Ôn tập hè - Toán lớp 11, lớp 12 potx

Chứng minh vuông góc: ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng, ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc.. Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 ñường thẳng, góc giữa ñường th

ÔN TẬP HÈ MÔN TOÁN HỌC DÙNG CHO HỌC SINH KHỐI 11 LÊN 12

Tài liệu này gồm nhiều phần ñược sưu tầm trên Internet, với sự chia sẻ của các thầy cô giáo dạy Toán THPT http://ebook.here.vn chỉ Tập hợp chúng lại ñể bạn ñọc dễ dàng ôn tập Tuy nhiên do một số Tác giả không ñể lại tên trong Tài liệu của mình nên chúng tôi không thể kể hết Xin gửi lời cảm ơn tới các thầy Trần Mạnh Tùng (THPT Lương Thế Vinh), Phan Phú Quốc (THPT Phan Châu Trinh), và các thầy cô khác ñã chia sẻ những Tài liệu của mình

*****

Giới Hạn Hàm Số

Bài 1 : ðịnh nghĩa Và Một Số ðịnh Lý 1.Giới hạn tại một ñiểm :

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = 3 2

x x

−+ và dãy số (x ) biết n =2 +1

n

n x

lim ( ) (x ), limx lim ( )

lim ( ) (x ), limx lim ( )

n x

n x

Vấn ñề 1: Tìm Giới Hạn Của Hàm Số Tại ðiểm a Phương pháp : Sử dụng các giới hạn cơ bản sau :

23lim

3 2

++

→ x

x x

65

23lim

≤

−

1,75

1,13

2

x x x

x x

2

x x

m x

x x x

Tìm m ñể hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1 và tìm giới hạn ñó

0

gọi là dạng vô ñịnh Khi

ñó ta không sử dụng ñược các ñịnh lý về giới hạn và cũng không biết giới hạn này là bao nhiêu ðể tính ñược các giới hạn ta phải khử các dạng vô ñịnh trên

Vấn ñề 1 : Khử Dạng Vô ðịnh

0

0

Phương pháp : Giả sử

)(

)(lim

x g

x f

a x→ có dạng

0

0

Ta khử dạng này như sau :

• Phân tích f(x) = (x-a)f1(x) và g(x) = (x-a)g1(x)

• Khi ñó :

)(

)(lim

x g

x f

a

)(

)(lim1

1

x g

x f

a x→ , sau ñó tính bình thường

34lim 2

2

1 − −

++

−

→ x x

x x

372

156lim 2

x

Bài 2 : Tìm các giới hạn sau :

a)

x x

x x

42lim 2

2 3

2 − −

−

−+

→ x x

x x x

98

935

2 3

++

−

→ x x

x x x

2

−+

→ x

x

314

2lim

1

26lim

2 3

2 −

−+

→ x

x

23

711

8lim

2 3

+

−+

x x

e)

x

x x

x

341

lim

0

−+++

)(lim

x g

x f

a x→ có dạng

∞

∞

Ta khử dạng này như sau :

• Chia cả tử và mẫu cho xk là số hạng có số mũ lớn nhất của tử và mẫu

Bài tập Bài 4 : Tính các giới hạn sau :

a)

24

32

632lim

3

4

++

++

∞

→ x x

x x

25

310lim

1032lim

2

2

++

++

∞

→ x x

x x

x

e)

24

)53)(

32(lim 3

2

++

++

∞

x x

x

Vấn ñề 3: Khử Dạng Vô ðịnh ∞−∞ Giả sử lim f(x) =+∞ và limg(x) = +∞ thì lim[f(x) – g(x)] có dạng ∞−∞

Phương pháp : ðưa dạng ∞−∞ về dạng

∞

∞

Bài Tập

Bài 5 : Tính các giới hạn sau

1(

1(lim

3 2

)(sin

→ u x

x u

0

0

2cos1lim

1 ( 1)

)1(sin

x x

x

x x

cos3sinlim3

−

1

sinlim

o Nếu f(x) , g(x) là các hàm ña thức thì có thể chia tử số , mẫu số cho (x-a) hoặc (x-a)2

o Nếu f(x) , g(x) là các biểu thức chứa căn thì nhân tử và mẫu cho các biểu thức liên hợp

o Chia tử và mẫu cho xk với k chọn thích hợp Chú ý rằng nếu x → +∞ thì coi như x>0, nếu

x → −∞ thì coi như x<0 khi ñưa x ra hoặc vào khỏi căn bậc chẵn

3 Giới hạn của hàm số dạng: lim ( ) ( ) ( 0 )

B CÁC VÍ DỤ

( )

2 2

3 1 lim

3 1 lim

3

3 1 lim

2 2

x x

3 3

x x

+ −

+ − + −

1

x

x x x

+

+ +

9 2 x 3

13

Bài 2 : Chứng minh hàm số y x

x 1

=+ liên tục tại x0 = 0, nhưng không có ñạo hàm tại ñiểm ñó

x x 1+

∆ →

∆

∆ ∆ + = x 0 ( )

1lim

x 1+

∆ → ∆ + =1

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) =

2

x ,,

−

∆ →

∆

∆ ⇒ hàm số không có ñạo hàm tại x0 = 0

b) Tính ñạo hàm của f(x) tại x =

4π

⇒ hàm số không liên tục tại x0 = 0 (hàm số gián ñoạn tại x0 = 0)

Bài 7: Tính ñạo hàm các hàm số sau:

3x x 1 'x

12 y = (1+sin2x)4; ðs:(1 sin x) sin 2x+ 2 3

13 y =sin2(cos3x); ðs: -3sin(2cos3x)sin3x

sin x+cos x; y’ =

sin x cos x x(sin x cos x)

1 sin 2x

+526) y = f(x) = 1tan x4

4 ; y’ = tan

3

x 12cos x527) y = f(x) = cosx 1cos x3

544) y = f(x) = 1 tan x 1

x

 +  + 

2

2 sin xcos 2x ; y’ = 2

2 sin 2xcos 2x684) y = f(x) =

2 sin x

1 sin x

−+706) y = f(x) = 0.4

2

2x 1cos sin 0.8x2

722) y = f(x) = 2 cos x

cos 2x ; y’ =

2 sin xcos 2x cos 2x

BÀI TẬP ðẠO HÀM BỔ SUNG Bài 1.Tìm ñạo hàm của hàm số:

y = x cot2x Giải: y’ = ( x )cot2x+ x (cot2x)’ = 1

2 x cot2x 2

2 xsin 2x

−

Bài 2 Tìm ñạo hàm của hàm số: y = 3sin2

xcosx+cos2x y’ = 2(sin2x)’cosx+3(sin2x)(cosx)’+(cos2x)’

= 6sinxcos2x-3sin3x-2cosxsinx =sinx(6cos2x-3sin2x-2cosx)

Bài 3 Cho hàm số : y =

2

x

x + +x 1Tìm TXð và tính ñạo hàm của hàm số ? TXð: D = R

y’ =

2

2 2

+ +

2

3 2

Bài 4: Chứng minh rằng các hàm số sau có ñạo hàm không phụ thuộc x:

a) y = sin6x + cos6x +3sin2xcos2x;

HD:

Cách 1: y = (sin2

x)3+(cos2x)3+3sin2xcos2x= (sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) +3sin2xcos2x

= [(sin2x)2+[(cos2x)2+2sin2xcos2x-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x

=[(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x] +3sin2xcos2x

= 1

⇒ y’ = 0 (ñpcm)

Cách 2:

y’ = 6sin5x.(sinx)’ +6cos5x.(cosx)’+3[(sin2x)’.cos2x+sin2x(cos2x)’]

= 6sin5x.cosx -6cos5x.sinx + 3[2sinx(sinx)’.cos2x+sin2x.2cosx.(cosx)’]

= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 3[2sinx.cosx cos2x-sin2x.2cosx.sinx]

= 6sinx.cosx(sin4x-cos4x) + 6sinx.cosx(cos2x – sin2x)

Bài : Cho hàm số y = f(x) = 3cos2(6x-1)

Bài 9: Giải phương trình f’(x) = 0 biết rằng:

f(x) = 3x+60

64x

− +5; b) f(x) = sin 3x

3 +cosx- 3

cos 3xsin x

64.3x

x == 3 2

60x

− +64.34

20 641

Phương Trình Lượng Giác

A CÁC CÔNG THỨC CẦN NHỚ

1 Công thức cơ bản

1 sin≤ x≤ 1 1 cos≤ x≤ 1

sin(α + k2π) = sinα; cos(α + k2π) = cosα;

tan(α +kπ) = tanα; cot(α + kπ) = cotα

* Hàm số y=sinx có TXð: D= ¡ ;

TGT: [−1;1]; Tuần hoàn với chu kì: T =2π là hàm số lẻ

* Hàm số y=cosx có TXð: D= ¡ ;

TGT: [−1;1]; Tuần hoàn với chu kì: T =2π; là hàm số chẵn

Tuần hoàn với chu kì: T= ; là hàm số lẻ π

Giá trị lượng giác của các cung ñặc biệt:

o

1354

o

1506

o

π π(180o)

sinα 0

12

22

3

32

22

1

12

Góc

Hàm

2 Các hằng ñẳng thức lượng giác cơ bản

sin α +cos α = 1 tan cotα α = 1

2 2

1

1 cot

α = +

3 Các công thức có liên quan ñặc biệt

a Cung ñối nhau

sin(-α) = - sinα cos(-α) = cosα

tan(-α) = - tanα cot(-α) = -cotα

b Cung bù nhau

sin(π - α) = sinα cos(π - α) = - cosα

tan(π - α) = - tanα cot(π - α) = - cotα

sin a b− =sin cosa b−cos sina b

4 Công thức nhân ñôi

sin 2x=2 sin cosx x

cos 2x=cos x−sin x=2 cos x− = −1 1 2 sin x

2

2 tantan 2

1 tan

x x

8 Công thức biến ñổi tổng thành tích

cos cos 2 cos cos

sin 2

x

10 Công thức tình sin ααα; cosααα; tan ααα theo tan

2α

1

t t

α =

+

2 2

1cos

1

t t

α = −

2tan

1

t t

- Các hàm số y=sin ,x y=cosx xác ñịnh với mọi x∈ ¡

- Hàm số: y=tanx xác ñịnh với mọi ,

x

=

−4) y=cot 2x 5) cos 21

Nếu D là tập ñối xứng ta thực hiện tiếp bước 2:

Bước 2: Với mọi x∈ , nếu D

Nếu f ( )−x = f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm chẵn

Nếu f ( )−x = −f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm lẻ

Nếu f ( )−x ≠ ±f x( ) thì hàm số y= f x( ) là hàm không chẵn, không lẻ

Lưu ý tính chất:

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

1) y=sin 2x 2) y=cos 3x 3) y=tan 2x

4) y= xsinx 5) y= 1 cos− x 6) y= −x sinx

3 Dạng 3: Tìm chu kì của hàm số lượng giác:

* Phương pháp giải: Khi tìm chu kì của hàm số lượng giác, ta cần biến ñổi biểu thức của hàm số ñã cho

về một biểu thức tối giản và lưu ý rằng:

1) Hàm số y=sin ,x y=cosx có chu kì T =2π

2) Hàm số y=tan ,x y=cotx có chu kì T = π

3) Hàm số y=sin(ax b+ ),y=cos(ax b+ ) với a≠ có chu kì 0 T 2

Bài 3: Tìm chu kì của các hàm số sau:

1) y=2 cos 2x 2) y=sin 2x+2 cos 3x

Vậy Maxy= ñạt ñược 3 ⇔cosx= ⇔ =1 x k2 ,π k∈ ¢

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

1) y= −3 2 sinx 2) cos cos

3

3) y=cos2 x+2 cos 2x 3) y= 2 cosx+ 1 5) y= −2 sinx

II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

* Dạng 2: cos x=a (a ≤ nghiệm tổng quát: 1) x= ±arccosa+k2π ;k∈¢

ðặc biệt: cosx=cosα ⇔ = ± +x α k2 ;π k∈ ¢ Tổng quát: cos f x( )=cosg x( )⇔ f x( )= ±g x( )+k2 ;π k∈ ¢

Tổng quát: tan f x( )=tang x( )⇔ f x( )=g x( )+kπ;k∈ ¢

* Dạng 4: cot x= a (x≠kπ;k∈ ¢)nghiệm tổng quát: x= +α kπ;k∈ ¢

ðặc biệt: cotx=cotα ⇔ = +x α kπ;k∈ ¢ Tổng quát: cot f x( )=cotg x( )⇔ f x( )=g x( )+kπ;k∈ ¢

Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:

10 5

,22

k x

k k x

π π

Ta thấy nghiệm trên thoả mãn ñiều kiện Vậy phương trình có một họ nghiệm

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Bài tập tương tự: giải các phương trình sau:

1) 2 cos 2x − =1 0 2) sinx=cos 3x 3) cos sin 3 0

Bước 1: ðặt t bằng hàm số lượng giác có trong phương trình;

Bước 2: ðặt ñiều kiện với ẩn phụ t;

Bước 3: Giải phương trình tìm t (thoả mãn ñiều kiện);

Bước 4: Với mỗi t thoả mãn ta có phương trình lượng giác cơ bản ⇒ nghiệm x

Ví dụ minh hoạ: Giải các phương trình sau:

1) 2 cos2 x−5 cosx+ = 3 0 2) 1 5sin− x+2 cos2x= 0

3) 3 cot2 x−4 cotx+ 3= 0 4) 32 4 tan 2 0

sin

22

(Chú ý: ta có thể không cần ñặt ẩn phụ mà coi hàm số lượng giác như là một ẩn như ví dụ

này)

3) ðiều kiện: sinx≠ ⇔ ≠0 x kπ,k∈ ¢

ðặt cot x= , khi ñó phương trình trở thành: t

Ta thấy hai họ nghiệm ñều thoả mãn ñiều kiện Vậy phương trình có hai họ nghiệm

4) ðiều kiện: cos 0 ,

1

1tan

Ta thấy cả hai họ nghiệm ñều thoả mãn ñiều kiện Vậy phương trình có 2 họ nghiệm

Bài 1: Giải các phương trình sau

1) cos 2x+sin2 x+2 cosx+ = 1 0 2) cos 2x+5sinx+ = 2 0

Bài 2: (Các phương trình ñưa về phương trình bậc nhất, bậc hai) Giải các phương trình

1) cos cos 2x x= +1 sin sin 2x x 2) 4 sin cos cos 2x x x = − 1

3) sin 7x−sin 3x=cos 5x 4) cos2x−sin2 x=sin 3x+cos 4x

5) cos 2 cos 2 sin23

11) cos 3x+cos 2x+cosx=sin 3x+sin 2x+sinx

3 Phương trình bậc nhất ñối với sin x và cos x:

* Dạng phương trình: sina x b+ cosx=c a b c( , , ≠0) (*)

a

a b b

a b

α α

+ là phương trình lượng giác cơ bản ñã biết cách giải!

Chú ý: ðiều kiện ñề phương trình có nghiệm là: a2+b2 ≥c2

Cách 2: Chia hai vế cho a và ñặt tan b

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

1) sinx+ 3 cosx= 1 2) 5 cos 2x−12 sin 2x=13

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

2) Ta có: 5 cos 2x−12 sin 2x=13⇔ −12 sin 2x+5 cos 2x=13

x π α k π k

Vậy phương trình có một họ nghiệm

Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:

1) 3sinx−4 cosx= 1 2) 2 sinx−2 cosx= 2

3) 3sinx+4 cosx= 5 4) 3 sin 3x+cos 3x= 2

4 Phương trình thuần nhất ñối với sin x và cos x:

* Cách giải:

Cách 1:

Bước 1: Nhận xét cosx = hay 0 ,

2

x=π +kπ k∈¢ không là nghiệm của phương trình;

Bước 2: Chia cả hai vế của phương trình cho cos2x ≠ ta ñược phương trình” 0

2

a x b+ x c+ = Bước 3: Giải phương trình ta ñược nghiệm của phương trình ñã cho

Cách 2: Dùng công thức hạ bậc ñưa về phương trình trình bậc nhất ñối với sin 2x và cos 2x (Học

sinh tự giải cách này)

Chú ý: Nếu phương trình có dạng tổng quát:

sin sin cos cos (sin cos )

1) 2 sin2x−5sin cosx x+3cos2x= 0

2) 2 sin2x−5sin cosx x−cos2 x= − 2

arctan2

 không thoả mãn phương trình

Chia cả hai vế cho cos2x ≠ ta ñược phương trình: 0

arctan4

Vậy phương trình có hai họ nghiệm

Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau

1) 4 sin2x+3 3 sin 2x−2 cos2x= 4

2) 2 sin2x+3cos2x=5sin cosx x

3) sin2 x−3sin cosx x= 1

4) cos2x+2 sin cosx x+5sin2x= 2

5) 2 cos2 x−3sin 2x+sin2x= 1

5 Phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx

* Dạng phương trình: a(sinx+cosx)+bsin cosx x=c

2

,2

1) sinx+cosx−2 sin cosx x+ = 1 0

2) 3 sin( x+cosx)−4 sin cosx x=0

6 Phương trình ñối xứng ñối với sinx và cosx

* Dạng phương trình: a(sinx−cosx)+bsin cosx x=c

Bài tập tự giải: Giải các phương trình sau:

1) 6 sin( x−cosx)+sin cosx x+ =6 0

2) sin3x−cos3x= 1

3) 3 sin( x−cosx)−4 sin cosx x+ =3 0

4) sinx−cosx +4sin 2x=1

6) (1 cos+ x)(1 sin+ x)=2

7) 3 sin( x+cosx)+2sin cosx x+ =3 0

Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian

A CÁC VẤN ðỀ CHÍNH:

1 Véc tơ, các phép toán véc tơ trong không gian và ứng dụng

2 Chứng minh vuông góc: ñường thẳng vuông góc với ñường thẳng, ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, 2 mặt phẳng vuông góc

3 Các bài toán tính góc: Góc giữa 2 ñường thẳng, góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt phẳng

4 Các bài toán tính khoảng cách: Từ 1 ñiểm ñến 1 ñường thẳng, ñến 1 mặt phẳng, khoảng cách giữa 2 ñường thẳng chéo nhau

5 Bài toán dựng thiết diện, tính diện tích thiết diện

B BÀI TẬP:

Loại 1: Chứng minh ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng, với ñường thẳng:

1 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với (ABC) và tam giác ABC vuông ở B

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB)

b) Gọi AH là ñường cao của ∆ SAB Chứng minh: AH ⊥ (SBC)

2 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O; gọi I, J lần lượt là trung ñiểm AB, BC

Biết SA = SC, SB = SD Chứng minh rằng:

a SO ⊥ (ABCD)

b IJ ⊥ (SBD)

3 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA ⊥ (ABCD) Gọi H, I,

K lần lượt là hình chiếu vuông góc của ñiểm A lên SB, SC, SD

a Chứng minh rằng: CD ⊥ (SAD), BD ⊥ (SAC)

b Chứng minh: SC ⊥ (AHK) và ñiểm I cũng thuộc (AHK)

c Chứng minh: HK ⊥ (SAC), từ ñó suy ra HK ⊥ AI

4 Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác ñều, gọi I là trung ñiểm BC

a Chứng minh: BC ⊥ (AID)

b Vẽ ñường cao AH của tam giác AID Chứng minh: AH ⊥ (BCD)

5 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC ñôi một vuông góc với nhau Gọi H là ñiểm thuộc

mp(ABC) sao cho OH ⊥ (ABC) Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (OAH)

b) H là trực tâm của ∆ ABC

c) 1 2 12 12 1 2

OC OB

OA

6 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác ñều và SC

= a 2 Gọi H, K lần lượt là trung ñiểm của các cạnh AB, AD

a) Chứng minh: SH ⊥ (ABCD)

b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD

7 Gọi I là 1 ñiểm bất kì nằm trong ñường tròn (O; R) CD là dây cung của ñường tròn (O) qua I

Trên ñường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa (O) tại I ta lấy ñiểm S với OS = R Gọi E là ñiểm ñối tâm của D trên (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông ở S

b) SD ⊥ CE c) Tam giác SCD vuông

Loại 2: Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc:

8 Cho tứ diện ABCD có 2 mặt phẳng ABC, ABD cùng vuông góc với ñáy DBC Vẽ các ñường cao

BE, DF của tam giác BCD; ñường cao DK của tam giác ACD

a) Chứng minh: AB ⊥ (BCD)

b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với (ADC)

c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ACD CM: OH ⊥ (ADC)

9 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600

, SA ⊥ (ABCD) và

SA = a 6 Chứng minh:

a) (SAC) ⊥ (ABCD) và (SAC) ⊥ (SBD)

b) (SBC) ⊥ (SDC)

10 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD

a) Chứng minh: SO ⊥ (ABCD); (SAC) ⊥ (SBD)

b) Một mặt phẳng (α ) ñi qua A và song song với BD cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’ Chứng minh AC’ ⊥ B’D’ và 2 tam giác AB’C’ và AD’C’ ñối xứng với nhau qua mặt phẳng (SAC)

11 Cho tam giác ñều ABC cạnh a, I là trung ñiểm của BC, D là ñiểm ñối xứng với A qua I Dựng

a) Chứng minh tam giác ASC vuông

b) Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD)

13 Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a; AC = b; DC = DB = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ

Loại 3: Góc của 2 ñường thẳng:

15 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a SA

vuông góc với AB và AD, SA = 2 3

AD’; MN và α ; A’P và DN (600, 450, 900)

Loại 4: Góc giữa ñường thẳng và mặt phẳng:

18 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông cạnh a, SA = a 6 vuông góc với ñáy Tính góc của:

19 Cho hình vuông ABCD và tam giác ñều SAB cạnh a nằm trong 2 mặt phẳng vuông góc Gọi I là

trung ñiểm AB

a) Chứng minh SI ⊥ (ABCD) và tính góc hợp bởi SC với (ABCD)

15tan

20 Cho hình chóp S.ABCD có ñáy là hình vuông tâm O, cạnh a và SO vuông góc với ñáy Gọi M, N

lần lượt là trung ñiểm SA và BC Biết góc giữa MN và (ABCD) là 600

21 Cho tứ diện SABC có SA, SB, Sc ñôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lượt là trung

ñiểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng: (SAJ) và (SCI) (600)

22 Cho hình chóp tam giác ñều có cạnh ñáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a

23 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh ñáy ñều bằng a Biết góc tạo bởi cạnh bên và

mặt ñáy là 600 và hình chiếu H của ñỉnh A lên (A’B’C’) trùng với trung ñiểm của B’C’

b) Tính góc giữa 2 ñường thẳng: BC và AC’ (tanα = 3) c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt ñáy (tanα =2 3)