TÀI LIỆU DẠY ÔN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
ÔN PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Giải phương trình :
a) 3x− = −2 1 2x b) 3x2−9x 1 x 2+ = −
c) x + 3 + x + 3x = 02 d) 2
x −2x 4− = 2 x−
e) x2 -5x -2x-1=0 f) 2x2 −5x = x2 −4
g) x2−20x 9− = 3x2+10x 21+ h) -x + 4x + 2 = 2x2
i) x - 2 = x + x - 6 2
Bài 2 : Giải bất phương trình sau:
a) 7x2 – 4x – 3 ≤ 0 b) 2x2 + 8x + 11 ≥ 0
c) 81x2 + 36x + 4 < 0 d) -5x2 + 19x + 4 >0
e) 2x(3x – 5) > 0 f) (2x – 3)(4 - 3x )(5x + 2) < 0
g) (x – 2)2(x – 7) ≥ 0 h) (3x2 + 7x)(9 – x2) > 0
i) (1- 2x)(x+3) + 3x -1 ≤ (1- x)(x+3) + x2 – 5
Bài 3 : Giải bất phương trình sau:
2x 5x 3> x 9
− + − b)
2 4 3
1
3 2
x x
− + < −
− c) 1 5
x ≥ x
+ + d) 3
8 1 4
2 2
1
5x+ −x− ≥ − x
e) 2
1
2
3
1 <−
+
−
x
x
f) 0
1
4 4 2
2
≤
−
+ +
x
x x
2
4
3
>
−
−
x
x
h)
3
1 7 6
5 2
2 − − < −
−
x x
x
x
Bài 4 : Giải các bất phương trình sau :
a) |5x – 3| < 2 b) |3x – 2| ≥ 6
c) 2x−1≤ x+2 d) 3x+7 >2x+3
e) 2x2 -x +2x-1≥0 f) x 6− > x2−5x 9+
g) 2x + 2 = x - 2x - 3 h) 2 2x2 – 3x – 15 ≤ –2x
i) x + 3 - 2x > x +1 -1 j) x2 +4x−1−6< x
k)
2
2
10x - 3x - 2
> 1
x - 3x + 2 l)
2 2x -1 ≤ 2x - 5x + 2
Bài 5 : Giải các bất phương trình sau :
a) 2x2 −3x−5< x−1 b) 1+x2 − 7+x2 >1
c) 3x - 9x +1 x - 22 ≤ d) x - 5x + 42 ≤2x + 2
e) x2+x-12 ≥5-x f) l) x – 6 + x2 -7x+12 ≤0 g) 2x - x + 6x -12x + 7 < 02 2 h) (3x + 2) x -1 + x -1 02 2 ≤
1 Nguyễn Văn Duẩn
Trang 2Bài 6 :Giải cỏc phương trỡnh sau :
a) x 1 x+ = 2−2x 3− ; b) x2+2 x2 −3x 11 3x 4+ = +
c) 3x2 −9x 1+ = −x 2 ; d) x2 −4 +2x= x+2 +1
e) x2−3x 2+ = +x 2 ; f) -x + x -1 = 2x + 52
Bài 7 : Giải bất phương trỡnh sau :
a) x2+5x 6 x 2− < + ; b) x+ 2x−x2 ≤5
c) x2−3x 2 x+ + 2 >2x ; d) x2+ x2+2x <4
e) x2−4x ≥ +x 2 ; f) 8 2x x+ − 2 +3x 6≤
Bài 8 : Giải cỏc bất phương trỡnh sau :
a) − +x2 6x 5 8 2x− > − ; b) 2x2−3x 15− ≤ −2x2−8x 6−
c) 9x + 3x - 2 10≥
Bài 9 : Tỡm tham số m để cỏc phương trỡnh sau:
a) x2 – (m + 2)x – m – 2 = 0 vụ nghiệm
b) 3x2 – 2(m + 5)x + m2 – 4m + 15 = 0 cú nghiệm
c) 2
x −2(m 1)x m 7 0+ + + = cú nghiệm
(m 2)x+ −3x m 1 0+ − = cú 2 nghiệm phõn biệt
e) (2 + m)x² + 2mx +2m – 3 = 0 vụ nghiệm
f) −3x2 +2x−m2 =0 vụ nghiệm
h) (m –2)x2 – 2mx + 2m – 3 = 0 cú hai nghiệm cựng dấu
i) x2 −2mx+1=0 cú 2 nghiệm phõn biệt
k) mx2 – 2(m –1)x + 4m – 1 = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt
l) (m−1)x2 −2(m+1)x+2m+5=0 cú 2 nghiệm õm phõn biệt
2x +2 m 2 x 3 4m m+ + + + =0cú nghiệm
n) (m 1 x− ) 2+2 m( 2+2 x 5 7m 2m) + − + 2 =0cú hai nghiệm trỏi dấu
(m −4m 5)x− −2(m 1)x 3 0+ − = cú 2 nghiệm trỏi dấu
p) x2 – 6mx + 2 – 2m + 9m2 = 0 cú 2 nghiệm dương phõn biệt
q) (2+m)x² + 2mx + 2m –3 = 0 cú 2 nghiệm dương
r) 2
x + x - 3 = x + m cú nghiệm
a) Phương trỡnh f(x) = 0 cú nghiệm
b) Bất phương trỡnh f(x) > 0 cú nghiệm với mọi x thuộc R
c) Phương trỡnh f(x) = 0 cú 2 nghiệm phõn biệt cựng dấu
(m−1)x +4x m+ −4
a) Tìm m để phơng trình f(x) = 0 có nghiệm.
b) Với giá trị nào của m thì phơng trình f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu.
c) Tìm m để f(x) < 0 với mọi x ∈ R
Trang 3TÀI LIỆU DẠY ƠN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
Bài 12 : Cho biểu thức: f x( )=mx2−4mx+3m+2
a) Tìm m để f(x) = 0 cĩ nghiệm
b) Tìm m để f(x) > 0 với mọi số thực x
c) Tìm m để phương trình f(x) = 0 cĩ 2 nghiệm dương phân biệt
Bài 13 : Cho f(x) = (m - 1)x2 - 2(m - 1)x - 1
a) Tìm m để f(x) = 0 cĩ nghiệm
b) Tìm m để f(x) < 0 với mọi x ∈ R
c) Tìm m để phương trình f(x) = 0 cĩ hai nghiệm dương
Bài 14 : Tìm m để bất phương trình x2 + 2mx + 3m < 0 vơ nghiệm
Bài 15 :
a) Tìm m để pt: 2
x −2(m 1)x 4 0+ − = cĩ 2 nghiệm x , x thỏa 1 2 2 2
1 2
x +x ≥24 b) Tìm m để pt: x2−(2m 3)x 3 0+ − = cĩ 2 nghiệm x , x thỏa 1 2 2 2
1 2 1 2
x +x −x x <34
ƠN BẤT ĐẲNG THỨC-GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT
Bài 1: ∀a,b,c∈ R , chứng minh: a2 +b2 +c2 ≥ab+bc+ca
Bài 2: ∀a,b∈ R , chứng minh:
2 2
2 2 2
b a b
+ Từ đó suy ra :
2 2
4 4 4
b a b
+
Bài 3: ∀a,b,c,d∈ R , chứng minh: ac+bd ≤ (a2 +b2)(c2 +d2)
Bài 4: ∀a >0 ,chứng minh: a+ a+2<2 a+1
Bài 5: Cho a ≤1 và b ≤1 Chứng minh: a+b ≤1+ab
Bài 6: Cho a,b,x,y là bốn số dương Chứng minh rằng:
(ax + by)(bx + ay) ≥ (a+b)2xy
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a+b = 2 thì : a3 +b3≤a4 +b4
Bài 8: ∀a,b,c,d ≥ 0 Chứng minh: (a+b)(c+d) ≥ ac+ bd
Bài 9: Cho a,b có a+b ≥ 0 ,chứng minh rằng :
2 2
3 3 3
b a b
+
3 Nguyễn Văn Duẩn
PHƯƠNG PHÁP 1:DÙNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
* a2n ≥ 0 ; * a ≥ 0 & b ≥ 0 ⇒ a + b ≥ 0 và ab ≥0
* a ≥ b ⇔ a-b ≥ 0 ; * a ≥ b & b ≥ c ⇒ a ≥ c
* a ≥ b ⇔ a ± c≥ b ± c ; * a ≥ b & c ≥ d ⇒ a + c ≥ b + d
* a ≥ b ⇔ ac ≥ bc nếu c > 0 ; * a ≥ b ⇔ ac ≤ bc nếu c < 0
* a ≥ b> 0 thì
b a
1 1
≤ ; * a ≥ b ⇒a2n+1≥b2n+1
* a ≥ b ≥0
≥
≥
⇒
n n
n n b a
b a
2 2
2 2
; * 0 ≤ a ≤ 1 ⇒ an+k ≤ an ; với k∈N*
Trang 4a) (a2 −b2)(c2 −d2)≤(ac−bd)2
b) ( 2 2)( 2 2) ( )2
bd ac d
c b
Bài 11: Chứng minh: ∀a,b > 0 , ta có: ab
b a
≤ +1 1 2
Bài 12: Cho a > 0, b > 0 Chứng minh: a3 + b3 ≥ a2b + ab2
Bài 13: Chứng minh ∀a∈ R thì:
a) 2
1
2 2
2
≥ +
+
a
a
; b)
2
1
1 4
2
≤ +x x
Bài 14: ∀a,b,c,d,e∈ R , chứng minh: a2 +b2 +c2 +d2 +e2 ≥a(b+c+d+e)
Bài 15 : Cho a + b =2.Chứng minh BĐT : a4+b4 ≥ 2
Bài 16: Chứng minh rằng :nếu 0 < x ≤ y ≤ z thì ta có :
) ( 1 1 ) ( 1 1 1
z x z x z x y z x
+
≤ + +
+
Bài 17: Cho a,b >0 Chứng minh rằng : a b
a
b b
Bài 18: Cho a,b,c là ba số tuỳ ý thuộc đoạn [ ]0;1 Chứmg minh rằng :
a2+b2+c2 ≤ 1+a2b+b2c+c2a
Bài 19: Cho ab ≥ 1.Chứng minh rằng :
ab b
a + + ≥ +
2 1
1 1
1
2 2
Bài 20: Cho x,y,z > 0 Chứng minh rằng :
) (
3 2 2
2 2
2
Bài 21: Cho a≥c≥0&b≥c,chứng minh rằng : c(a−c)+ c(b−c) ≤ ab
Bài 22: Chứng minh rằng : với mọi a,b,c,d ta có :
a2 +b2 + c2 +d2 ≥ (a+c)2 +(b+d)2
Bài 23: Cho a + b = 2 Chứng minh rằng : a5 +b5 ≥a4 +b4
Bài 24: Cho 0<a<b<c.Chứng minh rằng :a3(b2 −c2)+b3(c2 −a2)+c3(a2 −b2)< 0 Bài 25: Cho x,y,z > 0 thoả mãn 1 +1 +1 =4
z y
x Chứng minh rằng :
1 2
1 2
1 2
+ +
+ + +
+ + + y z x y z x y z
x
4 Nguyễn Văn Duẩn
PHƯƠNG PHÁP 2: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI.
Cho n số không âm a1,a2,… an Ta có BĐT :
a1+a2 + +a n ≥n a .a n dấu dẳng thức xảy ra khi a =a=…= a
Trang 5TÀI LIỆU DẠY ƠN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
Bài 1: ∀a,b,c ≥ 0 Chứng minh: (a+b)(b+c)(c+a) ≥ 8abc
Bài 2: ∀a,b ≥ 0 Chứng minh: (a+2)(b+2)(a+b) ≥ 16ab
Bài 3: Cho a1,a2,a3,…,an là n số dương thoả mãn điều kiện: a1a2a3…an = 1 C/minh:
(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an) ≥ 2n
Bài 4: Cho ∆ABC có độ dài các cạnh là a,b,c Chứng minh
a) (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) ≤ abc
b) ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b) ≥ 0
Bài 5: Cho a,b,c > 0 , chứng minh:
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b a
Bài 6: Cho a,b >0 , chứng minh :
a) ( ) 1 1≥4
+ +
b a b
a
b)
b a b
a + ≥ +
4 1
1
Bài 7: Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c = 1 Chứng minh: (1-a)(1-b)(1-c) ≥ 8abc
Bài 8: Cho a,b,c > 0 , chứng minh:
c b a ab
c ca
b bc
a + + ≥ 1+1+1
Bài 9: Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 1 Chứng minh: 1 1 1 1 1 1≥64
+
+
+
c b
a
Bài 10: Cho a,b,c > 0 Chứng minh:
2
2 2
b a
c a c
b c b
+
+ +
+ + Bài 11: Cho a,b,c≥ 1,chứng minh rằng :
2
3 1 1
`
1 bc a ab c abc b
Bài 12: Cho x,y,z ≥0 và x+y+z ≤ 3 Chứng minh rằng :
z y
x z
z y
y x
x
+
+ +
+ +
≤
≤ +
+ +
+
1 1
1 1
1 2
3 1
1
Bài 13: Cho ∆ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và có diện tích S
Chứng minh rằng : a2 +b2 +c2 ≥4S 3 Cho biết đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 14: Cho a,b,c > 0 với
b c a
2 1 1
= + Chứng minh rằng: 4
2
−
+ +
−
+
b c
b c b a
b a
Bài 15: Cho ∆ABC có độ dài các cạnh là a,b,c và có diện tích S = 1.Chứng minh :
a4+b4+c4 ≥ 16
Bài 16: Cho a,b,c > 0.Chứng minh rằng :
abc
c b a ab c ac b bc
1 1
1
2 2
2
+ +
≤ +
+ +
+ + Bài 17: Cho a,b,c > 0 và 2
1
1 1
1 1
+
+ +
+ +a b c Chứng minh rằng : abc ≤
8 1
Bài 18: Cho a,b ≥ 1,chứng minh rằng : a b−1`+b a−1≤ab
Bài 19: Cho a,b,c > 0 và a>c ; b>c Chứng minh: c(a−c)+ c(b−c) ≤ ab
5 Nguyễn Văn Duẩn
Trang 6Bài 21: Cho x,y,z > 0 sao cho xyz = 1 và n N∈ Chứng minh rằng :
3 2
1 2
1 2
+ +
+ +
+x n y n z n
Bài 22: Cho a,b,c > 0 Chứng minh các BĐT:
a)
2
3
≥ +
+ +
+
c a c
b c b
a
b)
2
c b a a c
ca c b
bc b a
+
+ +
+ +
+
+ +
+
c a c
b c b
a
2
15
≥
+ +
+ +
+
b
a c a
c b c
b a
+
+ +
+
c a
c
b c
b
a
Bài 23: Cho a,b,c > 0 thoả mãn điều kiện a2 +b2 +c2 =1 chứng minh rằng :
2
3 3 2 2 2 2 2
+
+ +
+
c a
c
b c
b
a
Bài 24: Cho a,b >0 Chứng minh BĐT: b
b
a a
b b
a
a1 + + 3 ≥ 1 + + 3
3 3 Bài 25: Cho x > 0,y > 0 Chứng minh rằng :1x+ 1y ≥ x+4 y
Bài 26: Chứng minh rằng nếu a,b,c > 0 thì :
a
c c
b b
a a
c c
b b
a
+ +
≥ +
+ 33 33 3
3
Bài 27: Cho x,y,z là các số dương thoả mãn :1+ 1 +1 =4
z y
x Chứng minh rằng:
2
1 2
1 2
+ +
+ + +
+ + +y z x y z x y z
Bài 28: Cho x,y,z > 0 thoả mãn xyz = 1.Chứng minh rằng :
3 3 3
3 3
3
≥ + + + + + + + +
zx
x z yz
z y xy
y x
Bài 29: Chứng minh rằng : ( 3 )3
1 ) 1 )(
1 )(
1 ( +a +b +c ≥ + abc với a,b,c ≥ 0 Bài 30: Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng : a3 +b3+c3 ≥a2 bc +b2 ac+c2 ab
Bài 31: Chứng minh rằng :a4 +b4 +c4 ≥(a+b+c)abc
Bài 32: Cho a,b > 0 và m là số nguyên dương ,c/minh rằng : 1 1 ≥2 + 1
+ +
m m
a
b b
a
- -ƠN TẬP LƯỢNG GIÁC Bài 1 : Tính các giá trị lượng giác của gĩc α nếu :
Trang 7TÀI LIỆU DẠY ÔN HÈ CHO HỌC SINH ĐÃ HỌC XONG LỚP 10
a) cosα = 4
13 và 2
π
<
α
<
0 ; b) cotα = –3 và 3
2
π
< α < 2π
Bài 2 : Tính các giá trị lương giác còn lại của cung α biết rằng
5
2 sinα = và π <α <π
2
sinα = - , π < α <
5 2 Tính cosα
Bài 4 : Cho tan a + tan b = 2, tan(a + b) = 4 Tính tan a, tan b
Bài 5 : Rút gọn biểu thức sau : A = cos( + x) + cos(2π - x) + cos(3π + x)π
2
3 Tính
sin(x + ) - cos(x - )
Bài 7 : Cho sinx – cosx = m Tính sin3 x cos3x theo m
Bài 8 : Cho sinx + cosx = m Tính sin4 x+cos4 x theo m
Bài 9 : Chứng minh :
y x
y x
y x
cot cot
tan tan
tan tan
+
+
=
Bài 10 : Chứng minh rằng :
8
3 80
sin 40 sin 20 sin 70 cos 50 cos 10
Bài 11 : Chứng minh các đẳng thức sau :
a) tan tan tan tan
cot cot
−
β α ; b)
sin os
1 sin os sin os
c
c c
+
Bài 12 : Chứng minh đẳng thức sau :
a)
1 2sin os tan 1
c c
+ + ; b) sin
3x(1 +cotx) +cos3x(1 + tanx) = sinx + cosx
Bài 13 : Chứng minh đẳng thức sau:
a)
2 2
tanx cot x -1
cotx
1 - tan x = 1 ; b)
3
sin a cos a
1 tan a tan a tan a
cos a
+
Bài 14 : Chứng minh sin2α (1 cot+ α ) +cos2α (1 tan+ α ) = sinα +cosα
Bài 15 : Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
2
2cot
1 cos 1 cos
Bài 16 : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x :
M =
tan x - cos x cot x - sin x
+ sin x cos x
Bài 17 : CM biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
A sin x(2sin x 3) cos x(2cos x 3)= 4 2 − + 4 2 −
Bài 18 : Tìm giá trị của tham số m để các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x:
7 Nguyễn Văn Duẩn
Trang 8b) 8 8 4 4
(sin cos ) cos sin 4
Bài 19 : Rút gon các biểu thức sau:
a) A = (tanx + cotx)2 – (tanx - cotx)2 ; b) B =
sin tan
os cot
c
−
−
x
x x
cos cot -sin
tan cos 2
cos cos3 cos5
α + α + α
=
1 sin x 1 sin x
(1 tan x)(1 cot x)
+
=
Bài 26 : Cho ∆ABC Chứng minh: tan A tan B tan C tan A.tan B.tan C+ + =