Dạng toán: Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x0 doc

GV: Trần Thiện Khải ĐẠO HÀM: : Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 Bài 1: Tìm f’(1), f’(2), f’(3), nếu f(x) = (x – 1)(x – 2) 2 (x – 3) 3 Bài 2: Khảo sát sự có đạo hàm của hàm: a.) f(x) = (x – 1) 2 )1( −x tại điểm x 0 = 1. b.) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ − 1,0 1, 1 sin 2 x x x x π tại điểm x 0 = 1. c.) f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 0x,0 0x, x 1 sin.x tại điểm x 0 = 0. Bài 3: Cho hàm số f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠+ 0,1 0, 2 x x x x x . Khảo sát sự liên tục và có đạo hàm của f tại x 0 = 0. Bài 4: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x . b) y = 3 x . c) y= 1e 1 x + d) y = 2 x 2 Bài 5: Giả sử y = ϕ (x) là hàm số liên tục tại x 0 = a và ϕ (a) ≠ 0. Chứng minh rằng hàm số: y = f(x) = ϕ .ax − (x) không có đạo hàm tại x 0 = a. Bài 6: Tìm n để hàm số: f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ 0,0 0, 1 sin x x x x n a.) Liên tục tại x 0 = 0. b.) Có đạo hàm hữu hạn tại x 0 = 0. c.) Có đạo hàm liên tục tại x 0 = 0. BÀI 2: Tính đ ạ o hàm của hàm số Bài 1: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm đạo hàm của các hàm sau đây: a.) y = 2x 3 – 5x 2 + 7x + 4. b) y = x 2 e x . c) y = x xarcsin . d) y = (3 + 2x 2 ) 4 . e) y = ln(arcsin5x). f) y = cos{cos(cosx)}. GV: Trần Thiện Khải g) y = 4 2 1 2 arcsin x x + , x < 1. h) y = x x x x cos sin1 ln cos sin 2 + + Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm sau đây: a.) y = (sinx) x . b) y = . c) y = . x x x 12 2 )(ln +x x Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm sau đây: a.) y = x 3 . .sin2x b) y = 2 x e 3 3 2 )5( 1.)2( − +− x xx . Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm sau đây: a.) y = 32 )1()1( +− xx b) y = x 3 sin . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − −− − = 2 )2)(1( 1 .) x xx x yc khi -∞ < x < 1 khi 1 ≤ x ≤ 2 khi 2< x < +∞ khi x ngoài đoạn [a, b] ⎩ ⎨ ⎧ ≤≤−− = 0 ,)()( .) 22 bxabxax yd A. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ: BÀI 3: Tìm vi p hân của hàm số Bài 1: a.) y = arctgx. b) y = . 3 t e c) y = ln axx ++ 2 . d) y = arctg v u . BÀI 4: Tìm giá trị gần đúng nhờ vi phân 1. 3 02,1 . 2. sin29 0 B. ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO: BÀI 5: Tìm đạo hàm riêng và vi phân cấp cao Bài 1: a.) y = x 5 +2x 4 – 3x 3 - x 2 - 2 1 x + 6, tìm y’, y’’, y’’’… b.) y = x 2 1 x+ . Tìm y’’. c.) y = x 2 e x . Tìm y (20) (0). Bài 2: a.) y = (2x-3) 3 . Tìm dy, d 2 y, d 3 y. GV: Trần Thiện Khải b.) y = 2 1 x+ . Tìm d 2 y. c.) y = u 2 . Tìm d 10 y, nếu u là hàm của x, khả vi đến 10 lần. d.) y = xcos2x. Tìm d 10 y. BÀI 6: Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức: a.) yx sinsin − ≤ yx− ∀ x, y ∈ R. b.) ln(1 + x) < x, ∀ x > 0. c.) a ba − < ln b a < b ba − nếu 0 < b < a. Bài 2: Giả sử hàm f(x) xác định, liên tục, dương trên [a, b] và khả vi trên (a, b). Chứng minh rằng tồn tại c ∈(a, b), sao cho )( )( af bf = )( )(' )( cf cf ab e − . Bài 3: Chứng minh rằng phương trình x + ln(x 2 – 1) = 0 có một nghiệm duy nhất ∈(1, +∞). Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên D. a.) f(x) = x 4 – 4x 3 + 3 trên đoạn [-1, 4]. b.) f(x) = x 2 3 2 )1( −x trên đoạn [-1, 1]. c.) f(x) = cosx + 2 1 cos2x trên đoạn [0, π]. BÀI 7: Khai triển Taylor – Mac Lorin của hàm, tính gần đúng. Bài 1: Biểu diễn f(x) = 3 x dưới dạng đa thức bậc 5 đối với x – 1. Bài 2: Biểu diễn f(x) = a x dưới dạng đa thức bậc 3 đối với x. Bài 3: Tính e chính xác đến 0,0001. BÀI 8: Khử dạng vô định nhờ quy tắc L’.Hospital Bài 1: Tìm: a) ee xx x x − +− → ln1 lim 2 1 . b) 3 0 sin lim x xx x − → . c) x n x e x +∞→ lim . d) x x x e x ex + ∞→ 2 . lim . e) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − → )1( 11 lim 0 x x ex . f) . g) x x x)(sinlim 0→ x x tgx cos2 )(lim 2 π → . h) x x x ln 0 )1(lim + → . ĐẠO HÀM: : Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 Bài 1: Tìm f’(1), f’(2), f’(3), nếu f(x) = (x – 1)(x – 2) 2 (x – 3) 3 Bài 2: Khảo sát sự có đạo hàm của hàm: . tục tại x 0 = 0. b.) Có đạo hàm hữu hạn tại x 0 = 0. c.) Có đạo hàm liên tục tại x 0 = 0. BÀI 2: Tính đ ạ o hàm của hàm số Bài 1: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm đạo hàm. f(x) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠+ 0,1 0, 2 x x x x x . Khảo sát sự liên tục và có đạo hàm của f tại x 0 = 0. Bài 4: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x . b) y = 3 x . c) y= 1e 1 x +