Bài Toán tìm m trong giải phương trình, hệ phương trình doc

http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến SỬ DỤNG GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ A). Phương Pháp:   Với phương trình có dạng : )()( mgxf = Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xem ñó là phương trình hoành ñộ giao ñiểm của )(xf và )(mg .Do ñó số nghiệm của phương trình là số giao ñiểm của 2 hàm số Bước 2: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Kết luận: • Phương trình có nghiệm )(max)()(min xfmgxf ≤ ≤ ⇔ • Phương trình có k nghiệm phân biệt ⇔ dựa vào bảng biến thiên xem )(mg cắt )(xf tại k ñiểm .Suy ra giá trị cần tìm • Phương trình vô nghiệm ⇔ hai hàm số không cắt nhau   Với bất phương trình có dạng : )()( mgxf ≤ Chúng ta thực hiện các bước sau ñây: Bước 1: Xét hàm số )(xfy = • Tìm tập xác ñịnh D • Tính ñạo hàm ' y , rồi giải phương trình 0' = y • Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 2: Kết luận: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≤ ⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈ ∀ )(max mgy ≤ ⇔ Chú ý : Nếu )()( mgxf ≥ thì: • Bất phương trình có nghiệm D ∈ )(min mgy ≥ ⇔ • Bất phương trình nghiệm ñúng Dx ∈ ∀ )(max mgy ≥ ⇔ Chú ý chung : Nếu có ñặt ẩn phụ )( xht = . Từ ñiều kiện của x chuyển thành ñiều kiện của t .Có 3 hướng ñể tìm ñiều kiện : • Sử dụng BðT Cô si cho các số không âm • Sử dụng bất ñẳng thức Bunhiacopxki • Sử dụng ñạo hàm ñể tim min và max ( lúc ñó t sẽ thuộc min và max ) B).Bài Tập Ứng Dụng : Loại 1: Bài toán tìm m ñối với phương trình Bài 1.Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 b) )45(12 xxmxxx −+−=++ c) mxxxx ++−=−+ 99 2 d) mxx =−+ 4 2 1 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến e) 0113 4 4 =−++− xmxx f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx Bài làm : a) mxxxx =+−−++ 11 22 Xét hàm số 11 22 +−−++= xxxxy • Miền xác ñịnh : R D = • ðạo hàm : 12 12 12 12 ' 22 +− − − ++ + = xx x xx x y 1)12(1)12(0' 22 +−+=++−⇔= xxxxxxy    +−+=++− >+− ⇔ )1()12()1()12( 0)12)(12( 2222 xxxxxx xx ⇔ vô nghiệm Mà 01)0(' > = y nên hàm số ñồng biến trên R • Giới hạn : 1 11 2 lim)11(limlim 22 22 = +−+++ =+−−++= +∞→+∞→+∞→ xxxx x xxxxy xxx 1 11 2 limlim 22 −= +−+++ = −∞→−∞→ xxxx x y xx • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 11 < < − m b) )45(12 xxmxxx −+−=++ ðiều kiện : 40 04 05 012 0 ≤≤⇔        ≥− ≥− ≥+ ≥ x x x x x (*) Viết phương trình về dạng : mxxxxx =−−−++ )45)(12( (1) Xét hàm số : )45)(12( xxxxxy −−−++= • Miền xác ñịnh : [ ] 4,0=D x ∞ − ∞ + ' y + y 1 -1 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • Nhận xét rằng : - Hàm )12()( ++= xxxxh là hàm ñồng biến trên D - Hàm xxxg −−−= 45)( có : Dx xx xx xg ∈∀> −− −−− = 0 452 45 )(' .Suy ra ñồng biến )().( xgxhy = ⇒ là hàm ñồng biến trên D Vậy phương trình (1) có nghiệm khi : )4()0( fmf ≤ ≤ 12)25(12 ≤≤−⇔ m c) mxxxx ++−=−+ 99 2 ðiều kiện : 90 09 0 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Biến ñổi phương trình : mxxxx ++−=−+ 9)9(29 2 mxxxx =+−+−−⇔ 9299 22 Xét hàm số xxxxy 9299 22 +−++−= • Miền xác ñịnh : [ ] 9,0=D • ðạo hàm : xx x xy 9 )92( 92' 2 +− + − −−= 0 9 1 1)92(0' 2 =       +− +−⇔= xx xy 2 9 =⇔ x • Bảng biến thiên : Vậy phương trình có nghiệm khi : 9 4 9 ≤≤− m d) mxx =−+ 4 2 1 ðiều kiện : 0 ≥ x Xét hàm số : xxy −+= 4 2 1 • Miền xác ñịnh : [ ) +∞= ,0D x 0 2 9 9 'y – 0 + y 9 9 4 9 − http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • ðạo hàm : x x x y 2 1 )1(2 ' 4 32 − + = 4 32 )1(0' +=⇔= xxxy 326 )1( +=⇔ xx 1 22 +=⇔ xx (vô nghiệm) Suy ra )(' xy không ñổi dấu trên D , mà 0 2 1 82 1 )1(' 4 <−=y Do ñó Dxxy ∈∀< 0)(' ⇔ hàm số ñồng biến • Giới hạn: 0 )1)(1( 1 lim)1(limlim 2 4 2 4 2 = ++++ =−+= +∞→+∞→+∞→ xxxx xxy xxx • Bảng biến thiên: Vậy phương trình có nghiệm khi : 10 ≤ < m e) 0113 4 4 =−++− xmxx Biến ñổi phương trinh : xmxx −=+− 113 4 4    −=+− ≥− ⇔ 44 )1(13 01 xmxx x    =+−− ≤ ⇔ mxxx x 13)1( 1 44 Xét hàm số xxxy 13)1( 44 +−−= • Miền xác ñịnh : ( ] 1,∞−=D • ðạo hàm : 91212134)1(4' 233 ++−=+−−−= xxxxy 0912120' 2 =++−⇔= xxy      −= = ⇔ )( 2 1 )( 2 3 nx lx • Giới hạn : [ ] +∞=+−−= −∞→−∞→ xxxy xx 13)1(limlim 44 • Bảng biến thiên: x 0 ∞ + 'y – y 1 0 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Vậy ñể phương trình có nghiệm khi : 2 3 −≥m f) 4 2 4 2 422)422( −=+−−+− xxxxm ðiều kiện : 2 ≥ x Khi 2 = x : VPVT VP VT ≠⇔    = −= 0 2 (loại) Khi :2 > x Chia 2 vế cho 4 2 4−x ta ñược : 2 2 2 2 2 2 44 = − + −         + + − x x x x m (*) ðặt 4 2 2 − + = x x t Tìm ñiều kiện cho t Cách 1: Xét hàm số 2 2 2 )( 4 >∀ − + = x x x xf ðạo hàm : ( ) 0 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 )(' 4 3 2 4 3 ' <       − + − − =       − +       − + = x x x x x x x xf Suy ra hàm số )(xf nghịch biến 2 > ∀ x 1)(lim)( >⇔>⇔ +∞→ txfxf x Cách 2: Ta có 2 > x . Mà 4 2 2 − + = x x t 2 2 4 − + =⇔ x x t 1 )1(2 2)2( 4 4 4 − + =⇔ +=−⇔ t t x xxt Do ñó:    > −< ⇔    −< > ⇔>−⇔ > − ⇔> − + 1 1 1 1 01 0 1 4 2 1 )1(2 2 2 4 44 4 t t t t t tt t x ∞ − 2 1 − 1 ' y — 0 + y ∞ + 12 2 3 − http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Mặc khác 10 > ⇒ > tt Lúc ñó : (*) )()( 12 2 22 1 2 tfmg t tt mt t m =⇔ + + =⇔=−       +⇒ Xét hàm số 1 2 2 )( 2 + + = t tt tf • Miền xác ñịnh : ( ) +∞= ,1D • ðạo hàm : ( ) ⇒> + ++ = 0 12 222 )(' 2 2 t tt tf hàm số ñồng biến • Giới hạn : +∞= +∞→ )(lim tf t • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có nghiệm : 11)( > ⇔ > mmg g) 03)cot(tancottan 22 =++++ xxmxx ðặt x x t cot tan + = 2cottan 222 ++=⇒ xxt Tìm ñiều kiện cho t : 2cot.tan2cottancottan ≥⇔≥+=+= txxxxxxt (vì )1cot.tan = xx Lúc ñó : )()( 1 01 2 2 tfmg t t mmtt =⇔ + =−⇔=++ Xét hàm số t t tf 1 )( 2 + = • Miền xác ñịnh: ),2()2,( +∞ ∨ − −∞ = D • ðạo hàm : Dx t t tf ∈∀> − = 0 1 )(' 2 2 • Giới hạn : ±∞= + = ±∞→±∞→ t t tf tt 1 lim)(lim 2 • Bảng biến thiên : x 1 ∞ + ' y + y ∞ + 1 x ∞ − 2 − 2 ∞ + ' y + + y 2 5 − ∞ + ∞ − 2 5 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến Vậy ñể phương trình có nghiệm:      > −< 2 5 2 5 m m Bài 2.Tìm m ñể phương trình có ñúng 2 nghiệm phân biệt a) mxxxx =−+−++ 626222 44 b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx Bài làm : a) mxxxx =−+−++ 626222 44 (1) ðiều kiện : 60 06 02 ≤≤⇔    ≥− ≥ x x x Xét hàm số xxxxy −+−++= 626222 44 • Miền xác ñịnh: [ ] 6,0=D • ðạo hàm x x x x y − − − −+= 6 1 )6(2 1 2 1 )2(2 1 ' 4 3 4 3 0 6 1 2 1 )6(2 1 )2(2 1 0' 4 3 4 3 = − −+ − −⇔= xx xx y 0 6 1 2 1 )6(2 1 6 1 2 1 2 1 6 1 2 1 44 4 44 =         − ++         − + − +         − −⇔ xxxxxxxx 44 6 1 2 1 xx − =⇔ xx − = ⇔ 62 2 = ⇔ x • Bảng biến thiên: ðể (1) có hai nghiệm phân biệt: )44(3)66(2 4 4 +<≤+ m x 0 2 6 ' y + 0 — y )44(3 4 + )66(2 4 + 1212 4 + http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến b) 6164164 4 3434 =++−+++− mxxxmxxx ðặt )0(164 4 34 ≥++−= tmxxxt Lúc ñó : 066 22 =−+⇔=+ tttt     −= = ⇔ )(3 )(2 lt nt Với mxxxmxxxt −=+−⇔=++−⇔= 16164161642 3434 (*) Xét hàm số : xxxxf 164)( 34 +−= • Miền xác ñịnh: R D = • ðạo hàm : 1684)(' 23 +−= xxxf 016840)(' 23 =+−⇔= xxxf    = −= ⇔ 2 1 x x • Giới hạn +∞=+−= +∞→+∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx +∞=+−= −∞→−∞→ )164(lim)(lim 34 xxxxf xx • Bảng biến thiên: Vậy ñể có hai nghiệm khi : 271116 < ⇔ − > − mm 3.Tìm m ñể phương trình xmx cos1 2 =+ có ñúng 1 nghiệm thuộc ) 2 ,0( π Bài làm: Biến ñổi phương trình: 1cos 2 −= xmx (1) Nhận xét: (1) có nghiệm khi 0 ≤ m ( vì 0 > m lúc ñó 0,0 <> VPVT ) Lúc ñó (1) m x x x x m −=       ⇔ − =⇔ 2 2 2 2 4 2 sin2 1cos x ∞ − -1 2 ∞ + ' y — 0 + 0 + y ∞ + ∞ + 16 -11 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến m x x 2 2 2 sin 2 2 −=       ⇔ (2) ðặt 2 x t = . Vì       ∈⇒       ∈ 4 ,0 2 ,0 ππ tx (2) m t t m t t 2 sin 2 sin 2 2 2 −=       ⇔−=⇔ Xét hàm số: t t tf sin )( = • Miền xác ñịnh       = 4 ,0 π D • ðạo hàm Dt t ttt t ttt tf ∈∀< − = − = 0 )tan.(cossincos. )(' 22 ( vì tttDt < > ⇒ ∈ tan,0cos ) Do ñó hàm )(tf nghịch biến • Giới hạn : 1 sin lim)(lim 00 =       = →→ t t tf tt • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có ñúng một nghiệm : 22 2 2 4 2 1 12 8 1 sin8 1)( 22 πππ π −<<−⇔<−<⇔<       <⇔<< mm t t tf 4.Tìm m ñể phương trình mxxm +=+ 2 2 có ba nghiệm phân biệt Bài làm: Biến ñổi phương trình: xxm =−+ )12( 2 12 2 −+ =⇔ x x m (vì 22 2 ≥+x ) Xét hàm số 12 )( 2 −+ = x x xf • Miền xác ñịnh : R D = t 0 4 π )(' tf – )(tf 1 π 22 http://ebook.here.vn Thư viện sách trực tuyến • ðạo hàm : 222 2 )12(2 22 )(' −++ +− = xx x xf 220)(' 2 =+⇔= xxf 2±=⇔ x • Giới hạn 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 =         + ++ =         −+ = +∞→+∞→+∞→ x xx x x xf xxx 1 1 )12( lim 12 lim)(lim 2 2 2 −=         + ++ =         −+ = −∞→−∞→−∞→ x xx x x xf xxx • Bảng biến thiên: Vậy ñể phương trình có 3 nghiệm phân biệt: 22 <<− m Loại 2: Bài toán tìm m ñối với bất phương trình Bài 1: Tìm m ñể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x a) 1256 2 >++− mxxx b) 0139. ≥+− xx m c) 04. 4 ≥+− mxxm Bài làm : a) Xét hàm số : mxxxxfy 256)( 2 ++−==      <<−++−= ≥∨≤+−+= = )51(5)3(2)( )51(5)3(2)( )( 2 2 2 1 xxmxxf xxxmxxf xf ðể bất phương trình nghiệm ñúng với mọi x { } 1)3(),5(),1(min1)(min 111 >−⇔>⇔ mfffxf 51 056 10 1 2 1 1)3( 1)5( 1)1( 2 1 1 1 <<⇔                   <+− > > ⇔ >− > > ⇔ m mm m m mf f f Vậy với 51 < < m bất phương trình có nghiệm ñúng với mọi x x ∞ − 2− 2 ∞ + 'y — 0 + 0 — y 1 − 2 2− 1 [...]... 1 2 Bài 3: T m m ñ phương trình x − 2 ( x + 1) + m = 0 có ba nghi m phân bi t http://ebook.here.vn Thư vi n sách tr c tuy n x 2 −2 x 1 Bài 4: T m m ñ phương trình   = m 2 + m + 1 có b n nghi m phân bi t   3  Bài 5: T m m ñ phương trình − 2 x 2 + 10 x − 8 = x 2 − 5 x + m có b n nghi m phân bi t Bài 6: T m m ñ (3 + x)(7 − x) ≤ x 2 − 4 x + m nghi m ñúng ∀x ∈ [− 3,7] Bài 7: T m m ñ h phương trình. .. m:  x 2  1  4 −5 x 2 ≤    2 3 x 2 − mx x + 16 = 0  Bài 8: T m m ñ h phương trình có ba c p nghi m phân bi t 3( x + 1) 2 + y − m = 0   x + xy = 1  x 2 − 3x − 4 ≤ 0 Bài 9: T m m ñ h có nghi m  3 2  x − 3 x x − m − 1 5m ≥ 0 3 x + x = 3m + y Bài 10: T m m ñ h vô nghi m:  y 3 + y = 3m + x Bài 11: T m m ñ phương trình có nghi m: 7 2 x + x +1 − 7 2+ x +1 + 2007 x ≤ 2007   2  x − ( m. .. Xét h m s f (t ) = 3t + t 3 • Mi n xác ñ nh D = R • ð o h m f ' ( x) = ln 3.3t + 3t 2 > 0 H m s ñ ng bi n Do ñó x = y Thay vào phương trình (2) ta có: x 2 + x 2 = m ⇔ 2x 2 = m ⇔ x 2 = m 2 ð h có nghi m: m ≥ 0 C) .Bài t p t luy n: Bài 1: T m m ñ b t phương trình (m + 2) x − m ≥ x + 1 có nghi m x ∈ [0,2] Bài 2: T m m ñ 9 2 x ki n x ≥ 2 −x − 2 (m − 1).6 2 x 2 −x + (m + 1).4 2 x 2 −x ≥ 0 nghi m ñúng v i m i... + 2( m + 2) x − 9  V y (*) có nghi m ⇔ max f ( x) > 0 ⇔ max{ f 2 (1); f 2 (3); f 2 (m + 2)} > 0  f 2 (1) > 0 2 m − 6 > 0   ⇔  f 2 (3) > 0 ⇔  6m + 5 > 0 ⇔1< m < 5 m 2 − 6 m + 5 > 0  f ( m + 2) > 0   2 Bài 3: T m t t c m ñ b t phương trình − x 3 + 3mx − 2 ≤ − 1 tho m n v i x ≥ 1 x3 Bài l m: 1 x3 x 6 + 2x3 − 1 ⇔ 3m ≤ x4 Bi n ñ i b t phương trình v d ng: 3mx ≤ x 3 + 2 − x6 + 2x3 −1 x4 • Mi n... ⇔ g (m) ≥ max f ( x) ⇔ m ≥ 4 27 Bài 2: T m m ñ b t phương trình có nghi m a) mx − x − 3 ≤ m + 1 b) 2 sin x + 3cos x ≥ m. 3sin x c) x 2 − 4 x + 3 + 2mx − 6 > 0 Bài l m : a) mx − x − 3 ≤ m + 1 ði u ki n : x ≥ 3 ð t t = x − 3 (t ≥ 0) 2 2 2 Lúc ñó : m( t 2 + 3) − t ≤ m + 1 ⇔ m( t 2 + 2) ≤ t + 1 ⇔ m ≤ ⇔ g (m) ≤ f (t ) Xét h m s : f (t ) = t +1 t2 + 2 t +1 t2 + 2 • Mi n xác ñ nh D = [0,+∞ ) • ð o h m f ' (t... : x y' y 1 +∞ 2 — 0 +∞ + +∞ 1 ð b t phương trình nghi m ñúng v i m i x > 0 ⇔ f (t ) ≥ g (m) ∀t > 0 ⇔ min f (t ) ≥ g (m) ⇔ 1 ≥ m 3 Bài 5: T m m ñ b t phương trình     4 x ∈ (− 2,0 ) log 4 ( − x 2 − 2 x + 3 ) < m nghi m ñúng v i m i http://ebook.here.vn Thư vi n sách tr c tuy n Bài l m: ði u ki n : − x 2 − 2 x + 3 > 0 ⇔ −3 < x < 1 Nh n xét : ñ bài yêu c u tho m n x ∈ (− 2,0 ) Do ñó ta xét giao c... Xét h m s f ( x) = 2 x 6 − 2 x 3 + 4 2 x 3 ( x 3 − 1) + 4 = >0 x5 x5 2x 6 − 2x3 + 4 = +∞ • Gi i h n : xlim f ( x) = xlim → +∞ → +∞ x5 • ð o h m : f ' ( x) = ∀x ∈ D • B ng bi n thiên : x y' +∞ 1 + http://ebook.here.vn Thư vi n sách tr c tuy n y +∞ 2 ð b t phương trình nghi m ñúng v i x ≥ 1 ⇔ min f ( x) ≥ g (m) 2 ⇔ 3m ≤ 2 ⇔ m ≤ 3 log 2 x 2 Bài 4: T m t t c m ñ b t phương trình log 2 x −1 2 ≥ m nghi m ñúng... h m s : f ( x) = log 4 (− x 2 − 2 x + 3) • Mi n xác ñ nh D = (− 2,0) '  ln(− x 2 − 2 x + 3)  − 2x − 2  = • ð o h m f ' ( x) =    2 ln 2.(− x 2 − 2 x + 3) ln 4   f ' ( x ) = 0 ⇔ x = −1 • B ng bi n thiên: x f ' ( x) −2 −1 + f (x) 0 0 — 1 log 4 3 log 4 3 V y ñ b t phương trình nghi m ñúng v i m i 3 x ∈ (−2,0) ⇔ max f ( x) < m ⇔   4 log 4 3 . bất phương trình nghi m ñúng với m i )0,2( − ∈ x mmxf <       ⇔<⇔ 3log 4 4 3 )(max Loại 3: Bài toán t m m ñối với hệ phương trình Bài 1: T m m ñể hệ phương trình có nghi m: . nghi m phân biệt Bài 5: T m m ñể phương trình mxxxx +−=−+− 58102 22 có bốn nghi m phân biệt Bài 6: T m m ñể mxxxx +−≤−+ 4)7)(3( 2 nghi m ñúng [ ] 7,3−∈∀x Bài 7: T m m ñể hệ phương trình. nghi m: 0 ≥ m C) .Bài tập tự luyện: Bài 1: T m m ñể bất phương trình 1)2( +≥−+ xmxm có nghi m [ ] 2,0∈x Bài 2: T m m ñể 04).1(6).1(29 222 222 ≥++−− −−− xxxxxx mm nghi m ñúng với m i