Thiết kế tối ưu dầm
Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TI. Đặt vấn đềTrong công tác thiết kế công trình giao thông thờng hay gặp các bài toán thiết kế tối u nh cần xác định các tham số của kết cấu xây dựng tối u theo tiêu chuẩn khối lợng vật liệu, giá thành . Về tổng quát có thể nêu dạng bài toán thiết kế tối u nh sau:Xác định giá trị các biến độc lập (Các thông số độc lập của kết cấu): x1, x2, x3 . xnSao cho khi đó hàm mục tiêu của kết cấuF = F (x1,x2, x3 . xn)là hàm phi tuyến của các biến độc lập có thể đạt giá trị cực tiểu (Hay cực đại) với điều kiện các biến x1, x2, . xn chỉ nhận các giá trị dơng, tức là:xj >0 với j = 1 . nvà thoả mãn các điều kiện ràng buộc cho dới dạng phi tuyến của các biến trên:Ri = R(x1, x2, . xn) <= 0; i = 1 . n; n<mTổ hợp bao gồm các công thức xác định nên tập hợp các giá trị thông số thiết kế x1, x2 . xn và xác định tất cả các đặc tính của chúng, trong đó có giá trị các ràng buộc và hàm mục tiêu, đợc gọi là mô hình toán học của đối tợng thiết kế.II. Bài toánĐặt bài toán tối u hoá nh sau:Xác định các thông số kích thớc hình học của dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T, chịu tác dụng của tải trọng tĩnh tải và hoạt tải rải đều, thoả mãn các điều kiện về cờng độ biến dạng chung và các yêu cầu về cấu tạo, có giá thành vật liệu nhỏ nhất.Sơ đồ mặt cắt và mô hình toán học theo hình vẽ.- Hàm mục tiêu:F = Vb * Gtb + Ga* Gta ===> minTrong đó:Vb: Thể tích Bê tôngGa: Trọng lợng thépVb = Fb * L; Ga = Fa*a*l1 Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TFa, Fb: Diện tích tiết diện ngang bê tông và cốt thép.L: Chiều dài dầma: Trọng lợng riêng thép.Gta, Gtb: Giá thành 1 đơn vị trọng lợng thép và 1 đơn vị thể tích bê tông.- Các hàm ràng buộcM(l/2) <= [M] (Điều kiện về cờng độ)a <= [a] (Điều kiện về độ mở rộng vết nứt)f(l/2) <= [f(l/2)] (Điều kiện vè độ võng)- Các điều kiện của kích thớc hình học theo kinh nghiệm1.5m <= bc <= 2.4 mL/15 <= h <= L/7- Các số liệu đa vàoRu: Cờng độ chịu nén khi uốn của bê tôngEb: Mô đuyn đàn hồi bê tôngRa: Cờng độ của thép.Qtc: Tải trọng rải đều thay thế tơng đơng tiêu chuẩnQr: Tải trọng rải đều tơng đơng tính toán(và các số liệu khác)III. Lựa chọn phơng pháp thiết kế tối u bài toánĐể giải quyết đợc bài toán trên, có thể áp dụng nhiều phơng pháp khác nhau nh phơng pháp Gradient, phơng pháp dò dần theo từng trục toạ độ (Phơng pháp Gause Zaidel), phơng pháp chia ô ở đây lựa chọn và áp dụng phơng pháp Gradient để giải quyết.1. Giới thiệu phơng pháp GradientPhơng pháp Gradient thuộc nhóm các phơng pháp tất định xác định hớng dịch chuyển đến điểm tối u.2 Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TGradient của hàm F(x) với x = (x1, x2, xn) là véc tơ mà các toạ độ của nó là các đạo hàm riêng của hàm F(x) theo các biểu số FF F Fx x xn= ( , , . )1 2 Về mặt hình học giải tích, gradient của hàm mục tiên chính là véc tơ chỉ h-ớng tăng nhanh nhất giá trị hàm số đó. Nh vậy véc tơ F gọi là véc tơ ngợc gradient sẽ chỉ ra hớng giảm nhanh nhất giá trị hàm mục tiêu. Nếu di chuyển trong không gian n chiều của các biến số theo hớng - F (ở lân cận điểm đang xét) đi một đoạn x nào đó sẽ giảm nhanh hàm mục tiêu hơn là di chuyển theo bất kỳ hớng nào khác. Nh vậy có thể lợi dụng tính chất này để đề ra các ph-ơng pháp giải bài toán tối u hoá.Trong thực tế có thể nhiều hàm F(x) là khả vi nên có thể tính các đạo hàm riêng F/xi. Nh vậy có thể tính gradient tại điểm bất kỳ. Nếu hàm F(x) quá phức tạp và không thể tính các đạo hàm riêng bằng phơng pháp giải tích thì có thể dùng phơng pháp sai phân để ớc lợng gần đúng gradient.Trong trờng hợp tổng quát khi hàm mục tiêu F(x) có n biến số X = (x1, x2, x3 . xn) thì đạo hàm riêng theo phơng pháp sai phân có thể theo công thức sauFF x F xii hiixFxh =+ ,( ) ( )Càng giảm chiều dài bớc h thì độ chính xác của phép tính gần đúng đạo hàm sẽ tăng nhanhNgoài ra có thể tính đạo hàm riêng qua các giá trị hàm mục tiêu theo công thức:dFdxF x h F x hhhF =+ 22( ) ( )2. áp dụng phơng pháp Gradient để giải bài toán* Sử dụng phơng pháp Gradient để thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ T theo điều kiện giá thành kết cấu nhỏ nhất, hàm mục tiêu có biến là bc (Chiều rộng bản cánh) và h (Chiều cao dầm).* Thuật toán:- Các công thức áp dụngM(l/2) = qtt*l2/8; [M(l/2)] = Ra*Fa*(ho-a)3 Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TF(l/2) = (5/384)*(qtc*l4/Eb*Itd);[F(l/2)] = L/400a = 3*(atc/Ea)*2*Rr1/2; [a] = 0.02 cmVb=Fb*L;Ga = fa*a; Fa = M/(Ra*ho*)Xd = (Fa*a*(n-1)+bs*(h-hc)2/2+bc*hc*(h-hc/2))/FtđYt = h-xdFtđ = bc*hc+(h-hc)*bs+Fa*(n-1)Itđ=Ia(0-0)+Is(0-0)+Ic(0-0)Ia(0-0)= Fa*(n-1)*(xd-a)2Is(0-0)= (h-hc)3*bs/12 +bs*(h-hc)*((h-hc)/2 - xd)2Ic(0-0) = bc*hc2/12+ bc*hc*(xt-hc/2)2Qtc = qtcbảnthân + qtcphủ + qtcTrong đó qtcbảnthân = Ftđ*bqtcphủ = bc*hphủ*phủqtc sẽ cho với bài toán cụ thểqtt = qtcbt *1.1 + qtcphủ*1.5+qtc*(1+à)- Xét hàm mục tiêu là hàm 2 biến:F = Vb * Gtb + Ga* Gta = F(x,y)(Trong đó x=bc, y=h)Hàm F(x,y) là hàm phi tuyến. Để sử dụng phơng pháp Gradient trên mặt F(x,y) ta tìm cực tiểu theo hớng có độ dốc lớn nhất, nghĩa là theo hớng ngợc F .Nếu F(x,y) có cực tiểu tại (xt,yt) ta có quá trình lặpXi+1 = xi - ui*F(x)(x,y)Yi+1 = yi - ui*F(y)(x,y)Giá trị bớc lặp ui trong công thức trên sẽ đợc xác định ở mỗi bớc.4 Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TGọi h là bớc lặp Gradient ta cóDeltax = f(x+h,y)-F(x-h,y)Deltay = f(x,y+h)-F(x,y-h)Deltaxy = ((deltax)2+(deltay)2)1/2Quá trình lặp theo thuật toán:Xi+1 = xi - l*deltax/deltaxyYi+1 = yi - l*deltay/deltaxyTrong đó l là khoảng cách cho trớc.Quá trình lặp lại này dừng lại khi l<ep cho trớc và x1<=x<=x2; y1<=y<=y2 cho trớc.5 Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TBegini > N lặpDelta XY <> 0x1 <= x <= x2y1 <= y <= y2l <= l maxF(xt, yt) < F(xl, yl)Delta XY <= epKhởi tạo x,y nhận các giá trị banđầu xt=x0, yt=y0i=0i = i + 1Thông báo lặp đủ sốvòng theo yêu cầuTính Delta X,Delta Y, Delta XYxl = xt, yl = ytl = l/2Tính x, y theo công thứcThông báo giá trị cực tiểu F(x,y)tương ứng với giá trị x*, y*Endsơ đồ khối chương trình thiết kế tối ưu dầm btct6 . Thiết kế tối u dầm BTCT thờng mặt cắt chữ TI. Đặt vấn đềTrong công tác thiết kế công trình giao thông thờng hay gặp các bài toán thiết kế tối u nh. các tham số của kết cấu xây dựng tối u theo tiêu chuẩn khối lợng vật liệu, giá thành... Về tổng quát có thể nêu dạng bài toán thiết kế tối u nh sau:Xác