các bài toán bồi dưỡng học sinnh giỏi Toán phần 1 ppt

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  1 1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 PHẦN MỤC LỤC Trang I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHÔNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… 2. Đề thi HSG Quốc Gia, Đề thi HSG các Tỉnh – Thành Phố trong nước, Đề thi Olympic 30-4 3. Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) 4. Tạp chí Toán Học và Tuổi Trẻ 5. Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) 6. Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN SƠ CẤP (Phan Huy Khải ) 7. Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) 8. Giải TOÁN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) 9. Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10. Bất đẳng thức – Suy luận và khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11. Những viên kim cương trong Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12. 340 bài toán hình học không gian ( I.F . Sharygin ) 13. Tuyển tập 200 Bài thi Vô địch Toán ( Đào Tam ) 14. … và một số tài liệu tham khảo khác . 15. Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa các đường link đến các chuyên mục hoặc các website. Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  2 2 PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM 1. =− ++ −+ 2 y 2x 2 m 4xx 5 Tìm các giá trị của tham số m để hàm số : có cực đại . ĐS : m < -2 2.   +−= / =  =   3 2 1 xsin 1, x f(x) 0 ,x 0 x0 Cho hàm số : . Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh hàm số đạt cực tiểu tại x =0 . 3. ( ) = = −y f(x) |x| x 3 Tìm cực trị của hàm số : . ĐS : x =0 ; x=1 4. Xác định các giá trị của tham số m để các phương trình sau có nghiệm thực : ( ) ( ) ++ − − −− +=x 3 3m 4 1 x3 m4 1m 0 a) . ĐS : ≤≤ 7 9 9 m 7 +− = 4 2 x 1 xm b) . ĐS : ≤<0m1 ( ) +−−+= −+ +−− 22 422 m 1x 1x 2 21x 1x 1x c) 5.     += =  23 32 y2 xlog y 1 x log Xác định số nghiệm của hệ phương trình : ĐS : 2 6. −  =    + + + + = ++ +  22 2 yx 2 32 x1 y1 (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 e 3log Giải hệ phương trình : . ĐS : (x,y)=(7;7) 7. − − − += +  +   + −  += +  2 y1 2 x1 x 2x 2 3 1 y 2y 2 3 1 x y Giải hệ phương trình : 8. ( ) ( ) − − + −+  +=+   + + + +=   2x y y 2x 1 2x y 1 32 1 4 .5 2 1 y 4x ln y 2x 1 0 Giải hệ phương trình : 9. ( ) −+ −−=+   35 (x 5) logx 3 log (x ) x3 2 Giải phương trình : 10. ≤− + − ++− +−+4 (x 6)(2x(x 2) 1)(2x 1) 3 6 3xx 2 Giải bất phương trì nh : . ĐS : ≤≤ 1 2 x7 11. −+ −≤ − 5 3 2x 2x 6 2x 1 3 Giải bất phương trình : 12. ( ) ( ) ( ) + ++ + =+ ++ 22 3x 2 4x 29x 3 1 x x 1 0 Giải phương trình : 13. − − += + − 3 32 2 4x 5x 6 7x 9x 4x Giải phương trình : 14.  −++=   −+ −=   2 xy y x y 5 5x 1y m Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm : . ĐS :  ∈  m 1; 5 15. ( ) ( )  +− + + − =  −  4 1 x x1 mx xx1 1 x1 Xác định m để phương trình sau có nghiệm thực : . 16.  ++ +=   ++ ++ ++ +=   x1 y13 xy1yx1 x1 y1 m Tìm m để hệ có nghiệm: 17. 12 x ;x Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại tại . CMR:  < ∀≠   2 12 f '''(x) 1 f ''(x) , x x ,x f '(x) 2 f '(x) 18. = ++− + 23 f(x) cos 2x 2(sin x cosx) 3sin2x m Cho hàm số : . Tìm m sao cho ≤∀ 2 (x) 36,f m 19. ( ) + +≥ 22 xy log x y 1 Trong các nghiệm(x;y) của BPT : . Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trình : ( ) x2 2009 x +1- x =1 . ĐS : x=0 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) . Tìm m để hệ phương trình sau có ba nghiệm phân biệt : ( ) ( ) +=    + += +   2 xym y 1 x xy m x 1 ĐS : ≥ 33 m 2 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  3 3 22. Giải hệ PT : ( ) ( )  −=   −= − −−   44 33 2 2 x y 240 x 2y 3 x 4y 4 x 8y 23. Giải hệ phương trình : ( )  + += + +   −=   4 3 3 22 33 x x y 9y y x y x 9x xy x 7 . ĐS : (x,y)=(1;2) 24. Giải hệ phương trình : ( ) ( )  + +− − =    ++ − =  2 22 4x 1 x y 3 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7 25. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm :  −++=   −+ −=   2 xy y x y 5 5x 1y m . ĐS :  ∈  m 1; 5 26. Xác đị nh m để phươ ng trình sau có nghiệm thực : ( ) ( )  +− + + − =  −  4 1 x x1 mx xx1 1 x1 . 27. Tìm m để hệ phương trình : ( )  + +− =   +=   2 3x 1 y m 0 x xy 1 có ba cặp nghiệm phân biệt . 28. Giải hệ PT : − −  + − += +   + − += +   2 y1 2 x1 x x 2x 2 3 1 y y 2y 2 3 1 29. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) .Giải hệ phương trình : −  =    − =+−   Π   ∈     xy sinx e siny sin2x cos2y sinx cosy 1 x,y 0; 4 30. Giải phương trình : − + −= 32 3 16x 24x 12x 3 x 31. Giải hệ phương trình : ( ) ( ) − − + −+  +=+   + + + +=   2x y y 2x 1 2x y 1 32 1 4 .5 2 1 y 4x ln y 2x 1 0 32. Giải phương trình : ( ) =++ + x 3 3 1 x log 1 2x 33. Giải phương trình : − + − += − 3 32 2 3 2x 10x 17x 8 2x 5x x ĐS 34. Giải hệ phương trình :  +=+   ++ +=   5 4 10 6 2 x xy y y 4x 5 y 8 6 35. Giải hệ phương trình :  ++− =++   ++− =++   22 22 x 2x 22 y y 2y 1 y 2y 22 x x 2x 1 36. Giải hệ phương trình :  +=       +=+       y x 1 xy 2 11 xy yx 37. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) . Giải phương trình : = −− − −− 22 11 x 5x 7 ( x 6) x 5 1 Lời giải : ĐK : > 7 x 5 Cách 1 : PT − ⇔ − − + =⇔=  − − −+ −  4x 6 3 6(4x 6)(x 1) 0 x 2 (x1)(5x7). x1 5x7 Cách 2 : Viết lại phương trình dưới dạng : ( ) −−= −− − − 2 2 11 5x 6 x (5x 6) 1 x 1 Và xét hàm số : = > − − 2 15 f(t) t , t 7 t1 Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  4 4 38. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất cả các giá trị của tham số m để BPT sau có nghiệm : + −≤ − − 32 3 3x 1 m( x x 1 )x HD : Nhân liên hợ p đưa về dạng : ( ) + − + −≤ 3 32 x x 1 (x 3x 1) m 39. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) . Giải phương trình : + + += + + 32 x 3x 4x 2 (3 2) 3xx 1 HD : PT ( ) ⇔+ + ++= + + 3 3 (x 1) (x 1) 3x 1 3x 1 . Xét hàm số : = +> 3 tf t) t ,t( 0 40. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Giải phương trình : −= − + − 32 3 2x 1 27x 27x 13x2 2 HD : PT −= − + − ⇒ −−+ −=⇔ 3 33 2x 1 (3x 1) 2(2x 1) 2 (3x 1) f( 2x 1) f(3x 1) 41. ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  + +− − =   ++ − =   2 22 (4x 1)x (y 3) 5 2y 0 4x y 2 3 4x 7 HD : Từ pt (1) cho ta : ( )  +   + = − −⇒ = − 2 2 1].2x 5 2y 5 2y f([(2x 2x) f(1 5) 2y ) Hàm số : +⇒ == +>⇒ 22 1).t f'(t) 3tf(t) (t 1 0 − = − ⇒ =− ⇒= 2 2 5 4x 2x 5 2y 4x 5 2y y 2 Thế vào (2) ta có :  − + + −=   2 2 2 5 4x 4x 2 3 4x 7 2 , với ≤≤0 3 x 4 ( Hàm này nghịch biến trên khoảng ) và có nghiệm duy nhất : =x 1 2 . 42. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) . Cho hệ:  +=   ++ +≤   x y4 x7 y7a (a là tham số). Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều kiện ≥x 9. HD : Đứng trước bài toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt của biến khi muốn quy về 1 biến để khảo sát : ⇒− =≥≤x y0 x4 16 . Đặt ∈= x,t [t 3;4] và khảo s át tìm Min . ĐS : ≥+a 4 22 43. Giải hệ phương trình : −+  −+ =   +=+   4 xy 2x 4 x3 3y y 4x 2 5 2xy2 44. Xác định m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x : ( )  −≤  + −−  −− 2 sinx sinx sinx e 1 (e 1)sinx2e e 1e1 45. ( Đề thi HSG Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) . Giải PT : + + −− = −− 22 25 22 5 log (x 2x 11) log (x 2x 12) 46. Định giá trị của m để phương trình sau có nghiệm: ( ) ( ) − ++ − −+ −=4m3 x3 3m4 1x m10 47. (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) . Giải hệ phương trình sau: −  + =  +   + + = ++ +  22 2 yx 2 32 x1 e y1 3log (x 2y 6) 2log (x y 2) 1 48. Các bài toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm :  Cho −  + ≤ > =  −− +  x 2 (x 1)e , x 0 f(x) x ax 1, x 0 . Tìm a để tồn tại f’(0) .  Cho +  =  ++ <  ≤acosx bsinx, x F(x) ax b 1, x 0 0 . Tìm a,b để tồn tại f’(0) .   −>  =   =  22 xx lnx , x 0 F(x) 24 0, , x 0 và >  =  =  xlnx, x 0 f(x) 0, x 0 . CMR : =F'(x) f(x)  Cho f(x) xác định trên R thỏa mãn điều kiện : ∀>a0 bất đẳng thức sau luôn đúng ∀∈xR : + − −< 2 |f(x a) f(x) a| a . Chứng minh f(x) là hàm hằng . Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  5 5  Tính giới hạn : → π − = − x 3 1 2 4 tan N lim 2sin x1 x1 Tính gi ới hạn : → − −+ = + 2 3 2x 2 2 2 x0 e1 N lim ln(1 x x )  Tính giới hạn : → ++− = + 3 3 x0 33 2 x x1 N 1 m x li x Tính giới hạn : → − = sin2x 4 s x nx 0 i e e N lim sinx  Tính giới hạn : → + = − 0 3 5 x x82 si N lim n10x Tính giới hạn : → − −+ = + 2 3 2x 2 6 2 x0 e1 N lim ln(1 x x )  Tính giới hạn : → − = sin2x sin 3 7 x 3x 0 e N lim e sin4x Tính giới hạn : → − = − x4 3 x0 3 8 4x N x im 2 l  Tính giới hạn : → − = + −− 9 x0 3x 2x .3 cos4x 1 sinx 1 2 N lim sinx  Cho P(x) là đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt 123 n xxx; ; x . Chứng minh các đẳng thức sau : a) + ++ = 2n 2n 1 1 P''(x ) P''(x ) P''(x ) 0 P'(x P'( P'(x))x) b) + ++ = 2n1 )) 11 1 0 P'(x P'(x P'(x )  Tính các tổng sau : a) = + ++ n T osx 2cos2x nc(x) c osnx b) = + ++ n 22 nn 1 x1 x 1 x (x) tan tan tan 22 22 22 T c) − + ++ − = − 2 3 n n2 nn n CMR : 2.1.C 3.2.C n(n 1)C n(n 1).2 d) + + ++= 2 n S inx 4sin2x 9sin3x (x) s sn innx e) + + +− = + ++ + ++ +− +   n 22 22 2 2 2x 1 2x 3 2x (2n 1) (x) x (x 1) (x 1) (x 2) x (n 1) (x n) S 49. Các bài toán liên quan đến cực trị của hàm số : a) Cho α∈ + ≥R:a b 0 . Chứng minh rằng : α   ++ ≤  nn ab a b 22 b) Chứng minh rằng với ≥>a 3,n 2 ( ∈n N,n chẵn ) thì phương trình sau vô nghiệm : + ++ + −+ += n2 n1 n2 (n 1)x 3(n 2)x a0 c) Tìm tham số m để hàm số sau có duy nhất một cực trị :   ++  =+−+     2 22 22 y (m 1) 3 xx 1x 1x m 4m d) Cho ≥∈n 3,n N ( n lẻ ) . CMR : ∀= / x0 , ta có :    ++++ −+−− <       2n 2n xx xx 1 x 1 x 1 2! n! 2! n! e) Tìm cực trị của hàm số : += ++ −+ 22 x x1 x xy 1 f) Tìm a để hàm số : = + += − 2 y f(x) 2 xxa 1 có cực tiểu . g) Tìm m để hàm số : −− = msinx cosx 1 y mcosx đạt cực trị tại 3 điểm phân biệt thuộc khoảng    π  9 0; 4 50. Các bài toán chứng minh phương trình có nghiệm : a) Cho các số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng nếu phương trình : ( ) 2 ax b c x d e 0+ + ++= có nghiệm thực thuộc nửa k hoảng [1; )+∞ thì phương trình : 4 32 bx cx dxax e0+ + + += có nghiệm. b) Cho phương trình : 5 4 32 5x 15x xP( ) xxx 3 70− + − + −== . Chứng minh rằng, phương trình có một nghiệm thực duy nhất. Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  6 6 PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC 1. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : a) → = x0 f(x) lim 1 x b) ( ) ( ) ( ) += + + + + ∀ ∈ 22 f x y f x f y 2x 3xy 2y , x,y R 2. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) ( ) −=++ ++∀∈ 2008 2008 f x f(y) f x y f f(y) y 1, x,y R 3. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) ( ) ( ) + = + ∀∈f x cos(2009y) f x 2009cos f y , x,y R 4. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn đồng thời các điều kiện sau : c) ( ) ≥ 2009x fx e d) ( ) ( ) ( ) +≥ ∀ ∈fx y fx.fy, x,y R 5. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) − += ∀ ∈ fy 1 f x y f(x).e , x, y R 6. Tìm hàm số : →f:R R thoả mãn điều kiện sau : ( ) ( ) ( ) += + 2 fx.fx y f(y.fx) x 7. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Tìm hàm →f: thỏa mãn : ( ) + + =+ ∀∈ 2 (x) 2yf(x) f(y) f y f(x) , ,x,yf R Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  7 7 PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 1. Cho ∈ ++= 2 22 a,b,c R: a b c 3 . Chứng minh rằng : ++≤ 2 22 ab bc ca 3 2. Cho các số thực không âm a,b,c . Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − + − + − ≥− − − 2 2 2 222 2 2 22 22 abab bcbc caca ab bc ca 3. Cho các số thực a,b,c . Chứng minh rằng : ( ) ( ) + + + ≥ ++ + ∑ 2 22 2 2 a b c 81 a b 13 abc bca4 4 2a b 4. Cho các số thực không âm a,b,c thoả mãn : +++ =a b c 36abc 2 . Tìm Max của : = 7 89 P abc 5. Cho 3 số thực dương tuỳ ý x,y,z . CMR : ++≤ + ++ a b c3 ab bc ca 2 6. Cho a,b,c >0 . Tìm GTNN của : ( ) ++ = 6 23 abc P ab c 7. Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn : ++= 2 22 yx z1 CMR : −− −− −− ++ 222 2x (y z) 2y (z x) 2z (x y) yz zx xy 8. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : ++ ++≤ ++ ++ ++ bc ca ab a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 9. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : ++≤ ++ ++ ++ 3 3 33 3 3 1 1 11 abc a b abc b c abc c a abc 10. Cho các số thực thỏa mãn điều kiện : ++= +++ 2 22 111 1 a 2b 2c 2 . CMR : ++≤ab bc ca 3 11. Cho các số thực dương thỏa mãn điều kiện : ++= 2 22 ba c3 . CMR : ++≥ −−− 111 3 2a 2b 2c 12. Cho x,y,z là 3 số thực dương tùy ý . CMR : ++≤ + ++ x y z 32 xy yz zx 2 13. Cho các số thực dương a,b,c . CMR : − + + ≥+++ ++ 2 22 2 a b c 4(a b) abc b c a abc 14. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 . CMR : ++≥ +++ 3 33 1113 2 a (b c) b (c a) c (a b) 15. Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 và ( )( )( ) −− =− / x1y1z1 0 . CMR :   ++≥      −−−     2 22 xyz 1 x1 y1 z1 16. Cho a,b,c là các số thực dương bất kỳ . CMR : −+ −+ −+ ++≥ ++ ++ ++ 222 2 22 22 2 (3a b c) (3b c a) (3c a b) 9 2 2a (b c) 2b (c a) 2c (a b) 17. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : ++= 2 22 ba c1 . CMR : ++≤ −−− 1 1 19 1ab1bc 1ca 2 18. Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : ++= 2 22 ba c9 . CMR : ++ ≤+2(a b c) 10 abc 19. Cho a,b,c là các số thực dương : a+b+c =1 . CMR : ++≥ −−− 3 33 2 22 a b c1 4 (1 a) (1 b) (1 c) 20. (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn : ++ − ++ + = 4 44 222 b c ) 2 5(9(a a b c ) 48 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : ++= +++ 222 abc b 2c c 2a a F 2b Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  8 8 Lời giải : Từ giả thiết : ++ − ++ + =⇒ ++ ⇒− = + ++ ≥ + ++ ++ ++ + ≤⇒≤ ≤++ 4 44 2 22 2 22 4 44 2222 2 222 2 22 2 22 b c ) 25(a b c ) 48 0 25(a b c ) 48 9(a b c ) 48 3(a b c ) 3(a b c) b c) 48 0 9 3 bc (a 16 25(a a 3 Ta lại có : ++ ++= + + ≥ +++ + + + ++ + ++ = 4442 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 2 2 2 a b c a b c (a b c ) b 2c c 2a a 2b a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (a b b c c a) 2(a c b a c F b) Lại có : ++ + + = + + ≤ ++ + + ≤ ++ 2 2 22 2 2 2 2 2222 2222 2 22 (a b c ) b b c c a a(ab) b(bc) c(ca) (a b c ) b c ca [a b a] a b c 3 Tương tự : ++ + + ≤ ++ 2 22 2 2 2 2 22 abc c b a c b) a b c .(a 3 Từ đó ta có : ++ ≥≥ 2 22 F abc 1 3 . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : a=b=c=1. ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có ++ +≥ = ++ 2 2 2 22 a (b 2c)a a (b 2c)a 2a 2 b 2c 9 b 2c 9 3 . Tương tự ++ +≥ +≥ ++ 2 2 22 2 2 b (c 2a)b 2b c (a 2b)c 2c , c 2a 9 3 a 2b 9 3 . Suy ra: =++ +++ 222 abc F b 2c c 2a a 2b ( )  ≥ ++ − + + + + +  2 22 2 2 2 21 a b c a (b 2c) b (c 2a) c (a 2b) (*) 39 . Lại áp dụng AM – GM, ta có ++ ++ ++ + + ≤ + + =++ 333 3 33 33 3 2 2 2 3 33 aac bba ccb a c b a c b a b c (**) 333 . Từ (*) và (**) suy ra: ( ) ( ) ≥ ++ − ++ ++ 2 22 2 22 21 F abc abc(abc) 39 ( ) ( ) ( ) ≥ ++ − ++ ++ 2 22 2 22 2 22 21 abc abc 3abc 39 . Đặt ( ) = ++ 2 22 t 3a b c , từ giả thiết ta có: ( ) ( ) ( ) ++ − = ++ ≥ ++ 2 2 22 4 44 2 22 25 a b c 48 9 a b c 3 a b c ( ) ( ) ⇒ ++ − ++ + ≤⇒≤++≤ 2 2 22 2 22 2 22 16 3abc 25abc 480 3abc 3 . Do đó ≥− = 23 21 F t t f(t) 9 27 với ∈   t 3;4 (***) . Mà ∈   = = t 3;4 min f(t) f(3) 1 (* * **) . Từ (***) và (****) suy ra ≥F 1. Vậy =minF 1 xảy ra khi = = = abc1 . 21. ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho các số thực dương x,y,z . Chứng minh rằng : ++≥ +++ 2 2 22 22 1 1 1 36 xyz 9 xy yz zx Lời giải : BĐT đã cho tương đươ ng với : ( )  + + + ++ ≥   2 2 22 2 2 111 9 x y y z z x 36 xyz Ta có : ( ) ++  = ≤   3 2 xy yz zx xyz (xy)(yz)(zx) 3 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  9 9 Do đó : ( ) ++    ++ ++ = ≥ =    ++ ++    2 22 3 27 xy yz zx 1 1 1 xy yz zx 27 x y z xyz xy yz zx (xy yz zx) Lại có : ( ) + + + ++ +≥ + +++=   ++ 2 2 22 22 2 2 22 2 2 y y z z x y 1 z 1) (z x 1) 29 x 6 x (y 3 (xy yz zx) Nên : ( )  ≥ + ++ = ++ ++ ≥    ++ ++  2 2 27 9 VT 4 3 (xy yz zx) . 108 6 (xy yz zx) xy yz zx xy yz zx  + ++ = ⇒ ≥   ++ ≥  9 108 6 2 (xy yz zx) 1296 VT 36 xy yz zx ĐÁP ÁN CỦA SỞ GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 2 22 3 xyz (1) Và 9+ x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 4 44 12 xyz ≥ 12 hay 9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 3 xyz ≥ 12 (2) Do các vế đều dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x 2 y 2 + z 2 y 2 +x 2 z 2 ) ≥ 36xyz (đpcm). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =1 22. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho các số thực dương x,y thỏa mãn đk : ++=x y 1 3xy . Tìm giá trị lớn nhất của : = + −− ++ 22 3x 3y 1 M y(x 1) x y 1) x 1 y ( Lời giải : Ta có : =++≥ +⇒ ≥⇒ ≥ 3xy x y 1 2 xy 1 xy 1 xy 1 (*) Ta có : ( ) + + = + −− − − − ++  −−− +−+ =+= = −−   2 2 2 2 2 2 2 22 222 3xy 3xy 1 (1 3xy ) 1 1 1 3xy(x y) (x y) y y (3 2xy 3x 3y 1 2xy M y (3x 1) x (3y 1) x 9xy 3x 1) x (x y(3y 1) x y 4x) y1 23. ( Đề thi HSG Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho các số thực dương a, b, c . CMR : + ≥+++ 33 33 3 3 c abc bca a ab bc HD : ≥ ≤  ++     ++   33 33 3 33 333 aa 1 bb abc 3 bca a 3 b 24. ( Đề thi HSG Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) . Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn : ++= 2 22 yx z1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : = +− +P 6(y z x ) 27xyz HD : +−    ≤ + −+ = − −+       22 2 22 2 y z 1x 6 2(y z ) x 27x . 6 2(1 x ) x 27x 2 P 2 ( ) = Max P 10 25. ( Đề thi HSG Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) . Cho ≥ ++= 2 22 0: a bb,c ca, 1 . Chứng minh rằng : ++≥ 3 33 6 2b 3ca 7 HD : Có thể dùng cân bằng hệ số hoặc Svacxơ 26. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn : =xyz 1 . Chứng minh rằng : ++ + ++ ≥ + ++ 4 43 4 43 4 43 6 6 66 66 (x (y (z xy y) z) x) 12 yxzz Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  Phạm Kim Chung – THPT ĐẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr.  10 10 Lời giải : Đặt ⇒= = = = 2 22 a;y b;z cx abc 1 . Bất đẳng thức đã cho trở thành : ++ + ++ ≥ + ++ 333 33 2 2 22 2 333 2 3 (a (b (c ab b) c) a) 12 bacc Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho 4 số ta có : ( ) ( ) ( ) =+ ++ ++ ++ ++≥ 4 2 23 6 42 42 42 6 24 24 24 66 3 3 (a ab) b ab ab b b b ab abaaa 4 ba 27. (Đề thi HSG Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) . Cho a,b,c > 0 . Chứng minh rằng : ++ ++ + ≥ ++ + + 2 22 1 1 1 3(a b c) ab bc c a b2( c a ) HD : BĐT ++++  ++   ⇔ ++ ≥  + ++  + 2 2 22 22 (a 1 b ) (b c ) 1 1 3(a b c) 2a (c a b bc a ) c2 Và chú ý : + +≥ 2 22 (a b) a b 2 28. ( Đề thi HSG Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) . Cho > ++=x,y,z 0: x y z 9 . Chứng minh rằng : ++ ++ + ++ ≥ + 3 3 33 3 3 xyz xy 9 yz 9 zx zx 9 y 9 29. ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) . Cho a,b,c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 4. Chứng minh rằng : +++≤ 2 22 272 a 2abcbc 27 HD : Bài này thì chọn phần tử lớn nhất mà đạo hàm . 30. (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) . Cho a,b,c >0 . CMR : + + ≥++ 333 bc a a ca abc b b c HD : + + ++ ≥ ≥ ≥++= ∑ 4 2 2 22 4 a (a b c ) (a b c) abc abc 3abc 27abc VT 31. ( Đề thi chọn HSG QG Tỉnh Bình Định năm 2010) . Cho x,y,z >0 thỏa mãn : +=2 xy xz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của : += + 3yz 4z S x 5xy xyz 32. ( Đề thi chọn HSG Thái Nguyên năm 2010 ). Cho các số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : ++= +++ 123 1 1x 2y 3z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : =P xyz 33. ( Đề thi chọn HSG QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) . Cho > ++= 2 22 ba,b c :a c,0 3 . Chứng minh bất đẳng thức : ++≤ −−− 111 1 4ab4bc4ca 34. ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) . Cho các số thực dương x,y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất của : ++ ++ = + 2 22 3 3 3 222 y yz zx 1x P 3xyz x y 3(xy yz zxz ) Lời giải 1 : Đặt : == =⇒= xy z a; b; c abc 1 yz x . Lúc đó : += + ++ + 222 b c 13 3 a P b (a b c) ca Ta có : ++ ++ = ++ = + + ≤ 2 (ab bc ca) (a b c) abc(a b c) (ab)(ac) (ab)(bc) (ac)(bc) 3 Lại có :  ≥    ≥ ⇒ + ≥++= + +    + ++ ≥   + 2 2 222 2 2 b b 1a 1 a b 1b 1 a b c 111 2 ab bc ca abc ca c cb 1c 1 2 cc a Do đó : ≥ ++ + ++ 2 13 (ab bc ca) (ab bc ca) P ( Với ++≥ab bc ca 1 ) [...]... 1 (1 + z) (1 + z)2 z2 + 2z + 1 Giả sử : z = Max{x,y,z} ⇒ 1 xyz ≤ z3 ⇒ z ≥ 1 Xét hàm số : f(z) = = z2 + z + 1 z2 − 1 ;= f '(z) ≥ 0, ∀z ≥ 1 2 z + 2z + 1 (z + 1) 4 3 Suy ra : f (z ) ≥ f (1) = 4 43 ( Đề thi HS G Tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x , y,z ≥ 0 :x + y + z = Tìm giá trị nhỏ nhất của : 1 P= 1 x 1 y 1 z + + 1+ x 1+ y 1+ z 1 x x2 ≥ (1 − x) ⇔ 1 − x 1 − 1 − x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ( luôn đúng ) 1+ x 1 + 1. .. + ≥ (1 + x)2 (1 + y)2 (1 + z)2 4  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 12  13 Bổ đề : 1 (1 + x ) 2 + 1 (1 + y ) 1 ( ∀x,y > 0) 1 + xy Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ 2 ≥ Bổ đề này được CM bằng cách biến đổi tương đương đưa v ề BĐT hiển nhiên : xy(x − y)2 + (1 − xy)2 ≥ 0 Do đó : VT ≥ 1 1 z 1 z(z + 1) + 1 z2 + z + 1 + = + = = 2 2 1 + xy (1 + z)... a+b+c (a + b + c)2 36 ( Đề thi chọn đổi tuyển ĐH Vinh năm 2 010 ) Cho a,b,c là các số thực thuộc đoạn [0 ;1] và a + b + c = Tìm giá 1 BĐT đã cho trở thành : 1 1 1 + + a2 + 1 b2 + 1 c2 + 1 1 1 1 HD : Dùng pp tiếp tuy ến và Bất đẳng thức : 2 , ∀x,y ≥ 0; x + y ≤ 1 + 2 1+ x +1 y +1 (x + y )2 + 1 37 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Lâm Đồng ) Cho a,b,c là các số thực dương Chứng minh rằng : a2 b2 c2 + + ≥ a2 −... ≤ 1  2a2 + 2(b2 + c2 )    3 2  42 ( Đề chọn đội tuyển QG dự thi IMO 2005 ) Cho a,b,c >0 CMR : 3 a3 b3 c3 3 + + ≥ (a + b)3 (b + c)3 (c + a)3 8 1 1 1 3 b c a Lời giải : = x; + + ≥ = y; = z ;⇒ xyz 1 Bất đẳng thức đã cho trở thành : = 3 3 3 (1 + x) (1 + y) (1 + z) 8 a b c Áp dụng AM-GM ta có : 1 (1 + x ) Ta cần CM bất đẳng thức : 3 + 1 (1 + x ) 3 + 1 1 3 ≥ 33 = 6 2 8 8 (1 + x) 2 (1 + x ) 1 1 1 3... x2 ≥ 0 ⇔ 1 − x ≥ 0 ( luôn đúng ) 1+ x 1 + 1 − x2 Thiết lập các BĐT tương tự ta có : P ≥ 2 Lời giải 1 : ) ( 4 1 x 1 y 1 x −y 2 , x + y ≤ và MaxP= 1 + + 1+ 1+ x 1+ y 1+ x + y 5 3 44 ( Đề thi HS G lớp 11 tỉnh Hà Tĩnh năm 2008 ) Cho x,y,z > 0 : x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức : 1 Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : x y z 1+ x 1+ y 1+ z + + ≤ 2 + +  y +z z+x x+y y z x  x x y z y z ... 1 1 1 9 4 4 4 + + + ≥ + + a b c a+b+c a+b a+c b+c HD : 52 Cho a,b,c > 0 : a + b + c = Chứng minh rằng : 1 a ( b c 3c + ab ) b( + c a 3a + bc ) c( + a b c 1 1 1 1 + + ≤  + +  3a2 + 2b2 + c2 3b2 + 2c2 + a2 3c2 + 2a2 + b2 6  a b c  a b c 54 Cho a,b,c > 0 :ab + bc + ca = CMR : 3 + 2 + 2 ≥ abc 2 2a + bc 2b + ca 2c + ab 1 + a3 1 + b3 1 + c3 55 Cho a,b,c > 0 CMR : + + ≥3 1 + a2c 1 + c2b 1 + b2a 1 1... 1 + c2 + c + 1 = Bổ đề : CM bất đẳng thức : Tìm GTLN : Bình phương 2 vế ta có : ∑ 2 2a 2b 2c + + 2b + 2c − a 2a + 2c − b 2b + 2a − c a2 + a + 1 + b2 + b + 1 + c2 + c + 1 2 2 1  3  3 3 3    a+  + ≥ a + b + c +  +       2  2  2  2      2 2 1 + a + a2 + 1 + b + b2 ≤ 1 + 1 + (a + b) + (a + b)2 (1 + a + a2 ) (1 + b + b2 ) ≤ ab + 1 + a + b + (a + b)2 ⇔ 1 + a + b + (a + b)2 + (1. .. y) (1 + z) 1 27  x + y +z +3 Giải : Đặt x + y + z =≥ 0 , ta có : (1 + x) (1 + y) (1 + z) ≤  t  Lúc đó : M ≥ t + 1 − 3 (t + 3)3   1 27 Xét hàm số : f( t ) = , t ≥0 − t + 1 (t + 3)3 3 50 Cho a,b,c > 0 Chứng minh rằng : 3a 4 + 1 3b4 + 1 3c4 + 1 a2 + b2 + c2 + + ≥ b+c c+a a+b 2 HD : Ta có : 3a 4 + 1 = a 4 + a 4 + a 4 + 1 ≥ 4 4 a1 2 = 4a3 Do đó : VT ≥ ∑ 4a3 = b+c 4a 4 ∑ ab + ac ≥ Svacxo 51 Cho a,b,c... bằng xảy ra khi và chỉ khi a= b= c Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 41 ( Đề dự bị HSG Tỉnh Nghệ An 2008 ) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn : 3 4 a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ nhất 1 a2 b2 c2 + + b+c c+a a+b 1 1 1 Lời giải 1 : Giả sử : a ≥ b ≥ c ⇒ Áp dụng bất đẳng thức Chebysev ta có : ≥ ≥ b+c c+a a+b a2 b2 c2 1 1 1  1 1 1 1   1 P= ≥ a2 + b2 + c2  + + + +  = 3 b + c + c + a + a + b  ≥ b+c.. .11 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ y x z a2 b2 c2 13 abc 13 ≥ (a + b + c) + = = = abc = Lúc đó : P = + + + a; b; c⇒ 1 b c a 3(ab + bc + ca) x z y (a + b + c)2 Lời giải 2 : Đặt : x y z 3 + + + ≥4 y 2 z2 x 2 x + y + z 35 Bài toán tương tự : Cho x,y,z > 0 : xyz ≤ 1 Chứng minh rằng : Lời giải : Đặt : 1 1 1 = = = abc ≥ 1 a; b; c⇒ x y z a2 b2 c2 3abc (a + b + . 33 1 1 13 8 (1 x) (1 y) (1 z) Áp dụng AM-GM ta có : ( ) ( ) ( ) = ++ + + + +≥ 3 633 2 11 11 3 8 1x 1x 3 8 (1 x ) 21 x Ta cần CM bất đẳng thức : ++≥ +++ 2 22 1 1 13 4 (1 x) (1 y) (1 z) Phần. 22 1 1 z 1 z(z1 )1 z z1 1 xy z 1 ( VT 1 z) (1 z) (1 z) z 2z 1 Giả sử : = ⇒ ⇒≥= ≤ 3 z Max{x,y,z} 1 yz z zx 1 . Xét hàm số : ++ − = ≥ ∀≥ ++ + = 22 24 z z1 z 1 ; f '(z) 0, z 1 z 2z1 (z1) f(z) . ≥ +− − + 2 2 2 1x 1x x (1x) 1x1 1x 0 1x 0 1 1x ( luôn đúng ) Thiết lập các BĐT tương tự ta có : ≥P 2 Chú ý : Để tìm Max cần sử dụng BĐT phụ : − − −− ≤+ ≤+ + + + ++ 1x 1y 1xy 1 ,x y 1x 1y 1xy 4 5