Bất đẳng thức tích phân

Bất đẳng thức tích phân

Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân Chứng minh : 3π π π
∫π dx
2 4 − sin x cot g
∫π dx
12 x π 1
∫ dx
6 1− x 1 1+ x x ln < ∫ π ∫ dx < π π dx
x + x+1 π π x
∫ dx
x +x +x +3 18 Bài giải : π 3π 1 1
x
⇒
sin x
⇒
sin x
⇒
sin x
⇒
− sin x
⇒

1 4 2 − sin x 3π 3π 3π 3π 1 π π dx
∫ π dx ⇒
∫π dx
⇒ ∫π dx
∫π 2 4 − sin x 4 − sin x  
cot gx
π cot gx π π cot gx π3 π3
x
⇒  dx dx dx ⇒ ⇒



∫π x π π π ∫π π ∫π 4 x 3

 π x π π cot gx
∫π dx
12 x Bài toán giải theo phương pháp đạo hàm
x
< ⇒
x

x < ⇒ −1
− x
− x
⇒
− x
− x
⇒ − x
− x
1 1
dx
I ⇒ 1
⇒ ∫ dx
∫ 0 1− x 1− x − x6 1  π π Với I = ∫ − ;  ⇒ dx = cos tdt dx Đặt x = sin t ; t ∈    2 - x2 1 1 x 1 π cos tdt π dx
⇒I=∫ = ∫ dt = Vaäy
∫ 0 π 6 t − x6 − sin t
x
⇒ x
x
⇒ x
x x
x ⇒ + x
+ x x
+ x 1 ⇒

( 1) ; ∀x ∈ [ 0,1] x + 1 + x x + x2 ⇒ Dấu đẳng thức (1) xảy : VT(1)
VG(1) x = ⇒ x∈∅  VG(1)
VP(1) x = 1 dx 1 1 π dx < ∫ dx < ∫ ⇒ ln < ∫ dx < 1+ x 0 x +1 1+ x x 1+ x x 1 π Chú ý : ∫ dx = Xem tập + x2 Do : ∫ 1 Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân
x
⇒ x
x ⇒ x2 + x2
x + x ⇒ + x
x2 + x + ⇒ 1
x + x + 2( x + 1) 1 1 1 dx
∫ dx ; I = ∫ dx x + x+2 0 x +1 + x2 dt = (1 + tg t)dt Đặt x = tgt ⇒ dx = cos t π + tg t π x π π π Vaäy ∫ ⇒I=∫ dx
dt = ∫ dt = ⇒ I = + tg t 0 x + x+2 π 4 t 
x
x ⇒
x5 + x
x ⇒ x3 +
x + x4 + x3 +
x +
x
⇒ 

x x  ⇒∫ ⇒ 1 x x x ⇒



4 3x + x + x + x + x + 3x + x + x + x + x + 3 1 x x x dx
∫ dx
∫ dx ( ) 3x + x + x + x +3 x +3 ⇒∫ x 1 x x = dx dx ; Đặ t x = t ;( t  0) ⇒ dx = tdt ∫ x3 + 3 x +1 t 1 1 2t t dt t du π I1 = ∫ dt = ∫ Đặt u = t ⇒ du = 3t dt ⇒ I1 = ∫ = 0 t +1 (t ) + 1 u + 18 u π Keát : I = (bài tập 5) 1 x π x °I2 = ∫ = (tương tự) Vaäy (1) ⇔ I1
∫ dx
I2 x +3 x + x + x3 + ° I1 = ∫ 1 π π x
∫ dx
18 x + x + x +3 1,Chứng minh : ∫ π 2.Nếu : I ( t ) = ∫ t sin x cos x (1 + sin x ) (1 + cos x ) 4 dx  π 12 tg 3t + tgt tg x  π  π ) ( dx > , ∀t ∈  ,  ; : tg  t +  > e cos x 4  4  Bài giải : Ta có : ⇒ + cos2 x + sin2 x + sin x + cos x =  (1 + sin x)(1 + cos4 x) (1 + sin x)(1 + cos x) (1 + sin x)(1 + cos x) + sin x + + cos x 1  = + 4 4 (1 + sin x)(1 + cos x) (1 + sin x)(1 + cos x) + sin x + cos x Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt ⇒ Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x  sin x sin x   + ⇒   +  4 4 4 (1 + sin x)(1 + cos x) + sin x + cos x (1 + sin x)(1 + cos x)  + sin x + cos x  π sin x cos x  π sin x sin x   + dx dx dx   4 ∫ ∫ 0 (1 + sin x)(1 + cos x ) 6 + sin x + cos x  π sin x °J1 = ∫ dx Đặ t t = sin x ⇒ dt = sin xdx + sin x π x ⇒ J = dt = π (keát I= π tập 5) ∫0 t + t π sin x °J2 = ∫ dx Đặ t u = cos x ⇒ du = − sin xdx + cos x π x du π π ⇒ J2 = ∫ = (kết I= tập 5) u u +1 4 π π sin x cos x sin x cos x π ⇒∫ dx  ( I + J ) Vaäy ∫ dx  4 0 (1 + sin x)(1 + cos x) (1 + sin x)(1 + cos x) 12 dt Đặt t = tgx ⇒ dt = (1 + tg x) dx ⇒ dx = + t2 ⇒∫ π tgt tgt t tgt t dt tgt  dt   t-1  tgt - I =∫ t - t + t = ∫0 - t = ∫0  -t - + - t dt =  - t - t - ln t +  = - tg t - tgt - ln tgt + 1 + t2 Vì 1 tgt - I > neân : - tg t - tgt - ln >0 (t) tgt +  tg t + tgt  tgt − 1 π π    ⇔ ln = ln tg  t +  > tg t + tgt ⇒ tg  t +  > e  tgt + 4 4   1 x2 Chứng minh : vaø lim In dx = ≤ ∫ In dx ≤ I n = n→+∞ 2( n + 1) n+1 x +1 vaø lim J n dx = J n = x n ( + e-x ) Chứng minh : < ∫ J n dx
n→+∞ n +1 Baøi giaûi : n x xn xn 1 1
x
⇒
x +
⇒

1 ;

x n ⇒ ∫ x n dx
∫ dx
∫ x n dx 0 x +1 x +1 x +1 2 2 1 n n x x x n+1 x n+1 1 ⇒
∫ dx
⇒
∫ dx
x +1 x +1 n +1 ( n +1) n +1 ( n + 1)  Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt  =0  nlim →∞ ( n + 1) Ta coù :   lim =  n→∞ n + ⇒ lim Chuyeân Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân xn n→∞ x + =0
x
⇒
e − x
e = ⇒
+ e − x
⇒ x n
x n (1 + e − x )
x n hay
x n (1 + e − x )
x n ⇒
∫ x n (1 + e − x ) dx
2∫ x ndx ⇒
∫ x n (1 + e − x ) dx
1 0 Ta coù : lim ⇒ lim xn (1 + e− x ) dx = =0 n→∞ n + n +1 n→∞ Chứng minh : π ∫ π cos x(4 − cos x)(2 cos x + 2)dx ≤ 8π - π ∫π ∫ sin x(1 + sin x )(5 − sin x)dx < π ∫ sin x cos6 xdx ≤ 2π ∫ ln x(9 − ln x − ln x)dx ≤ 8(e − 1) π tgx(7 − tgx)dx ≤ 49π 64 243π 6250 Bài giải : Đặt f(x) = cosx(4 - cosx )(2 cosx + 2)  cos x + − cos x + cos x +   = f(x)
    cauchy ⇒∫ π −π 2 f(x)dx
8∫ π −π 2 dx ⇒ ∫ π −π cos x(4 − cos x )(2 cos x + 2)dx
8π 2 Đặt f ( x) = ln x (9 − ln x − ln x) = ln x (3 + ln x )(3 − ln x )  ln x + + ln x + − ln x   = f ( x)
    ⇒∫ e e f ( x) dx
8∫ dx ⇒ ∫ e ln x (9 − ln x − ln x) dx
8( e −1) 3 Đặt f ( x) = sin x (1 + sin x)(5 − sin x )  sin x + + sin x + − sin x  
; f(x)
     sin x = + sin x  sin x = −1 Đẳng thức ⇔  ⇔ x∈∅ ⇔  sin x =  sin x = − sin x ⇒ f(x) < ⇒ ∫ π π f(x)dx < 8∫ π π dx ⇒∫ π π sin x(1 + sin x )(5 − sin x)dx < 4 Đặt f(x) = tgx(7 − tgx) = tgx( − tgx) 4 2π Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phaân  tgx + − tgx  49 f ( x) ≤   =  4 16  ∏ ∏ 49 ∏ 49 ∏ ⇒ ∫ f ( x ) dx
⇒ dx tgx − tgx dx
∫ ∫ 0 16 16 ( ) sin x.cos x = (1 − cos x).(1 − cos x).cos x cos x cos x = (2 − cos x)(1 − cos x).cos x.cos x.cos x  − cos x + − cos x + cos x + cos x + cos x  ≤   2  ∏ 243 243 ∏ ⇒ sin x.cos x ≤ ⇒ ∫ sin x.cos xdx ≤ 6250 6250 Chứng minh : ∫ ∏ −∏ ∫ e − ( ) ( cos x + 3sin x + sin x + 3cos x dx
) 5∏ 3 + ln x + − ln x dx
( e − 1) ∏
∫ cos x + sin x ∏ dx
x +4 Bài giải : Đặt f ( x ) = cos x + 3sin x + sin x + 3cos x f ( x )
( cos x + 3sin x + 3cos x + sin x ) ⇒ f ( x )
2 ∏ ∏ ∏ − − − ⇒ ∫ ∏2 f ( x ) dx
2 ∫ ∏2 dx ⇒ ∫ ∏2 3 ( ) cos x + 3sin x + sin x + 3cos x dx
Đặt f ( x ) = + ln x + − ln x f ( x ) ≤ ( + ln x + − ln x ) ⇒ f ( x ) ≤ e e e ⇒ ∫ f ( x ) dx
∫ dx ⇒ ∫ + ln x + − ln x dx ≤ ( e − 1) 1 ( ) 3 cos x + sin x ≤ ( 3)2 + 1 ( cos x + sin x ) ⇒ cos x + sin x x +4 ≤ 2 ⇒ ∫0 x2 + cos x + sin x x +4 ≤ 2∫ dx x +4 5∏ Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân Đặt x = 2tgt ⇒ dx = (1 + tg t ) dt x t ⇒∫ ∏ ⇒∫ cos x + sin x dx
x +4 ∏ (1 + tg 2t ) ∏ dx ∏4 =∫ = dt dt = ∫ 0 x +4 (1 + tg t ) cos x + sin x ∏ ∏ ∏ ⇒−
∫ dx
4 x +4 ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN Chứng minh : 1.∫ ∏ 2.∫ 3.∫ ∏ sin xdx
2∫ sin xdx ∫ (ln x) dx < ∫ ln xdx ∫ ∏ Bài giải :  ∏  0 ≤ sin x ≤ 1.∀x ∈  0;  ⇒  ⇒ 2sin x.cos x ≤ cos x   0 ≤ cos x ≤ ∏ 2x − x −1 dx < ∫ dx x x +1 ⇒∫ 2 ⇔ sin x ≤ cos x ∏ sin x sin x dx > ∫∏ dx x x ∫ ∏ ∏ cos xdx ∏ sin xdx ≤ 2∫ sin xdx ≤ ∫ ∏ cos xdx sin xdx < ∫ ∏ cos xdx Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt  ∏  cos x ≤ ∀x ∈  0;  ⇒    0 ≤ sin x ⇔ sin x ≤ 2sin x ⇒ ∫ ∏ Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân ⇒ sin x.cos x ≤ 2sin x sin xdx ≤ ∫ ∏ sin xdx x -1 x − −x + x − − = ⇒ dx < ∫ dx < ⇒∫ ∏ ∏−x x ∏−x x ∏ ∏ sin x sin x ⇒∫ dx > ∫∏ dx x x Hàm số y = f(x) = lnx liên tục [1,2] nên y = g(x) = (lnx)2 liên tục [1,2]
x
⇒
ln x
ln < (*) ⇒
(ln x )2 < ln x 2  ] ⇒ ∫ (ln x )2 dx < ∫ ln xdx ∀x ∈ [ 1,2 1 Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy taïi x0 = 1⊂ [1,2] ∏ ∏ sin x ⇒ < tgx < tg = ⇔ 0,88 Mặt khác : + x > ⇒ 1 + x4 dx < dx < Chú ý : học sinh tự chứng minh ∫ a +x 2 dx = ln x + x + a + C phương pháp tích phân phần Cách : x ∈ ( 0,1) ⇒ x < x ⇒ 1+ x < + x ⇒ 1+ x > Với : I = ∫ 1 1+ x 1 + x2 Đặt x = tgt ⇒ dx = ⇒∫ 1 + x4 dx > I dx dt = (1 + tg 2t ) dt cos 10 Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Xét : f ( x ) = x x +1 ; x ∈ [1, 2] có f '( x ) = Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân − x2 (1 + x )
; ∀x ∈ [1, 2] ⇒ hàm số nghịch biến ∀x ∈ [1, 2] ⇒ f( 2)
f ( x )
f (1) 2 x 2 x

⇒ ∫ dx
∫ dx
∫ dx x +1 x +1 2 x ⇒
∫
x +1 ⇒ sin x x.cos x − sin x ∏ ∏ ; ∀x ∈  ;  ⇒ f '( x ) = x x2 6 3 ∏ ∏  Đặt Z = x.cos x − sin x ⇒ Z ' = − x x < ; ∀x ∈  ;  6 3 Xeùt f ( x ) = ∏ ∏  ⇒ Z đồng biến ∀x ∈  ;  vaø : 6 3 ∏ −3 ∏ ∏ Z
Z∏ = < ; ∀x ∈  ;  ( 3) 6 3 ∏ ∏  ⇒ f '( x ) < ; ∀x ∈  ;  6 3 x -∞ f’(x) f(x) ∏ ∏ +∞ − ∏ ց 3 ⇒ 3
f( X )
2∏ ∏ hay : ⇒ 2∏ 3 sin x

2∏ ∏ x ∏ ∏ ∏3 3 ∏3 3 sin x sin x ⇒ dx dx dx dx



∏ ∏ ∏ ∏ ∫ ∫ ∫ ∫ 2∏ ∏ x x 6 Đặt t = cos x ; x ∈ [ 0, ∏ ] ⇒ t ∈ [ −1,1] vaø f (t ) = t + t + 1; t ∈ [ −1,1] 19 Ts Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân +∞ f '(t ) = 2t + 1; f '( t ) = ⇔ t = − t - ∞ -1 f’(t) f(t) −1 − ց + ր
f (t )
; ∀t ∈ [ −1,1] ⇒
cos x + cos x +
; ∀x ∈ [ 0, ∏ ] hay
cos x + cos x +
⇒

3 cos x + cos x + ∏ ∏ ∏ 1 ⇒ dx
∫ dx
∫ ∫ dx 0 cos x + cos x + 3 ⇒ ∏ 2∏ ∏
∫ dx
3 cos x + cos x + Chú ý : thực chất bất đẳng thức phải : ∏ ∏ 2∏