Bài giảng: Lý thuyết đồ thị docx

1 Lý thuy t đ thế ồ ị Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ 2 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định nghĩa: Đồ thị (graph) G = (V,E) là một bộ gồm 2 tập hợp các đỉnh (vertices) V (V≠Ø) và các cạnh (edges) E. Mỗi cạnh tương ứng với 2 đỉnh. Nếu cạnh e tương ứng với 2 đỉnh v, w thì ta nói v và w là 2 đỉnh liên kết hay kề (adjacent) với nhau và e được gọi là tới các đỉnh v, w. Ký hiệu hay v w. vwe = e 3 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Các đỉnh: A, B, C, D  Các cạnh: AB, AC, AD, BD, BC A B C D Cạnh không phân biệt thứ tự của đỉnh được gọi là cạnh vô hướng. Đồ thị bao gồm các cạnh vô hướng được gọi là đồ thị vô hướng. 4 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Định nghĩa: - Cạnh uv tương ứng với 2 đỉnh trùng nhau gọi là vòng (loop) hay khuyên. A B C 5 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Hai cạnh phân biệt cùng tương ứng với một cặp đỉnh gọi là 2 cạnh song song (parallel edge). A B C 6 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị không có cạnh song song và khuyên được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược lại là đa đồ thị (multi graph). A B C A B C D 7 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị G’ = (V’, E’) gọi là 1 đồ thị con (sub graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’ ⊂ E. A B CD E B’ C’ A’ E’ 8 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là đồ thị hữu hạn (finite graph), ngược lại là đồ thị vô hạn (infinite graph). 9 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Biểu đồ A B CD A’ B’ C’ D’ E’ A” B” C” 10 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ  Bậc của một đỉnh - Bậc (degree) của một đỉnh v, ký hiệu là d(v), chính là số cạnh tới đỉnh đó. Mỗi vòng tại một đỉnh sẽ được xem như 2 cạnh tới đỉnh đó. - Nếu d(v) = 0, v được gọi là đỉnh cô lập (isolated vertex). - Nếu d(v) = 1, v được gọi là đỉnh treo (perdant vertex), cạnh tới đỉnh treo được gọi là cạnh treo (perdant edge). - Đồ thị mà mọi đỉnh đều là đỉnh cô lập được gọi là đồ thị rỗng (null graph). [...]... Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau được gọi là đồ thị đầy đủ (complete graph) Đồ thị đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là Kn A E B D C 12 Chương 1: Giới thiệu - Đồ thị bù của một đồ thị G, ký hiệu là G, là một đồ thị có cùng đỉnh với G và có các cạnh là những cạnh mà ta phải bổ sung vàođể G trở thành đầy đủ G G 13 Chương 1: Giới thiệu  Định lý 1.1: Với mọi đồ thị G = (V, E), ta có:... v∈ V   Hệ quả 1.1: Tổng số bậc của các đỉnh bậc lẻ trong 1 đồ thị là 1 số chẵn Hệ quả 1.2: Mọi đồ thị đều có một số chẵn các đỉnh bậc lẻ 14 Chương 1: Giới thiệu  Hệ quả 1.3: 1 Đồ thị Kn có n(n-1) cạnh 2 15 Chương 1: Giới thiệu Biểu diễn đồ thị - Danh sách kề C ABBDE BAACDE CCCBD B DABCE EABD  A D E 16 Chương 1: Giới thiệu Biểu diễn đồ thị - Ma trận kề: A B C D E A 0 2 0 1 1 B 2 0 1 1 1 C 0 1 2 1... đỉnh bậc 2 của G2 (y và z) là kề nhau 31 Ví dụ:  Hãy xác định xem hai đồ thị sau có đẳng cấu hay không? 32 Chương 1: Giới thiệu  - Đồ thị có hướng Nếu mỗi cạnh e ∈ E của G được xác định bởi một cặp có thứ tự (v, w) của 2 định v, w ∈ V thì ta nói e là 1 cạnh có hướng từ v đến w, ký hiệu e = vw, và đồ thị G khi này được gọi là một đồ thị có hướng (directed graph) v được gọi là đỉnh đầu (initial vertex)... (in degree) của w, ký hiệu din(w) A B C E D 34 Chương 1: Giới thiệu  Một đồ thị có hướng gọi là cân bằng (balanced) nếu mọi đỉnh của nó đều có bậc trong và bậc ngoài bằng nhau A B D E C 35 Chương 1: Giới thiệu   Đồ thị có hướng G gọi là liên thông nếu đồ thị vô hướng tương ứng của nó là liên thông Một đường đi P trong một đồ thị có hướng G là một dãy hữu hạn các cạnh nối tiếp v0v1, v1v2, , vk-1vk... 1 1 1 C 0 1 2 1 0 D 1 1 1 0 1 E 1 1 0 1 0  C B D A E 17 Chương 1: Giới thiệu  Định lý 1.2: Tổng các phần tử trên hàng (hoặc cột) thứ i của ma trận kề của đồ thị G có n đỉnh bằng bậc của đỉnh vi của đồ thị ấy, nghĩa là: n n k =1 k =1 d (vi ) = ∑ mik = ∑ mki 18 Chương 1: Giới thiệu  Đường đi và chu trình Cho một đồ thị G Một đường đi P trong G là một dãy các cạnh nối tiếp có chung đầu mút v0v1, v1v2,... đương này ứng với một đồ thị con liên thông của G và được gọi là một thành phần liên thông (connected component) của G 24 Chương 1: Giới thiệu  Hai thành phần liên thông bất kỳ của G thì tách biệt H F A B I G C D E 25 Chương 1: Giới thiệu  Định lý 1.3: Một đơn đồ thị G có n đỉnh và k thành phần thì có tối đa là 1 (n – k)(n – k + 1) cạnh 2 26 Chương 1: Giới thiệu  Đẳng hình Hai đồ thị G = (V, E) và G’... v’, w’ ∈ V’ 27 Chương 1: Giới thiệu A’ A E B E’ B’ D’ D C C’ 28 Ví dụ: Hai đơn đồ thị G1 và G2 sau là đẳng cấu qua phép đẳng cấu f: a x, bu, cz, dv, ey: 29 Ví dụ:  Hai đồ thị G1 và G2 sau đều có 5 đỉnh và 6 cạnh nhưng không đẳng cấu vì trong G1 có một đỉnh bậc 4 mà trong G2 không có đỉnh bậc 4 nào 30 Ví dụ:  Hai đồ thị G1 và G2 đều có 7 đỉnh, 10 cạnh, cùng có một đỉnh bậc 4, bốn đỉnh bậc 3 và... giản nhưng không sơ cấp EACBADE là một chu trình đơn giản nhưng không sơ cấp 22 Chương 1: Giới thiệu  Liên thông Một đồ thị được gọi là liên thông (connected) nếu mọi cặp đỉnh của nó đều được nối với nhau bởi một đường đi A B E D C 23 Chương 1: Giới thiệu  Xét G = (V, E) là một đồ thị vô hướng Trên tập hợp V, ta định nghĩa một quan hệ ~ như sau: ∀v, w ∈V, v ~ w ⇔ có 1 đường đi trong G giữa v và w . ệ - Đồ thị mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau được gọi là đồ thị đầy đủ (complete graph). Đồ thị đầy đủ có n đỉnh được ký hiệu là K n . A B CD E 13 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị bù của một đồ thị. E’) gọi là 1 đồ thị con (sub graph) của đồ thị G = (V, E) nếu V’ ⊂ V và E’ ⊂ E. A B CD E B’ C’ A’ E’ 8 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị có số đỉnh và số cạnh hữu hạn gọi là đồ thị hữu hạn. thi uươ ớ ệ - Đồ thị không có cạnh song song và khuyên được gọi là đơn đồ thị (simple graph), ngược lại là đa đồ thị (multi graph). A B C A B C D 7 Ch ng 1: Gi i thi uươ ớ ệ - Đồ thị G’ = (V’,