Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Bi 10 GIAO TUYN CA MT PHNG VI MT MT I. KHI NIM _ Giao tuyn ca mt phng vi mt mt l tp hp cỏc im chung ca mt phng vi mt ú _ Giao tuyn ca mt phng vi mt a din thng l mt hoc nhiu a giỏc phng trong ú: + Cỏc cnh ca a giỏc ny l giao tuyn ca cỏc mt ca a din vi mt phng ct + Cỏc nh c a a giỏc ny l giao im ca cỏc cnh ca a din vi mt phng ct _ Giao tuyn ca mt phng vi mt mt cong bc n thng l ng cong phng bc n 1) i vi mt nún bc hai ng chun l Elipse hoc ng trũn Giao tuyn cú th l: _ Elipse (hoc ng Trũn) Nu mt phng ct tt c cỏc ng sinh ca mt nún _ Parabol Nu mt phng song song vi mt ng sinh ca mt nún _ Hyperbol Nu mt phng song song vi hai ng sinh ca mt nún (hai ng sinh ny l hai hng ca hai ng tim cn ca Hyperbol giao tuyn) Chỳ ý Nu mt phng i qua nh nún - giao tuyn cú th l: _ Mt im nh nún. Nu m t phng khụng ct ng chun ca nún _ Mt ng sinh ca nún. Nu mt phng ct ng chun ca nún ti 1 im (tip xỳc) _ Hai ng sinh ca nún: Nu mt phng ct ng chun ca nún ti 2 im Nhn dng giao tuyn T chỳ ý trờn ta cú th oỏn nhn dng giao tuyn ca mt phng vi nún bc hai cú ng chun l Elipse hoc ng trũn ta lm nh sau: Qua nh nún, v mt phng song song mt phng ó cho. Nu mt phng va v khụng ct, ct mt im, ct hai im vi ng chun ca nún thỡ giao tuyn ln lt l: Elipse, Parabol, Hyperbol 2) i vi mt tr bc hai ng chun l Elipse hoc ng trũn Giao tuyn cú th l: _ Elipse ( ng Trũn) Nu mt phng ct tt c cỏc ng sinh ca mt tr _ Mt ng sinh (kộp) Nu mt phng tip xỳc mt tr _ Hai ng sinh Nu mt phng song song ng sinh mt tr Chỳ ý Khi v giao tuyn ta cn chỳ ý n cỏc c trng sau: + Trc i xng ca giao tuyn + Cỏc im ranh gii gi a phn thy, phn khut ca giao trờn tng hỡnh chiu + Cỏc im cao nht, thp nht (so vi P 1 ) cỏc im gn nht, xa nht (so vi P 2 ) + v giao tuyn c chớnh xỏc, ụi khi ta cn phi v thờm mt vi im trung gian na. II. Trng hp bit mt hỡnh chiu ca giao tuyn 1) Nu mt ó cho l lng tr chiu hoc tr chiu (tc cnh lng tr hoc ng sinh tr vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu) cũn mt phng bt k, thỡ: GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 66 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn trựng vi hỡnh chiu suy bin ca lng tr hoc tr chiu ú _ v hỡnh chiu cũn li ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im, ng thng thuc mt phng. Vớ d 1 Hóy v giao tuyn ca mt phng vi lng tr (abc) chiu bng (Hỡnh 10.1) Gii - Gi A= a mp(); B= b mp(); C= c mp() mp lng tr (abc) = Tam giỏc ABC Vỡ a, b, c P 1 A 1 a 1 , B 1 b 1 , C 1 c 1 - Ap dng bi toỏn c bn: im, ng thng thuc mt phng ; xỏc nh c hỡnh chiu ng A 2 , B 2 , C 2 - Mt phng (a, c) khut trờn hỡnh chiu ng nờn A 2 , C 2 khut ; (Hỡnh 10.1) C 2 N 2 b 2 c 2 n N 1 I 1 M 2 m M 1 A 1 a 1 A 2 C 1 c 1 B 1 b 1 B 2 Hỡnh 10.1 I 2 a 2 0 Hỗnh 10.2 N 2 m t 1 t 2 ( 1 ) (C 2 ) (C 1 ) (e 1 ) T 1 T 1 B 1 A 1 M 1 x o 1 M 2 f 1 f 2 N 1 h 2 h 1 C 1 D 1 D 2 o 2 (e 2 ) C 2 B 2 A 2 T 2 T 2 n Vớ d 2 Hóy v giao tuyn ca mt phng vi mt tr trũn xoay chiu bng (Hỡnh 10.2) Gii _ D dng thy rng mt phng ct tr cho giao tuyn l Elip: (e) = mp tr _ Hỡnh chiu bng (e 1 ) trựng vi hỡnh chiu bng ca tr - ng trũn (C 1 ) Ta bit rng trc di AB ca Elip (e) thuc ng thng MN giao ca mt phng vi mt phng i xng chung ca tr v mp , trc ngn CD bng ng kớnh ca mt tr _ Vỡ trc t P 1 nờn () l mt phng chiu bng cú hỡnh chiu bng suy bin thnh ng thng ( 1 ) i qua t 1 ; hn na mp() mp nờn ( 1 ) i qua t 1 v vuụng gúc m . Do ú AB chớnh l ng dc nht ca mp i vi i vi mpP 1 v CD l ng bng ca mp Vy A 1 B 1 C 1 D 1 ti O 1 t 1 _ Hỡnh chiu ng (e 2 ) l elip nhn A 2 B 2 , C 2 D 2 lm cp ng kớnh liờn hip _ Vỡ A, B l cỏc im thuc trc i xng ng thi thuc giao tuyn nờn chỳng l cỏc im cao nht, thp nht ca giao tuyn (e) _ T 2 , T 2 l cỏc tip im ca elip (e 2 ) vi hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca tr; nú cng l cỏc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (e 2 ) - cỏch v chỳng bng cỏch gn vo ng mt f ; (Hỡnh 10.2) GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 67 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 2) Nu mt phng ó cho l mt phng chiu cũn mt bt k, thỡ: _ Ta bit c mt hỡnh chiu ca giao tuyn thuc hỡnh chiu suy bin ca mt phng chiu ú _ v hỡnh chiu cũn li ca giao tuyn ta ỏp dng bi toỏn im thuc mt Vớ d 1 Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng v i mt chúp (S.ABC) ; (Hỡnh 10.3) Gii Gi tam giỏc DEF = mp (S.ABC). Vỡ mp P 2 nờn D 2 E 2 F 2 ( 2 ) D 1 E 1 F 1 . Mt phng (SBC) khut hỡnh chiu bng nờn on E 1 F 1 khut ; (Hỡnh 10.2) A 2 B 2 D 1 C 1 C 2 D 2 O 2 A 1 B 1 S 1 (C 1 ) ( C 2 ) ( 2 ) S 2 O 1 ( e 2 ) (e 1 ) m ( 1 ) B 2 S 2 F 2 ( 2 ) D 2 E 2 A 2 C 2 D 1 E 1 F 1 S 1 A 1 B 1 C 1 Hỡnh 10.3 Hỡnh 10.4 Vớ d 2 Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt nún trũn xoay trc t P 1 (Hỡnh 10.4) Gii _ Mt phng ct ton b ng sinh ca nún nờn mp nún = Elip (e) _ Vỡ mp P 2 nờn hỡnh chiu ng (e 2 ) ca giao tuyn suy bin thnh on thng A 2 B 2 ( 2 ). V li mp , i xng chung ca tr trũn xoay v mp, song song P 2 nờn AB mp v l trc di ca elip giao tuyn ; trc ngn CD P 2 C 2 D 2 O 2 [vi O l tõm ca elip (e)] _ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l elip (e 1 ) nhn A 1 B 1 lm trc di; C 1 D 1 lm trc ngn (vỡ AB CD v CD // P 1 ). C 1 , D 1 c v bng cỏch gn vo ng trũn v tuyn nm ngang thuc nún Chỳ ý Ngi ta ó chng minh c rng mt phng ct nún trũn xoay cho giao tuyn l elip chiu lờn mt phng vuụng gúc vi trc ca nún trũn xoay ú l elip nhn hỡnh chiu ca nh nún lm mt tiờu im Vớ d 3 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 68 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 _ Hóy v giao tuyn ca mt phng chiu ng vi mt cu tõm O bỏn kớnh R (Hỡnh 10.5) Gii A 2 ( 2 ) _ Mt phng cu = ng trũn () cú tõm I l chõn ng vuụng gúc v t O n mp C 2 D 2 I 2 _ Vỡ mp P 2 nờn hỡnh chiu ng ( 2 ) ca giao tuyn suy bin thnh on thng A 2 B 2 ( 2 ) _ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l elip cú : + Trc di C 1 D 1 = A 2 B 2 = AB [AB l ng kớnh ca ng trũn ()], cú th v C 1 , D 1 bng cỏch gn C, D vo ng trũn v tuyn nm ngang; (Hỡnh 10.5) + Trc ngn A 1 B 1 _ T 1 , T 1 l cỏc tip im ca elip ( 1 ) vi ng trũn bao hỡnh chiu bng ca cu; nú cng l cỏc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip ( 1 ) Hỡnh 10.5 III. Trng hp tng quỏt Gi s cn tỡm giao tuyn ca mp v mt (), ta tin hnh nh sau: a) Dựng mt phng ph tr ct c mp v mt () [mp thng l mt phng chiu] sao cho giao tuyn l ng d v trờn hỡnh chiu b) V cỏc giao tuyn ph: c) V cỏc giao im : A, B = m n Cỏc im A, B thuc giao tuyn ca mp v mt () cn tỡm, Tng t, tỡm thờm mt s im thuc giao tuyn na v cui cựng ni giao li. Chỳ ý _ u tiờn ta phi oỏn dng ca giao tuyn, sau ú v cỏc im thuc giao tuyn _ Ngoi ra ngi ta cũn dựng cỏc phng phỏp bin i hỡnh chiu hoc phi hp vi cỏc phng phỏp ó bit v giao tuyn ca mt phng vi mt mt . Vớ d1 Hóy v giao tuyn ca mt phng (m , n ) vi mt tr trũn xoay cú trc t P 1 ; (Hỡnh 10.6) Gii 1. oỏn dng giao tuyn - Qua nh nún S, v mp // mp, bng cỏch v ng mt f // f ; ri v vt bng F = f P 1 m qua F 1 v song song m - D thy rng m khụng ct ng chun (C) ca nún nờn mp ct nún cho giao tuyn l Elip (e) B 2 O 2 D 1 T 1 ( 1 ) ( 2 ) I 1 C 1 A 1 B 1 T 1 O 1 T 2 T 2 = mpmp = )( mpn m GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 69 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 2. v cỏc im ca giao, ta dựng cỏc mt phng ph tr l cỏc mt phng chiu bng cha trc t ca nún ( ct nún theo cỏc ng sinh) v cỏc mt phng bng ( ct nún theo cỏc ng trũn cú hỡnh chiu bng cng l ng trũn), c th nh sau: Hỡnh 10.6 + mp chiu bng i xng chung ca nún v mp cho hai im A,B l hai u mỳt ca trc di Elip giao tuyn - A l im cao nht; B l im thp nht; (Hỡnh 10.6) ( 1 ) (e 2 ) f 1 f 2 x C 2 D 2 T 2 T 2 O 2 A 2 f 2 h 2 ( 2 ) N 2 S 2 (C 1 ) f 1 ( 1 ) N 1 F 2 n m A 1 B 1 S 1 O 1 D 1 C 1 T 1 T 1 M 1 h 1 (C 2 ) M 2 B 2 (e 1 ) m F 1 + mp // P 1 i qua trung im O ca AB, cho hai im C, D l hai u mỳt ca trc ngn Elip giao tuyn + mp // P 2 i qua trc t ca nún, cho hai im T, T thuc giao, cú hỡnh chiu ng T 2 , T 2 l cỏc tip im ca ca elip (e 2 ) vi hai ng sinh bao hỡnh chiu ng ca nún, nú cng l cỏc im ranh gii gia phn thy v phn khut ca elip (e 2 ) _ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l elip (e 1 ) nhn A 1 B 1 v C 1 D 1 lm cp trc; trong ú A 1 B 1 l trc di _ Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l elip (e 2 ) nhn A 2 B 2 v C 2 D 2 lm cp ng kớnh liờn hip Chỳ ý Cú th s dng phộp thay i mt phng hỡnh chiu ng a mp tr thnh mt phng chiu ng trong h thng mi thỡ vic gii bi toỏn ny c d dng hn Vớ d 2 Hóy v giao tuyn ca mt phng (m , n ) vi mt cu tõm O, bỏn kớnh R ; (Hỡnh 10.7) Gii Mt phng cu = ng trũn () GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 70 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Để vẽ các điểm của giao, ta dùng các mặt phẳng phụ trợ là các mặt phẳng bằng, các mặt phẳng mặt (để cắt cầu theo đường tròn có hình chiếu bằng, hình chiếu đứng cũng là đường tròn); cụ thể như sau: _ Dựng mpβ chiếu bằng đối xứng chung của cầu và mpα, vẽ các giao tuyến phụ: mpβ ∩ mpα = MN mpβ ∩ cầu = Đườ ng tròn (v) bằng đường tròn lớn của cầu _ Để vẽ các giao điểm A,B = MN ∩ (v); ta quay mpβ chứa MN và (v) quanh trục chiếu bằng t đi qua tâm O cầu, đến vị trí mới //P 2 . Lúc này hình chiếu đứng mới (v’ 2 ) trùng với đường tròn bao hình chiếu đứng của cầu, MN có vị trí mới M’N’ . Vẽ A’,B’= M’N’ ∩ (v’) _ Trả về vị trí ban đầu bằng cách quay ngược trở lại ta được A,B thuộc giao; trong đó: A là điểm cao nhất; B là điểm thập nhất; (Hình 10.6). ( v ’ 2 ) ( v ’ 1 ) ( v 1 ) t 1 t 2 m α n α f 2 k 1 f 1 ≡ (λ 1 ) x h 2 ≡ (γ 2 ) k 2 ≡ (ϕ 2 ) h 1 E 2 C 2 B 2 A’ 2 A 2 D 2 F 2 T ’ 2 I 2 B’ 2 T 2 (ω 2 ) (ω 1 ) E 1 T ’ 1 T 1 N 2 N ’ 2 N ’ 1 N 1 D 1 F 1 C 1 B 1 M 2 M 1 (β 1 ) A 1 O 1 I 1 O 2 Hình 10.6 + Gọi CD là đường kính của đường tròn (ω), vuông góc với AB tại trung điểm I. mpϕ // P 1 đi qua I, cho hai điểm C, D thuộc giao, có hình chiếu bằng C 1 D 1 là trục dài của elip (ω 1 ) + mpγ // P 1 đi qua tâm cầu O, cho hai điểm E, F thuộc giao, có hình chiếu bằng E 1 , F 1 là các tiếp điểm của của elip (ω 1 ) với đường tròn bao hình chiếu bằng của cầu, nó cũng là các điểm ranh giới giữa phần thấy và phần khuất của elip (ω 1 ) + mpλ // P 2 đi qua tâm cầu O, cho hai điểm T, T’ thuộc giao, có hình chiếu đứng T 2 , T ’ 2 là các tiếp điểm của của elip (ω 2 ) với đường tròn bao hình chiếu đứng của cầu, nó cũng là các điểm ranh giới giữa phần thấy và phần khuất của elip (ω 2 ) _ Hình chiếu bằng của giao tuyến là elip (ω 1 ) nhận A 1 B 1 và C 1 D 1 làm cặp trục _ Hình chiếu đứng của giao tuyến là elip (ω 2 ) nhận A 2 B 2 và C 2 D 2 làm cặp đường kính liên hiệp. _ Xét thấy khuất như (Hình 10.6) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 71 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Chỳ ý Cú th s dng phộp thay i mt phng hỡnh chiu ng a mp tr thnh mt phng chiu ng trong h thng mi thỡ vic gii bi toỏn ny c d dng hn nhiu V. MT VI V D GII SN Vớ d 1 Cho mt nún trũn xoay nh S v mp; (Hỡnh 10.7). Hóy v giao tuyn ca mp vi mt nún trũn xoay ú Gii _ Vỡ mp l mt phng chiu cnh nờn ta s dng hỡnh chiu cnh v giao tuyn _ Mt phng ct ton b ng sinh ca nún nờn giao tuyn l Elớp v hỡnh chiu cnh ca giao tuyn l on thng 1 3 3 3 thuc on thng suy bin ( 3 ) ca mp. Tr v hỡnh chiu ng v hỡnh chiu bng, ta nhn c: _ Hỡnh chiu ng ca giao tuyn l cung elip 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 , trong ú cung 2 2 3 2 4 2 khut vỡ thuc na sau ca nún _ Hỡnh chiu bng ca giao tuyn l cung elip 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 thy ; (Hỡnh 10.7) O y z ( 3 ) 4 2 5 3 2 3 4 3 1 3 3 3 3 2 2 2 1 2 5 2 5 1 4 1 3 1 2 1 1 1 S 1 S 3 S 2 n m x y Hỡnh 10.7 Chỳ ý Nu mt phng ó cho l mt phng chiu cnh hoc mt phng phõn giỏc 1 hoc mt phng phõn giỏc 2 thỡ ta dựng mt phng hỡnh chiu cnh gii, cỏch gii tng t nh vớ d trờn (Hỡnh 10.7) Vớ d 2 Cho lng tr (abc) v mp; (Hỡnh 10.8). Hóy v giao tuyn ca mp vi lng tr ú v v hỡnh tht ca giao tuy n ú Gii _ Gi ABC = mp lng tr (abc) _ v giao tuyn ca mp vi lng tr (abc), ta xỏc nh cỏc nh A, B, C l giao im ca cỏc cnh ca lng tr vi mp bng cỏch dựng mt phng ph tr chiu ng cha cnh ca lng tr ú, ta nhn c: GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 72 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 C = c mp mp(a,c) mp = CI [trong ú I l giao im ca m vi cnh ỏy ca mp(a,c)] AC = mp(a,c) mp ; tng t AB = mp(a,b) mp ; (Hỡnh 10.8) _ v hỡnh tht ca giao tuyn, ta gp mp quanh vt bng m , hỡnh gp l A 1 B 1 C 1 _ Kt lun: A 1 B 1 C 1 = ABC Hỡnh 10.8 a 2 x K 1 K 1 N 2 A 1 B 1 b 2 c 2 2 g 2 n m n A 2 A 1 B 2 B 1 C 2 C 1 g 1 g' 1 b 1 a 1 c 1 C 1 N 1 N 1 I 1 I 1 J 2 J 1 J 1 O Vớ d 3 Cho mp v hỡnh chiu ng S 2 ca im S mp; (Hỡnh 10.9). Hóy v trong mp ng thng i qua im S v nghiờng vi mt phng hỡnh chiu bng gúc B 1 A 1 A 2 B 2 h 2 x n m h 1 S 1 S 2 Gii _ S mp. S h mp. T S 2 h 2 S 1 h 1 _ ng thng cn dng i qua im S, hp vi mt phng hỡnh chiu bng gúc nờn nú l ng sinh ca mt nún trũn xoay: nh S, trc P 1 v cỏc ng sinh to vi P 1 gúc _ Vy ng thng cn dng l ng sinh giao tuyn ca mt nún nh S núi trờn vi mp SA,SB; (Hỡnh 10.9) Bin lun: Gi l gúc nghiờng ca mp vi mp P 1 + Nu < : Bi toỏn vụ nghim + Nu = : Bi toỏn cú 1 nghim + Nu > : Bi toỏn cú 2 nghim Hỡnh 10.9 Vớ d 4 Cho mp v im A; (Hỡnh 10.10). Hóy v ng thng qua im A song song vi mp ng thi nghiờng vi mt phng hỡnh chiu bng gúc GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 73 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Gii _ ng thng cn dng qua im A song song mp nờn ng thng ú thuc mp song song vi mp. Mt phng c v nh sau : _ Qua A v ng bng h // mp; + V vt ng H = h mpP 2 Vt ng n i qua H 2 v song song n . Vt bng m // m _ ng thng cn dng i qua im A, hp vi mt phng hỡnh chiu bng gúc nờn nú l ng sinh ca mt nún trũn xoay: nh A, trc P 1 v cỏc ng sinh to vi P 1 gúc _ Vy ng thng cn dng l ng sinh giao tuyn ca mt nún nh A núi trờn vi mp ú l: AI; AJ (Hỡnh 10.10). Bin lun: Gi l gúc nghiờng ca mp vi mp P 1 + Nu < : Bi toỏn vụ nghim + Nu = : Bi toỏn cú 1 nghim + Nu > : Bi toỏn cú 2 nghim Hỡnh 10.10 A 2 h 2 H 2 n n I 2 H 1 x J 2 J 1 m A 1 h 1 I 1 m Vớ d 5 Cho mt nún trũn xoay nh S 2 trc vuụng gúc vi mp P 1 v vt ng n ca mp; (Hỡnh 10.10). Hóy v vt bng m bit rng mp ct nún cho giao tuyn l Parabol Gii - Gi mp qua nh nún song song mp. - Qua nh nún v ng mt f // mp. - V vt bng F ca ng mt f : F = f mpP 1 ; d thy f mp Vt bng m i qua F 1 - Theo bi, mp ct nún cho giao tuyn l Parabol nờn m qua F 1 v tip xỳc vi ng trũn ỏy ca nún. - Vỡ mp // mp m // m ; (Hỡnh 10.10) Hỗnh 10.10 Chỳ ý _ Nu m khụng ct ỏy nún thỡ mp ct nún cho giao tuyn l Elip F 1 F 2 S 1 x m m f 1 f 2 n S 2 _ Nu m ct ỏy nún ti hai im thỡ mp ct nún cho giao tuyn l Hyperbol ==================== GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 74 . bng m i qua F 1 - Theo bi, mp ct nún cho giao tuyn l Parabol nờn m qua F 1 v tip xỳc vi ng trũn ỏy ca nún. - Vỡ mp // mp m // m ; (Hỡnh 10. 10) Hỗnh 10. 10 Chỳ ý _ Nu m . vt ng n ca mp; (Hỡnh 10. 10). Hóy v vt bng m bit rng mp ct nún cho giao tuyn l Parabol Gii - Gi mp qua nh nún song song mp. - Qua nh nún v ng mt f // mp. - V vt bng F ca ng mt f :. - Mt phng (a, c) khut trờn hỡnh chiu ng nờn A 2 , C 2 khut ; (Hỡnh 10. 1) C 2 N 2 b 2 c 2 n N 1 I 1 M 2 m M 1 A 1 a 1 A 2 C 1 c 1 B 1 b 1 B 2 Hỡnh 10. 1 I 2 a 2 0 Hỗnh 10. 2 N 2 m t 1 t 2 ( 1 ) (C 2 )