny vo các phơng trình (1.7), (1.11), (1.12) v (1.14), ta nhận đợc các phơng trình phi thứ nguyên sau đây: 0 2 2 2 2 2 2 2 = + + + = zyx , < < zh (2.3) 0= n , hz = (2.4) 7 zy z yxxt = + + tại = z (2.5) = = + + 2 2 2 2 2 2 A P P g t a a )( (2.6) trong đó ì= = 22 /A biên độ / bớc sóng = độ dốc sóng. Vì đã giả thiết rằng các quy mô phản ánh đúng vật lý của quá trình, nên tất cả các biến phi thứ nguyên phải có bậc l đơn vị; sự quan trọng của mỗi số hạng ở trên chỉ cần xét theo hệ số đứng trớc số hạng đó. Bây giờ ta xét các sóng có biên độ nhỏ với nghĩa độ dốc sóng nhỏ: 1<< . Các điều kiện biên tại mặt tự do có thể đơn giản hoá nếu để ý rằng mặt tự do cha biết chỉ cách biệt với mặt phẳng nằm ngang 0= z một lợng có bậc )(O . Vì vậy, ta có thể khai triển v các đạo hm của nó thnh chuỗi Taylor: )( !2 )( ),,,( 3 0 2 22 00 + + + = z f z f ftyxf với 0 f có nghĩa l ),0,,( tyxf Nếu lấy đến số hạng bậc một, các điều kiện trên mặt tự do xấp xỉ bằng a z P g t t = + = 2 2 0= z . Chỉ còn các thnh phần tuyến tính đợc giữ lại trong các điều kiện biên ny v các điều kiện đó ứng với mặt phẳng đã biết 0= z . Cùng với các phơng trình (2.3) v (2.4) bi toán xấp xỉ đã đợc tuyến tính hoá hon ton. Trở lại các biến vật lý, ta có 0 2 = , 0<< zh (2.7) 0= n , hz = (2.8) (2.9) 0=z a P g t zt =+ = , (2.10) Ngoi ra các phơng trình (2.9) v (2.10) có t hể kết hợp lại để có t P z g t a = + 1 2 2 , 0=z (2.11) Phơng trì nh ny cũng có thể nhận đợc bằng cách tuyến tính hoá phơng trình (1.16). Có thể liên hệ áp suất ton phần trong lòng chất lỏng với bằng cách tuyến tính hoá phơng trình Bernoulli pgzP + = trong đó = = t p áp suất động lực. (2.12) Những điều kiện ny phải đợc bổ sung bởi các điều kiện ban đầu v các điều kiện biên bên trong chất lỏng v ở vô cùng nếu có. Phải lu ý một lần nữa về giả thiết không nhớt trong khi thực hiện phép xấp xỉ tuyến tính. Gần biên cứng, lý thuyết thế cho phép dòng trợt trên hớng tiếp tuyến, nhng trên thực tế thì tất cả các thnh phần vận tốc phải triệt tiêu. ở đây phải có một lớp biên mỏng để l trơn sự chuyển đổi từ không đến một giá trị hữu hạn. Nh vậy N x >> T x , T x , ở đây N x , T x v T x lm thnh một hệ trục toạ độ trực giao cục bộ, với N x vuông góc với bề mặt rắn, còn T x v T x thì song song 8 với nó. Từ phơng trình động lợng đã tuyến tính hoá suy ra rằng vận tốc tiếp tuyến T u ở trong lớp biên thoả mãn biểu thức p xt T N TT 1 2 2 uu Với chu kỳ sóng có trị số bằng quy mô thời gian, độ dầy của lớp biên phải có bậc l 2/1 2 Đối với nớc, s/ 2 cm 0,01 ; khi thử nghiệm mô hình chu kỳ đặc trng l 1 giây nên cm0560,~ , độ dầy ny khá nhỏ so với bớc sóng thông thờng. Trong đại dơng, thờng thì sóng lừng chu kỳ cỡ 10 giây; ~0,17 cm. Nhng lớp biên gần đáy biển thực thờng l lớp biên rối đối với hầu hết các chu kỳ sóng. Nh sẽ phân tích sau đây, giá trị thực nghiệm tiêu biểu của độ nhớt rối bằng khoảng 100 ; vậy độ dầy của lớp biên rối đối với chu kỳ sóng 10 giây có bậc O(10) cm, nó vẫn hon ton l nhỏ. Nh vậy, vùng lớp biên chỉ l một phần nhỏ bé của cả khối chất lỏng với kích thớc tơng đơng bớc sóng, v ảnh hởng tổng thể lên chuyển động sóng l rất nhỏ khi qua khoảng cách một vi lần bớc sóng hay qua một thời khoảng bằng một vi chu kỳ sóng. 1.3 Những nhận xét cơ bản về sóng lan truyền Xét một dạng đặc biệt của mặt tự do )(cosRe),,( )( tAAetyx ti == xk xk , (3.1) trong đó i l đơn vị ảo (1) 1/2 v ),( ),,( 21 yxkk = x k . (3.2) Để tiện biến đổi toán học, ngời ta thờng sử dụng dạng hm mũ, v để ngắn gọn dấu Re (phần thực) sẽ đợc bỏ đi, tức l )( ),,( ti Aetyx = xk , (3.3) đợc dùng để thay cho phơng trình (3.1). Biểu thức ny mô tả những loại bề mặt tự do no? Đối với ngời quan sát đứng yên, sẽ dao động theo thời gian với chu kỳ = /2T giữa hai cực trị A v A . Nếu ta chụp ảnh ba chiều tại thời điểm xác định t với l toạ độ thẳng đứng v ),( yx l các toạ độ ngang, sự biến thiên của trên mặt phẳng ),( yx sẽ mô tả một địa hình tuần hon. Trong mặt phẳng cons t =y , ta thấy biến thiên tuần hon theo hớng x giữa A v A với chu kỳ không gian 1 2 k/ . Tơng tự, trong mặt phẳng cons t = x , biến thiên tuần hon theo hớng y giữa A v A với chu kỳ không gian 2 2 k/ . Vậy dọc hớng x số đỉnh sóng trên một đơn vị độ di l 2 1 /k , còn dọc hớng y , số đỉnh sóng l 2 2 /k . Ta định nghĩa hm pha S nh sau ttykxktyxS 21 = += xk),,( . (3.4) Đối với một thời điểm xác định, phơng trình 0 const),,( StyxS == mô tả một đờng thẳng với vectơ pháp tuyến l = k k k k k 21 ,e , trong đó k 2 2 2 1 =+= kkk . (3.5) Dọc theo đờng thẳng ny, độ ca o mặt nớc bằng nhau ở mọi nơi. Thí dụ, các mực nớc sẽ cao nhất (các đỉnh sóng) khi = nS 2 0 v thấp nhất (các chân sóng) khi += )( 12 0 nS . Khi 0 S tăng một lợng 2 , thì độ cao mặt nớc đợc lặp lại. Các đờng có 0 S khác nhau song song với nhau nếu 1 k v 2 k l các hằng số. Chúng ta gọi các đờng ny l các đờng pha. Nếu chụp ảnh v cắt một mặt cắt ngang dọc theo hớng của k e , trắc diện của 9 sẽ l đờng hình sin với bớc sóng k/= 2 . Hoặc ta có thể nói rằng số sóng trên một đơn vị độ di dọc hớng k l 2/k . Do đó k đợc gọi l số sóng v k đợc gọi l vectơ số sóng với các thnh phần 1 k v 2 k . Li độ cực đại A so với giá trị trung bình 0=z đợc gọi l biên độ. Giả sử ta đi theo một đờng pha cụ thể 0 SS = . Khi thời gian t tiến triển, vị trí của đờng pha ny cũng thay đổi. Vậy thì tốc độ dịch chuyển của đờng pha ny bằng bao nhiêu? Rõ rng, nếu ngời quan sát di chuyển với cùng vận tốc dtd /x , thì sẽ thấy đờng pha bất động, có nghĩa l 0= += dt t S dSdS x . Từ phơng trình (3.4) suy ra SS k == ek , (3.6a) t S = (3.6b) v C kS tS dt d k = = /x e . (3.7) Nh vậy, t ốc độ m đờng pha tiến đi trong hớng vuông góc với nó bằng k/ đợc gọi l tốc độ pha C . Các phơng trình (3.6a) v (3.6b) có thể coi l các định nghĩa của v k : tần số l tốc độ biến thiên pha theo thời gian v số sóng l tốc độ biến thiên pha theo không gian. 1.4 Sóng tiến trên vùng nớc độ sâu không đổi Đối với chuyển động điều ho đơn tần số , sự tuyến tính của bi toán cho phép chúng ta tách nhân tử phụ thuộc thời gian ti e ra nh sau: ti e zyxpgztzyxP zyxtzyx zyxtzyx yxtyx =+ = = ),,(),,,( ),,(),,,( ),,(),,,( ),(),,( uu . (4.1) Chú ý rằng cùng một ký hiệu u đợc sử dụng để biểu diễn vận tốc chất lỏng v biểu diễn nh ân tử phụ thuộc không gian của nó. Các phơng trình tuyến tính hoá từ (2.7) đến (2.10) có thể dẫn tới 0 2 = , 0<< zh , (4.2) 0= n , hz = , (4.3) (4.4) 0=z , = =+ a p ig i z 0 (4.5) trong đó phơng trình (4.4) v (4.5) có thể kết hợp lại thnh a p i z g = 2 , 0=z . (4.6) Chọn nghiệm hai chiều biểu diễn một sóng tiến không chịu tác động trực tiếp của khí quyển, tức 0= a p v ikx Ae= . (4.7) Dễ dng n hận thấy rằng hm thế thoả mãn các phơng trình (4.2) v (4.3) sẽ bằng ikx ehzkB ch )( += . Để thoả mãn các điều kiện biên tại mặt với 0= a p , ta cần có kh igA B ch 1 = 10 v khgk th 2 = , (4.8) do đó ikx e kh hzkigA ch ch )( + = . (4.9) Nh vậy, với một tần số cho trớc sóng tiến phải có một số sóng riêng xác định theo phơng trình (4.8). Trong dạng phi thứ nguyên l khkh g h th = . Sự biến thiên của tần số phi thứ nguyên () 21 / / gh v số sóng phi thứ nguyên kh đợc biểu diễn trên hình 4.1. Đặc biệt các biểu thức xấp xỉ tới hạn bằng gh ghk . , 1 1 >> << kh kh (4.10) Vì = /hkh 2 có thể xem nh l tỉ số giữa độ sâu v bớc sóng, nên ngời ta dùng các thuật ngữ sóng di v sóng nớc nông khi 1<<kh v các thuật ngữ sóng ngắn v sóng nớc sâu khi 1>>kh . Với một độ sâu h cố định, các sóng ngắn hơn sẽ có các tần số cao hơn. Trong vùng nớc nông, các sóng với một tần số cố định sẽ có bớc sóng ngắn hơn ở độ sâu nhỏ hơn vì 21 / )/(ghk . Tốc độ pha C cho theo công thức kh k g k C th = = (4.11) đợc vẽ dới dạng phi thứ nguyên trên hình 4.1. Đối với các sóng di v ngắn các biểu thức tới hạn l / kgC ghC = = . , 1 1 >> << kh kh (4.12) Nhìn chung, với cùng độ sâu, các sóng di hơn có tốc độ nhanh hơn. Trong chơng 2 sẽ cho thấy rằng một nhiễu động xuất phát có thể xem nh tổng Fourier của các nhiễu động tuần hon với các bớc sóng biến thiên trong một dải phổ liên tục. Dần dần với thời gian, các sóng di hơn sẽ vợt lên trên so với các sóng ngắn hơn. Trong khi các nhiễu động cùng truyền đi, thì các sóng di nhất v các sóng ngắn nhất ngy cng cách xa nhau hơn, còn các sóng loại trung gian thì ở giữa khoảng đó. Hiện tợng các sóng tần số khác nhau di chuyển với các vận tốc khác nhau gọi l sự tản mạn (dispersion). Rõ rng rằng, nếu tỷ số giữa v k đối với một sóng hình sin l một biểu thức tơng quan phi tuyến thì môi trờng truyền sóng l môi trờng tản mạn. Do đó, phơng trình (4.8) hay dạng tơng đơng của nó phơng trình (4.11), đợc gọi l quan hệ tản mạn (dispersion relation). Từ phơng trình Bernoulli tuyến tính hoá, áp suất động (không có gz ) bằng kh hzk ge kh hzk gAi p ikx ch ch ch ch )()( + = + == . (4.13) Trờng vận tốc sẽ l ikx e kh hzkgkA u ch ch )( + = , (4.14) 0=v (4.15) ikx e kh hzkigkA w ch sh )( + = . (4.16) Đối với vùng nớc rất sâu, 1>>kh : ikxkz eAeg igkgkig pwvu 0 = ,,,,),,,,( . (4.17) 11 v đối với vùng nớc rất nông, 1<<kh : ikx Aeg gkig pwvu 0, 0 = ,,,),,,,( . (4.18) Một số đặc điểm nổi bật của vùng nớc nông đáng đợc ghi nhớ l: (1) không còn sụ phụ thuộc vo z ; (2) tốc độ thẳng đứng có thể bỏ qua; (3) áp suất động bằng g v áp suất ton phần )( zgP = l áp suất thuỷ tĩnh theo độ sâu dới mặt tự do. Hình 4.1 Đờng cong tản mạn của sóng tiến Cuối cùng, từ mục 1.2 ta đã biết rằng khi quy mô không gian bằng k/1 thì điều kiện để tuyến tính hoá l 1<<kA . Ta hãy kiểm tra giả thiết tuyến tính hoá một lần nữa bằng cách so sánh thnh phần phi tuyến với thnh phần tuyến tính, cả hai thnh phần ny đều đợc ớc lợng tại mặt tự do 0=z . Với kh bất kỳ, từ (4.11) v (4.14) ta có 0= z tu xuu / / ~ 0= z uk ~ 0= z C u = kh kA th với mọi kh . Chú ý l 1<<kh , tỉ số trên trở thnh hA / . Vì vậy, trong vùng nớc nông thì lý thuyết tuyến tính thực sự l một phép xấp xỉ rất hạn chế. 1.5 Vận tốc nhóm sóng Một trong số các khái niệm quan trọng nhất về các sóng tản mạn l vận tốc nhóm sóng. Có hai quan điểm để hiểu rõ về ý nghĩa của khái niệm đó. 1.5.1 Quan điểm động học Giả sử có một nhóm các sóng dạng hình sin với các bớc sóng biến đổi liên tục trong một khoảng hẹp gần 0 kk = . Li độ của mặt tự do có thể biểu diễn bằng 1 0 0 0 << = + k k dkekA kk kk tki ,)( ])([kx , (5.1) trong đó )(kA l phổ số són g với v k thoả mãn quan hệ tản mạn )(k = . (5.2) Bằng cách khai triển Taylor, ta viết 2 00000 0 )()()()]([ kk dk d kkkkkk k + +=+= . Nếu ký hiệu: g k C dk d dk d k k kk = == 0 0 00 0 0 ),(, , (5.3) đối với )(kA đủ trơn v cho phép xấp xỉ thô, ta có: {} 0 0 00 000 kk kk g txki dktCxikekA / / )( )]([exp)( )()( ~ )( )(sin )( txkitxki g g eAe tCx tCxk kA 0000 2 0 = = , (5.4) 12 trong đó )( )(sin )( ~ tCx tCxk kAA g g = 2 0 . (5.5) Do nhân tử )]([exp txki 00 trong phơng trình (5.4), có thể xem nh một chuỗi sóng dạng sin xác định với biên độ A ~ biến thiên chậm. Đờng bao xác định bằng A ~ có dạng của nhóm sóng đợc biểu diễn trên hình 5.1, nó di chuyển với tốc độ g C . Do đó, g C đợc gọi l vận tốc nhóm. Vì có biến thiên biên độ, khoảng cách giữa hai nút kế cận của đờng bao xấp xỉ bằng k/ v lớn hơn nhiều so với bớc sóng của các sóng hợp phần 0 2 k/ . Hình 5.1 Nhóm của các sóng có dải tần số hẹp Với các sóng trên nền độ sâu không đổi, lấy vi phân quan hệ tản mạn (4.8), ta có += + = = kh khC kh kh kdk d C g 2 sh 2 1 22 sh 2 1 2 1 . (5.6) Với vùng nớc sâu 1>>kh : 2/1 2 1 2 1 k g CC g (5.7) v với vùng nớc nông 1<<kh : 2/1 )(ghCC g . (5.8) Do vận tốc pha lớn hơn vận tốc nhóm đối với các độ sâu thông thờ ng, các đỉnh sóng cá thể sẽ di chuyển từ sau cùng lên hng đầu của nhóm. Trong mục 2.4 sẽ chứng tỏ bằng một cách tổng quát hơn rằng g C l tốc độ truyền của một đờng bao bất kỳ biến thiên chậm v phơng trình (5.5) chỉ l một trờng hợp riêng. 1.5.2 Quan điểm động lực: Dòng năng lợng Trớc hết ta tính năng lợng trung bình của một chuỗi sóng tiến đồng nhất cho một đơn vị diện tích mặt tự do. Nếu ký hiệu giá trị trung bình trong ton chu kỳ bằng dấu gạch ngang trên đầu các đại lợng, ta có động năng cho ton cột chất lỏng bằng [][ ] {} dzeweudztEK h titi h 2 2 0 22 2 + = )(Re)(Re)],([ xxxu , (5.9) ở đây với độ chính xác bậc hai 2 )(kAO cận trên của tích phân đợc thay bằng 0=z , còn u có thể thay bằng xấp xỉ bởi bậc nhất các phơng trình (4.14) v (4.16). Chú ý rằng đối với hai hm dạng sin bất kỳ ti Aea Re = v ti Beb Re = , thì công thức sau đây l đúng: )*(Re*)(Re BAABabdt T ab T 1 2 1 2 1 0 === , (5.10) trong đó ( ) * chỉ liên hợp phức. Việc chứng minh công thức ny ginh cho bạn đọc nh l một bi tập. Với các phơng trình (4.14), (4.16) v (5.10), phơng trình (5.9) trở thnh [...]... 1 0 2 2 ch2 kh [ch k ( z + h) + sh k ( z + h)]dz = h gk A = 4 2 sh2kh 1 2 2k ch2 kh = 4 g A , (5 .11 ) ở đây khi biến đổi đã sử dụng công thức kh ch d = 2 1 4 (sh 2kh + 2kh) (5 .12 ) 0 v quan hệ tản mạn Mặt khác, thế năng trong cột chất lỏng do chuyển động sóng bằng P.E = gz dz = 0 1 1 2 g 2 = g A 2 4 (5 .13 ) Nh vậy vận tốc nhóm có ý nghĩa động lực, đó l tốc độ vận chuyển năng lợng sóng. .. Bây giờ xét một mặt cắt ứng độ rộng đơn vị dọc theo đỉnh sóng Tốc độ dòng năng lợng (rate of energy flux) qua mặt cắt ny bằng tốc độ trung bình của công do áp suất động thực hiện (rate of work), tức: Tốc độ dòng năng lợng = Tốc độ công của áp suất = = p(x, t ) u (x, t ) dz h 0 t x , (5 .15 ) h biểu thức ny có thể tính đợc v ta có kết quả l: Tốc độ dòng năng lợng = 1 gA2 2 1 2kh 1 + ECg sh... một chuỗi sóng dạng sin Bi tập 5 .1 Xét một hệ chất lỏng gồm hai lớp phía trên một nền đáy ngang Phần chất lỏng nhẹ hơn ở phía trên có mật độ , chất lỏng nặng hơn ở phía dới có mật độ Lấy mặt tự do tại z = 0 , mặt phân cách tại z = h , đáy tại z = h Chứng minh rằng sóng tiến dạng sin phải thoả mãn tơng quan tản mạn: (5 .16 ) 13 2 gk { cth kh cth k (h h) + } 2 {cth kh cth k (h h)} + ... công thức Laplace (xem Landau v Lifshitz, 19 59, tr 23 7): P Pa T ( xx + yy ) tại z 0 , ở đây vế phải tỉ lệ với độ cong bề mặt v T l hệ số sức căng bề mặt Đối với mặt phân cách nớc không khí ở 20oC, T = 74 dyn/cm trong hệ CGS Hãy thiết lập các điều kiện biên tại mặt tự do v nghiên cứu một sóng tiến phẳng trên nền nớc sâu: ekz ei ( kx t ) Chứng minh rằng 2 = gk + Tk 3 v chứng tỏ rằng tốc độ... Vì dòng năng lợng từ máy tạo sóng đi vo từ bên trái (tại x = 0 ) l EC g , nên tốc độ kéo di của vùng sóng phải l C g Nh vậy front sóng truyền đi với vận tốc nhóm Chi tiết về sự tiến triển front sóng sẽ xét trong mục 2.4 vì g dz l trọng lợng của một lớp mỏng nằm ngang có độ cao trên mực trung bình l z Năng lợng ton phần bằng 1 2 E = K E + P.E = g A 2 (5 .14 ) Lu ý rằng động năng v thế năng bằng nhau;... tốc pha chỉ thuần tuý l một đại lợng động học v không phải lúc no cũng liên quan tới sự vận chuyển một thực thể động lực Với t cách một ứng dụng trực tiếp điều vừa trình by, ta xét một máng nớc độ rộng đơn vị với các sóng dạng sin tạo ra ở một đầu Khi máy tạo sóng bắt đầu hoạt động, sẽ có nhiều chu kỳ sóng đợc tạo ra, đờng bao sẽ đồng nhất ở mọi nơi ngoại trừ vùng gần front sóng, giống nh trên hình 5.2... hi tơng ứng với hai nghiệm 1 v 2 2 đối với cùng một giá trị k Chẳng hạn, khi h ~ hãy chứng minh rằng 2 2 1 = gk v 2 = gk < 1 2 cth kh + v tỉ số biên độ tại mặt phân cách so với mặt tự do l e kh v e kh tuần tự đối với hi thứ nhất v hi thứ hai Vẽ tốc độ nhóm nh l hm của k cho mỗi hi Bi tập 5.2: Các sóng mao dẫn Sức căng bề mặt tại mặt tự do sinh ra một hiệu áp suất giữa áp suất khí quyển Pa... thức C 2 1 m 1 km k = + , = + 2 Cm 2 m 2 k k m trong đó 1/ 2 T 2 m = = 2 g km Các giá trị số của m v C m đối với nớc v không khí bằng bao nhiêu? Nhận xét về sự biến thiên , C v C g theo k hoặc Chơng 2 - Sự truyền của các sóng ngắn trong biển mở độ sâu không đổi Những nhiễu động gây bởi các xung động hữu hạn về thời gian nh động đất, trợt đất, các vụ nổ , sinh ra các sóng xung... trình phân tán, các sóng ny truyền trong nớc phức tạp hơn nhiều so với các loại sóng khác trong tự nhiên Để dễ hiểu về các hệ quả vật lý của quá trình phân tán sóng, trong chơng ny, ta sẽ xem xét các mô hình đơn giản về cơ chế nguồn phát sinh, độ sâu đại dơng sao cho có thể phân tích đợc chi tiết Trong các mục 2 .1 v 2.2, ta sẽ nghiên cứu bi toán gọi l bi toán Cauchy Poisson về các sóng do một số loại... bi toán gọi l bi toán Cauchy Poisson về các sóng do một số loại nguồn có tính chất xung gây ra v đặc biệt tập trung phân tích diễn biến sóng ở miền xa nguồn Trong các mục 2.3 v 2.4 sẽ xem xét về vai trò của sự phân tán đối với quá trình điều biến yếu các nhóm sóng 14 . đặc biệt của mặt tự do )( cosRe), ,( )( tAAetyx ti == xk xk , (3 . 1) trong đó i l đơn vị ảo (1 ) 1/ 2 v ) ,( ), ,( 21 yxkk = x k . (3 . 2) Để tiện biến đổi toán học, ngời ta thờng sử dụng dạng hm. trình (1 .10 ) hay (1 .11 ) l điều kiện biên động học . Trong trờng hợp đặc biệt, khi biên l mặt tờng cứng bất động B S thì 0 = t/ v phơng trình (1 .10 ) trở thnh 0= n tại B S . (1 .12 ) Tại. g k C dk d dk d k k kk = == 0 0 00 0 0 ) ,(, , (5 . 3) đối với )( kA đủ trơn v cho phép xấp xỉ thô, ta có: {} 0 0 00 000 kk kk g txki dktCxikekA / / )( ) ]([ exp )( )( ) ( ~ )( )( sin )( txkitxki g g eAe tCx tCxk kA 0000