ĐỀ 2 Câu 1 Tính giá trị biểu thức: x 5 2 2 5 5 250 ; 3 3 y 3 1 3 1 ; x x y y A x y x xy y Câu 2: Cho phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1) + m – 2 = 0 (ẩn x, tham số m). a) Giải phương trình khi m = 2. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ; x 2 thỏa mãn: 1 2 1 1 7 x x 4 Câu 3:Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 60 km. Một ca nô chạy xuôi dòng từ bến A tới bến B, nghỉ 1 giờ 20 phút ở bến sông B và ngược dòng trở về A. Thời gian kể từ lúc khởi hành đến khi về bến A tất cả 12 giờ. Tính vận tốc riêng của ca nô và vận tốc dòng nước biết vận tốc riêng của ca nô gấp 4 lần vận tốc dòng nước. Câu 4: Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng (d) không đi qua tâm O cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm phân biệt A, B. Điểm M chuyển động trên (d) và nằm ngoài đường tròn (O; R), qua M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP tới đường tròn (O; R) (N, P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh rằng tứ giác MNOP nội tiếp được trong một đường tròn, xác định tâm đường tròn đó. b) Chứng minh MA.MB = MN 2 . c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều. d) Xác định quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. Câu 5: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: 4 5 23 x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 6 7 B 8x 18y x y ĐÁP ÁN Câu 1: Tính giá trị biểu thức: x 5 2 2 5 5 250 5 2 2 5 5 5 5. 2 5 2 5 2 2 5 5 2 10 3 3 y 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 2 3 3 x x y y A x y x xy y x y x y x xy y x y x y x xy y x xy y x y x y x y 10 3 7 Câu 2: a) Xét phương trình (m + 1)x 2 – 2(m – 1)x + m – 2 = 0 Khi m = 2 phương trình trở thành: 3x 2 – 2x = 0 0 3 2 2 3 x x x x b) Để phương trình là phương trình bậc 2 thì trước tiên m ≠ 1 2 ' 1 m m 1 m 2 3 m Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ' 0 hay m < 3 (1) Áp dụng định lý Viet cho phương trình ta có: 1 2 1 2 2(m 1) S x x m 1 m 2 P x .x m 1 (2) Xét biểu thức 1 2 1 2 1 2 1 1 7 x x 7 x x 4 x .x 4 (3) Thế (2) vào (3) 2(m 1) m 2 7 2(m 1) 7 : 8m 8 7m 14 m 1 m 1 4 m 2 4 m 6 Kết hợp với điều kiện (1): Kết luận m = 6 Câu 3: Gọi vận tốc của dòng nước là: x (km/giờ) (ĐK: x>0) Vận tốc thực của ca nô là: 4x (km/ giờ) * Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B vận tốc của ca nô so với đường là: 4x+x (km/giờ) Thời gian ca nô xuôi dòng từ A đến B là: 60 12 4x x x (giờ). * Khi ca nô ngược dòng từ B về A vận tốc của ca nô so với đường là: 4x-x (km/giờ) Thời gian ca ngược dòng từ B về A là: 60 20 4x x x (giờ). * Thời gian ca nô nghỉ ở B là 1 giờ 20 phút hay 4 3 giờ. * Vì tổng thời gian hết 12 giờ nên ta có phương trình 12 20 4 8 1 12 3 x 3 x x 3 x 3 * Kết luận: Vận tốc dòng nước là 3 km/giờ. Vận tốc thực của ca nô là 3 x 4=12 km/giờ. Câu 4: a) CM tứ giác MNOP nội tiếp: Xét tứ giác MNOP có MN ON (Tính chất tiếp tuyến dây cung) · 0 ONM 90 N O A P M B d I H K d ’ MP OP (Tính chất tiếp tuyến dây cung) · 0 OPM 90 · · 0 ONM+OPM 180 Vậy tứ giác MNOP nội tiếp trong đường Tròn đường kính OM, tâm là trung điểm OM (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 ). b) CM: MA.MB = MN 2 : Xét 2 tam giác AMN và NMB có Góc · AMN chung. · ANM = · ABN (Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cung chắn cung » AN của đường tròn tâm O). AMN đồng dạng với NMB 2 MA MN = MA.MB = MN MN MB (Điều phải chứng minh). c) Xác định vị trí điểm M sao cho tam giác MNP đều: * Xét MNP có MN=MO (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau). Nên MNP cân tại M. * Giả sử MNP đều thì góc · 0 NMP 60 Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có OM là phân giác của góc · NMP nên · 0 OMN 30 * Lại có tam giác OMN vuông tại N và · 0 OMN 30 nên · 0 NOM 60 Gọi I là trung điểm OM thì IN = IM = IO (NI là trung tuyến ứng cạnh huyền của tam giác vuông OMN) Tam giác ONI đều Vậy IN = IM = IO = R hay OM = 2R * Kết luận: Vậy để tam giác MNP đều thì OM=2R. d) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP: * Kẻ OH vuông góc vớ (d) tại H Gọi K là trung điểm của OH * Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP cũng ngoại tiếp tứ giác MNOP (Tâm I) IK là đường trung bình của tam giác MOH. * Xét: khi M A thì I Trung điểm OA khi M B thì I Trung điểm OB M nằm ngoài đường tròn O (tức nằm ngoài AB) thì I cũng nằm ngoài tam giác AOB. * Kết luận: Quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là đường thằng d’ đi qua K và song song với đường thẳng d (trừ các điểm ở bên trong tam giác AOB) như hình vẽ. Câu 5: (1 điểm) 6 7 2 2 4 5 B 8x 18y 8x 18y x y x y x y Áp dụng BĐT Côsi và BĐT của đầu bài đã cho ta có B 8 12 23 43 Dấu bằng xảy ra khi 1 1 x;y ; 2 3 . Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 43 khi 1 1 x;y ; 2 3 *************************************** . ta có: 1 2 1 2 2(m 1) S x x m 1 m 2 P x .x m 1 (2) Xét biểu thức 1 2 1 2 1 2 1 1 7 x x 7 x x 4 x .x 4 (3) Thế (2) vào (3) 2( m 1) m 2 7 2( m 1) 7 :. giá trị biểu thức: x 5 2 2 5 5 25 0 5 2 2 5 5 5 5. 2 5 2 5 2 2 5 5 2 10 3 3 y 3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3 1 3 1 3 3 1 3 2 . Câu 2: a) Xét phương trình (m + 1)x 2 – 2( m – 1)x + m – 2 = 0 Khi m = 2 phương trình trở thành: 3x 2 – 2x = 0 0 3 2 2 3 x x x x b)