Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 8

Phßng gi¸o dôc & ®µo t¹o quÕ s¬n Tµi liÖu båi dìng m«n h×nh häc 8 ( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái ) Lu hµnh néi bé 1 Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện ! Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh năng khiếu bộ môn toán của cấp Trung học cơ sở phù hợp, bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn trên cơ sở tham khảo ý kiến của các thầy cô giáo có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy bộ môn, biên soạn bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. “Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn. Để có thể sử dụng bồi dưỡng ở cấp trường, tài liệu không chia thành các chuyên đề mà được phân bố theo chương trình của sách giáo khoa . Tuy vậy, để khỏi manh mún, các nội dung được trình bày theo chủ đề kiến thức chứ không theo từng bài . Nội dung hình học 8 được tài liệu phân thành sáu chủ đề sau : I. Tứ giác, hình thang. II. Hình bình hành . III. Hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông . IV. Đối xứng trục, đối xứng tâm . V. Định lý Thalet và tam giác đồng dạng . VI. Hệ thức lượng trong tam giác - Định lý Pitago. Với mỗi chủ đề kiến thức bài tập được phân thành sáu loại cơ bản : 1. Bài tập về vị trí tương đối của điểm, đường thẳng . - Chứng minh thẳng hàng . - Chứng minh song song, vuông góc . . . - Chứng minh đồng quy. 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . - Chứng minh sự bằng nhau của góc, đoạn thẳng . - Chứng minh một tam giác là cân, đều. Một tứ giác là hình thang cân ,hình bình hành, hình thoi, hình vuông . . . . 3. Bài tập tính toán . - Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, các bài toán về diện tích . 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . 5. Bài toán cực trị hình học . - Bài toán về bất đẳng thức, Xác định hình hình học để một đại lượng nào đó đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất . 6. Các bài toán tổng hợp . Có lẽ tập tài liệu chưa đáp ứng một cách đầy đủ những yêu cầu của quí thầy giáo, cô giáo. Bộ phận chuyên môn Phòng GD&ĐT Quế Sơn rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành để có thể sửa chữa bổ sung những gì còn thiếu sót. Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô. Bộ phận chuyên môn THCS. I. Tø gi¸c, h×nh thang : 2 1. Bài tập về vị trí tơng đối của điểm, đờng thẳng . Bài toán 1a : Cho hình thang ABCD (AB//CD) trong đó đáy CD bằng tổng hai cạnh bên BC và AD . Hai đờng phân giác của hai góc A ,B cắt nhau tại K. Chứng minh C,D,K thẳng hàng . HD : Gọi K là giao điểm của phân giác góc A với DC .Dễ dàng chứng minh đợc DAK cân tại D. Từ AD + BC = DC => CK = CB => CBK = CKB => CKB = KBA BK là phân giác của góc B . Đpcm. TIP : Bài này có thể c/m theo hớng : - Gọi K là giao điểm của hai phân giác các góc A và B . C/m KC + KD = DC => K thuộc DC => đpcm . Bài toán 1b : Cho tứ giác ABCD. Gọi ABCD theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC . Chứng minh rằng các đờng thẳng AA, BB, CC,DD đồng quy . HD : Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AC, BD ; I là trung điểm của EF ; J là trung điểm của AC . - Tam giác CAA có EJ là đờng trung bình nên EJ//AA. - Tam giác FEJ có AA qua trung điểm A của FJ và // với EJ nên AA qua trung điểm I của FE. - Hoàn toàn tơng tự chứng minh đợc BB, CC,DD qua I - Các đờng thẳng trên đồng quy tại I . 2. Bài tập về chứng minh bằng nhau . Bài toán 2a : 3 A B KD C D C A B F A J E I Cho tam giác ABC trong đó AB < AC. Gọi H là chân đờng cao kẻ từ đỉnh A. M,N,P lần lợt là trung điểm của các cạnh AB,AC,BC . Chứng minh rằng tứ giác NMPH là hình thang cân . HD : - MNHP là hình thang - MP = AC/2 ( Đờng TB ) - HN = AC/2 ( Đờng TT ) đpcm Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD có AD=BC. M,N lần lợt là trung điểm của AB và DC. Đ- ờng thẳng AD cắt đờng thẳng MN tại E. Đờng thẳng BC cắt đờng thẳng MN tại F. Chứng minh AEM = BFM . HD : - Gọi I là trung điểm của BD. - Chứng minh tam giác IMN cân tại I ( IM = IN = AD/2=BC/2). - IM // DE và IN //CF đpcm . 3. Bài tập tính toán . Bài toán 3a : Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau tại E. Hai cạnh AB và DC kéo dài cắt nhau tại M. Hai phân giác của hai góc CED và BMC cắt nhau tại K . Tính góc EKM theo các góc trong của tứ giác . HD : Trong tam giác MKE đợc MKE = 180 0 - (KMD +KED+DME+DEM) 4 D N C A B E F M I M K A EB C D B C A H P M N DME+DEM = 180 0 - D . KMD = (180 0 - C - B)/2 KED = (180 0 -A-B)/2 Thay vào ta đợc : MKE = 180 0 -((180 0 -C-B +180 0 -A-B )/2 +180 0 -D) = (360 0 -360 0 +A+C+2B - 360 0 +2D)/2 = (A+B+C+D+B+D-360 0 )/2= (B+D)/2 Bài toán 3b : Cho hình thang ABCD. M,N lần lợt là trung điểm của hai đáy AD và BC. O là điểm thuộc MN. Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy hình thang . Đờng thẳng này cắt AB,CD lần lợt tại E,F. Chứng minh rằng OE=OF . HD : Chứng minh S BNMA = S NCDM (Do có tổng hai đáy và chiều cao bằng nhau ). Chứng minh S BEN =S NFC và S EAM = S FMD để đợc S EMN =S FMN Từ đó có EH = FI ( với EH, FI lần lợt là hai đờng cao của hai tam giác OE =OF 4. Bài tập về quỹ tích , dựng hình . Bài toán 4a : Cho tứ giác lồi ABCD . Hãy dựng đờng thẳng qua đỉnh A chia tứ giác thành hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử AM là đờng thẳng cần dựng . Lấy điểm E đối xứng với D qua M. AE cắt BC tại I . Có : S ADM = S ABCM = S AME => S ABI = S CEI S ABC = S EBC => BE// AC. Cách dựng : - Dựng đờng chéo AC. 5 A B C D M E I B C A D E F N M O H I - Từ B dựng đờng thẳng song song với AC cắt AC tại E. - Lấy M là trung điểm của DE. - AM là đờng thẳng cần dựng . TIP : Thực chất của phép dựng trên là biến đổi hình thang về một tam giác tơng đ- ơng ( có diện tích bằng diện tích hình thang ). Để chuyển bài toán về bài tập dựng trung tuyến của tam giác . Sau đây là bài tập áp dụng việc biến đổi trên . Bài toán 4b : Cho tứ giác ABCD . I là điểm bất kỳ của AB . Qua I hãy dựng đờng thẳng chia tứ giác làm hai phần có diện tích bằng nhau . Phân tích : Giả sử đã dựng đợc IJ . Sử dụng phơng pháp biến đổi về tam giác tơng đ- ơng .Ta có các bớc phân tích : Xác định điểm F trên tia DC sao cho S IJCB = S IJF . Lúc đó S BIC = S FIC .Suy ra BF//IC . Xác định điểm E trên tia CD sao cho S IJAD = S IJE . Lúc đó S AID = S EID .Suy ra AE//ID . Rõ ràng J là trung điểm của đoạn thẳng EF . Cách dựng : - Qua A dựng đờng thẳng song song với ID cắt DC tại E. Qua B dựng đờng thẳng song song với IC cắt DC tại F. - Dựng J là trung điểm của EF . IJ là đờng thẳng cần dựng . 5. Bài toán cực trị hình học . Bài toán 5a : Cho tứ giác lồi ABCD . Tìm điểm M trong tứ giác đó sao cho MA + MB + MC +MD đạt giá trị nhỏ nhất . Giải : Cách 1: Gọi O là giao điểm hai đờng chéo . M O thì MA +MB +MC+MD đạt giá trị nhỏ nhất . Thật vậy, M O ta có : MA +MB +MC +MD = OA + OB + OC + OD = AC + BD . Với M bất kỳ trong tứ giác ta có : MA +MC AC 6 A D E B C F I J MB + MD BD MA +MB +MC +MD AC + BD. MA +MB +MC +MD nhỏ nhất lúc M O D Cách 2 : Với ba điểm M; A; C ta có : MA +MC AC . C Dấu = xảy ra lúc M[AC] M O Với ba điểm M; B; D có MB + MD BD . Dấu = xảy ra lúc M [BD] MA + MB +MC +MD AC + BD A B Dấu = xảy ra lúc M[AC] và M[BD] M O ( Với O là giao điểm hai đờng chéo ) . Bài toán 5b : Chứng minh rằng đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa tổng hai cạnh còn lại . Giải : Gọi I là trung điểm của AC ta có : C MI = BC / 2 B IN = AD / 2 I MI + IN = ( BC +AD)/ 2 M N Lại có với ba điểm M,I,N thì MI + IN MN MN (BC + AD) / 2 =>đpcm . A D II. Hình bình hành : 1. Các bài toán về vị trí tơng đối : Bài toán 1a : Cho tam giác ABC . O là một điểm thuộc miền trong của tam giác . Gọi D,E,F lần lợt là trung điểm các cạnh AB,BC,CA và L,M,N lần lợc là trung điểm của OA,OB,OC . Chứng minh EL, FM, DN đồng quy . Giải : Dựa vào tính chất của đờng trung bình chứng minh các tứ giác LFEM , NEDL là hình bình hành . đpcm Bài toán 1b : 7 A B C D E F L N O M Chứng minh rằng : trong một tam giác ba đờng cao đồng quy . HD : - Dễ dàng chứng minh ba đờng trung trực trong một tam giác đồng quy bằng cách dựa vào tính chất đờng trung trực của đoạn thẳng . - Từ ba đỉnh của tam giác ABC đựng các đờng thẳng song song với cạnh đối diện . Các đờng thẳng này đôi một cắt nhau tại MNP . - Các tứ giác BCNA và BCAM là các hình bình hành nên HA là đờng trung trực của MN . - Tam giác MNP nhận các đờng cao của tam giác ABC làm các đờng trung trực . - Các đờng trung trực của tam giác MNP đồng quy hay các đờng cao của tam giác ABC đồng quy . 2. Các bài toán chứng minh sự bằng nhau : Bài toán 2a: Cho tứ giác ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB, CD. M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Chứng minh rằng MN = PQ . HD : Chứng minh tứ giác MNPQ có hai đờng chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đờng ( Chính là trung điểm của EF ). 8 A B C D E F M N P Q A B C M N P H Bài toán 2b : Cho tứ giác ABCD .Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC ; G là đỉnh thứ t của hình bình hành CADG ; H là đỉnh thứ t của hình bình hành CABH . a. Chứng minh BD // GH . b. Chứng minh HD = 2EF . HD : a. BDGH là hình bình hành do BH và DG cùng song song và bằng AC =>đpcm . b. Gọi I,J lần lợt là trung điểm của CD và CH . Chứng minh EIJF là hình bình hành => đpcm. 3. Các bài tập tính toán : Bài toán 3a : Cho hình bình hành ABCD có ADC = 75 0 và O là giao đIểm hai đờng chéo . Từ D hạ DE và DF lần lợt vuông góc với AB và BC . (E thuộc AB, F thuộc BC ) . Tính góc EOF . Có O là trung điểm của DB . Từ đó có đợc OE =OD=OB=OF (Quan hệ trung tuyến ,cạnh huyền ). EOD = 2EBO ( Vì EOB cân tại O ). DOF = 2FBO ( Vì FOB cân tại O ) Cộng hai đẳng thức trên để đợc : EOF = 2( EBO + OBF ) = EBF . Do EBF = ADC nên EOF = 2ADC = 2.75 0 = 150 0 . 9 A B C D E F O D A E F C H G B J I Bài toán 3b : Cho tam giác đều ABC. Một đờng thẳng song song với BC cắt AB,AC lần l- ợt tại D và E . Gọi G là trọng tâm của tam giác ADE, I là trung điểm của CD. Tính số đo các góc của tam giác GIB . HD : Qua C kẻ đờng thẳng song song với AB , đờng này cắt DE tại K. - Tứ giác DBCK là hình bình hành nên BK cắt DC tại trung điểm I của DC . - Chứng minh hai tam giác DBG và EKG bằng nhau . - Từ đó có đợc GIB =90 0 và BGI = BGK/2 = DGE/2 - Có DGE = 120 0 ( Do ADE đều ) nên BGI = 60 0 và GBI = 30 0 . 4. Các bài toán quỹ tích, dựng hình Bài toán 4a : Cho tam giác cân ABC (AB=AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho DA=CE. Tìm quỹ tích trung điểm I của DE khi D di động trên cạnh AB . Bài toán 4b : Cho góc nhọn xAy và O là điểm thuộc miền trong của góc . Dựng trên Ax điểm M và trên Ay điểm N để : a. O là trung điểm của MN . b. OM =2ON. Giải : 10 B C A K I G D A E O O A B C E D I x [...]... trung tuyến xuất phát từ A => Quy về bài toán 3a để giải 5 Các bài toán cực trị : Bài toán 5a : Cho tam giác ABC có AM là đờng trung tuyến Chứng minh rằng : AB + AC 2AM Giải : Lấy A1 là điểm đối xứng của A qua M ta có : A ABA1C là hình bình hành BA1 = AC và AA1 = 2AM AB +AC = AB + BA1 B C Lại có : AB + BA1 > AA1 M 11 AB + AC > AA1 =2AM => đpcm A1 Bài toán 5b : Chứng minh rằng, trong một tam... (d) của PQ d cắt bờ kênh phía Q tại M Từ đó dựng N Bài toán 4b : Dựng tứ giác ABCD biết DA=AB=BC và biết ba trung điểm E,F,G của DA,AB, BC (d1) (d2) A E HD : D F B G C A nằm trên đờng trung trực của EF B nằm trên đờng trung trực của FG Cần xác định AB lần lợt trên hai đờng này để AB nhận F làm trung điểm Bài toán đợc quy về bài toán 3a Bài toán 4c : Cho tam giác ABC , P là điểm nằm trong tam giác... với BC - Dựng đờng thẳng đối xứng với đờng thẳng AB qua trục (d) ,đờng thẳng này cát đờng thẳng AC tại N - Dựng M đối xứng với N qua (d) - Tam giác PMN là tam giác cần dựng 5 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : ( Bài toán con chim ) Trong mặt phẳng P cho đờng thẳng d hai điểm A,B nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ Xác định trên d điểm M sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải : a Trờng hợp A,B... O1MNO2 là hình thang có IJ là đờng O2 16 C trung bình nên IJ = (O 1M +O2N)/2 = (AC + CB)/ 4 =const A M J NB I di chuyển trên phần đờng thẳng song song với AB cách AB một đoạn bằng AB/4 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho hình vuông ABCD Tứ giác MNPQ nội tiếp hình vuông (có bốn đỉnh nằm trên bốn cạnh của hình vuông) Tìm điều kiện của tứ giác MNPQ để nó có chu vi nhỏ nhất Giải : B N C Gọi E,F,G... MCB = 450 => M A Bài toán 5d : Cho đoạn thẳng AB = a C là điểm bất kỳ trên AB Vẽ các hình vuông ACDE; CBFG Xác định vị trí của điểm C để tổng diện tích hai hình vuông trên đạt giá trị nhỏ nhất G F Giải : Đặt AC = x => CB = a-x SACDE + SCBFG = x2 + (a-x) 2 = 2(x -a/2)2 + a2/2 a2/2 Dấu = xảy ra lúc x =a/2 E D A C là trung điểm của AB C B 6 Các bài toán tổng hợp Bài toán 1b : Cho tam giác ABC... M là giao điểm của A1B và d M TIP : Thay đổi vị trí tơng đối của A,B so với d A1 ta đợc một số bài toán khác cần giải quyết Bài toán 5b : Cho hai điểm cố định A,B cùng nằm trên mặt phẳng bờ d Tìm trên d hai điểm M,N sao cho : - MN = l cho trớc - Tứ giác BNMA có chu vi nhỏ nhất B B A d M N A Bài toán 5c : Cho góc nhọn xOy và một điểm M thuộc miền trong của góc Xác định trên Ox điểm A và trên Oy... ) 3 Bài tập tính toán Bài toán 3a : Cho hình thang ABCD (AB//CD ) I là giao điểm của AC với BD Gọi S 1, S2 lần lợt là diện tích các tam giác IAB và IAD Tính diện tích hình thang theo S1, S2 Giải : SIBC = S2 A B Gọi S3 là diện tích tam giác S1 IDC Ta có : S2 S3 = ID2 I S1 IB2 S3 S2 = ID D C S1 IB S3 = S2 2 S1 S12 2 S3 = S2 S1 SABCD = S1 + 2S2 + S2 2 S1 = (S1+S2) S1 2 Bài toán 3b : Cho tam... vuông góc với d cắt Oy tại F Dựng trung điểm M của EF Dựng I là giao điểm của OM với d Qua I dựng đờng thẳng vuông góc với d cắt Ox tại B và cắt Oy tại A AB là đoạn thẳng cần dựng 5 Bài toán cực trị hình học Bài toán 5a : Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc Hãy dựng qua M một cát tuyến cắt hai cạnh của góc xOy tại A và B sao cho 1 + 1 MA MB Giải : đạt giá trị lớn nhất N Vẽ : MN... (3) vào (1) đợc đpcm A H B C Bài toán 1b : Chứng minh rằng trong một tam giác bình phơng cạnh đối diện góc tù bằng tổng bình phơng hai cạnh kia cộng đi hai lần tích của một trong hai cạnh ấy với hình chiếu của cạnh còn lại trên nó Chứng minh : Hoàn toàn giống bài toán 1a với chú ý : H Do góc A tù nên A nằm giữa BH Có A HB = AB + HA HB2 = AB2 + HA2 + 2AB.HA B 31 C Bài toán 1c (Định lý về đờng trung... Đợc : BD2 = BC2 - FC2 + EF2 +DE2 -2EF.DE (2) Cộng (1) và ( 2) đợc : AC2 + BD2 = AD2 +BC2 +2EF2 + 2EF.FC+2EF.DE = AD2 +BC2 +2EF(EF +FC+DE ) =AD2 +BC2 +2EF.DC =AD2 +BC2 +2AB.DC ( đpcm) 2 Bài toán cực trị hình học Bài toán 2a : Cho hai đờng thẳng a,b song song với nhau cách nhau một khoảng 2k cho trớc I là điểm cách đều hai đờng thẳng trên ; Hai cạnh của một góc vuông có đỉnh I lần lợt cắt a tại A và cắt . bộ tài liệu “ Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi - Bộ môn Toán - Cấp THCS”. Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi môn Hình Học 8 “ là tập tài liệu trong bộ tài liệu nói trãn. Để có thể sử dụng bồi dưỡng. häc 8 ( Tµi liÖu båi dìng häc sinh giái ) Lu hµnh néi bé 1 Kính Thầy giáo, Cô giáo giảng dạy bộ môn Toán cấp THCS trong toàn huyện ! Nhằm giúp qúy Thầy giáo, cô giáo có một tài liệu bồi dưỡng học. thể sửa chữa bổ sung những gì còn thiếu sót. Hy vọng tập tài liệu giúp ích phần nào đó trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi bộ môn Toán của quý thầy cô. Bộ phận chuyên môn THCS. I. Tø gi¸c,