Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm Võ Quốc Phong Tháng 6 năm 2007 (Cấm sao chép mà không trích dẫn) Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát nhất của ds là: drdttradttrlddtrkdrtrhds ),(),())(sin)(,(),( 222222 ++++= ϕθθ Do việc chọn hệ quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds 2 , tức là có thể biến đổi sao cho: ),(),(2,,,, 2 ,, 1 ;;),(;0),();,();,( trtr elehrtrktratrfttrfr νλ =−=−==== Ta suy ra ds 2 như sau: 2222222),(2 )sin( dreddrdtceds tr λν ϕθθ −+−= Ngoài ra ta có: 2 3323 2 221312 2 11030201 22 00 2 ϕϕθθϕθ ϕθ βα αβ dgddgdgdrdgdrdg drgcdtdgcdtdgcdtdrgdtcgdxdxgds +++++ ++++== Đồng nhất hai biểu thức trên ta được: ⎩ ⎨ ⎧ −= −= ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ −= −= −= −= ⎩ ⎨ ⎧ = = −−−−− )(sin )(sin ;;; 2233 22 33 222 2 22 11 11 00 00 θ θ λ λ ν ν rg rg rg rg eg eg eg eg Ta có một nhận xét quang trọng sau: 0 = αβ g khi β α ≠ , 3322 , gg không phụ thuộc t [nhận xét (1)] Các số hạng Chritoffel: Ta có công thức tổng quát cho Chritofel như sau: ∑ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ 3 0 2 1 2 1 δ δ βγ β δγ γ δβ αδ δ βγ β δγ γ δβ αδα βγ x g x g x g g x g x g x g g Trường hợp 1: khi γ β α ≠≠ 0 = = = ⇒ βγαγαβ ggg ;khi lấy tổng theo δ thì chỉ còn lại số hạng α δ = vì 0= αδ g khi α δ ≠ theo nhận xét (1) ở trên nên: 0 2 1 2 1 3 0 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ ∑ = α βγ β αγ γ αβ αα δ δ βγ β δγ γ δβ αδα βγ x g x g x g g x g x g x g g Trường hợp 2: khi ⎢ ⎣ ⎡ == =≠ γβα γβα ⎢ ⎣ ⎡ ≠== == ⇒ 0 0 βγαγαβ αγαβ ggg gg ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ=Γ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ=Γ α αα αα α αα α αα α αα ααα αα α βγ α ββ αα α ββ β αβ β αβ ααα ββ α βγ x g g x g x g x g g x g g x g x g x g g 2 1 2 1 2 1 2 1 hoặc 0== γ β , trong các trường hợp 0 ≠ α thì α β ≥ , do đó chỉ có các số hạng sau là khác không: ** Khi 0= α ta có: 3322 , gg không phụ thuộc t nên chỉ có: • − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ =Γ ν ν νν 2 1 2 1 2 1 00 00 000 00 x ee x g g νλ λ ν λ − • = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ −∂ −= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −=Γ e ct e e x g g 2)( )( 2 1 2 1 0 11 000 11 ** Khi 1= α λν ν λ ν −− ′ = ∂ ∂ −−= ∂ ∂ −=Γ e r e e x g g 2 )( 2 1 2 1 1 00 111 00 2 )( 2 1 2 1 1 11 111 11 λ λ λ ′ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ −∂ −−= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ −=Γ − r e e x g g () λλ −− −= ∂ −∂ −−= ∂ ∂ −=Γ re r r e x g g )( 2 1 2 1 2 1 22 111 22 () λλ θ θ −− −= ∂ −∂ −−= ∂ ∂ −=Γ er r r e x g g 2 22 1 33 111 33 sin ))(sin( 2 1 2 1 ** Khi 2= α , do 221100 ,, ggg không phụ thuộc vào θ nên chỉ còn: θθ θ θ cossin )sin( )( 2 1 2 1 22 2 2 33 222 33 −= ∂ −∂ −−= ∂ ∂ −=Γ r r x g g ** Khi 3= α : 0 3 33 3 22 3 11 3 00 =Γ=Γ=Γ=Γ Trường hợp 3: γ β α ≠= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ=Γ γ αα αα α αγ α αγ γ αα ααα αγ α βγ x g g x g x g x g g 2 1 2 1 Ta tính được: 2)(2 1 2 1 2 1 ),( 0 11 11 1 10 1 10 0 11 111 10 • − = ∂ ∂ = ∂ ∂ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ =Γ λ ν ν ct e e x g g x g x g x g g tr 0 2 1 2 1 ),( 11 2 11 111 21 = ∂ ∂ = ∂ ∂ =Γ θ ν tr e g x g g 0 2 1 2 1 ),( 11 3 11 111 31 = ∂ ∂ = ∂ ∂ =Γ ϕ ν tr e g x g g rr r r x g g 1)( )( 2 1 2 1 2 2 1 22 222 12 = ∂ −∂ −= ∂ ∂ =Γ − 0 )( )( 2 1 2 1 2 2 3 22 222 32 = ∂ −∂ −= ∂ ∂ =Γ − ϕ r r x g g θ θ θ θ ctg r r x g g = ∂ −∂ −= ∂ ∂ =Γ −− )sin( sin 2 1 2 1 22 22 2 33 333 23 rr r r x g g 1)sin( sin 2 1 2 1 22 22 1 33 333 13 = ∂ −∂ −= ∂ ∂ =Γ −− θ θ Do tính đối xứng nên trường hợp β γ α ≠ = củng chính là trường hợp 3. Các số hạng Ricci: Ta có công thức tổng quát như sau: μ βν ν αμ ν μν μ αβ β μ α μ μ αβ αβ ΓΓ−ΓΓ+ ∂ Γ∂ − ∂ Γ∂ = xx R , khai triển dạng tổng quát này ta đươc: ()() ()() ()() ()() ()( )() ()() ()() 3 3 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 0 0 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 3 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 23 23 13 2 12 1 11 0 10 11 01 0 00 0 3 3 2 2 1 1 0 0 2 2 1 1 0 0 3 3 3 3 3 2 2 3 3 1 1 3 3 0 0 3 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 0 0 2 1 3 3 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 3 3 0 0 2 2 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3 33 2 32 1 31 0 30 33 23 2 22 1 21 0 20 2 3 13 2 12 1 11 0 10 13 03 2 02 1 01 0 00 0 3 3 2 2 1 1 0 0 3 3 2 2 1 1 0 0 βαβαβαβαβαβαβαβα βαβαβαβαβαβαβαβα αβαβαβ β α β α β α β α αβαβαβ βαβαβαβαβαβαβαβα βαβαβαβαβαβαβαβα αβαβ αβαβ β α β α β α β α αβαβαβαβ αβ ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− +Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+ +Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = xxxxxxx xxxxxxxx R Suy ra: ()( )() ()() ()() () ( )( ) 442244 442244 2222 11 2 ) 2 ( 22)( ) 2 () 2 ( )( 2 2 2 2 1 01 1 01 1 00 0 01 3 13 2 12 1 11 1 00 1 01 0 00 1 01 1 00 3 03 3 03 3 02 2 03 3 01 1 03 3 00 0 03 2 03 3 02 2 02 2 02 2 01 1 02 2 00 0 02 1 03 3 01 1 02 2 01 1 01 1 01 1 00 0 01 0 03 3 00 0 02 2 00 0 01 1 00 0 00 0 00 3 23 2 00 3 13 2 12 1 11 0 10 1 00 1 01 0 00 0 00 0 3 03 0 2 02 0 1 01 0 0 00 2 2 00 1 1 00 0 0 00 00 ••••• − • − •••• −−− •• −− •• • − −+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′′ + ′′ − ′ = − ′ ++− ′′ + ′′ − ′ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ′′ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ′′ ++ ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ = ΓΓ+ΓΓ−Γ+Γ+ΓΓ+ΓΓ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = λλνλννλνν λνλνλνλνν λλννλνλν λν λν λνλνλνλν λνλν λν r e e r eee e rr e ctr e ctr xxxxxxx R ()( )() ()() ()() () ( ) ()()()() 442 ) 244 ( 2 4444 11 ) 2 ( )( ) 2 ( 2 2 2 2 2 3 13 3 13 2 12 2 12 1 10 0 11 0 10 0 10 3 13 2 12 0 10 1 11 0 00 0 11 1 3 13 1 2 12 1 0 10 0 0 11 3 13 3 13 3 12 2 13 3 11 1 13 3 10 0 13 2 13 3 12 2 12 2 12 2 11 1 12 2 10 0 12 1 13 3 11 1 12 2 11 1 11 1 11 1 10 0 11 0 13 3 10 0 12 2 10 0 11 1 10 0 10 0 10 3 23 2 22 2 11 3 13 2 12 1 11 0 10 1 11 1 01 0 00 0 11 1 3 13 1 2 12 1 1 11 1 0 10 2 2 11 1 1 11 0 0 11 11 νλνλνλνλλ λνλνλνλ νλ νλ νλνλ νλ ′ − ′ + ′′ + ′′ −+−= −− ′ − ′ + ′′ ++ ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂ ′ ∂ − ∂ ∂ = ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ−ΓΓ− Γ+Γ+ΓΓ+ΓΓ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ −ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = ••••• − − • − •• − • r e r e r e r r r r rct e xxxx xxxxxxx R ()( )() ()() ()() ()() 1)1 22 (1 22 22 )()( 2 3 23 3 23 1 11 0 10 1 22 2 3 23 1 1 22 3 23 3 23 3 22 2 23 3 21 1 23 3 20 0 23 2 23 3 22 2 22 2 22 2 21 1 22 2 20 0 22 1 23 3 21 1 22 2 21 1 21 1 21 1 20 0 21 0 23 3 20 0 22 2 20 0 21 1 20 0 20 0 20 3 23 2 22 2 22 3 13 2 12 1 11 0 10 1 22 1 01 0 00 0 22 2 3 23 2 2 22 2 1 21 2 0 20 2 2 22 1 1 22 0 0 22 22 +− ′ − ′ =+− ′ − ′ = − ′ − ′ − ∂ ∂ − ∂ −∂ = ΓΓ−Γ+ΓΓ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ ΓΓ− Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = −− −− −− − νλνλ θ λν θ θ λλ λλ λλ λ rr ee erer ctg erer ctg r re xx xxxxxxx R ()( )() ()() ()() ()() θθλ λν θθ θθθ λν θ θ θθθ λλλ λ λ 2222 2 2 3 32 2 33 1 11 0 10 1 33 2 2 33 1 1 33 3 33 3 33 3 32 2 33 3 31 1 33 3 30 0 33 2 33 3 32 2 32 2 32 2 31 1 32 2 30 0 32 1 33 3 31 1 32 2 31 1 31 1 31 1 30 0 31 0 33 3 30 0 32 2 30 0 31 1 30 0 30 0 30 3 23 2 22 2 33 3 13 2 12 1 11 0 10 1 33 1 01 0 00 0 33 3 3 33 3 2 32 3 1 31 3 0 30 2 2 33 1 1 33 0 0 33 33 sinsin) 22 (sinsin cossin) 22 (sin )cossin()sin( + ′ + ′ + ′ −−= + ′ + ′ − ∂ −∂ + ∂ −∂ = ΓΓ−Γ+ΓΓ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = −−− − − erere ctger r er xx xxxxxxx R ()( )() ()() ()() () ( )( ) r xx xxxxxxx R • = ΓΓ−Γ+ΓΓ+ΓΓ+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+Γ Γ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = λ 1 00 0 11 3 13 2 12 1 10 1 01 0 10 0 1 11 1 1 10 3 03 3 13 3 02 2 13 3 01 1 13 3 00 0 13 2 03 3 12 2 02 2 12 2 01 1 12 2 00 0 12 1 03 3 11 1 02 2 11 1 01 1 11 1 00 0 11 0 03 3 10 0 02 2 10 0 01 1 10 0 00 0 10 3 23 2 22 2 10 3 13 2 12 1 11 0 10 1 10 1 01 0 00 0 10 0 3 13 0 2 12 0 1 11 0 0 10 2 2 10 1 1 10 0 0 10 10 ()( )() ()() ()() 0 3 23 3 13 3 22 2 13 3 21 1 13 3 20 0 13 2 23 3 12 2 22 2 12 2 21 1 12 2 20 0 12 1 23 3 11 1 22 2 11 1 21 1 11 1 20 0 11 0 23 3 10 0 22 2 10 0 21 1 10 0 20 0 10 3 23 2 22 2 12 3 13 2 12 1 11 0 10 1 12 1 01 0 00 0 12 2 3 13 2 2 12 2 1 11 2 0 10 2 2 12 1 1 12 0 0 12 12 = ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ−ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ+ΓΓ− Γ+ΓΓ+Γ+Γ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ+ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ + ∂ Γ∂ = xxxxxxx R Tương tự như vậy ta có: 0 13233020 = = = = RRRR , cuối cùng ta được các số hạng ricci như sau: 442244 2 2 00 ••••• − −+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′′ + ′′ − ′ = λλνλννλνν λν r eR 442 ) 244 ( 2 2 11 νλνλνλνλλ νλ ′ − ′ + ′′ + ′′ −+−= ••••• − r eR 1)1 22 (1 22 22 +− ′ − ′ =+− ′ − ′ = −− −− νλνλ λλ λλ rr ee erer R θθλ λ ν θθ λλλ 2222 33 sinsin) 22 (sinsin + ′ + ′ + ′ −−= −−− erereR r R • = λ 10 • Tính αβ αβ RgR = : Suy ra: 22 2 2 222222 2 2 2 2 2 2222 244 2 244 2 sin.sin) 22 (.sin.sinsin 1)1 22 ( 442 ) 244 ( 442244 rr rr eee ererer rr er r ee r eeR − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ′ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ + ′′ − ′ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ + ′ + ′ −−− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ′ − ′ − ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛′ − ′ + ′′ − ′′ −+−− ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ −+− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ + ′′ + ′′ − ′ = − ••••• −− −−−−− −− ••••• −− ••••• −− λνλνλλνλνν θθλ λν θθθ νλ λννλνλνλλ λλνλννλνν λνλ λλλ λ νλλ λνν Ta suy ra hệ phương trình Einstien: αβαβαβ π T c k RgR 4 8 2 1 =− ( ) ( ) [] [] [] () ( ) 0 0 4 8 00 00 4 8 00 4 8 2 1 2 1 00 4 8 22 1 00 4 8 2 2 2 222 244 2 2 244 2 2 2 1 4 2 42244 2 00 4 8 00 2 1 00 T c k Tg c k Te c k r r r e T c πk r ν e r r λ λν e T c πk rr rr e v ee ν e v r ννλνν λν e T c πk RgR ππ ν π λ λ λν λ λλλ ν νλνν λ λλλ == − =+ ′ +− − −⇔ =++ ′ − − ⇔ =−+ ′ − ′ − ++− − − ′′ + ′′ − ′ − − −+− ′ + ′′ + ′′ − ′ − ⇔ =− && & && && & && 1 0 4 1 0 4 111 011 4 10 4 10 4 1010 8 8888 2 1 T c πk r e T c πk r gTg c πk r T c πk r T c πk RgR =−⇔ =⇔=⇔=⇔=− • − ••• λ λλλ λ 1 1 11 11 111111 4 8 2 1 2 1 4 8 22 1 4 8 2 2 2 222 244 2 2 244 2 2 2 1 4 2 42 ) 244 2 ( 4 8 2 1 T c πk rr r e T c πk r e r rrr T c πk rr rr e v eee r v e T c πk RgR =+ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − −⇔ =− ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ + ′ − ′ ⇔ = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ′ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +− − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ + ′′ − ′ − + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ′ − ′ + ′′ + ′′ −+− − ⇔ =− ν λ λ λλν λν λ λλλ ν νλνν λλ νλνλνλλλ νλ && & && && & && 2 2 4 22 2 4 2 2 22 4 22 2 2 22 42 2 2 2 2 2 22 422 2 22 22 4 2222 8 )( 8 222222 8 222222 8222 22 2 2222 82222 244 2 244 2 2 1)1 22 ( 8 2 1 T c πk Tr c πk r ee T c πk r erer T c πk r rr r rr erer T c πk rr rr eee r rr e T c πk RgR =−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+⇔ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ⇔ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ′ − ′ + ′′ + ′′ − ′ ++ ′ − ′ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ⇔ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ′ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ + ′′ − ′ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ′ − ′ ⇔ =− − − ••• •• − − ••• •• − − ••• •• − − ••••• −− − λνλνν ν νλλ λ λνλνν ν νλλ λ λν ν λνννλνλλ λ λνλνλλνλνν νλ λν λν λν λνλ λ 3 3 4 33 22 4 2 2 33 2 4 22 2 2 33 2 42 2 2 2 2 2 33 422 2 222 2 33 422 2 222 2222 33 4 3333 8 )sin( 8 222222 sin 8 222222 sin 8222 22 2 2222 82222 244 2 244 2 2 sin 1)1 22 (sin 82222 244 2 244 2 2 sin sinsin) 22 (sinsin 8 2 1 T c πk Tr c πk r ee T c πk r erer T c πk r rr r rr erer T c πk rr rr eee r rr e T c πk rr rr eee r erere T c πk RgR =−= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ − ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+⇔ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ⇔ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ′ − ′ + ′′ + ′′ − ′ ++ ′ − ′ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − ⇔ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ′ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛′′ + ′′ − ′ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ +− ′ − ′ ⇔ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − ′ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ +−− ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛′′ + ′′ − ′ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ + ′ + ′ −−⇔ =− −− − ••• •• − − − ••• •• − − − ••• •• − − ••••• −− − − ••••• −− −−− θ λνλνν ν νλλ λ θ λνλνν ν νλλ λ θ λν ν λνννλνλλ λ λνλνλλνλννθ νλ θ λνλνλλνλννθ θθλ λν θθ λν λν λν λνλ λ λνλ λλλ Vậy ta thu được hệ phương trình sau: ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′′ − ′ − ′ + ′ + ′′ − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ − =+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ′ − − = − − =+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ′ +− − − 3 3 4 8 22 2 222 2 2 2 2 4 8 22 2 222 2 2 1 1 4 8 2 1 2 1 1 0 4 8 0 0 4 8 2 1 2 1 T c πk r eve T c πk r eve T c πk rr r e T c πk r e T c k r r r e λνλνν ν λ λλ λ ν λνλνν ν λ λλ λ ν ν λ λ λ πλ λ & && & & && && & . Trường hấp dẫn đối xứng xuyên tâm Võ Quốc Phong Tháng 6 năm 2007 (Cấm sao chép mà không trích dẫn) Trong hệ trục tọa độ cầu, dạng tổng quát. quy chiếu là bất kỳ nên ta có thể biến đổi tùy ý các tọa độ mà không ảnh hưởng đến tính đối xứng xuyên tâm của ds 2 , tức là có thể biến đổi sao cho: ),(),(2,,,, 2 ,, 1 ;;),(;0),();,();,( trtr elehrtrktratrfttrfr νλ =−=−==== . rr r r x g g 1)sin( sin 2 1 2 1 22 22 1 33 333 13 = ∂ −∂ −= ∂ ∂ =Γ −− θ θ Do tính đối xứng nên trường hợp β γ α ≠ = củng chính là trường hợp 3. Các số hạng Ricci: Ta có công thức tổng quát như sau: