Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8

Giải : Dựa vào tính chất của đờng trung bình chứng minh các tứ giác LFEM , NEDL là hình bình hành.. HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quybằng cách dựa

Phòng giáo dục & đào tạo quế sơn

Tài liệu bồi dỡng

môn hình học 8 ( Tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi )

Lu hành nội bộ

Kớnh Thầy giỏo, Cụ giỏo giảng dạy bộ mụn Toỏn cấp THCS trong toàn huyện !

Nhằm giỳp qỳy Thầy giỏo, cụ giỏo cú một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi,học sinh năng khiếu bộ mụn toỏn của cấp Trung học cơ sở phự hợp, bộ phậnchuyờn mụn Phũng GD&ĐT Quế Sơn trờn cơ sở tham khảo ý kiến của cỏc thầy cụgiỏo cú nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ mụn, biờn soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ mụn Toỏn - Cấp THCS” “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi mụn Hỡnh Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu núi trón

Để cú thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu khụng chia thành cỏcchuyờn đề mà được phõn bố theo chương trỡnh của sỏch giỏo khoa Tuy vậy, đểkhỏi manh mỳn, cỏc nội dung được trỡnh bày theo chủ đề kiến thức chứ khụngtheo từng bài Nội dung hỡnh học 8 được tài liệu phõn thành sỏu chủ đề sau :

I Tứ giỏc, hỡnh thang

II Hỡnh bỡnh hành

III Hỡnh chữ nhật, hỡnh thoi, hỡnh vuụng

IV Đối xứng trục, đối xứng tõm

V Định lý Thalet và tam giỏc đồng dạng

VI Hệ thức lượng trong tam giỏc - Định lý Pitago

Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phõn thành sỏu loại cơ bản :

1 Bài tập về vị trớ tương đối của điểm, đường thẳng

- Chứng minh thẳng hàng

- Chứng minh song song, vuụng gúc

- Chứng minh đồng quy

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

- Chứng minh sự bằng nhau của gúc, đoạn thẳng

- Chứng minh một tam giỏc là cõn, đều Một tứ giỏc là hỡnh thang cõn ,hỡnhbỡnh hành, hỡnh thoi, hỡnh vuụng

Hy vọng tập tài liệu giỳp ớch phần nào đú trong cụng tỏc bồi dưỡng họcsinh giỏi bộ mụn Toỏn của quý thầy cụ

Bộ phận chuyờn mụn THCS

I Tứ giác, hình thang :

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên

BC và AD Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K Chứng minhC,D,K thẳng hàng

TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các

HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung

điểm của A’C

- Tam giác CAA’ có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA’

- Tam giác FEJ có AA’ qua trung điểm A’ của FJ và // với EJ nên AA’ qua trung

điểm I của FE

- Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB’, CC’,DD’ qua I

- Các đờng thẳng trên đồng quy tại I

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho tam giác ABC trong đó AB < AC Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh

A M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC Chứng minh rằng tứ giácNMPH là hình thang cân

Đ-HD :

- Gọi I là trung điểm của BD.

- Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2)

MI

B

E

I

3 Bài tập tính toán

Bài toán 3a :

Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E Hai cạnh

AB và DC kéo dài cắt nhau tại M Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắtnhau tại K Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác

Bài toán 3b :

Cho hình thang ABCD M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC O

là điểm thuộc MN Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang Đờngthẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F Chứng minh rằng OE=OF

HD : Chứng minh SBNMA = SNCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau )

Chứng minh SBEN=SNFC và SEAM = SFMD để đợc SEMN =SFMN

Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác

Có : SADM = SABCM = SAME => SABI = SCEI

 SABC = SEBC => BE// AC

Cách dựng :

- Dựng đờng chéo AC

- Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E

- Lấy M là trung điểm của DE

- AM là đờng thẳng cần dựng

TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng

đ-ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ) Để chuyển bài toán về bài tập dựngtrung tuyến của tam giác Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên

Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD I là điểm bất kỳ của AB Qua I hãy dựng đờng

thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau

B

C

FI

J

Dấu “=” xảy ra lúc M[AC]AC] và M[AC]BD]

 M  O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo )

Chứng minh EL, FM, DN đồng quy

Giải :

Dựa vào tính chất của đờng trung

bình chứng minh các tứ giác LFEM ,

NEDL là hình bình hành

 đpcm

Bài toán 1b :

Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy

HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quybằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng

- Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đốidiện Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP

- Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trungtrực của MN

- Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trungtrực

P

O

HM

- Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao củatam giác ABC đồng quy

2 Các bài toán chứng minh sự bằng nhau :

Bài toán 2a:

Cho tứ giác ABCD E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD M,N,P,Q lần lợt

là trung điểm của AF, CE, BF, DE Chứng minh rằng MN = PQ

HD :

Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm củamỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF )

Bài toán 2b :

Cho tứ giác ABCD Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ;

G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hànhCABH

Cho hình bình hành ABCD có ADC = 750 và O là giao đIểm hai đờng chéo

Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC (E thuộc AB, F thuộc BC ) Tính góc EOF

CD

B

JI

Có O là trung điểm của DB

Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền )

EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O )

DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O )

Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF

Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.750 = 1500

Bài toán 3b :

Cho tam giác đều ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần

l-ợt tại D và E Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD Tính

số đo các góc của tam giác GIB

HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K

- Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC

- Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau

- Từ đó có đợc GIB =900 và BGI = BGK/2 = DGE/2

- Có DGE = 1200 ( Do ADE đều ) nên BGI = 600 và GBI = 300

4 Các bài toán quỹ tích, dựng hình

Bài toán 4a :

Cho tam giác cân ABC (AB=AC) Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AClấy điểm E sao cho DA=CE Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trêncạnh AB

GD

a C1 :( Dựa vào kiến thức về hình bình hành )

Phân tích :

Gọi O’ là điểm đối xứng của A qua O Khi O là trung điểm của MN thì tứgiác AMO’N là hình bình hành

Cách dựng :

- Dựng O’ đối xứng với A qua O

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ay cắt Ax tại M

- Dựng đờng thẳng qua O’ song song với Ax cắt Ay tại N

C 2 :( Dựa vào kiến thức về đờng trung bình )

Phân tích :

Khi O là trung điểm của MN thì đờng thẳng qua O song song với Ay sẽ cắt

Ax tại trung điểm của AN

N

y

D

B I H C D

Kẻ ND //MC (DBC) ; NI //AB (IBC)

Dễ dàng chứng minh đợc : MC = ND

MN = BI =CD Giả sử AB <AC => NI <NC => HI <HC ( Quan hệ hình chiếu đờng xiên )

 HI + IB < HC + CD => HB < HD

 NB < ND => NB < MC

Bài toán 5c :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến Q nhỏnhất

- Chứng minh ICKM là hình bình hành => IC//MK

- Chứng minh I là trực tâm của tam giác CBM => CI vuông góc với BM

 MK vuông góc với BM

P

Q NM

CB

HM

KI

P’

Tơng tự chứng minh đợc CE vuông góc với IB

 đpcm ( Tính chất ba đờng cao trong tam giác )

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho hình vuông ABCD Gọi M,N lần lợt là trung điểm của AB,AD BN,

CM cắt nhau tại P Chứng minh rằng DP =AB

HD : Gọi I là giao điểm của hai đờng thẳng BN và CD Dễ dàng chứng minh đợc

Dựng về phía ngoài của tam giác

tam giác đều ABF’ Các tam giác FAF’ và

JI

H

tam giác FAF’ cân tại F’ (Hai góc đáy

 Tam giác FDC đều

C2 : Dựng I phía trong tam giác sao cho IBC =ICB =150 CI cắt FB tại J

Có : BI = BF (Do cách dựng ) và FBI = 900 -(150 +150 ) = 600 nên tam giácFBI đều

IJB = 150 + 150 = 300 nên CJ là trung trực của FB => CF = CB

HD : Trên tia đối của tia CB lấy điểm E’ sao cho CE’ = AE

Chứng minh đợc hai tam giác ADE và CDE’ bằng nhau để đợc :

- Tam giác FHC có trung tuyến HO bằng nửa FC nên nó vuông tại H Hay gócFHC = 900

- Điểm đối xứng của M qua O thuộc cạnh BC (M’)

- Điểm đối xứng của N qua O thuộc cạnh AD (N’)

- Đờng thẳng qua O vuông góc với MM’ cắt AB ở E và DC ở F Dễ dàngchứng minh đợc OE =OF =OM

Cách dựng :

- Dựng M’ đối xứng với M qua O

- Dựng N’ đối xứng với N qua O

- Dựng đờng thẳng d vuông góc với MM’ Trên d lấy E,F sao cho OE=OF=

OM

- Dựng các đờng thẳng MN’, NM’

- Qua E dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại A và NM’ tại B

- Qua F dựng đờng thẳng vuông góc với MN’ cắt MN’ tại D, và NM’ tại C

GH

O1

O2

IJ

Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnhnằm trên bốn cạnh của hình vuông) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó cóchu vi nhỏ nhất

Dấu “ =” xảy ra lúc E,F,G  BD

E  BD => MN//AC => MBN vuông cân tại B

G BD => PQ//AC => PDQ vuông cân tại D

Giải : Gọi I là trung điểm của MK A M B I K

Dấu “=” xảy ra lúc x =a/2

điểm của BC, D là trung điểm của HF

a Chứng minh O1MO2 là tam giác vuông cân

-AHC = ABF cùng với AH vuông góc với AB đợc HC vuông góc với BF

O1M và O2M lần lợt là hai đờng trung bình của hai tam giác BHC và BCF nên :

- O1M song song và bằng nửa HC; O2M song song và bằng nửa BF

Kết hợp các kết luận trên để đợc điều cần chứng minh

d Hạ HP và FQ vuông góc với đờng cao từ AN của tam giác ABC.

-Chứng minh hai tam giác HQA và ANB bằng nhau => HQ=AN

-Chứng minh hai tam giác FPA và ANC bằng nhau => FP=AN

 HQ = FP

Từ đó chứng minh HQFP là hình bình hành => AN qua trung điểm D củaHF

Với tam giác AHF ta có điều ngợc lại AM vuông góc với HF

e Gọi K là trung điểm của AC ta có :

KA = O2K

A

O2O

1

MG

H

E

FD

IJ

O

3

A’

PQ

N

K

O1K = O3K

O1KO2 = AKO3

 Hai tam giác O1KO3 , O3KA bằng nhau

 Đpcm

III Đối xứng trục và đối xứng tâm :

1 Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng

Bài toán 1a :

Cho tam giác nhọn ABC có AH là đờng cao Gọi E,F lần lợt là điểm đốixứng của H qua các cạnh AB,AC Gọi M,N lần lợt là giao điểm của EF vớiAB,AC Chứng minh rằng MC  AB và NB  AC

Giải :

Tam giác MNH có AM,AN là phân giác

ngoài của hai góc M,N nên AH là

phân giác của góc MNH

Do CH  AH nên CH là phân giác

ngoài của góc MNH

Tam giác MNH có CN,CH là phân giác

ngoài của hai góc N,H nên CM là phân giác trong của góc HMN

 CM  MB ( Vì MB là phân giác ngoài của HMN ) Hay CM  AB

Tơng tự chứng minh đợc NB  AC

Bài toán 1b :

Cho tam giác ABC và P là điểm bất kỳ Gọi M,N,Q lần lợt là trung điểmcủa AB,AC,BC Gọi A’,B’,C’ lần lợt là điểm đối xứng của P qua Q,N,M Chứngminh AA’,BB’,CC’ đồng quy

a Chứng minh O thuộc đờng trung trực của M1M2

b Gọi Oz là tia thuộc đờng trung trực M1,M2 Chứng minh rằng MOx nhận Otlàm phân giác

tN

P

 zoy + yOM2 = zOy + yOM = xOy

 zOy + zOy + xOM = xOy

 zOy = Mox

 MOt = tOz ( Do xOt = tOy )

 Ot là tia phân giác của góc MOz

4 Bài tập về quỹ tích , dựng hình

Bài toán 4a :

Một con kênh có hai bờ song song P,Q là hai điểm cố định nằm ở hai phía

con kênh Xác định cầu MN vuông góc với kênh để đoạn đờng đi từ P đến N bằng

đoạn đờng từ Q đến M (N nằm bờ kênh phía P và M nằm bờ kênh phía Q)

HD :

PT : - Giả sử dựng đợc P Gọi P’ là đỉnh thứ t của hình bình hành PNMP’ Lúc

đó PN = P’M => P’M=MQ => M thuộc trung trực của P’Q

CD : -Dựng P’ sao cho PP’ vuông góc với bờ kênh và chiều dài của PP’ bằngchiều rộng của bờ kênh

- Dựng trung trực (d) của P’Q d cắt bờ kênh phía Q tại M Từ đó dựng N

M đối xứng với N qua trục là đờng

thẳng (d) qua P vuông góc với MN

Do MN//BC nên (d) vuông góc

với BC

Đờng thẳng đối xứng với đờng

thẳng AB qua trục (d) cắt đờng

thẳng AC tại N

Nên có cách dựng :

- Dựng (d) qua P và vuông góc với BC

- Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát ờng thẳng AC tại N

đ Dựng M đối xứng với N qua (d)

M2

E

F

GD

A

CB

A

PP’

Q

NMd

P

- Tam giác PMN là tam giác cần dựng

5 Bài toán cực trị hình học

Bài toán 5a : ( Bài toán con chim )

Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặtphẳng bờ Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Giải :

a Trờng hợp A,B nằm ở một nửa mặt phẳng : B

Gọi A1 là điểm đối xứng của A qua trục (d) A

MA +MB = MA1 + MB  A1B

TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d

ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết

Bài toán 5b :

Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d Tìm trên d hai

điểm M,N sao cho :

- MN = l cho trớc

- Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất

Bài toán 5c :

Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc Xác định trên

Ox điểm A và trên Oy điểm B sao cho tam giác MAB có chu vi nhỏ nhất

Giải : M1

Gọi M1, M2 lần lợt là hình chiếu

của M qua trục Ox; Oy A M

MA + AB +BM = M1A +AB +BM2  M1M2

Dấu “=” xãy ra khi A,B  M1M2 O

 A là giao điểm của M1M2 với Ox B

B là giao điểm của M1M2 với Oy

M2

TIP: Bằng cách ràng buộc thêm các điều kiện của điểm M : M chạy trên một

đoạn thẳng; chạy trên một đờng tròn nằm trong góc xOy ;Tổng OA + OB không

đổi; Thay đổi góc xOy; Thay đổi đại lợng cần tính cực trị chúng ta sẽ đợchàng loạt các bài toán khác

Bài toán 5d :

Cho góc nhọn xOy và hai điểm AB thuộc miền trong của góc đó Tìm các

điểm C,D lần lợc thuộc Ox và Oy sao cho đờng gấp khúc ACDBA có độ dài nhỏnhất

Giải :

Lấy A1 đối xứng với A qua Ox; B1 đối xứng với B qua Oy Do AB cố địnhnên đờng gấp khúc ACBD có độ dài nhỏ nhất lúc AC + CD + DB nhỏ nhất

Có AC +CD +DB = A1C + CD +DB1  A1A2

Dấu ”=” xảy ra lúc C,D [AC]A1B1]

 C là giao điểm của A1B1 với Ox và D là giao điểm của A1B1 với Oy

B1

B

NM

A’

d

A1

a 2IJ = M1M2

AM1 =AM=AM2

M1AM2 =2BAC = CONST

IJ min (max) <=> M1M2 min (max)

<=> AM1 min (max) <=> AM min (max)

AM nhỏ nhất khi AM  BC

AM lớn nhất khi AM = Max(AB,AC )

b Chu vi tam giác MEF = MF + ME +EF = M1M2

 Để chu vi tam giác MEF nhỏ nhất thì M là chân đờng cao từ A xuống BC.theo bài toán 1a thì E,F cũng là chân của hai đờng cao còn lại

Giải :

Gọi O là giao điểm của AC và BD

M,N lần lợt là giao điểm của GH và EF

FN OAOC

GM

GH

OAOCEN

FN GMHM

IDE

FA

CG

HB

OMNE

F

Cho hình chữ nhật ABCD Gọi H là chân đờng vuông góc từ A xuống BD M,N theo thứ tự là các điểm BH và CD sao cho :

Chứng minh rằng AM vuông góc với MN

HD : - Chứng minh hai tam giác vuông

ABH và ACD đồng dạng

-Sử dụng gt :

để chứng minh hai tam giác ABM và ACN đồng dạng để đợc :

Và BAM = CAN => MAN = BAC

 Hai tam giác MAN và BAC đồng dạng

 AMN = ABC = 900 ( đpcm )

2 Bài tập về chứng minh bằng nhau

Bài toán 2a :

Cho hình thang ABCD (AB // CD ) Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại

I Qua I kẻ đờng thẳng song song với hai đáy cắt AD tại E và cắt BC tại F

Cho hình thang cân ABCD (AD//BC ) Gọi M,N là trung điểm của BC và

AD Trên tia đối của tia AB lấy điểm P bất kỳ PN cắt BD tại Q Chứng minh MN

là tia phân giác của góc PMQ

AN AC

IF CD

N

CD