Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ thì đầy bể.. Nếu từng vòi chảy thì thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ hai làm đầy bể là 10 giờ.. Hỏi nếu
Trang 1ĐỀ 5 Bài 1
a) So sánh hai số: 3 5 và 29
b) b) Rút gọn biểu thức: A = 3 5 3 5
Bài 2 Cho hệ phương trình: 2x y 5m 1
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 1
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1
Bài 3 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 12 giờ thì đầy bể Nếu từng vòi
chảy thì thời gian vòi thứ nhất làm đầy bể sẽ ít hơn vòi thứ hai làm đầy bể là 10 giờ Hỏi nếu chảy riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể?
Bài 4
Cho đương tròn (O;R) day cung BC cố định (BC<2R) và điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Các đường cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp
b) Giả sử · 0
BAC60 , hãy tính khoảng cách từ tâm O đến cạnh BC theo R
c) Chứng minh đường thẳng qua A và vuông góc với DE luôn đi qua một điểm cố định
Bài 5 Cho biểu thức P = xy(x 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36
Chứng minh P luôn dương với mọi x, y R
Trang 2ĐÁP ÁN
Bài 1 (1,5 điểm)
a) So sánh hai số: 3 5 à 29v Ta có: 45 > 29 3 5 29
b) Rút gọn biểu thức: A = 3 5 3 5
Bài 2
Cho hệ phương trình: 2x y 5m 1
(I) (m là tham số)
a) Giải hệ phương trình với m = 1 (x; y) = (2; 0)
b)Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 – 2y2 = 1
Ta giải (I) theo m được x 2m
Nghiệm này thỏa mãn hệ thức x2 – 2y2 = 1 nghĩa là
4m2 – 2(m - 1)2 = 1
Giải phương trình ẩn m được m1 = m1 4 10, m2 4 10
KL: Vậy với hai giá trị m1 = m1 4 10, m2 4 10
thì nghiệm của hệ (I) thỏa mãn hệ
thức trên
Bài 3
C1: Lập hệ phương trình:
Gọi thời gian vòi 1 chảy riêng đến khi đầy bể là x giờ (x > 12)
Gọi thời gian vòi 2 chảy riêng đến khi đầy bể là y giờ (y > 12)
Trang 3Trong 1 giờ cả hai vòi chảy được 1
12 bể
Trong 1 giờ vòi 1 chảy được 1
x bể
Trong 1 giờ vòi 2 chảy được 1
y bể
Ta có phương trình: 1 1 1
x y 12 (1) Vòi 1 chảy nhanh hơn vòi 2 10 giờ nên ta có phương trình :
y = x + 10 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Giải hệ phương trình:
1
2
Giải (1) được x1 = 20, x2 = 6 (loại)
x1 = 20 thỏa mãn, vậy nếu chảy riêng thì vòi 1 chảy trong 20 giờ thì đầy bể, vòi 2 chảy trong 30 giờ thì đầy bể
C2: Dễ dàng lập được phương trình 1 1 1
x x 10 12
Giải tương tự ra cùng đáp số
Bài 4
AEH90 , ADH90 nên AEHADH180 Vậy tư giác AEHD nội tiếp
b) Khi BAC· 600·BOC 120 0
D
O A
Trang 4Mặt khác tam giác BOC cân tại O nên khoảng cách từ O
đến BC là đường cao đồng thời là tia phân giác của tam giác BOC
Suy ra: · 0
KOC 60 OK = cos600.OC = R/2 c) Giả sử :
(1) E B ABC vuông cân tại B
Khi đó AC là đường kính của (O; R) Suy ra D O
Vậy đường thẳng đi qua A vuông góc với DE tại O
(2) D C ABC vuông cân tại C
Khi đó AB là đường kính của (O; R) Suy ra E O
Vậy đường thẳng đi qua A vuông góc với DE tại O
Từ (1) và (2) ta có, đường thẳng đi qua A và vuông góc với DE đi qua điểm cố định là tâm
O của (O; R)
Bài 5
P = xy(x 2)(y+6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36
= x2y2 + 6x2y 2xy2 12xy – 24x + 3y2 + 18y + 36
= (18y + 36) + (6x2y + 12x2) – (12xy + 24x) + (x2y 2xy2 + 3y2)
= 6(y + 2)(x2 – 2x + 3) + y2(x2 – 2x + 3)
= (x2 – 2x + 3)(y2 + 6y +12)
= [(x 1)2 + 2][(y + 3)2 +3] > 0
Vậy P > 0 với mọi x, y R