Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm
Võ Quốc Phong Tháng 6 năm 2007 (Cấm sao chép mà không trích dẫn)
Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là:
drdt t r a dt t r l d
d t r k dr
t
r
h
ds2 = ( , ) 2 + ( , )( θ2 + sin 2 (θ) ϕ2 ) + ( , ) 2 + ( , )
Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds2, tức là có thể biến đổi sao cho:
) , ( )
, ( 2
, , ,
, 2 ,
,
1( r , t ); t f ( r , t ); a ( r , t ) 0 ; k ( r , t ) r ; h e r t ; l e r t f
Ta suy ra ds2 như sau:
2 2
2 2
2 2 2 )
(
2 e c dt r (d sin d ) e dr
Ngoài ra ta có:
2 33 23
2 22 13
12
2 11 03
02 01
2 2 00 2
ϕ ϕ
θ θ
ϕ θ
ϕ θ
β α αβ
d g d d g d
g drd g drd g
dr g cdtd g cdtd g
cdtdr g
dt c g dx dx
g
ds
+ +
+ +
+
+ +
+ +
=
=
Đồng nhất hai biểu thức trên ta được:
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⎩
⎨
⎧
−
=
−
=
−
=
−
=
⎩
⎨
⎧
=
=
−
−
−
−
) ( sin
;
;
2 2 33 2 22
2 22 11
11 00
00
θ
θ
λ
λ ν
ν
r g
r g r g
r g
e g
e g e g
e g
Ta có một nhận xét quang trọng sau:gαβ =0 khiα ≠ , β g22, g33không phụ thuộc t [nhận xét (1)]
Các số hạng Chritoffel:
Ta có công thức tổng quát cho Chritofel như sau:
= ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎟⎟ ⎠ ⎞
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
=
0
2
1 2
1
βγ β
δγ γ
δβ αδ δ
βγ β
δγ γ
δβ αδ α
βγ
x
g x
g x
g g
x
g x
g x
g
Trường hợp 1: khi α ≠β ≠γ ⇒gαβ =gαγ =gβγ =0 ;khi lấy tổng theo δ thì chỉ còn lại
số hạng δ =α vì 0gαδ = khi δ ≠α theo nhận xét (1) ở trên nên:
Trang 20 2
1 2
1 3
0
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
=
βγ β
αγ γ
αβ αα
βγ β
δγ γ
δβ αδ
α
βγ
x
g x
g x
g g
x
g x
g x
g g
Trường hợp 2: khi ⎢
⎣
⎡
=
=
=
≠
γ β α
γ β α
⎢
⎣
⎡
≠
=
=
=
=
⇒
0
0 βγ αγ αβ
αγ αβ
g g g
g g
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
= Γ
=
Γ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
= Γ
=
Γ
α αα αα
α
αα α
αα α
αα αα
α
αα
α
βγ
α ββ αα
α
ββ β
αβ β
αβ αα
α
ββ
α
βγ
x
g g
x
g x
g x
g g
x
g g
x
g x
g x
g g
2
1 2
1
2
1 2
1
hoặc β =γ =0, trong các trường hợp α ≠0thìβ ≥ , do đó chỉ có các số hạng sau là α
khác không:
** Khi α =0 ta có: g22, g33 không phụ thuộc t nên chỉ có:
•
− ⎟=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
2
1 2
1 2
1
0 0
00 00 0
00
x e e x
g g
ν λ
λ
•
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
−
∂
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
ct
e e
x
g g
2 ) (
) ( 2
1 2
1
0 11 00
0 11
** Khi α =1
λ ν
ν
=
∂
∂
−
−
=
∂
∂
−
=
r
e e x
g g
2 )
( 2
1 2
1
1 00 11 1
00
2
) ( 2
1 2
1
1 11 11
1 11
λ
λ
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
−
∂
−
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
r
e e
x
g g
( − λ) = − − λ
∂
−
∂
−
−
=
∂
∂
−
=
r
r e
x
g
2
1 2
1 22 11 1
22
( )− λ θ = − θ − λ
∂
−
∂
−
−
=
∂
∂
−
=
r
r e
x
g
1 33 11 1
2
1 2
1
** Khi α =2, do g00,g11,g22không phụ thuộc vào θ nên chỉ còn:
θ θ θ
θ
cos sin )
sin (
) ( 2
1 2
2 2
33 22 2
∂
−
∂
−
−
=
∂
∂
−
=
x
g g
** Khi α =3:
0
3 33
3 22
3 11
3
00 =Γ =Γ =Γ = Γ
Trường hợp 3:α =β ≠γ
Trang 3⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
= Γ
=
α
αγ α
αγ γ
αα αα α
αγ
α βγ
x
g g x
g x
g x
g g
2
1 2
1
Ta tính được:
2 ) ( 2
1 2
1 2
0 11 11 1
10 1
10 0
11 11
1
10
•
∂
∂
=
∂
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂ +
∂
∂
=
ν
ct
e e x
g g x
g x
g x
g
0 2
1 2
11 2
11
11
1
∂
∂
=
∂
∂
=
Γ
θ
ν r t
e g x
g
g
0 2
1 2
11 3
11
11
1
∂
∂
=
∂
∂
=
Γ
ϕ
ν r t
e g x
g
g
r r
r r
x
g
2
1 2
2 1
22 22
2
∂
−
∂
−
=
∂
∂
=
0 ) ( ) ( 2
1 2
2 3
22 22
2
∂
−
∂
−
=
∂
∂
=
ϕ
r r
x
g
g
θ θ
θ
r x
g
∂
−
∂
−
=
∂
∂
=
sin 2
1 2
2 2 2
33 33
3
23
r r
r r
x
g
2
1 2
2 2 1
33 33
3
∂
−
∂
−
=
∂
∂
=
Do tính đối xứng nên trường hợp α =γ ≠β củng chính là trường hợp 3
Các số hạng Ricci:
Ta có công thức tổng quát như sau:
μ βν
ν αμ
ν μν
μ αβ β
μ α μ
μ
αβ
∂
Γ
∂
−
∂
Γ
∂
=
x x
R , khai triển dạng tổng quát này ta đươc:
3
3 3
3 2
2 3
3 1
1 3
3 0
0 3
2 3
3 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2 0
0
2
1 3
3 1
1 2
2 1
1 1
1 1
1 0
0 1
0 3
3 0
0 2
2 0
0 1
1 0
0 0
0
0
3 23 2 3 13
2 12
1 11
0 10 1 1 01
0 00 0
3 3
2 2
1 1
0 0 2
2 1
1 0
0
3 3
3 3
3 2
2 3
3 1
1 3
3 0
0 3
2 3
3 2
2 2
2 2
2 1
1 2
2 0
0
2
1 3
3 1
1 2
2 1
1 1
1 1
1 0
0 1
0 3
3 0
0 2
2 0
0 1
1 0
0 0
0
0
3 33
2 32
1 31
0 30 3 3 23
2 22
1 21
0 20 2
3 13
2 12
1 11
0 10 1 3 03
2 02
1 01
0 00 0
3 3
2 2
1 1
0 0 3
3 2
2 1
1 0
0
β α β α β α β α β
α β α β α β α
β α β α β α β α β
α β α β α β α
αβ αβ
αβ
β
α β
α β
α β
α αβ
αβ αβ
β α β α β α β α β
α β α β α β α
β α β α β α β α β
α β α β α β α
αβ αβ
αβ αβ
β
α β
α β
α β
α αβ
αβ αβ
αβ
αβ
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
+ Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ
Γ
+
+ Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
x x
x x
x x
x
x x
x x
x x
x x
R
Suy ra:
Trang 4( ) ( ) ( )
4 4 2 2
4 4
4 4
2 2
4 4
2 2 2
2
1 1 2
) 2
( 2 2 ) (
) 2 ( ) 2
(
) (
2 2
2 2
1 01
1 01
1 00
0 01
3 13
2 12
1 11
1 00
1 01
0 00
1 01
1
00
3 03
3 03
3 02
2 03
3 01
1 03
3 00
0 03
2 03
3 02
2 02
2 02
2 01
1 02
2 00
0
02
1 03
3 01
1 02
2 01
1 01
1 01
1 00
0 01
0 03
3 00
0 02
2 00
0 01
1 00
0 00
0
00
3 23
2 00
3 13
2 12
1 11
0 10
1 00
1 01
0 00
0
00
0
3 03 0
2 02 0
1 01 0
0 00 2
2 00 1
1 00 0
0
00
00
•
•
•
•
−
•
−
•
•
•
−
−
−
•
•
−
−
•
•
•
−
− +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′′
+
′
′
−
′
=
−
′ + +
−
′′
+
′
′
−
′
=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
+
′
′
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ′ + +
′ + +
∂
∂
−
∂
′
∂
=
Γ Γ + Γ Γ
− Γ + Γ + Γ Γ + Γ Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
λ λ ν λ ν
ν λ ν ν
λ ν
λ ν λ ν
λ ν ν
λ λ ν
ν λ
ν λ ν
λ ν
λ
ν
λ ν λ
ν λ
ν λ
ν
λ ν λ
ν
λ ν
r e
e r e
e e
e r
r
e ct
r
e
ct r
x x
x x
x x
x
R
4 4
2
) 2 4 4
(
2 4
4 4
4
1 1 ) 2
( )
(
) 2
(
2 2
2
2 2
3 13
3 13
2 12
2 12
1 10
0 11
0
10
0
10
3 13
2 12
0 10
1 11
0 00
0 11 1
3 13 1
2 12 1
0 10 0
0
11
3 13
3 13
3 12
2 13
3 11
1 13
3 10
0 13
2 13
3 12
2 12
2 12
2 11
1 12
2
10
0
12
1 13
3 11
1 12
2 11
1 11
1 11
1 10
0 11
0 13
3 10
0 12
2 10
0 11
1 10
0
10
0
10
3 23
2 22
2 11
3 13
2 12
1 11
0 10
1 11
1 01
0
00
0
11
1
3 13 1
2 12 1
1 11 1
0 10 2
2 11 1
1 11 0
0
11
11
ν λ ν λ ν λ ν λ λ
λ ν λ ν λ ν
λ
ν λ
ν
λ
ν λ ν
λ
ν λ
′
−
′ +
′
′ +
′′
− +
−
=
−
−
′
−
′ +
′
′ + +
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
′
∂
−
∂
∂
=
Γ Γ
− Γ Γ
− Γ Γ
− Γ
Γ
−
Γ + Γ + Γ Γ + Γ Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
••
•
•
•
−
−
•
−
•
•
−
•
r e
r
e r
e r
r r
r r
ct
e
x x
x x
x x
x x
x x
x
R
Trang 5( ) ( ) ( )
1 ) 1 2 2
( 1
2 2
2 2
) ( )
3 23
3 23
1 11
0 10
1 22 2
3 23 1
1
22
3 23
3 23
3 22
2 23
3 21
1 23
3 20
0 23
2 23
3 22
2 22
2 22
2 21
1 22
2 20
0
22
1 23
3 21
1 22
2 21
1 21
1 21
1 20
0 21
0 23
3 20
0 22
2 20
0 21
1 20
0 20
0
20
3 23
2 22
2 22
3 13
2 12
1 11
0 10
1 22
1 01
0 00
0
22
2
3 23 2
2 22 2
1 21 2
0 20 2
2 22 1
1 22 0
0
22
22
+
−
′
−
′
= +
−
′
−
′
=
−
′
−
′
−
∂
∂
−
∂
−
∂
=
Γ Γ
− Γ + Γ Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
−
−
−
−
−
−
−
ν λ
ν λ
θ λ
ν θ
θ
λ λ
λ λ
λ λ
λ
r r
e e
e r e
r
ctg e
r e
r ctg
r re
x x
x x
x x
x x
x
R
θ θ
λ λ
ν θ θ
θ θ θ λ
ν θ θ
θ θ θ
λ λ
λ
λ λ
2 2
2 2
2 2
3 32
2 33
1 11
0 10
1 33 2
2 33 1
1
33
3 33
3 33
3 32
2 33
3 31
1 33
3 30
0 33
2 33
3 32
2 32
2 32
2 31
1 32
2 30
0
32
1 33
3 31
1 32
2 31
1 31
1 31
1 30
0 31
0 33
3 30
0 32
2 30
0 31
1 30
0 30
0
30
3 23
2 22
2 33
3 13
2 12
1 11
0 10
1 33
1 01
0 00
0
33
3
3 33 3
2 32 3
1 31 3
0 30 2
2 33 1
1 33 0
0
33
33
sin sin
) 2 2 ( sin
sin
cos sin ) 2 2 ( sin
) cos sin ( ) sin
(
+
′ +
′ +
′
−
−
=
+
′ +
′
−
∂
−
∂ +
∂
−
∂
=
Γ Γ
− Γ + Γ Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
−
−
−
−
−
e r
e r
e
ctg e
r r
e r
x x
x x
x x
x x
x
R
Trang 6( ) ( ) ( )
r
x x
x x
x x
x x
x
R
•
=
Γ Γ
− Γ + Γ Γ + Γ Γ +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
λ
1 00
0 11
3 13
2 12
1 10
1 01
0 10 0
1 11 1
1
10
3 03
3 13
3 02
2 13
3 01
1 13
3 00
0 13
2 03
3 12
2 02
2 12
2 01
1 12
2
00
0
12
1 03
3 11
1 02
2 11
1 01
1 11
1 00
0 11
0 03
3 10
0 02
2 10
0 01
1 10
0
00
0
10
3 23
2 22
2 10
3 13
2 12
1 11
0 10
1 10
1 01
0
00
0
10
0
3 13 0
2 12 0
1 11 0
0 10 2
2 10 1
1 10 0
0
10
10
0
3 23
3 13
3 22
2 13
3 21
1 13
3 20
0 13
2 23
3 12
2 22
2 12
2 21
1 12
2 20
0
12
1 23
3 11
1 22
2 11
1 21
1 11
1 20
0 11
0 23
3 10
0 22
2 10
0 21
1 10
0 20
0
10
3 23
2 22
2 12
3 13
2 12
1 11
0 10
1 12
1 01
0 00
0
12
2
3 13 2
2 12 2
1 11 2
0 10 2
2 12 1
1 12 0
0
12
12
=
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ
− Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ + Γ
Γ
−
Γ + Γ Γ + Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ + Γ
Γ
+
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂ +
∂
Γ
∂
=
x x
x x
x x
x
R
Tương tự như vậy ta có:R20 = R30 = R23 = R13 = 0, cuối cùng ta được các số hạng ricci như sau:
4 4
2 2
4 4
2 2
00
•
•
•
•
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′′
+
′
′
−
′
r e
R
4 4
2
) 2 4
4 (
2 2
11
ν λ ν
λ ν
λ ν λ λ
ν
−
′ +
′
′ +
′′
− +
−
=
•
•
•
•
−
r e
R
1 ) 1 2 2
( 1
2 2
22 = λ ′ −λ − ν ′ −λ − − λ + = − λ r λ ′ − r ν ′ − +
e e
e r e
r R
θ θ
λ λ
ν θ
2
2 2 ( sin
−
R
r R
•
10
Trang 7• Tính R = gαβRαβ :
Suy ra:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2
4 4
2 2 4 4
2
sin
sin )
2 2 ( sin
sin sin
1 ) 1 2 2 (
4 4
2
) 2 4 4 (
4 4 2 2
4 4
r r
r r
e e
e
e r
e r
e r
r r e
r
r e
e
r e
e
R
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′ − ′ + +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′
′
−
′
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
′ +
′
′
−
′′
− +
−
−
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
− +
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′′
+
′
′
−
′
=
−
•
•
•
•
−
−
−
−
−
−
−
−
−
•
•
•
•
−
−
•
•
•
•
−
−
λ ν
λ ν λ λ ν
λ ν ν
θ θ
λ λ
ν θ
θ θ
ν λ
λ ν
ν λ ν λ ν λ λ
λ λ ν λ ν
ν λ ν ν
λ ν
λ
λ λ
λ λ
ν λ
λ
λ
ν
ν
Ta suy ra hệ phương trình Einstien:
αβ αβ
c
k R
g
2
−
( )
0 4
8 00
00 4
8 00 4
8 2
1 2
1
00 4
8 2 2 1
00 4
8 2
2 2
2 2 2 2
4 4
2 2
2 4 4
2 2
2
1
4
2 4 2 2
4 4
2
00 4
8 00
2
1
00
T c
k T
g c
k T
e c
k r
r r
e
T c
πk r
ν r
r
λ
λ
ν
T c
πk r
r r r e
v e
e
ν
v r
ν ν λ ν ν
λ
ν
T c
πk R
g
R
π π
ν π λ
λ
λ ν λ λ λ λ ν ν
λ ν ν λ
λ λ λ
=
=
−
= +
′ +
−
−
−
⇔
= + +
′
−
−
⇔
=
− +
′
−
′
− + +
−
−
−
′′
+
′
′
−
′
−
−
− +
−
′ +
′′
+
′
′
−
′
−
⇔
=
−
&&
&
&
&
&
&
&&
Trang 81 0 4
1 0 4 11
1 0 11 4 10
4 10
4 10
10
8
8 8
8 8
2
1
T c
πk r
e
T c
πk r
g T
g c
πk r
T c
πk r
T c
πk R
g
R
=
−
⇔
=
⇔
=
⇔
=
⇔
=
−
•
−
•
•
•
λ
λ λ
λ
λ
1 1 11
11
11 11
11
4
8 2
1 2 1
4
8 2 2 1
4
8 2
2 2
2 2 2 2
4 4
2 2
2 4 4
2 2
2
1
4
2 4
2
) 2 4 4
2
(
4
8 2
1
T c
πk r
r r
e
T c
πk r
e r r r
r
T c
πk r
r r r e
v e
e
e
r
v e
T c
πk R
g
R
= +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
′
−
−
⇔
=
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
′ +
′
−
′
⇔
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
′
−
′
− +
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
+
′
′
−
′
−
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
−
′ +
′
′ +
′′
− +
−
−
⇔
=
−
ν
λ
λ λ
λ
ν
λ ν λ λ
λ λ ν ν
λ ν ν λ
λ
ν λ ν λ ν λ λ λ
ν
λ
&&
&
&
&&
&
&
2 2 4 22 2 4 2
2
22 4
2 2
2 2
22 4 2
2 2 2
2 2
22 4 2 2
2 2
2
22 4 22
22
8 ) (
8 2 2
2 2 2
2
8 2 2
2 2
2 2
8 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
8 2 2 2 2 2
4 4
2 2 4 4
2
2
1 ) 1 2 2
(
8 2
1
T c
πk T
r c
πk r
e e
T c
πk r
e r e
r
T c
πk r
r r r
r r
e r e
r
T c
πk r
r r r e e
e
r
r r
e
T c
πk R
g
R
=
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
′
−
′ +
′′
+
′
′
−
′ + +
′
−
′ +
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⇔
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
′ +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′
′
−
′
+
⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
′
⇔
=
−
−
−
•
•
•
•
−
−
•
•
•
•
−
−
•
•
•
•
−
−
•
•
•
•
−
−
−
λ ν λ ν ν ν ν
λ λ
λ
λ ν λ ν ν ν ν
λ λ λ
λ ν ν λ ν ν ν
λ ν
λ λ λ
λ ν λ
ν λ λ ν
λ ν ν
ν λ
λ ν
λ ν
λ ν
λ ν
λ
λ
Trang 93 3 4 33 2 2 4 2
2
33
2 4
2 2
2 2
33
2 4 2
2 2 2
2 2
33 4 2 2
2 2
2
2
2
33 4 2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
33 4 33
33
8 ) sin (
8 2 2
2 2 2
2
sin
8 2 2
2 2
2 2
sin 8 2 2 2 2
2
2 2
2 2 2
8 2 2 2 2 2
4 4
2 2 4 4
2
2
sin
1 ) 1 2 2 (
sin
8 2 2 2 2 2
4 4
2 2 4 4
2
2
sin
sin sin
) 2 2 ( sin sin
8
2
1
T c
πk T r
c
πk r
e e
T c
πk r
e r e
r
T c
πk r
r r r
r r
e r e
r
T c
πk r
r r r e e
e
r
r r
e
T c
πk r
r r r e e
e
r
e r
e r e
T c
πk R
g
R
=
−
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
−
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
+
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⇔
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
′
−
′ +
′′
+
′
′
−
′ + +
′
−
′ +
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
⇔
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′+
−
′ +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′
′
−
′ +
⎥⎦
⎤
⎢⎣
−
′
⇔
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ′− ′+ +
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
′
′
−
′ +
⎥⎦
⎤
⎢⎣
+
′
−
−
⇔
=
−
−
−
−
•
•
•
•
−
−
−
•
•
•
•
−
−
−
•
•
•
•
−
−
•
•
•
•
−
−
−
−
•
•
•
•
−
−
−
−
−
θ λ
ν λ ν ν ν ν
λ λ
λ
θ λ
ν λ ν ν ν ν
λ λ λ
θ λ
ν ν λ ν ν ν
λ ν
λ λ λ
λ ν λ
ν λ λ ν
λ ν ν θ
ν λ θ
λ ν λ
ν λ λ ν
λ ν ν θ
θ θ
λ λ ν θ θ
λ ν
λ ν
λ ν
λ ν
λ λ
λ ν
λ
λ λ
λ
Vậy ta thu được hệ phương trình sau:
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
−
′
−
′ +
′ +
′′
−
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
− +
−
= +
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +
′
−
−
=
−
−
= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
+
−
−
−
3 3 4
8 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 4
8 2
2
2 2
2 2
2 2
1 1 4
8 2
1 2 1
1 0 4 8
0 0 4
8 2
1 2
1
T c
πk r
e v e
T c
πk r
e v e
T c
πk r
r r e
T c
πk r
e
T c
k r
r r e
λ ν λ ν ν
ν
λ λ
λ λ ν
λ ν λ ν ν ν
λ λ
λ λ ν
ν λ
λ λ
π λ
λ
&
&
&
&
&
&&
&