Đồ thị - Graph docx

1 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 1  Trình bày những kiến thức căn bản về lý thuyết đồ thị, các cách biểu diễn, một số thuật toán  Chú trọng việc cài đặt tối ưu các thuật toán bằng cách sử dụng các cấu trúc dữ liệu đặc biệt  Đánh giá thuật toán Đồ thị -Graph 10 13 7 18 25 17 27 15 21 9 16 27 11 7 19 10 10 50 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 2 Nội dung trình bày  Các ví dụ thực tế  Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Biểu diễn đồ thị  Thuật toán sắp xếp Topology  Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất 2 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 3 Các ví dụ thực tế  Bản đồ đường đi giữa các thành phố  Hệ thống đường bay giữa các sân bay  Hệ thống lưới điện trong thành phố  Hệ thống đường ống nước trong thành phố  Sơ đồ đường xe điện, xe buýt,…  Sơ đồ mạng máy tính  … Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 4 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Định nghĩa đồ thị:G = (V, E)  V (Vertices): tập các đỉnh. Số đỉnh N = |V|  E (Edges): tập các cạnh. Mỗi cạnh là 1 cặp (u, v) với u, v ∈V. Số cạnh M = |E| Ví dụ:  V = {A, B, C, D, E, F}  E = {(A,B), (A,C), (C,D), (C,E), (C,F), (D,F), (E,F)} A B E D C F 3 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 5 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Đồ thị có hướng (Directed graph): thứ tự các đỉnh trong mỗi cạnh là quan trọng, nghĩa là: (u, v) ≠ (v, u)  Đồ thị vô hướng (Undirected graph): thứ tự các đỉnh trong mỗi cạnh là không quan trọng, nghĩa là: (u, v) = (v, u) Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 6 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản A D E F B G C Đồ thị có hướng với: V = {A, B, C, D, E, F, G} E = {(A,B), (A,E), (B,C), (B,F), (D,E), (E,F), (F,C), (F,G)} 4 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 7 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản A B E D C F Đồ thị vô hướng với: V = {A, B, C, D, E, F} E = {(A,B), (B,A), (A,C), (C,A), (C,D), (D,C), (C,E), (E,C), (C,F), (F,C), (D,F), (F,D), (E,F), (F,E)} Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 8 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Trọng số của cạnh (Weight): là giá trị trọng số w ∈ R được gán cho 1 cạnh (u, v), ký hiệu (u, v, w)  Đồ thị có trọng (Weight Graph): trên mỗi cạnh, đều có trọng số  Đồ thị không trọng (Unweight Graph): không có trọng số trên mỗi cạnh; hay tất cả các cạnh đều có trọng số = 1  Đỉnh kề (Adjacent Vertex): đỉnh v là đỉnh kề của đỉnh u ⇔ (u, v) ∈ E 5 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 9 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản Đồ thị có hướng, có trọng 10 13 7 18 25 17 27 15 21 9 16 27 11 7 19 10 10 50 A D E F B G C Đồ thị có hướng, không trọng Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 10 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Đường đi (Path): đường đi trong 1 đồ thị G là 1 dãy các đỉnh v 1 , v 2 , …, v n ∈ E thoả: (v i , v i+1 ) ∈ E, ∀i ∈ [1, n)  Chiều dài đường đi (Length of Path): là tổng trọng số của các cạnh trong đường đi đó  Chu trình (Cycle):  Trong đồ thị có hướng: là đường đi có độ dài tối thiểu = 1, thoả: v 1 = v n  Trong đồ thị vô hướng: là đường đi thoả: v 1 = v n và các cạnh là duy nhất 6 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 11 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  VD. Xét đồ thị ở trang 9  Các dãy nào là đường đi, và độ dài tương ứng: (A, B, C), (A, B, C, G), (A, E, F, C), (A, B, F, E)  Hãy xác định 1 chu trình  VD. Xét đồ thị ở trang 7  Hãy xác định 3 chu trình  (A, B, A) có phải là chu trình ? Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 12 Các khái niệm và định nghĩa cơ bản  Bậc của đỉnh v (Degree of Vertex):  Nửa bậc ngoài (Out-degree), d + (v): là số cạnh đi ra khỏi đỉnh v.  Nửa bậc trong (In-degree), d - (v): là số cạnh đi vào đỉnh v.  Bậc của đỉnh v, d(v) = d + (v) + d - (v)  VD. Xác định d + (v), d - (v), d(v) của các đỉnh A, B, C, E, F trên đồ thị ở trang 9 7 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 13 Biểu diễn đồ thị  Có 2 cách biễu diễn đồ thị:  Dùng Ma trận kề  Dùng Danh sách liên kết đơn Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 14 Biểu diễn đồ thị - dùng ma trận kề 8 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 15 Biểu diễn đồ thị - dùng ma trận kề  Với đồ thị không trọng:  Nếu (u, v) ∈ E: A[u][v] = 1  Nếu (u, v) ∉ E: A[u][v] = 0  Với đồ thị có trọng:  Nếu (u, v) ∈ E: A[u][v] = w  Nếu (u, v) ∉ E: A[u][v] = ∞ Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 16 Biểu diễn đồ thị - dùng danh sách liên kết đơn 2 5 / 153 2 4 / 25 412 / 1 2 3 4 5 1 2 5 4 3 4 / 3 / 3 / 1 4 / 1 2 3 4 5 2 / / 1 2 5 4 3 3 4 5 / 9 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 17 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting)  Phát biểu bài toán  Thuật toán cơ bản  Thuật toán cải tiến Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 18 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting)  Phát biểu bài toán:  Sắp xếp Topology trên 1 đồ thị có hướng, không chu trình G là thực hiện sắp xếp các đỉnh của G sao cho: nếu có đường đi từ v i đến v j thì v j sẽ đứng sau v i 10 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 19 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting) a d e f b g c a b d e f c g Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 20 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting) a d e f b g c a d e b f g c [...]... đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Phát biểu bài toán Trên đồ thị không trọng Thuật toán cơ bản Thuật toán cải tiến Trên đồ thị có trọng - Thuật toán Dijkstra Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 28 14 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Phát biểu bài toán: Cho đồ thị G = (V, E) và một đỉnh s ∈ V Tìm các đường đi ngắn nhất từ... Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 1 32 16 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Trên đồ thị không trọng - thuật toán cải tiến: Ý tưởng: Thay vì phải duyệt tất cả các đỉnh trong mỗi lần lặp thì ta chỉ cần tìm trong số những đỉnh kề (vừa được cập nhật khoảng cách) Sử dụng 1 queue để lưu các đỉnh cần xét Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa... Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 29 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Trên đồ thị không trọng - thuật toán cơ bản: Ý tưởng: Chọn đỉnh xuất phát là s = v3 currDist = 0 Tìm các đỉnh kề với s: v1, v6 đường đi đến v1, v6 là 1 (currDist++) Tìm các đỉnh kề với v1, v6: v2, v4 đường đi đến v1, v6 là 2 (currDist++) … Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen... đến nó khỏi đồ thị G [b3] Thực hiện lại bước [b1] và [b2] cho tất cả các đỉnh còn lại của đồ thị G Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 21 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting) int Simple_TopologySort(G) { Khởi tạo danh sách In_Degree của các đỉnh for (int i = 0; i < N; i++) { v = FindZeroDegreeVertex(); if (v == NOT_FOUND) { Error( Graph has cycle”);... { Error( Graph has cycle”); return 0; } return 1; } Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 26 13 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting) Nhận xét: Chi phí thuật toán O(N+M), N = số đỉnh của G M = số cạnh của G Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 27 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm)... toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Trên đồ thị có trọng - Thuật toán Dijkstra Là thuật toán tiêu biểu cho loại thuật toán greedy (Greedy algorithm) Thuật toán dựa trên phương pháp là: đường đi ngắn nhất trên toàn bộ sẽ được xác định bằng cách tìm đường đi ngắn nhất tại mỗi trạng thái (cục bộ) Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 38 19 Thuật... đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) Trên đồ thị có trọng - Thuật toán Dijkstra (tt): Tư tưởng: Tại mỗi trạng thái: chọn đỉnh kế tiếp để xét v = đỉnh có khoảng cách Dist bé nhất trong số những đỉnh chưa xét Cập nhật khoảng cách của các đỉnh w kề với v: Dist(w) = Dist(v) + c(v, w) nếu khoảng cách mới tốt hơn khoảng cách cũ Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN... Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 41 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) 5 được xử lý 3 được xử lý v Known Dist Path Known Dist Path 1 2 3 4 5 6 7 1 1 0 1 1 0 0 0 2 3 1 3 9 5 0 1 4 1 4 4 4 1 1 1 1 1 0 0 0 2 3 1 3 8 5 0 1 4 1 4 3 4 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 42 21 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path... Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 36 18 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất (Shortest-path Algorithm) 1 được lấy ra khỏi Q 6 được lấy ra khỏi Q v Known Dist Path Known Dist Path 1 1 1 3 1 1 3 2 0 2 1 0 2 1 3 1 0 0 1 0 0 4 0 2 0 0 2 0 5 0 ∞ 1 0 ∞ 1 6 0 1 3 1 1 3 7 0 ∞ 0 0 ∞ 0 Q Spring 2004 6,2,4 2,4 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM... Thuật toán cải tiến: Ý tưởng: Chỉ cập nhật lại bậc đầu vào (In_Degree) cho 1 số đỉnh sau mỗi thao tác (giả sử đồ thị thưa) thay vì phải duyệt N phần tử của mảng In_Degree để tìm đỉnh 0 thì ta chỉ cần xét các đỉnh “tiềm năng” mà thôi Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 24 12 Thuật toán sắp xếp Topology (Topology Sorting) Thuật toán cải tiến (tt): Cách . A, B, C, E, F trên đồ thị ở trang 9 7 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 13 Biểu diễn đồ thị  Có 2 cách biễu diễn đồ thị:  Dùng Ma trận. Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 14 Biểu diễn đồ thị - dùng ma trận kề 8 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 15 Biểu diễn đồ. liệu đặc biệt  Đánh giá thuật toán Đồ thị -Graph 10 13 7 18 25 17 27 15 21 9 16 27 11 7 19 10 10 50 Spring 2004 Data Structure & Algorithm - Nguyen Tri Tuan - Khoa CNTT ĐH KHTN Tp.HCM 2 Nội