Giáo trình Hình họa - Bài 3 & 4 doc

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt Bi 3 V TR TNG I GIA HAI NG THNG Ttrong khụng gian, hai ng thng cú cỏc v trớ tng i: giao nhau, song song v chộo nhau I. HAI NG THNG GIAO NHAU 1) Hai ng thng thng giao nhau ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35 nh lý iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh: a 2 I 2 b 2 17 = = x I I I b a I b = I b a 22 2 21 1 1 1 x b 1 a 1 I 1 a Hỡnh 3.1 2) Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau nh lý iu kin c n v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú Cho ng thng thng d v ng cnh AB, nh lý trờn c vit thnh: Hỗnh 3.2 A 2 t B x d 1 I 2 B 2 A 1 B 1 I 1 I J 1 J 2 d 2 = = = = ) ( ) ( 1 2221 1 222 2 111 1 I B A I B A I B A d I B A d I A B d Vớ d Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d 2 ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d 1 ca ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I Gii Hỡnh chiu bng I 1 ca im I AB c v bng cỏch ng dng nh lý Thalet nh sau: _ V tia A 1 t bt k ri t lờn ú cỏc on A 1 I = A 2 I 2 v IB = I 2 B 2 _ Ni BB 1 ng thng qua I song song vi BB 1 ct A 1 B 1 ti im I 1 ; ta cú:(A 1 B 1 I 1 ) = (A 2 B 2 I 2 ) I AB. Vy d 1 I 1 J 1 (Hỡnh 3.2) Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 II. HAI NG THNG SONG SONG 1) Hai ng thng thng song song nh lý iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng song song nhau Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3), nh lý trờn c vit thnh: Hỗnh 3.3 Chng minh _ iu kin cn: Gi s a // b nờn cỏc cp mt phng chiu qua a, b song song nhau, do ú chỳng s ct mt phng hỡnh chiu bng v mt phng hỡnh chi u ng theo cỏc cp giao tuyn song song nhau, tc l a 1 // b 1 v a 2 // b 2 . _ iu kin : Gi s cú hai ng thng thng a, b tho món a 1 // b 1 v a 2 // b 2 . Bng cỏch xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu bng qua a 1 , b 1 s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ng qua a 2 , b 2 theo hai giao tuyn a, b song song nhau . 3) Hai ng cnh song song Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau nh lý iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng giao nhau hoc song song nhau Cho hai dng cnh EF v GH, nh lý trờn c vit thnh: Hỡnh 3.4 Hỡnh 3.5 Chng minh _ iu kin cn: Gi s EF // GH, thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn s cú hai ng thng EH, GF ta trờn chỳng giao nhau ti I hoc song song nhau ( õy xột giao nhau) _ iu kin : Gi s cú hai ng cnh EF, GH cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau v cú hai ng thng ta trờn chỳng EH GF = I hoc EH // GF. Thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn hai ng cnh ú song song nhau, tc: EF // GH (Hỡnh 3.4) Chỳ ý Ngoi ra ta cú th phỏt biu nh lý trờn nh sau: iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l hỡnh chiu cnh ca chỳng song song nhau (Hỡnh 3.5) a 2 b 2 x b 1 a 1 22 11 // // // ba ba ba x z y' y E 3 x 0 F 3 H 3 G 3 H 1 G 1 F 1 E 1 H 1 G 1 F 1 E 1 I 1 I 2 G 2 H 2 F 2 E 2 F 2 H 2 G 2 E 2 = GFEH IGFEH GHEF // // GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 18 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Vớ d Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB Gii Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món MN // AB, gi s bit trc N 2 hóy v N 1 nh sau: Gi I = AN BM I 2 B 2 M 2 M N 2 A 2 I 2 ; N 1 A 1 I 1 I 1 B 1 M 1 Hỗnh 3.6 Hỗnh 3.7 x d 1 d 2 c 1 c 2 N 1 M 1 B 1 A 1 I 1 I 2 M 2 N 2 B 2 A 2 x III. HAI NG THNG CHẫO NHAU Hai ng thng khụng tho món song song hoc giao nhau thỡ chộo nhau; (Hỡnh 3.7) biu din hai ng thng c, d chộo nhau. IV. HèNH CHIấ CA GểC VUễNG nh lý iu kin cn v mt gúc vuụng chiu xung mt phng hỡnh chiu thnh mt gúc vuụng l gúc vuụng ú cú mt cnh song song vi mt phng hỡnh chiu v cnh gúc vuụng cũn li khụng vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ú. Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10 d 1 c 1 c 2 d 2 x x B 1 O 1 A 1 A 2 O 2 B 2 A O B 1 B O 1 A 1 P Chng minh _ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90 0 v OA // P 1 . Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng ta nhn c A 1 O 1 B 1 (Hỡnh 3.8), cn chng minh A 1 O 1 B 1 = 90 0 Ta cú: A 1 O 1 // AO AO OB v AO OO 1 AO mp(B OO 1 ) AO O 1 B 1 M A 1 O 1 // AO A 1 O 1 O 1 B 1 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 19 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 _ iu kin : Gi s AOB = 90 0 chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng c gúc A 1 O 1 B 1 = 90 0 , ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh chiu bng P 1 ; ta cú : A 1 O 1 mp(OO 1 B 1 ) (1) B 1 O 1 mp(OO 1 A 1 A) B 1 O 1 AO M B O AO AO mp(OO 1 B 1 ) (2) T (1) v (2), AO // A 1 O 1 , tc AO // mp(P 1 ) (Hỡnh 3.9) biu din thc ca gúc vuụng AOB, cú cnh OA // mp(P 1 ). Chỳ ý nh lý trờn cng ỳng cho trng hp hai ng thng chộo nhau m vuụng gúc vi nhau. (Hỡnh 3.10) biu din hai ng thng c, d chộo nhau m vuụng gúc nhau, vi c // P 1 Vớ d C 1 x B 2 C 2 H 1 B 1 A 1 H 2 A 2 Hóy v hỡnh chiu bng C 1 ca im C, bit rng tam giỏc ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) . Gii Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn CH AB, v li AB // mp (P 1 )., nờn theo nh lý trờn, ta cú C 1 H 1 A 1 B 1 . T ú ta v c C 1 l giao im ca ng giúng qua C 2 vi ng thng A 1 B 1 ti H 1 Hỗnh 3.11 V. MT VI V D GII SN d 1 x c 1 A 2 b 1 B 1 B 2 c 2 d 2 b 2 a 1 A 1 a 2 Vớ d 1 Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P 1 ) Gii Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a mp (P 1 ) nờn A 1 a 1 . V li d // c nờn d 1 qua A 1 v d 1 // c 1 Vỡ d b = B; t d 1 b 1 = B 1 B 2 b 2 V d 2 qua B 2 v d 2 // c 2 ; (Hỡnh 3.12) Vy d l ng thng thng cn v Hỡnh 3.12 Vớ d 2 Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy: a) CD mp (P 1 ); AB l ng thng thng b) CD mp (P 2 ); AB l ng cnh c) CD mp (P 3 ); AB l ng thng thng Gii a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 1 ) nờn M 1 C 1 D 1 v MN l on ng bng V li MN AB M 1 N 1 A 1 B 1 ti N 1 . T N 1 A 1 B 1 N 2 A 2 B 2 M 2 N 2 // x; (Hỡnh 3.13a) Kt lun: M 1 N 1 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 20 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 b) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 2 ) nờn M 2 C 2 D 2 v MN l on ng mt V li MN AB M 2 N 2 A 2 B 2 ti N 2 . T N 2 A 2 B 2 N 1 A 1 B 1 M 1 N 1 // x; (Hỡnh 3.13b) Kt lun: M 1 N 1 = M 2 N 2 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau x o z y x A 1 C 1 C 2 C 2 B 3 N 3 B 2 A 2 t M 1 N 1 B N C 1 D 1 B 1 A 1 M 2 C 2 D 2 N 2 B 2 A 2 B 1 N 1 A 1 N 2 A 2 B 2 M 2 M 1 C 1 D 1 D 2 N 1 M 1 M 2 B 1 D 1 D 2 N 2 A 3 M 3 C 3 D 3 x y Hỡnh 3.13a Hỡnh 3.12b Hỡnh 3.12c c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 3 ) nờn M 3 C 3 D 3 v MN l on ng cnh V li MN AB M 3 N 3 A 3 B 3 ti N 3 . T N 3 A 3 B 3 N 2 A 2 B 2 , M 2 N 2 // z v N 1 A 1 B 1 , M 1 N 1 // y; (Hỡnh 3.13c) Kt lun: M 3 N 3 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau Vớ d 3 x A 0 f 2 D 2 C 2 B 2 A 2 f 1 D 1 C 1 B 1 A 1 Cho dim A(A 1 , A 2 ) v ng mt f (f 1 , f 2 ); (Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng B,C thuc ng mt f Gii _ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC _ vỡ B,C f nờn AB f A 2 B 2 f 2 B 1 f 1 _ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on AB l on B 2 A 0 _ Vỡ BC = AB B 2 C 2 = B 2 A 0 C 1 f 1 V D tho món AD // BC; (Hỡnh 3.14) Hỗnh 3.14 =================== GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 21 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Bi 4 MT PHNG I . THC CA HAI MT PHNG thc ca mt phng cú th c xỏc nh bi mt trong cỏc cỏch sau õy: _ Ba dim phõn bit khụng thng hng, mp(ABC); (Hỡnh 4.1a) _ Mt im v mt ng thng khụng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hỡnh 4.1b) _ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c) _ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d) a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l) B 2 a 2 M 2 d 2 m 2 A 2 C 2 b 2 l 2 x x x x a 1 m 1 C 1 d 1 A 1 M 1 l 1 b 1 B 1 Hỡnh 4.1 Ngoi ra ngi ta cũn biu din mt phng bng hai vt ca chỳng nh sau: VT CA MT PHNG Vt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu 1) Vt bng ca mt phng a) nh ngha: Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a) Ký hiu : m b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m 1 m _ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m 2 x ; (hỡnh 4.2b) Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b 2) Vt ng ca mt phng x P 2 P 1 m n P 2 n n n m 2 n 1 x m 2 n 1 x x m m m P 1 GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 22 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 a) Định nghĩa: Vết đứng của mặt phẳng là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi n là vết đứng của mặt phẳng α thì: n = mpα ∩ mpP 2 (Hình 4.2a) Ký hiệu : n α b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của vết đứng trùng với chính nó: n 2α ≡ n α _ Hình chiếu bằng của vết đứng trùng với trục x : n 1α ≡ x ; (hình 4.2b)  Chú ý ♦ Thực chất của việc biểu diễn mặt phẳng α bằng hai vết của chúng là biểu diễn mặt phẳng α bằng hai đường thẳng m α , n α cắt nhau hoặc song song nhau lần lượt nằm trong mặt phẳng hình chiếu bằng và mặt phẳng hình chiếu đứng. Do đó hai vết m α , n α của mặt phẳng α phải cắt nhau tại một điểm nằm trên trục x (Hình 4.2a,b) hoặc song song với trục x (Hình 4.3a, b) ♦ Đường thẳng thuộc mặt phẳng thì các vết cùng tên của đường thẳng và mặt phẳng thuộc nhau II. CÁC Vị TRÍ ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG II. 1- Loại mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu 1) Mặt phẳng chiếu bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu bằng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng chiếu bằng, ta có: mpα ⊥ mpP 1 b) Tính chất _ Hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng suy biến thành một đường thẳng: (α 1 ) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu bằng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu bằng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu bằng đó Giả sử : Điểm A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A 1 ∈ (α 1 ) ; d 1 ≡ (α 1 ) ; _ Vết đứng của mặt phẳng chiếu bằng vuông góc với trục x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4) Hình 4.4 Hình 4.5 n α x x m β k 2 ≡ (β 2 ) d 1 ≡ (α 1 ) B 2 B 1 A 2 A 1 d 2 k 1 2) Mặt phẳng chiếu đứng a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu đứng là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi β là mặt phẳng chiếu đứng: mpβ ⊥ mpP 2 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng chiếu đứng suy biến thành một đường thẳng: (β 2 ) → 1 đường thẳng GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 23 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005 _ Hình chiếu đứng của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu đứng thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu đứng đó Giả sử : Điểm B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B 2 ∈ (β 2 ) ; k 2 ≡ (β 2 ) ; _ Vết bằng của mặt phẳng chiếu đứng vuông góc với trục x : m β ⊥ x ; (Hình 4.5) 3) Mặt phẳng chiếu cạnh a) Định nghĩa: Mặt phẳng chiếu cạnh là mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh Gọi γ là mặt phẳng chiếu cạnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3 b) Tính chất _ Hình chiếu cạnh của mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành một đường thẳng: (γ3) → 1 đường thẳng _ Hình chiếu cạnh của điểm, đường thẳng thuộc mặt phẳng chiếu cạnh thì thuộc đường thẳng suy biến của mặt phẳng chiếu cạnh đó Giả sử : Điểm C ∈ mpγ ; l ∈ mpγ ⇒ C 3 ∈ (γ 3 ) ; l 3 ≡ (γ 3 ) ; (Hình 4.6) _ Vết bằng và vết đứng của mặt phẳng chiếu cạnh vuông góc với trục z hay song song với trục x z l 2 n γ (Hình 4.6) II.2 Loại mặt phẳng song song với một mặt phẳng hình chiếu (Thì vuông góc với hai mặt phẳng hình chiếu còn lại) 1) Mặt phẳng bằng a) Định nghĩa: Mặt phẳng bằng là mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi α là mặt phẳng bằng, ta có: mpα // mpP1 Hình 4.7 Hình 4.8 b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của mặt phẳng bằng suy biến thành một đường thẳng song song với trục x: (α 2 ) // x _ Mặt phẳng bằng vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu cạnh nên có những tính chất của hai loại mặt phẳng này A 1 B 2 A 2 B 1 C 1 D 1 C 2 (α 2 ) x E 2 F 1 E 1 F 2 D 2 (β 1 ) x m γ l 3 ≡(γ 3 ) C 3 o C 2 x ⎢ ⎣ ⎢ ⎡ ⊥ xnm znm //// , γγ γγ y ’ y GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 24 Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Gi s A, B, C mp A 2 , B 2 , C 2 ( 2 ) _ Hỡnh chiu bng ca mt hỡnh phng thuc mt phng bng thỡ bng chớnh nú ABC mp A 1 B 1 C 1 = ABC ; (Hỡnh 4.7) 2) Mt phng mt a) nh ngha Mt phng mt l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu ng Gi l mt phng mt, ta cú: mp // mpP 2 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca mt phng mt suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x: ( 1 ) // x _ Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nờn cú nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s D, E, F mp D 1 , E 1 , F 1 ( 1 ) _ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú DEF mp D 2 E 2 F 2 = DEF ; (Hỡnh 4.8) 3) Mt phng cnh a) nh ngha Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP 3 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x _ Mt phng cnh va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu ng nờn cú nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny Gi s :D, K, L mp; (Hỡnh 4.9) D 1 , K 1 , L 1 ( 1 ) v D 2 , K 2 ,L 2 ( 2 ) _ Hỡnh chiu cnh ca mt hỡnh phng thuc mt phng cnh thỡ bng chớnh nú, gi s : DKL mp D 3 K 3 L 3 = DKL Hỡnh 4.9 III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG z y x D 2 ( 2 ) K 2 L 2 D 1 L 1 K 1 D 3 K 3 L 3 y o ( 1 ) x d 2 A 2 E 1 E 2 F 2 C 2 B 1 Hỡnh410 F 1 C 1 B 2 A 1 d 1 (Bi toỏn c bn trờn mt phng) Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca im, ng thng vi mt phng 1. Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai im thuc mt phng ú 2. Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt ng thng c a mt phng ú GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt 25 Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005  Ví dụ1 Cho mặt phẳng ABC (hình 4.10). Hãy vẽ một đường thẳng d bất kỳ thuộc mặt phẳng ABC. Giải - Trong mặt phẳng ABC, ta lấy hai điểm bất kỳ E, F; chẳng hạn E ∈AB, F∈ AC. Hai điểm phân biệt E, F xác định đường thẳng d có đồ thức: E 1 F 1 ≡ d 1 và E 2 F 2 ≡ d 2 - Đường thẳng d có hai điểm E, F thuộc mp(ABC) nên theo tiên đề1 thì (d 1 , d 2 ) là đồ thức của đường thẳng d thuộc mặt phẳng (ABC) ; (hình 4.10)  Ví dụ 2 Cho mặt phẳng được xác định bỡi hai đường thẳng giao nhau a, b và hình chiếu đứng K 2 của điểm K; (hình 4.11). Hãy vẽ hình chiếu bằng K 1 , biết K thuộc mặt phẳng (a, b) Giải Trong mp (a,b), vẽ đường thẳng g đi qua điểm K; g 2 đi qua K 2 . Vì g ∈ mp(a,b) nên vẽ được g 1 Từ K 2 ∈ g 2 ⇒ K 1 ∈ g 1 . Vậy (K 1 , K 2 ) là đồ thức của điểm K thuộc mp(a,b) cần dựng IV. CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT CỦA MẶT PHẲNG 1) Đường bằng của mặt phẳng a) Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu bằng Gọi h α là đường bằng của mặt phẳng α: h α ∈ mpα và h α // (P 1 ) ; (Hình 4.12a) b) Tính chất _ Hình chiếu đứng của đường bằng song song với trục x: h 2α // x ; (Hình 4.12b) h 2 // x ; (Hình 4.13) _ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h 1α // m α Hình 4.12a Hình 4.12b Hình 4.13 m α h 1 α n α h 2 α x N 2 N 1 m α n α x P 1 P 2 h α h 2 α N α h 1 α h 2 h 1 A 2 C 1 C 2 E 2 E 1 F 1 F 2 B 2 B 1 A 1 x 2) Đường mặt của mặt phẳng a) Định nghĩa Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng và song song với mặt phẳng hình chiếu đứng Gọi f α là đường mặt của mặt phẳng α: f α ∈ mpα và f α // (P 2 ) ; (Hình 4.14a) GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût 26 [...]...Baỡi giaớng HầNH HOAỷ P2 f2 n f 2005 n a2 M2 x x F2 f2 a1 f1 m P1 b2 E2 x f1 M O2 f2 M1 E1 F1 f1 b1 m O1 Hỡnh 4. 14a Hỡnh 4. 14b Hỡnh 4. 15 b) Tớnh cht _ Hỡnh chiu bng ca ng mt song song vi trc x: f1 // x ; (Hỡnh 4. 14b) f1 // x ; (Hỡnh 4. 15 ) _ Hỡnh chiu ng ca ng mt song song vi vt ng ca mt phng : f2 // n Chuù yù ng bng h mp nờn vt ng N ca ng bng h thuc vt ng n ca mp ng... phng i vi mpP1;(Hỡnh 4. 23a) b) V ng mt f d ti I f2 d2 ti I2 mp(d, f) nhn ng thng d lm ng dc nht ca mt phng i vi mp P2 ;(Hỡnh 4. 23b) d2 I2 d2 h2 x I2 d2 N2 f2 I1 d1 a) m d1 n M2 f1 N1 x M2 M1 x N1 d1 m d1 I1 b) N2 n x h1 d2 M1 c) Hỡnh 4. 23 d) c) V M, N ln lt l vt bng, vt ng ca ng thng d; mp nhn ng thng d lm ng dc nht ca mt phng i vi mpP1 nờn m d1 ti M1 n i qua N2; (Hỡnh 4. 23c) d) Tng t, mp nhn... m P1 m D1 N1 Hỡnh 4. 17a Hỡnh 4. 17b Hỡnh 4. 17c Gi d l ng dc nht ca mp i vi mt phng hỡnh chiu bng (Hỡnh 4. 17a) GVC ThS Nguyóựn ọỹ 27 Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005 Tớnh cht - ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu bng thỡ vuụng gúc vi ng bng (hay vt bng) ca mt phng ú, nờn gúc vuụng c bo tn hỡnh chiu bng, tc d h (m) d1 h1 hay d1 m (Hỡnh 4. 17b) (Hỡnh 4. 17c) biu din MN... chiu ng A2B2C2 ca tam giỏc ABC; (Hỡnh 4. 21a,b) Hóy v hỡnh chiu bng A1B1C1, bit tam giỏc ABC thuc mp B2 A2 A1 N2 n n N2 B2 K2 A2 B1 x K1 C2 M2 x N1 C2 B1 N1 A1 C1 m m Hỡnh 4. 21a a) _ _ _ C1 M1 Hỡnh 4. 21b Gii Tam giỏc ABC mp ( Hỡnh 4. 21a) nờn: C2 x C1 m BC n = K; t K2 = B2C2 n K1 x v B1 K1C1 AC n = N; t N2 = A2C2 n N1 x v A1 N1C1 b) Tam giỏc ABC mp ( Hỡnh 4. 21b) nờn: _ AB n = N v AB m = M _... mt phng ú n n P2 E2 E g2 g2 x x g E1 F2 g1 g1 m P1 F F1 Hỡnh 4. 18 m Hỡnh 4. 18b Gi g l ng dc nht ca mp i vi mt phng hỡnh chiu ng (Hỡnh 4. 18a) Tớnh cht - ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu ng thỡ vuụng gúc vi ng mt (hay vt ng) ca mt phng ú, nờn gúc vuụng c bo tn hỡnh chiu ng, tc: g f (n) g2 f2 hay g2 n (Hỡnh 4. 18b) - Gúc ca ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu ng chớnh l gúc ca mt... _ Theo phng phỏp tam giỏc thỡ cnh gúc vuụng cũn li N1N0 bng hiu cao ca M, x M2 N1 N; tc : N1N2 = N1N0 d2 M2N2 _ Vy n i qua N2 v qua giao im ca m vi 600 trc x ; (Hỡnh 4. 24) N0 M1 d1 m Hỡnh 4. 24 ============== GVC ThS Nguyóựn ọỹ 30 Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt ... thng a,b ct nhau; (Hỡnh 4. 22) Hóy v cỏc vt m, n ca mp b2 A2 I2 n O A1 B1 M2 Gii m a1 _ Gi A,B ln lt l vt ng ca ng thng a, b I1 T A1 = a1 x A2 a2; (A A2) b1 T B1 = b1 x B2 b2; (B B2) M1 _ Gi M l vt bng ca ng thng a T M2 = a2 x M1 a1; (M M1) Hỡnh 4. 22 _ ng thng a,b mp nờn vt ng n i qua cỏc vt ng A, B ca ng thng a,b : n A2B2 Gi O = n x m M1O; (Hỡnh 4. 22) x Vớ d 3 Cho ng thng d Hóy dng mt... hỡnh x N1 x F1 chiu bng v i vi mt phng hỡnh chiu E2 ng N0 M1 m Gii E1 m 1) V ng dc nht MN ca mp i Hỡnh 4. 19 Hỡnh 4. 20 vi mpP1 : M1N1 m M2N2 (Hỡnh 4. 19) Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on NM l M1N0 N1M1N0 = = (MN, P1) = ( mp , P1) 2) V ng dc nht EF ca mp i vi mp P2 : E2F2 n E1F1 (Hỡnh 4. 20).Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht ca on EF l F2E0 E2F2E0 = = (EF, P2 ) = ( mp, P2 ) GVC ... vt ng n ca mp ng mt f mp nờn vt bng M ca ng mt f thuc vt bng m ca mp Nu mt phng l mt phng chiu cnh thỡ ng thng chiu cnh k mp va l ng bng va l ng mt (Hỡnh 4. 16 a, b) N2 P2 n D2 k2 x k x M2 D1 k1 m N1 M1 n k2 k1 m P1 Hỗnh 4. 16a Hỗnh 4. 16b 3) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu a) ng dc nht ca mt phng di vi mt phng hỡnh chiu bng nh ngha ng dc nht ca mt phng i vi mt phng hỡnh chiu bng l... dc nht ca mt phng i vi mpP1 nờn m d1 ti M1 n i qua N2; (Hỡnh 4. 23c) d) Tng t, mp nhn ng thng d lm ng dc nht ca mt phng i vi mp P2 nờn n d2 ti N2 m i qua M1 v i qua giao im ca n vi trc x; (Hỡnh 4. 23d) Vớ d 4 Cho vt bng m ca mp Hóy v vt ng n, bit rng mp nghiờng vi mp P1 gúc 600 Gii Ta bit rng gúc nghiờng ca mp i vi mp P1 cng chớnh l gúc ca ng dc nht ca mp ú i vi mp P1 Vỡ vy ta v ng thng d dc nht ca . N 2 A 3 M 3 C 3 D 3 x y Hỡnh 3. 13a Hỡnh 3. 12b Hỡnh 3. 12c c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD Vỡ CD mp (P 3 ) nờn M 3 C 3 D 3 v MN l on ng cnh V li MN AB M 3 N 3 . A 3 B 3 ti N 3 . T N 3 A 3 B 3 N 2 A 2 B 2 , M 2 N 2 // z v N 1 A 1 B 1 , M 1 N 1 // y; (Hỡnh 3. 13c) Kt lun: M 3 N 3 = MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau Vớ d 3. ; (Hình 4. 12b) h 2 // x ; (Hình 4. 13) _ Hình chiếu bằng của đường bằng song song với vết bằng của mặt phẳng : h 1α // m α Hình 4. 12a Hình 4. 12b Hình 4. 13 m α h 1 α n α h 2 α x N 2 N 1 m α n α x