Bất đẳng thức

Bất đẳng thức

Chuyên đề bất dẳng thúc Cho Chứng minh ( theo Côsi) Đẳng thức xảy Chứng minh với ta có ( đẳng thức xảy ) Lại có Đẳng thức xảy Tìm giá trị lớn nhỏ Ta có : Đặt Khi Xét hàm số Suy : Vậy ,chẳng hạn Trong số thực Hãy tìm thỏa mãn hệ thức biểu thức đạt giá trị lớn Xác định giá trị lớn đạt giá trị lớn Tùy theo giá trị m, tìm giá trị nhỏ biểu thức: đạt dấu "=" thỏa mãn Hệ có hệ có nghiệm Vậy Với Đặt đạt dấu = Vậy Cho minh độ dài trung tuyến, bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác Đẳng thức xảy Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé hàm số : Ta có : Đặt Điều kiện : Chứng Ta có : Thay vào biểu thức y ta : + đồng biến ( ) Vậy nghiệm phương trình: Với giá trị biểu thức đạt giá trị lớn Điều kiện để phương trình có nghiệm : Ta có : Khi : Vì Do Vậy Tìm giá trị nhỏ : Đặt nên , với Khi : Xét Ta có : Xét bảng biến thiên: 10 Cho ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng: Do giả thiết (đpcm) Đẳng thức xảy chẳng hạn 11 Cho Tìm giá trị nhỏ của: Áp dụng Côsi cho trường hợp số trường hợp số, ta có: Vậy GTNN P Dấu = 12 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: Đặt với - Nếu nghịch biến - Nếu đồng biến tròn - Nếu có bbt Vậy Kết luận 13 Giả sử hai số dương thỏa mãn điều kiện Giá trị Tìm giá trị nhỏ tổng đạt Vậy 14 Chứng minh: ta có: Nhận xét: Dấu “ ” xảy 15 Cho số dương thoả mãn Chứng minh: Ta có: 16 Chứng minh Ta có: BĐT cho đúng, “ 17 Cho ” xảy Chứng minh Ta có: bất đẳng thức cho đúng, dấu “ ” xảy 18 Chứng minh Dấu xảy 19 Chứng minh Ta có: Dấu 20 Chứng minh với số dương xảy ta ln có bất đẳng thức Vì Tương tự: Do vế trái bất đẳng thức cần chứng minh không lớn : (đpcm) Đẳng thức xảy 21 Cho thoả mãn Chứng minh: Từ giả thiết suy ra: *) Xét Ta có: Mà nên nghiệm phương trình *) Trường hợp: Mà nghiệm phương trình: Từ Tương tự cho , ta có: 22 Cho số thoả mãn Chứng minh: Từ Kết hợp mà nên nghiệm phương trình Tương tự cho 23 Cho số thực thoả mãn điều kiện sau: Từ giả thiết suy ra: Do Dấu “ ” xảy 26 Cho nghiệm phương trình: nên 24 Cho 25 Cho Chứng minh Chứng minh: số 1, số lại Chứng minh: Chứng minh : (*)đúng Dấu “ ” xảy số có số số 27 Cho Chứng minh: Ta chứng minh: Thật vậy: Ta có: dấu “ ” 28 Cho 29 Chứng minh Chứng minh: ta có Ta có : Dấu “ ” xảy 30 Chứng minh : ta có: +) Ta chứng minh: Nhận xét: Cho Thật đúng Áp dụng: +) Ta chứng minh: Ta có: Tương tự: Từ BĐT cần chứng minh 31 Cho thoả mãn: Chứng minh: Từ giả thiết suy 10 Viết hai bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có: Đẳng thức xảy 42 Chứng minh với số dương bất kỳ, ta có: Có Viết bất đẳng thức tương tự cộng lại ta có đpcm 43 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Điều kiện Ta có : Đẳng thức đạt Vậy GTLN Mặt khác Đẳng thức xảy Vậy GTNN -1 44 Chứng minh với Áp dụng Côsi: : Cộng lại ta có (đpcm) 45 Chứng minh rằng: Với Đặt Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho số dương , số dương 14 số dương ta có: 46 Chứng minh rằng: Ta có: Hồn tồn tương tự ta có: Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh 47 Cho a>0,b>0.Chứng minh rằng: với Áp dụng bất đẳng thức Cơ-Si ta có: 48 Cho Chứng minh rằng: Vì Áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho bốn số dương: Ta có: Thu gọn ta có: 49 Chứng minh rằng: với Ta có: Ta lại có: Vậy (đpcm) 50 Cho a,b,c>0 a+b+c=1 Tìm giá trị nhỏ nhất: Ta có: 15 Lại có: Cộng BDT ta có: Vạy 51 Cho và: a+b=2.Tìm giá trị lớn của: Ta có b=2-a Thay vào có: với Khảo sát F [0;2] ta có MaxF=F(2;0)=40 52 Cho a,b,c>0 Chứng minh: Ta có bất đẳng thức: ; ; Vậy có: Lại có: nên có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức a=b=c 53 Cho a,b>2 và: a+b=8 Tìm giá trị nhỏ của: Vì a>2; b>2 nên có a-2>0 b-2>0 Theo BDT Cosi ta có: hay: hay: Cộng vế hai bất đẳng thức ta có: Vậy giá trị nhỏ F 320 a=b=4 54 Cho bốn số x, y, z , t thay đổi thỏa mãn hệ điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Theo bunhiacơxki ta có : Ngồi ra, với ta có 16 Mặt khác, , với 55 Cho số x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Đặt : có ; Từ Bảng biến thiên ta có: 56 Các số x, y, z thay đổi ln thỏa mãn điều kiện : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Đẳng thức Mặt khác : Có thể chọn ( 57 Cho x, y, z > Chứng minh : Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có : ta có : Tương tự ta có : 17 ) Suy : (đpcm) Dấu “=” xảy và 58 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức : Có Đặt giả thiết Theo Bunhiacopxki : Nếu Đảo lại , Vậy 59 Cho Chứng minh ( theo Côsi) Đẳng thức xảy 18 60 Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Ta có : Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: nên Hồn tồn tương tự ta có: (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: (đpcm) Dấu "=" xảy a=b=c=1 61 Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: nên (1) Hồn tồn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Dấu "=" xảy a=b=c=1 62 Tìm giá trị nhỏ M = ta có + với x ; y; z > = tương tự với nhân tử ngoặc lại ta M dấu = xảy x = y = z 63 Cho a,b,c số dương a+b+c = 1.Chứng minh : Áp dụng BĐT được: 19 suy Mà ta có Vậy Đẳng thức xảy 64 Cho x y nghiệm phương trình: thức: Tìm giá trị nhỏ biểu 65 Cho x y nghiệm phương trình: thức: Tìm giá trị lớn biểu 66 Tìm giá trị nhỏ biểu thức biết x y thay đổi thoả mãn điều kiện: 67 Cho x,y,z thay đổi thoả điều kiện : Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 20 68 Cho x, y, z số dương Chứng minh : Đẳng thức xảy 69 Cho x, y, z số dương Chứng minh Có ( dấu = xảy ) Do : 70 Cho a,b,c,d số dương thỏa mãn điều kiện Tìm Max A=abcd 21 71 Cho x,y,z > x*y*z=1, n thuộc tập hợp số nguyên dương Tìm Min biểu thức : 72 CMR tam giác ABC có cạnh a,b,c có diện tích Ta có Vậy nên Biến đổi Từ Đẳng thức xảy khi: a=b=c 73 Cho x,y dương thỏa mãn : Tìm giá trị nhỏ x+y Áp dụng bất đẳng thức BunhiaCopxkia ta có: Dấu "=" xảy khi: Vậy 74 Cho Chứng minh: 22 BĐT cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: , tồn Từ (1) suy ra: Suy ra: 75 Cho (đpcm) CMR: Đặt Khi bất đẳng thức trở thành Ta có Tương tự ta có : Cộng lại với Côsi cho số dương (x) (y) Từ x,y 76 Chứng minh với a,b,c dương, ta có: Sử dụng bdt Cauchy - Schwarz ta có: Từ hai bdt suy điều phải chứng minh 23 cho: 77 Cho a>0,b>0,c>0 abc=1 ,chứng minh : P= Ta có bất đẳng thức với a,b,c >0 : Vì tích abc=0 a>0,b>0,c>0 nên ta đặt : (với x,y,z >0} Vậy 78 Cho Tìm A = 79 Cho số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = abc Tìm giá trị nhỏ của: P = Ta có theo cauchy tương tự lại có và Cộng theo vế bdt rút gọn dc 80 Cho tam giác Chứng minh rằng: Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: Ta có: Vậy Bất đẳng thức 24 81 Tìm min: với x>0,y>0,z>0 : Áp dụng BĐT với số dương : Đặt ,phương trình tương đương áp dụng BĐT cosi : nên dễ thấy nên 82 Cho số thực dương a,b,c thỏa tìm : A= ta có P =9 83 Tìm : A= Ta có: ,biết P= mà : 84 Cho x,y,z số dương P = x=y= Chứng minh Ta có Tương tự Cộng vế theo vế ta 25 85 Cho số dương Chứng minh rằng: Áp dụng BĐT Cauchy ta có: Do đó: Đẳng thức xảy 86 Cho a, b, c>0 Tìm giá trị nhỏ của: Áp dụng bất đẳng thức Cosi có: ; ; Vậy có: Vậy MinF=6 a=b=c=1 87 Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: Ta có: Tương tự có: ; Do đó: Từ có điều phải chứng minh Dấu khi: a=b=c 88 Cho 89 Cho a,b,c > , chứng minh: Chứng minh : 26 Có: ; ; Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: Dấu đẳng thức : 90 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất: (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có: Vậy giá trị nhỏ P a=b=c=1 91 Cho a,b,c>0 và: a+b+c=abc Tìm giá trị nhỏ của: ta có theo cauchy tương tự Mặt khác ta lại có: (1) (2) (3) (4) (5) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2),(3),(4),(5) (6) ta có: 92 Cho a,b,c>0 Tìm giá trị nhỏ của: Đặt : a=x; b+1=y; z+2=c ta có bất đẳng thức dạng: Ta có: 27 (6) Theo BDT Cosi: Vậy: hay Dấu xảy khi: a=b+1=c+2 93 Cho a,b,c>0 và: Ta có: Tìm giá trị nhỏ của: Do: Lại có: Lại có: Nên có: Dấu khi: 28 ... Có: ; ; Cộng vế ba bất đẳng thức ta có: Dấu đẳng thức : 90 Cho a,b,c>0 và: Tìm giá trị nhỏ nhất: (1) (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Áp dụng bất đẳng thức Svacso ta có:... minh rằng: Bất đẳng thức Do nên ( áp dụng bất đẳng thức Côsi ) (đpcm) 34 Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ hàm số: Đặt dấu với 35 Cho số ,do Chứng minh : Ta có : Áp dụng bất đẳng thức Côsi Bunhiacopxki:... minh Ta có: bất đẳng thức cho đúng, dấu “ ” xảy 18 Chứng minh Dấu xảy 19 Chứng minh Ta có: Dấu 20 Chứng minh với số dương xảy ta ln có bất đẳng thức Vì Tương tự: Do vế trái bất đẳng thức cần chứng