BÀI 2: Tính đạo hàm của hàm số Bài 1: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm đạo hàm của các hàm sau đây: a... BÀI 6: Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình Bài 1: Chứng m
Trang 1ĐẠO HÀM:
: Dùng định nghĩa khảo sát sự có đạo hàm của hàm số tại điểm x 0
Bài 1: Tìm f’(1), f’(2), f’(3), nếu f(x) = (x – 1)(x – 2)2(x – 3)3
Bài 2: Khảo sát sự có đạo hàm của hàm:
a.) f(x) = (x – 1) 2
) 1 (x− tại điểm x0 = 1
b.) f(x) =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠
− 1 , 0
1 , 1 sin 2
x
x x x
π
tại điểm x0 = 1
c.) f(x) =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠ 0 x , 0
0 x , x
1 sin x
tại điểm x0 = 0
Bài 3: Cho hàm số f(x) =
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠ +
0 , 1
0 ,
2
x
x x
x
x Khảo sát sự liên tục và có đạo hàm của f
tại x0 = 0
Bài 4: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = x b) y =3 x c) y=
1 e
1
x + d) y =
2
x
2
Bài 5: Giả sử y =ϕ(x) là hàm số liên tục tại x0 = a và ϕ(a) ≠ 0 Chứng minh rằng hàm số: y = f(x) = x−a.ϕ(x) không có đạo hàm tại x0 = a
Bài 6: Tìm n để hàm số: f(x) =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
≠ 0 , 0
0 ,
1 sin
x
x x
x n
a.) Liên tục tại x0 = 0
b.) Có đạo hàm hữu hạn tại x0 = 0
c.) Có đạo hàm liên tục tại x0 = 0
BÀI 2: Tính đạo hàm của hàm số
Bài 1: Dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm, tìm đạo hàm của các hàm sau
đây:
a.) y = 2x3 – 5x2 + 7x + 4 b) y = x2 ex c) y =
x
x
arcsin d) y = (3 + 2x2)4 e) y = ln(arcsin5x) f) y = cos{cos(cosx)}
Trang 2g) y = 24
1
2 arcsin
x
x
+ , x< 1 h) y = x
x x
x
cos
sin 1 ln cos
sin
2
+ +
Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y = (sinx)x b) y = x x c) y =
x
Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y = x3 x2.sin2x b) y =
3 2
) 5 (
1 ) 2 (
−
+
−
x
x x
Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm sau đây:
a.) y = (x− 1 ) 2 (x+ 1 ) 3 b) y = sin3x
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
−
−
= 2
) 2 )(
1 (
1 )
x
x x
x y
c
khi -∞ < x < 1 khi 1 ≤ x ≤ 2 khi 2< x < +∞
khi x ngoài đoạn [a, b]
⎩
⎨
= 0
, ) ( ) ( )
2 2
b x a b x a x y d
A VI PHÂN CỦA HÀM SỐ:
BÀI 3: Tìm vi phân của hàm số
Bài 1:
a.) y = arctgx b) y = t3
e
c) y = ln x+ x2 +a d) y = arctg
v
u
BÀI 4: Tìm giá trị gần đúng nhờ vi phân
1 31,02 2 sin290
B ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CẤP CAO:
BÀI 5: Tìm đạo hàm riêng và vi phân cấp cao
Bài 1:
a.) y = x5 +2x4 – 3x3 - x2 -
2
1x + 6, tìm y’, y’’, y’’’…
b.) y = x 1 x+ 2 Tìm y’’
c.) y = x2ex Tìm y(20)(0)
Bài 2:
a.) y = (2x-3)3 Tìm dy, d2y, d3y
Trang 3b.) y = 1 x+ 2 Tìm d2y
c.) y = u2 Tìm d10y, nếu u là hàm của x, khả vi đến 10 lần
d.) y = xcos2x Tìm d10y
BÀI 6: Ứng dụng các định lý về giá trị trung bình
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức:
a.) sinx sin− y ≤ x−y ∀x, y∈R
b.) ln(1 + x) < x, ∀x > 0
c.)
a
b
a−
< ln
b
a
<
b
b
a− nếu 0 < b < a
Bài 2: Giả sử hàm f(x) xác định, liên tục, dương trên [a, b] và khả vi trên (a, b)
Chứng minh rằng tồn tại c∈(a, b), sao cho
) (
) (
a f
b f
) (' ) (
c f c f a b e
−
Bài 3: Chứng minh rằng phương trình x + ln(x2 – 1) = 0 có một nghiệm duy
nhất∈(1, +∞)
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm trên D
a.) f(x) = x4 – 4x3 + 3 trên đoạn [-1, 4]
b.) f(x) = x23 (x− 1 ) 2 trên đoạn [-1, 1]
c.) f(x) = cosx +
2
1cos2x trên đoạn [0, π]
BÀI 7: Khai triển Taylor – Mac Lorin của hàm, tính gần đúng
Bài 1: Biểu diễn f(x) = 3 xdưới dạng đa thức bậc 5 đối với x – 1
Bài 2: Biểu diễn f(x) = ax dưới dạng đa thức bậc 3 đối với x
Bài 3: Tính e chính xác đến 0,0001
BÀI 8: Khử dạng vô định nhờ quy tắc L’.Hospital
Bài 1: Tìm:
a)
e e
x x
x
+
−
→
ln 1 lim
2
0
sin lim
x
x x x
−
n
x
+∞
→
x
e x
+
∞
→
2
lim
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
1 1 lim
x (sinx)
lim
0
→
x
xlim (tgx)2cos
2 π
0(1 ) lim +
→