Hoán vị - Khái niệm: Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí, ta đổi chỗ n phần tử cho nhau, số cách đổi chỗ của các phần tử được gọi là hoán vị của n phần tử.. Tổ hợp - Khái niệm: Ta
Trang 1Bài giảng chương 1
Lý thuyết: 7 tiết
Bài tập: 3 tiết
Người soạn: Bùi Mạnh Hưng
Trang 2Bài mở đầu Những khái niệm cơ bản về xác suất
I Giải tích và tổ hợp
1 Hoán vị
- Khái niệm: Giả sử có n phần tử được xếp ở n vị trí, ta đổi chỗ n phần tử
cho nhau, số cách đổi chỗ của các phần tử được gọi là hoán vị của n phần tử
- Công thức và ký hiệu: P = n=1.2.3 (n-1)(n)
- Ví dụ: Một tổ có 9 sinh viên Hỏi có bao nhiêu cách xếp hàng với mỗi
hàng có đúng 9 sinh viên trong tổ
Giải: Số cách xếp hàng với mỗi hàng 9 sinh viên là: P=9!=362880 (Cách)
2 Tổ hợp
- Khái niệm: Ta lấy ngẫu nhiên ra k phần tử từ một tập gồm n phần từ
(kn) sao cho 2 cách lấy được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần tử là khác nhau Số cách lấy ra k phần tử như vậy được gọi là tổ hợp chập k của n phần tử
- Công thức và ký hiệu:
)!
!.(
!
k n k
n
C n k
- Ví dụ: Một đống gỗ có tất cả 20 cây gỗ Hỏi có bao nhiêu cách bốc gỗ
sao cho một lần bốc 15 cây
)!
15 20
!.(
15
! 20
35
3 Chỉnh hợp không lặp
- Khái niệm: Cho 1 tập hợp gồm n phần tử, mỗi nhóm gồm k (kn) phần
tử khác nhau được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được lấy từ n phần tử đã cho được gọi là một chỉnh hợp không lặp chập k của n phần tử
(Hai chỉnh hợp được gọi là khác nhau nếu giữa chúng có ít nhất một phần
tử là khác nhau hoặc thứ tự lấy ra các phần tử khác nhau)
- Công thức và ký hiệu: ! ( 1 )( 2 ) ( 1 )
)!
(
!
k n
n
A n k n k
- Ví dụ: Có 5 số 1,2,3,4,5 Hỏi có bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau
được lấy từ 5 số này
Giải: Số chữ số có 3 chữ số khác nhau được lấy từ 5 số này là số chỉnh
hợp chập 3 của 5 số:
60 3 4 5
3
5
Trang 3- Khái niệm: Giả sử ta tiến hành lấy từng phần tử có hoàn lại k lần trong
số n phần tử thì số cách lấy được gọi là chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử
- Công thức và ký hiệu: k k
n n n n n
- Ví dụ: Có 3 sinh viên Lâm học muốn vào thăm 3 lâm phần rừng Thông,
Keo, Bạch đàn Hỏi có bao nhiêu cách để 3 sinh viên thăm được cả 3 lâm phần trên?
Giải: Số cách để 3 sinh viên thăm 3 lâm phần là số chỉnh hợp lặp chập 3
của 3 phần tử: 3 3 3 27
5 Luật tích
Việc lấy ra các phần tử từ một tập hợp chung tuân theo luật tích:
“Nếu ta có 2 việc A, B khác nhau, trong đó có m cách thực hiện A và n cách thực hiện B thì số cách thực hiện A, B liên tiếp sẽ bằng m.n”
- Ví dụ: Có tất cả 10 cây gỗ, gồm: 5 cây Thông, 3 cây Keo, 2 cây Bạch
đàn Tính khả năng để chặt được:
a 3 cây Thông+2 cây Keo
b 4 cây Thông+2 cây Keo+2 cây Bạch đàn
Giải:
a Khả năng để chặt được 3 cây Thông là: 10
)!
3 5
!.(
3
! 5
3
Khả năng để chặt được 2 cây Keo là: 3
)!
2 3
!.(
2
! 3
2
Vậy khả năng để chặt được 3 cây Thông+2 cây Keo là:
30 3 10 32
3
5 C
b Khả năng để chặt được 4 cây Thông là: 5
)!
4 5
!.(
4
! 5
4
Khả năng để chặt được 2 cây Keo là: 3
)!
2 3
!.(
2
! 3
2
Khả năng để chặt được 2 cây Bạch đàn là: 1
)!
2 2
!.(
2
! 2
2
Vậy khả năng để chặt được 4 cây Thông+2 cây Keo+2 cây Bạch
đàn là:
15 1 3 5
. 32 22
4
5 C C
II Định nghĩa về sắc xuất
1 Khái niệm phép thử, biến cố
Trang 4a Phép thử: Theo lý thuyết xác suất thì phép thử là việc thực hiện một nhóm các
điều kiện cơ bản nào đó
Ví dụ: Tung 1 đồng xu, bắn 1 phát súng
b Biến cố: là kết cục mà người ta cần quan tâm trong mỗi phép thử
Biến cố thường có 3 loại sau:
- Biến cố chắc chắn: (U) là biến cố nhất định phải xảy ra
Ví dụ: Đun nước đến 1000 trong điều kiện áp suất bình thường thì nước sẽ sôi là biến cố chắc chắn
- Biến cố bất khả: (V)(biến cố hiếm) là biến cố không bao giờ xảy ra trong phép thử
Ví dụ: Gieo 1 con xúc xắc (thò lò) biến cố xuất hiện mặt có 7 chấm là
biến cố bất khả
- Biến cố ngẫu nhiên: (A, B, C ) ngoài các biến cố kể trên là biến cố ngẫu nhiên, là loại biến cố có thể xảy ra, cũng có thể không xảy ra
Ví dụ: Biến cố xuất hiện mặt 2 chấm khi gieo xúc xắc
2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển
Xuát phát từ giả thiết về tính đồng khả năng của các biến cố sơ cấp ta có
định nghĩa sau:
“Xác suất của biến cố A là một số không âm ký hiệu là P(A) Biểu thị khả năng xảy ra của biến cố A và được xác định như sau:
n
m A
P( ) Trong đó m là số trường hợp thuận lợi cho A xảy ra, n là số trường hợp có thể xảy ra khi phép thử
được thực hiện”
Chú ý: P(U)=1, P(V)=0
Ví dụ: Tính xác suất khi rút ngẫu nhiên từ 52 quân bài ra 8 sao cho có:
a 6 quân đỏ+3 quân đen
b 2 (át)+3(k)+1(10)
Giải:
a - Tổng số cách lấy ngẫu nhiên 6+3=9 quân bài từ 52 quân bài là:
3679075400 )!
9 52
!.(
9
! 52
9
- Số cách lấy 6 quân đỏ từ bộ bài gồm 26 quân đỏ là:
230230 )!
6 26
!.(
6
! 26
6
- Số cách lấy 3 quân đen từ bộ bài gồm 26 quân đen là:
Trang 52600 )!
3 26
!.(
3
! 26
3
- Vậy số cách thuận lợi để lấy được 6 quân đỏ+3 quân đen là:
598598000 2600
230230 263
6
Vậy xác suất khi rút được 6 quân đỏ+3 quân đen là:
163 0 3679075400
598598000
)
52
3 26 6 26
C
C C A P
b Tương tự: ta có xác suất để rút được 2 (át)+3(k)+1(10) là:
0.00000472 20358520
4 4 6
)
52
1 4 3 4 2
C
C C C A P
Ví dụ: Một lớp gồm 40 sinh viên, trong đó có 15 nữ, chọn ra ngẫu nhiên
một nhóm gồm 10 sinh viên, tính xác suất để nhóm tìm ra có 4 sinh viên nữ
Giải: - Số cách để chọn ngẫu nhiên nhóm gồm 10 sinh viên là:
158936349 )!
10 40
!.(
10
! 40
10
- Số cách để chọn được 4 nữ từ 15 nữ là:
1365 )!
4 15
!.(
4
! 15
4
- Số cách để chọn được 6 nam còn lại trong nhóm là:
177100 )!
6 25
!.(
6
! 25
6
- Vậy số cách thuận lợi để chọn được nhóm 10 sinh viên trong đó
có 4 nữ + 6 nam là:
241741500 177100
1365 256
4
Do đó xác suất để để nhóm tìm ra có 4 sinh viên nữ là:
152 0 158936349
177100
1365 C
)
(
10 40
6 25 4
A
P
3 Định nghĩa xác suất theo phương pháp thống kê
Làm đi làm lại một phép thử nào đó n lần, có m lần biến cố A xuất hiện Khi đó tỷ số m/n gọi là tần suất của biến cố A Khi n thay đổi thì tần suất cũng thay đổi theo nhưng nó luôn dao động quanh một số cố định nào đó Khi n càng lớn thì tỷ số m/n càng gần số cố định đó Và số cố định này được gọi là xác suất của biến cố A theo nghĩa thống kê
Trên thực tế khi n đủ lớn (n30) thì ta lấy P(A) m/n