CÁC PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ TRONG THUỶ VĂN - CHƯƠNG 2 doc

Chơng 2 Các qui luật cơ bản của phân bố xác suất ứng dụng trong thuỷ văn 2.1 Tổng quan Khi dựa trên lý thuyết đờng cong phân bố mật độ xác suất đã xét trong chơng 1, các thủ thuật đơn giản nhất của việc sơ đồ hoá và khái quát các tập thống kê có thể thực hiện hoàn chỉnh và thể hiện dới dạng chung nhất. Đờng cong phân bố nhận đợc đối với các sơ đồ thống kê khác nhau tạo thành một hệ thống phát triển của khái quát toán học có lợi cho việc mô tả các tónh chất hạng rộng của hiện tợng ngẫu nhiên. Các dạng đờng cong phân bố khác nhau hoặc dựa trên các sơ đồ xác suất tập trung đợc xác định về mặt lý thuyết , hoặc tự thể hiện sự khái quát hoá các qui luật thống kê đặc trng cho các phạm trù xác định của tập thực nghiệm. Tuy nhiên, trong bất kỳ trờng hợp nào các đờng cong phân bố xác suất trong thể trừu tợng đều phản ánh qui luật thống kê thực đặc trng bởi các hiện tợng ngẫu nhiên đại chúng. Hình thức biểu diễn các qui luật phân bố liên quan chặt chẽ với việc chia đại lợng ngẫu nhiên ra các dạng liên tục và rời rạc. Đại lợng ngẫu nhiên rời rạc là biến của tệp (tập hợp) có thể thể hiện ở dạng liệt xác định bằng số x1, x2, , xn, Khi giải các bài toán thực hành khác thờng có vấn đề với đại lợng ngẫu nhiên chỉ nhận các giá trị nguyên. Để lấy ví dụ về tập thuỷ văn đại lợng ngẫu nhiên rời rạc có thể chỉ ra số khô hạn sông ngòi vào mỗi năm trong mùa hè nhận đợc từ N năm trên phân bố xê -ri các năm ít và nhiều nớc. Khi nghiên cứu các tập thống kê các hiện tợng thiên nhiên thờng có vấn đề với các đại lợng ngẫu nhiên liên tục, có nghĩa là với các hiện tợng mà kết quả thử có thể nhận mọi giá trị trong giới hạn khoảng đang xét. Các đại l ợng nh vậy là sai số đo đạc và giá trị thành phần tập các đặc trng khác nhau của chế độ thuỷ văn (lu lợng nớc và phù sa, mực nớc, vận tốc dòng chảy v.v ). Rõ ràng khi mô tả phân bố các đại lợng nh vậy về nguyên tắc không thể viết và đánh số tất cả chúng vào một liệt xác định, thậm chí trong giới hạn khoảng đủ hẹp. Các đại lợng này tạo nên 56 một tập vô hạn. Nếu khi xét tập các đại lợng ngẫu nhiên rời rạc có thể gắn mỗi giá trị của nó x1, x2, , xn, với một xác suất đặc trng xác định bởi nó p(xi) thì trong trờng hợp liệt liên tục các đại lợng ngẫu nhiên chỉ có thể nói về xác suất rơi vào khoảng cho trớc của nó (bù là rất nhỏ). Thực tiễn, khi nghiên cứu các tập thống kê các đại lợng ngẫu nhiên liên tục chặt chẽ dùng phép tính bởi các thủ thuật nhóm và mô tả đồ thị các tập thống kê đã trình bày trong chơng 1. Khi phân tích lý thuyết các đại lợng ngẫu nhiên liên tục thay tần số thực nghiệm bởi mật độ phân bố xác suất và tơng ứng là thay mômen thực nghiệm bằng biểu thức tích phân của chúng. áp dụng cho việc nghiên cứu các qui luật phân bố tập các đại lợng ngẫu nhiên rời rạc sẽ trình bày qui luật phân bố nhị thức và phân bố Piecson III, khi xét nó nh trờng hợp riêng của qui luật phân bố nhị thức. Tiếp theo trên cơ sở ngoại suy phổ biến qui luật phân bố nhị thức khởi điểm trong trờng hợp các đại lợng liên tục và nh vậy đã chuyển tới phân bố gamma hoặc đờng cong Piecson III và dẫn tới hệ quả do S. N. Krixki và M. Ph. Menkel cũng nh G. N. Brocovits thực hiện. Khi có sự ứng dụng rộng rãi trong thuỷ văn qui luật phân bố nhị thức ta coi nó là cơ sở khi trình bày qui luật phân bố chuẩn. Từ các đờng cong phân bố khác nhau xét các phơng trình Gudrits và Gumbel đợc sử dụng u thế trong thực tiễn thuỷ văn ở nớc ngoài. Từ số các biến đổi đa dạng biến ngẫu nhiên dừng một cách chi tiết ở biến đổi logarit thỉnh thoảng vẫn đợc sử dụng khi tính toán dòng chảy trong nớc và nớc ngoài. Khảo cứu các đờng cong đảm bảo thực nghiệm đặc thù khái quát của các đặc tr ng thuỷ văn khác nhau xét ví dụ nghiên cứu của G. P. Kalinhin và L. M. Konarevski. Một số phân bố có các giá trị bổ sung khi tính toán thuỷ văn có thể trình bày theo mức độ cần thiết trong các chơng khác. Các phân bố đó là phân bố Student, Phiser, 2 và các phân bố khác sử dụng khi phân tích mẫu các biến ngẫu nhiên . Biểu thức giải tích của đờng cong phân bố mô tả tốt nhất tập thực nghiệm các đại lợng ngẫu nhiên có thể thu đợc bằng nhiều phơng pháp , về số lợng tuy rằng hạn chế khi thực hiện các điều kiện chung sau đây. 57 1. Hiển nhiên, đờng cong phân bố cần dựa trên một sơ đồ thống kê xác định mà dới tác động của nó tạo nên hiện tợng ngẫu nhiên này hoặc kia. Vậy, ví dụ qui luật phân bố chuẩn xuất hiện trong các trờng hợp khi mà đại lợng ngẫu nhiên đang nghiên cứu có thể thể hiện dới dạng tổng (hoặc hàm tuyến tính) một số lớn các số hạng thành phần (nhân tố) độc lập với nhau, mỗi số ảnh hởng nhỏ tới tổng. Nếu điều kiện cuối cùng đợc thoả mãn và ảnh hởng của một số trong các số hạng hình thành đại lợng ngẫu nhiên chiếm u thế thì đặc điểm của phân bố số hạng đó ảnh hởng tới qui luật phân bố của đại lợng ngẫu nhiên đang nghiên cứu. Khi nhận làm cơ sở sơ đồ lý thuyết mối liên hệ của sự xuất hiện đại lợng ngẫu nhiên không phải là tổng mà là tích một số đủ lớn các tác động thành phần hay nói cách khác vào tổng của các logarit của chúng ta thu đơcj qui luật phân bố logarit chuẩn. Khi giới hạn bằng các ví dụ này ta thấy ý nghĩa thống kê khác, khi xét các qui luật phân bố sẽ đợc làm sáng tỏ khi trình bày chúng. 2. Trong phơng trình đờng cong phân bố cần phải giảm các tham số, xác định bằng số theo số liệu thực nghiệm. Điều kiện này rất quan trọng khi phân tích thống kê các dao động nhiều năm của các đại lợng thuỷ văn vì tập thống kê của chúng thờng hạn chế bởi vài chục số hạng (năm quan trắc). Cùng với nó ta còn biết rằng các tham số phơng trình đờng cong phân bố đợc xác định với sai số càng lớn thì tệp thống kê càng nhỏ và đại lợng mômen thống kê càng cao dùng để tính toán các tham số đờng cong phân bố. Thật vậy, nếu nh giá trị trung bình số học và hệ số biến đổi nằm trong tham số phơng trình đờng cong phân bố có thể xác định theo các tập thống kê một cách thông th ờng theo cách của các nhà thuỷ văn có độ tin cậy tơng đối, thì tính toán hệ số bất đối xứng theo chuỗi nhân tạo, tức là gắn với tuyến đo thuỷ văn xác định với sai số lớn; xác định độ nhọn trong các trờng hợp nh vậy hoàn toàn mất ý nghĩa do sai số quá lớn. Liên quan tơí điều đang bàn trên tham số này với tính toán thuỷ văn hầu nh không sử dụng. Cho nên khi giải các bài toán thuỷ văn ngời ta chỉ sử dụng các phơng trình đờng cong phân bố chỉ có hai hoặc cùng lắm là ba tham số xác định theo tập thống kê ban đầu ( trung bình số học, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng). Có thể nhận thấy rằng hầu nh với các tính toán thống kê ngời ta sử dụng không quá 4 tham số để xác định dạng đờng cong phân bố. Ngoài các yêu cầu chung đã nêu trên trong quan hệ của phơng trình đờng cong phân bố , khi phân tích thống kê dao động nhiều năm của dòng chảy sông ngòi xuất hiện cả các điều kiện phụ. Do vậy, đại lợng dòng chảy sông ngòi là thực 58 dơng, đờng cong phân bố mô tả dao động của chúng không đợc cắt vào phần giá trị âm, vì nó mâu thuẫn với bản chất vật lý của hiện tợng đang xét. Sự hạn chế của các đờng cong phân bố bởi giới hạn trên không thực hiện đợc vì không có các thủ thuật tơng xứng căn bản điều chỉnh nó. Có những tìm tòi xác định giá trị khả năng lớn nhất của đặc trng dòng chảy đang xét thờng dẫn tới không phải là cực đại tuyệt đối mà là đại lợng đợc xem nh là một giá trị nào đó có xác suất vợt bé. Ngoài ra, trong thực tiễn tính toán thuỷ văn ngời ta không sử dụng giá trị xác suất vợt hàng năm, tiến tới 0 mà nhận một xác suất hữu hạn đủ thực, chặn bởi các giá trị đảm bảo trên nguyên tắc 1; 0,1% và đôi khi trong các trờng hợp hiếm 0,01%. Nh vậy, thiếu hạn chế đờng cong phân bố từ phía các đại lợng lu lợng nớc lớn trong khoảng ngoại suy không mâu thuẫn với bản chất vật lý của dao động dòng chảy sông ngòi và không đi tới lời giải không thực tế, tức là vơí việc nhận các giá trị dòng chảy tính toán lệch nhiều các đại lợng lấy từ tài liệu đo đạc thuỷ văn. Có thể nhận thấy rằng các tìm kiếm ứng dụng đờng cong phân bố giới hạn từ phía các đại lợng dòng chảy lớn bởi một giới hạn cố định nào đó trong nhiều trờng hợp dẫn tới nhận đợc các đại lợng dòng chảy tính toán thậm chí vợt quá các đờng cong tơng ứng với việc xoá không hạn chế trong vùng các đại lợng dơng. Tất nhiên điều đó liên quan với tính không xác định của việc thành lập giới hạn trên. Thêm vào đó có thể nói rằng nhiều ví dụ sử dụng các đ ờng cong phân bố không giới hạn trong khoa học và trong kỹ thuật để mô tả chuỗi thống kê không thể vô cùng lớn với suất đảm bảo tiến tới 0. Ví dụ nh sai số kích thớc khi chuẩn bị chi tiết này hay chi tiết kia thờng đợc mô tả bởi qui luật phân bố chuẩn traỉ dài từ - đến , mặc dù biết rằng sai số chuẩn bị chi tiết không thể lớn vô hạn do đại lợng của chi tiết hạn chế bởi kích thớc chuẩn bị sử dụng khi xử lý. Các hình ảnh nêu trên, cũng nh ớc lợng sự tơng ứng của sơ đồ lý thuyết phân bố xác suất với tài liệu quan trắc thuỷ văn chứng tỏ rằng việc sử dụng các đờng cong phân bố không hạn chế bởi các giá trị lớn không dẫn tới mâu thuẫn với bản chất vật lý của tập các đại lợng thuỷ văn và có thể đợc xét nh là phơng tiện hoàn toàn chấp nhận của mô tả toán học các qui luật thống kê trong giới hạn suất đảm bảo sử dụng thực tế. Nh vậy, đối với đờng cong phân bố sử dụng để mô tả dao động dòng chảy sông ngòi nhiều năm và chuỗi các tham số khác của chế độ thuỷ văn (x), có thể đặt các điều kiện biên sau: 0 x < . 59 Thờng các đờng cong phân bố lý thuyết sử dụng trong thuỷ văn thoả mãn điều kiện đơn đỉnh. Nó sinh ra nh là hậu quả của yêu cầu đồng nhất và độc lập ngẫu nhiên của các đại lợng thuỷ văn đang xét . Thật vậy, tính đa đỉnh của phân bố là hậu quả của việc thống nhất một vài tệp với các phân bố rất khác nhau . Nhng do khi giải các bài toán thuỷ văn thờng dùng phép với các đại lợng đồng pha, tất nhiên dự đoán rằng phân bố của chúng sẽ đơn đỉnh. Do đờng cong phân bố sử dụng khi giải các bài toán tính toán dòng chảy sông ngòi ở dạng vi phân cần có dạng chung nh sau: bắt đầu từ một giá trị dơng nào đó (hoặc 0), sau đó khi tăng đạt tới giá trị cực đại (đỉnh) và khi hạ đi vào vùng đại lợng vô cùng lớn. Sử dụng các đờng cong phân bố giải tích cho phép thực hiện việc làm trơn các phân bố thực nghiệm, nhấn mạnh khi đó các nét qui luật nhất của tệp thống kê đang xét và loại trừ các áp đặt ngẫu nhiên của số liệu thực nghiệm chỉ đặc trng cho mẫu đợc chọn và không mang tính qui luật theo toàn bộ tập tổng thể. Sử dụng các đờng cong phân bố giải tích cho khả năng thành lập các qui luật thống kê dặc thù cho dãy các đại lợng ngẫu nhiên đặc trng cho một và chỉ một hiện tợng nhng đợc hình thành trong các điều kiện bản chất khác nhau. Cụ thể, sự thành lập tơng tự đợc ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu thuỷ văn với mục đích làm sáng tỏ các qui luật thống kê đặc thù cho chuỗi dòng chảy năm và dòng chảy cực đại . Với sự mô tả phân tích nhờ đờng cong phân bố chuỗi tạo ra trên cơ sở tài liệu quan trắc nảy sinh các bài toán cơ bản sau: 1. Chọn các đờng cong phân bố phù hợp nhất với tập thống kê đang xét. Trong điều kiện sử dụng chọn lọc hạn chế theo số lợng các số liệu thuỷ văn dạng hàm phân bố thờng ban đầu đợc chọn trên cơ sở tính đến các luận điểm chung, cụ thể là sự phù hợp của qui luật phân bố ứng dụng bởi các điều kiện biên thay đổi các đặc trng thuỷ văn đang xét. Tiếp theo tiến hành sự kiểm tra rộng rãi (ứng dụng cho các điều kiện khác nhau của sông ngòi ) tiính phù hợp của qui luật phân bố xác suất đang nhận với tài liệu thực nghiệm. Sự kiểm tra này ở giai đoạn đầu sử dụng đờng cong phân bố để tính toán các đặc trng thuỷ văn đợc hoàn thành trên cơ sở so sánh trực tiếp các đờng cong đảm bảo giải tích và thực nghiệm. Tiếp theo là thử các thủ thuật ớc lợng khách quan nh chỉ tiêu thống kê 2 , chỉ tiêu Kolmogorov - Smirnov và v.v 2. Sau khi chọn dạng hàm phân bố nảy sinh bài toán xác định giá trị số của các tham số hàm đó, chúng đợc tính theo số liệu quan trắc cho đặc trng dòng chảy này hoặc kia của thành phần nào đó thuộc chế độ thuỷ văn sông ngòi. Sự lựa chọn đúng hàm phân bố và các tham số bằng số của nó xác định theo số liệu thực nghiệm 60 ( trung bình số học, hệ số biến đổi, hệ số bất đối xứng), đảm bảo từ quan điểm nguyên tắc bình phơng tối thiểu, sự làm trơn tốt nhất phân bố thực nghiệm . 3. Khi xét các sai số có thể của việc xác định tham số phân bố bị chi phối bởi tính hạn chế của lựa chọn đang xét trong tính toán quan trọng là đánh giá định lợng các sai số đó. Sự đánh giá nh vậy đợc thực hiện hoặc nhờ sử dụng công thức lý thuyết rút ra một vài hạn chế, hoặc với ứng dụng phơng pháp thực nghiệm thống kê. 2.2 Qui luật phân bố nhị thức rời rạc Trong thực tiễn tính toán thuỷ văn đờng cong Piecson III đợc phổ biến rộng rãi nhất khi thể hiện khái quát đờng cong phân bố nhị thức đối với trờng hợp đại lợng ngẫu nhiên liên tục. Qui luật phân bố nhị thức tơng ứng với việc lặp một thí ngjiệm duy nhất với các điều kiện không đổi và chỉ có hai kết quả xuất hiện (xác suất p) và không xuất hiện (xác suất q = 1- p) của biến cố ngẫu nhiên . Mỗi giá trị của đại lợng ngẫu nhiên phân bố theo qui luật phân bố nhị thức thể hiện số trờng hợp (m) thực hiện đợc biến cố ngẫu nhiên nào đó từ n trờng hợp có thể. Trình bày sơ đồ qui luật phân bố nhị thức có thể thực hiện đợc nhờ các định lý cộng và nhân xác suất . Theo định lý cộng xác suất suy ra rằng xác suất xuất hiện một biến cố độc lập không báo trớc bằng tổng xác suất của các biến cố đó, hoặc nói cách khác là nếu biến cố ngẫu nhiên A có thể xuất hiện ở một số dạng A 1 , A 2 , A 3 , , A n , có các xác suất khác nhau - p 1 , p 2 , , p n , thì xác suất xuất hiện đại lợng A ở dạng A 1 , A 2 , A 3 , , A k , (k<n) sẽ bằng tổng xác suất các biến cố A 1 , A 2 , A 3 , , A k , tức là: P = p 1 + p 2 + + P k Có khi ngời ta viết định lý này dới dạng: ),K(p )B(p)A(p)K BA(P + + + = Các biến cố A, B, , K là độc lập. Ký hiệu có nghĩa là "hoặc". Theo định lý nhân xác suất suy ra rằng xác suất trùng của một vài biến cố ngẫu nhiên độc lập bằng tích xác suất của chúng. 61 Biến cố ngẫu nhiên độc lập đợc hiểu là các biến cố mà kết quả thử nghiệm lần sau không phụ thuộc vào lần trớc, và do vậy lần thử sau không thể đoán trên cơ sở thực hiện những lần thử trớc. Định lý nhân xác suất thờng đợc viết dới dạng: P(AB K) = p(A)p(B) p(K). Khi đó cũng giả thiết rằng biến cố A, B, , K là độc lập với nhau. Tơng ứng với nhứng điều nêu trên qui luật phân bố nhị thức nhận đợc khi giải quyết bài toán sau: Tiến hành n lần thử độc lập, mà kết quả thử biến cố có thể nhận các giá trị dơng 0, 1, 2, , n với các xác suất p 0 , p 1 , p 2 , , p n . Xác suất xuất hiện biến cố A duy nhất bằng p, còn xác suất xuất hiện biến cố ngợc B (không xuất hiện A) bằng q. Yêu cầu xác định xác suất P m xuất hiện biến cố A m lần với n lần thử. Trong các phụ lục kỹ thuật biến cố A đợc hiểu là lợng sản phẩm tốt trong dung lợng nào đó của tập, còn biến cố ngợc là sản phẩm có lỗi. Đã có lần thử [58] xét các tập thống kê đại lợng dòng chảy từ quan điểm của qui luật phân bố nhị thức . Trong trờng hợp đó biến cố A coi là thời đoạn ma, trong thời gian đó dòng chảy đợc hình thành, và biến cố ngợc là thời đoạn không ma. Khi đó ngời ta coi rằng bắt đầu thời đoạn ma và không ma là các biến cố độc lập, do vậy xác suất thời đoạn ma (p) và không ma (q) là không đổi trong mọi lần thử. Trong các xây dựng lý thuyết xác suất kinh điển coi mô hình qui luật phân bố nhị thức thờng xét sơ đồ cuốn hút (với vòng quay tiếp theo) các quả cầu trong lồng chứa p cầu đên và q cầu trắng. Rõ ràng các ví dụ trên đều dẫn tới một sơ đồ toán học thống nhất. Vì lẽ đó ta copi kết luận qui luật phân bố nhị thức là bối cảnh chung của bài toán. Trong trờng hợp khi thực hiện thí nghiệm cần xuất hiện một trong hai biến cố A hoặc B có xác suất p hoặc q và tổng xác suất của chúng p + q = 1, vì biết chắc chắn rằng hoặc A, hoặc B trong thí nghiệm sẽ đợc thực hiện. Xét tuần tự các trờng hợp với 2, 3, 4 lần thử, sau đó khái quát cho n lần thử. Nếu xác suất biến cố với 1 lần thử bằng p, thì với 2 lần thử khả năng xảy ra biến cố A 0 lần (tức là không xảy ra biến cố A, cả hai lần đều xuất hiện biến cố B), 1, 2 lần. Trên cơ sở lý thuyết nhân và cộng xác suất tơng ứng sẽ bằng: P 0 = qq; P 1 = pq+qp; P 2 = pp 62 Nh vậy, xác suất P(m) xuất hiện biến cố m lần (0; 1; 2) trong hai lần thử (n=2) có phân bố nh sau: m 0 1 2 P( m) q 2 2p q p 2 Đối với ba lần thử (n=3) tơng tự ta nhận đợc: m . 0 1 2 3 P (m) . q 3 3 pq 2 3 p 2 q p 3 Phân bố xác suất này tơng ứng với phân bố số hạng của nhị thức: (p+q) 2 = p 2 + 2pq + q 2 (p+q) 3 =p 3 +3p 2 q+3pq 2 +p 3 Thấy rằng số trờng hợp xuất hiện (hay không xuất hiện ) đại lợng A trong mỗi phân bố bằng n+1. Qui luật phân bố xác suất trên dễ dàng mở rộng cho số lần thử không hạn chế. Giả sử thí nghiệm n lần. Không cần xét tới trật tự xuất hiện biến cố ngẫu nhiên có thể thực hiện cho lần n+1 tiếp theo: 1) không xuất hiện n lần biến cố A 2) xuất hiện (n-1) lần biến cố B và 1 lần biến cố A 3) xuất hiện (n-2) lần biến cố B và 2 lần biến cố A m+1) xuất hiện (n-m) lần biến cố B và m lần biến cố A, v.v n) xuất hiện 1 lần biến cố B và ( n-1) lần biến cố A n+1) xuất hiện n lần biến cố A. Xác suất trờng hợp thứ nhất là q n . Trờng hợp thứ hai có thể xảy ra một trong các dạng: hoặc là xuất hiện biến cố A trong lần thử thứ nhất, hoặc lần thứ hai, 63 hoặc lần thứ ba, v.v cho đến lần cuối cùng, hơn nữa trong mọi trờng hợp còn lại đều xuất hiện biến cố B; xác suất mỗi biến cố trong các dạng này bằng nhau và bằng q n-1 p, vì số lợng các dạng này bằng n, nên xác suất trờng hợp thứ hai sẽ bằng: P 2 = nq n-1 p Trong trờng hợp thứ ba xác suất mỗi dạng bằng q n-2 p, còn số dạng khi thực hiện trờng hợp thứ ba, tất nhiên, bằng số kết hợp từ n thành tố theo 2, tức là: . n )1n(n C 2 n = Suy ra xác suất trờng hợp thứ ba bằng: .pqCP 22n2 n3 = Bằng cách tơng tự có thể tìm thấy xác suất mọi trờng hợp còn lại. Phù hợp với qui luật phân bố nhị thức đã trình bày, khái quát cho n thành viên, có thể viết dới dạng sau: .1pnqp pq ! m )1mn) (1n(n pq !3 )2n)(1n(n pq !2 )1n(n pnqq)pq( n1nmmn 33n22n1nnn =+++ + + + + ++=+ (2.1) Tổng tất nhiên là bằng 1, vì q+p=1 Xác suất rằng biến cố B xuất hiện (n-m) lần, còn biến cố A xuất hiện m lần, sẽ bằng: ,pqC)m(P mmnm n = (2.2) hoặc: ,pq )!mn(!m !n pq )!mn(!m )1mn) (1n(n )m(P mmnmmn = + = (2.3) tức là bằng thành viên thứ (n-m) , hoặc thành viên chứa đại lợng p m trong khai triển nhị thức (q+p) m . Phân bố nh thế gọi là nhị thức. Kết luận trên trực tiếp suy ra từ sơ đồ lập luận gắn ớc lợng xác suất không liên tục ( rời rạc ) của đại lợng ngẫu nhiên đợc ký hiệu qua m. 64 Dạng chung của qui luật phân bố nhị thức với n và p khác nhau thể hiện trên h.2.1. Khi p=0,5 qui luật phân bố nhị thức đối xứng, Nó tiến tới đối xứng với n tăng và ngay cả khi p 0,5, hơn thế còn đạt tới giới hạn nhanh hơn khi p càng gần giá trị 0,5. Với p < 0,5 qui luật phân bố nhị thức lệch trái (dơng), khi p > 0,5 - lệch phải (âm). Kỳ vọng toán học [E(m)] đại lợng ngẫu nhiên rời rạc m, phân bố theo qui f) e)d) c) b) a) Hình. 2.1 Phân bố nhị thức rời rạc với các tham số n và p khác nhau a) n=10, p=0,8; b) n=10, p=0,5; c) n=10, p=0,2; d) n=5, p=0,2; e) n=20, p=0,2; f)n=15, p=0,2. luật nhị thức, bằng np)m(Em == (2.4) Đẳng thức (2.4) nhận đợc nh sau. Khi sử dụng công thức (2.2) cũng nh biểu thức (1.3) và q=1-p, ta có: = = = ==== n 0m mnm n 0m mnmm n n 0m nn .)p1(p )!mn(!m !n m)p1(pmC)m(mP)m(Em Với m=0, số hạng thứ nhất bằng không. Vì thế lấy tổng bắt đầu từ m=1. Đa np ra khỏi dấu tổng, ta có: = == 1n 1m mn1m .)p1(p )!mn()!1m( )!1n( np)m(Em 65 [...]... r= m3 2m 2 Biểu diễn phơng trình (2. 25) qua các mômen của đờng phân phối trong đó có sử dụng đến các quan hệ của (2. 30) ta có: ( m y = c(m2 3 x) 2m 2 m3 2m2 2 ).2m2 2m2 m3 m3 e 2 m2 x m3 (2. 31) Biến đổi mũ trong biểu thức (2. 31) m3 2m 2 2 )2m 2 ( 2m 2 m3 2m m 4m3 4m3 = 2 3 + 32 = 32 1 m3 2m 2 m3 m 2 m2 và thay giá trị của nó vào (2. 31) khi đó đa ra ngoài dấu ngoặc biểu thức 2m x + m3 2 2 ... (2. 2) ta tính xác suất cho 20 năm sẽ là tuần tự 1, 2, , 10 trờng hợp với sông khô cạn trong mùa hè: P 20 ( 0 ) = C 0 0 , 2 0 0 ,8 20 = 0 , 0115 , 20 P 20 (1) = C 1 0 , 2 1 0 ,8 19 = 0 , 0576 , 20 P 20 ( 2 ) = C 2 0 , 2 2 0 ,8 18 = 0 ,137 , 20 P 20 ( 3 ) = C 3 0 , 2 3 0 ,8 17 = 0 , 20 50 , 20 P 20 ( 4 ) = C 4 0 , 2 4 0 ,8 16 = 0 , 21 80 , 20 P 20 ( 5 ) = C 5 0 , 2 5 0 ,8 15 = 0 ,1746 , 20 ... ,8 15 = 0 ,1746 , 20 P 20 ( 6 ) = C 6 0 , 2 6 0 ,8 14 = 0 ,1090 , 20 P 20 ( 7 ) = C 7 0 , 2 7 0 ,8 13 = 0 , 0540 , 20 P 20 ( 8 ) = C 8 0 , 2 8 0 ,8 12 = 0 , 022 1 , 20 P 20 ( 9 ) = C 9 0 , 2 9 0 ,8 11 = 0 , 0074 , 20 P 20 (10 ) = C 10 0 , 2 10 0 ,8 10 = 0 , 0 02 , 20 P 20 (11 ) = C 11 0 , 2 11 0 ,8 9 = 0 , 0005 , 20 P 20 ( 12 ) = C 12 0 , 2 12 0 ,8 8 = 0 , 000086 20 68 Hệ số nhị thức C... 4m3 2 m3 2 1 và cuối cùng thay m3 c 1 = c 2m 2 4m3 2 m3 2 1 Sau cùng ta nhận đợc phơng trình của đờng phân phối nhị thức liên tục đối với trọng tâm của phân phối 89 y = c1 e 2m 2x m3 2m x + m3 3 2 4 m3 2 m 32 1 (2. 32) Chuyển phơng trình này đối với đầu đờng phân phối 0 đầu đờng phân 2m 2 2 = 0 Thay biến số trong phơng trình (2. 32) phối y=0, Khi x + m3 x' = x + 2m 2 2 m3 (2. 33) chúng... thờng ứng dụng trong thuỷ văn - hệ số biến đổi và hệ số bất đối xứng Tính đến (1 .22 ), (1 .27 ), (2. 4 )-( 2. 6), ta đợc: Cv = Cs = à3 C3 v = npq m q = = , m np np npq (q p) q np 3 = npq (np) 3 q 3 (2. 7) = npqn 3 / 2 p 3 / 2 q3/ 2 = n 5/ 2p5/ 2 q3/ 2 = (np) 5 q (2. 8) Sơ đồ nhị thức đối với phân bố rời rạc các đại lợng có thể tìm thấy ứng dụng khi giải một số bài toán thuỷ văn Xét ví dụ sau Trong kết... tâm các quan hệ của các tham số đó với mômen bậc một, bậc hai và bậc ba, vì nói chung trong tính toán thuỷ văn các mômen bậc cao hơn không dơng dùng khi mô tả đờng phân phối nhị thcs Ta biết rằng m0=1 và m1=0: Theo biểu thức tính toán (2. 29) ta đợc: Khi n = 0 -b1 = r Khi n = 1 -b0 = r2 88 3b1m2 = m3 + rm2 Khi n = 2 Từ đó: 3b1m 2 = m3 + (b1 )m 2 b1 (3m 2 m 2 ) = m3 b1 = m3 2m 2 (2. 30) b 0 = m 2 r=... 1 = i =1 r =2 Khi r = 2 f 2 = A 2i i = + 2 i =1 r =3 Khi r = 3 f 3 = A3i i = + 32 + 3 i =1 75 Giá trị của hệ số Ari lấy theo bảng 2. 1 Các mômen cao hơn bậc ba trong tính toán thuỷ văn ngời ta không dùng nên ta không xét Theo các công thức (1.38) biểu hiện mômen trung tâm à qua mômen gốc (fr), ta nhận đợc à1 = 0 à 2 = + 2 2 = à 3 = + 32 + 3 ( + 2 ) + ( ) 3 = + 32 + 3 32 33 + 23 = Phân tích... tổng n(n-1)p2 và thay đổi giới hạn tổng: n ( n 2) ! p m 2 (1 p ) n m m = 2 ( m 2 )!( n m )! n m ( m 1) P ( m ) = = n ( n 1) p 2 m =0 Đa vào các ký hiệu mới: y=m -2 và z=n -2 , khi đó: n z m=0 y=0 m(m 1)P(m) = = n(n 1)p2 Cz p y (1 p) zy = n(n 1)p2 y 66 Trong biểu thức ban đầu đối với phơng sai thay các số hạng vừa nhận đợc: n n n m =0 m =0 2 (m) = m 2 m 2 = m(m 1)P(m) + mP(m) m 2 = m... b0yxn=0 b1yxn+1=0 vì các tung độ y điểm đầu và cuối đờng phân phối bằng không Thay (2. 27) và (2. 28) vào (2. 26) và biểu diễn các tích phân qua mômen, ta nhận đợc biểu thức truy toán đối với các mômen của đờng phân phối nhị thức -b0nmn-1-b1(n+1)mn=mn+1+rmn (2. 29) theo cách xác định mômen của đờng phân phối yx yx yx n 1 n dx = m dx = m n +1 n 1 n dx = m n +1 Biểu thức (2. 29) liên kết các tham số r, b0... đông 2m 2 = ; m3 2m 2 m 3 m2 2 = r = ; m 3 2m 2 r 4m 3 = 22 1 m3 để từ phơng trình (2. 32) nhận đợc phơng trình (2. 36), cần chú ý là khi chuyển gốc toạ độ từ trọng tâm của phân phối sang số đông, hoành độ x ở hệ toạ độ mới sẽ liên kết với hoành độ ở hệ toạ độ cũ bằng quan hệ x ' = x + đã chuyển gốc toạ độ sang bên trái một đại lợng r = m3 , vì chúng ta 2m 2 m3 2m 2 Xét những quan hệ cơ bản giữa các . .000086,08,0 .2, 0.C) 12( P ,0005,08,0 .2, 0.C)11(P ,0 02, 08,0 .2, 0.C)10(P ,0074,08,0 .2, 0.C)9(P , 022 1,08,0 .2, 0.C)8(P ,0540,08,0 .2, 0.C)7( P ,1090,08,0 .2, 0.C)6(P ,1746,08,0 .2, 0.C)5(P ,21 80,08,0 .2, 0.C)4(P ,20 50,08,0 .2, 0.C)3(P ,137,08,0 .2, 0.C )2( P ,0576,08,0 .2, 0.C)1 (P ,0115,08,0 .2, 0.C)0(P 8 121 2 20 20 91111 20 20 101010 20 20 1199 20 20 128 8 20 20 1377 20 20 1466 20 20 1555 20 20 1644 20 20 1733 20 20 1 822 20 20 1911 20 20 20 00 20 20 == == == == == == == == == == == == == . tính các tham số phân bố thực nghiệm đã cho theo công thức (2. 5) - (2. 8): 2 = npq = 20 .0 ,2( 1-0 ,2) = 3 ,2, .335,0 )789,1( 92, 1 C , 92, 1 )2, 08,0(8,0 .2, 0 .20 )pq(npq 447,0 4 789,1 m C 789, 12, 3 2 3 3 s 3 vm == à = ===à == = == . .000086,08,0 .2, 0.C) 12( P ,0005,08,0 .2, 0.C)11(P ,0 02, 08,0 .2, 0.C)10(P ,0074,08,0 .2, 0.C)9(P , 022 1,08,0 .2, 0.C)8(P ,0540,08,0 .2, 0.C)7( P ,1090,08,0 .2, 0.C)6(P ,1746,08,0 .2, 0.C)5(P ,21 80,08,0 .2, 0.C)4(P ,20 50,08,0 .2, 0.C)3(P ,137,08,0 .2, 0.C )2( P ,0576,08,0 .2, 0.C)1 (P ,0115,08,0 .2, 0.C)0(P 8 121 2 20 20 91111 20 20 101010 20 20 1199 20 20 128 8 20 20 1377 20 20 1466 20 20 1555 20 20 1644 20 20 1733 20 20 1 822 20 20 1911 20 20 20 00 20 20 == == == == == == == == == == == == ==