GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1. Biến ñổi tương ñương * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n f x g x f x g x = ⇔ = ≥ * ( ) 0 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) g x n f x g x n f x g x ≥ = ⇔ = * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + = ⇔ = n n f x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + > ⇔ > n n f x g x f x g x * 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) + + < ⇔ < n n f x g x f x g x * 2 ( ) ( ) n f x g x < ⇔ ( ) 0 ( ) 0 2 ( ) ( ) f x g x n f x g x ≥ ≥ < * 2n f(x)>g(x) ⇔ ( ) 0 2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 0 g x n f x g x g x f x ≥ > < ≥ Ví d ụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2 3 0 − + = x x 2) 4 1 1 2 + − − = − x x x 3) 2 2 6 1 1 x x x + + = + 4) 2 3 2 1 3 2 x x x x − − = − − 5) 2 4 1 4 1 1 x x − + − = Ví dụ 2: Gi ả i các bt sau 1) 2 2x -6x+1-x+2>0 2) ( 5)(3 4) 4( 1) x x x + + > − 3) 2 2 ( 3 ) 2 3 2 0 x x x x − − − ≥ 4) 2 1 x x x + − + ≤ 5) 2 2 4 (1 1 ) x x x > − + + 6) 2 2( 16) 7 3 3 3 x x x x x − − + − > − − Bài t ập: Gi ải các phương trình và bất phương trình sau. 1) 7 13 3 9 5 27 x x x− − − ≤ − 2) 2 2 2 2 2(1 1 ) x x x − = + + 3) 2 ( 1) ( 2) 2− + + = x x x x x 4) 3(2 2) 2 6 x x x + − = + + 5) 1 1 + − − ≥ x x x 6) 5 1 1 2 4 x x x − − − > − 7) 2 2 2 1 1 4 x x x + + + − + = GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2 8) 12 3 2 1 x x x + ≥ − + + 9) 2 8 6 1 4 1 0 x x x − + − + ≤ 10) 3 3 5 2 4 x x x − − − = − 11) 2 7 5 3 2 x x x + − − ≥ − 12) 2 2 ( 3) 4 9 x x x − + ≤ − 13) 1 1 x x x + − − ≥ 14) 2 2 4 3 2 3 1 1 x x x x x − + − − + ≥ − 2. ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2 ( 5)(2 ) 3 3 x x x x + − = + 2) 2 2 11 31 x x + + = 3) 3 6 3 (3 )(6 ) x x x x + + − = + + − 4) 2 3 1 3 2 (2 3)( 1) 16 x x x x x + + + = + + + − 5) 3 4 1 3 2 5 x x x + + − − = 6) 2 2 3 1 ( 3) 1 x x x x + + = + + Ví dụ 2: Gi ả i các bpt sau 1) + + > − − 2 2 5 10 1 7 2 x x x x 2) 2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14 x x x x x + + − + + − ≤ − 3) 3 24 12 6 x x + + − ≤ Bài tập: Giải các pt và bpt sau 1) 1 4 ( 1)(4 ) 5 x x x x + + − + + − = 2) 2 3 2 1 4 9 2 3 5 2 x x x x x − + − = − + − + 3) 2 2 ( 4) 4 ( 2) 2 x x x x x − − + + − = 4) 3 2 4 1 1 1 1 x x x x x − + + + + = + − 5) 2 2 2 5 6 10 15 x x x x + − − > + 6) 2 2 8 4 (4 )( 2) 0 x x x x − + − − + ≥ 7) 2 2 1 1 3 x x x x + − = + − 8) 2 9 9 9 x x x x + − = − + + 9) 1 ( 3)( 1) 4( 3) 3 0 3 x x x x x + − + + − + = − 10) 4 2 2 1 1 2 x x x x − − + + − = Bài 2: Tìm m ñể các pt và bpt sau có n o : 1) 1 x x m − − > 2) m x m m x + = − − 3) 2 2 2 2 5 2 x x m x x m + + − − = 4) 2 2 1 2 x mx m − + = − 5) 3 6 (3 )(6 ) + + − − + − = x x x x m 6) 2 2 2 2 2 1 2 4 x x m x x − + = + − + Bài 3: Tìm m ñể pt: 2 2 3 1 x mx x + − = + có hai nghi ệm phân biệt. Bài 4: Cmr v ới 0 m ∀ ≥ thì pt sau luôn có nghiệm: 2 2 2 3 5 ( ) 4 2 0 3 x m x m + − + + − = Bài 5: Tìm m ñể pt sau có nghiệm: 2 2 4 2 2 ( 1 1 2) 2 1 1 1 m x x x x x + − − + = − + + − − GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH I. Hệ ñối xứng loại 1 1. ðịnh nghĩa: Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b = = (I) trong ñó f(x;y),g(x;y) là các biểu thức ñối xứng 2. Cách gi ải: ðặt S=x+y, P=xy. biểu diễn f(x;y),g(x;y) qua S và P ta có hệ ( ; ) 0 ( ; ) 0 F S P G S P = = giải hệ này ta tìm ñược S,P. Khi ñó x,y là n o của pt: X 2 -SX+P=0 (1). 3. M ột số biểu diễn biểu thức ñối xứng qua S và P 2 2 2 2 3 3 2 2 3 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 ( )( ) 3 ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 x y x y xy S P x y x y x y xy S SP x y y x xy x y SP x y x y x y S P P + = + − = − + = + + − = − + = + = + = + − = − − 4. Chú ý: *N ếu (x;y) là nghiệm của hệ (I) thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ * H ệ có nghiệm khi (1) có nghiệm hay 2 4 0 S P − ≥ . 5. Các ví d ụ Ví d ụ 1: Giải các hệ phương trình sau 1) 3 3 2 2 8 x y xy x y + + = + = 2) 2 2 3 3 3 3 3( ) 6 x y x y xy x y + = + + = 3) 3 1 1 4 x y xy x y + − = + + + = 4) 2 ( 2)(2 ) 9 4 6 x x x y x x y + + = + + = Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 2 1) 2 1 x y m x y m + = + = + 2) 2 1 1 4 6 x y m x y m m + + − = + = − + 3) 1 1 3 x y x x y y m + = + = − 4) 2 2 2 6 x y m x y m + = + = − + gọi (x;y) là nghi ệm. Tìm Max và Min của F=xy+2(x+y). Ví dụ 3: Cho x+y=1. Tìm GTNN của 3 3 A x y = + . GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4 Ví d ụ 4: Cho , 0 x y ≠ thỏa mãn: 2 2 ( ) x y xy x y xy + = + − . Tìm Max 3 3 1 1 A x y = + . Bài t ập: Bài 1: Gi ải các hệ phương trình sau 3 3 2 1) 26 x y x y + = + = 2 2 2 2) 4 x xy y x xy y + + = + + = 30 3) 35 x y y x x x y y + = + = 13 6 4) 5 x y y x x y + = + = 2 2 2 2 1 1 5 5) 1 1 9 x y x y x y x y + + + = + + + = 4 4 x 34 6) 2 y x y + = + = Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 2 1) 3 8 x y xy m x y y x m + + = + = − 2 2 2 2 1 2) 2 3 x y m x y m m + = − + = + − và xác ñịnh Min của xy. Bài 3: Cho x,y th ỏa mãn x 3 y 2 3 x 1 y. − + = + − Tìm gtln và gtnn củ a x+y. II. Hệ ñối xứng loại 2 1. ðịnh nghĩa:Là hệ có dạng ( ; ) ( ; ) f x y a f y x a = = (II) 2. Cách gi ải: Trừ hai pt của hệ cho nhau ta ñược ( ; ) ( ; ) 0 f x y f y x − = ( ) ( ; ) 0 ( ; ) 0 x y x y g x y g x y = ⇔ − = ⇔ = . 3. Các ví d ụ Ví d ụ 1: Giải các hệ phương trình sau 2 2 3 2 1) 3 2 x x y y y x = + = + 2 2 3 2 2) 3 2 x y x y x y = + = + 9 7 4 3) 9 7 4 x y y x + + − = + + − = 2 2 2 2 2 3 4) 2 3 y y x x x y + = + = GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5 Ví dụ 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 2 1 1) 2 1 x y m y x m + − = + − = 4 2 2) 4 2 x y m y y m + − = + − = Chú ý: N ếu hệ (II) có nghiệm (x 0 ;y 0 ) thì (y 0 ;x 0 ) cũng là nghiệm của hệ nên hệ (II) có nghi ệm duy nhất thì ñiều kiện cần là x 0 =y 0 . Ví d ụ 3: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 2 2 1) x y y m y x x m = − + = − + 2 3 2 2 3 2 3 2 2) 3 2 x y y my y x x mx = − + = − + Bài t ập: Bài 1: Gi ải các hệ phương trình sau 3 3 2 1) 2 x x y y y x = + = + 2 2 2 2 2 2 2) 2 2 x y x y y x y x − = + − = + 3 3 1 2 3) 1 2 x y y x + = + = 2 2 1 2 4) 1 2 x y y y x x = + = + 2 2 5) 2 2 x y y x + − = + − = 4 2 2 6) 4 2 2 x y y x + − = + − = 1 1 7) 1 1 x y y x + + = + + = 2 2 2 1 8) 2 1 y x y x y x = − = − Bài 2: Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm 3 1) 3 x y m y x m + − = + − = 1 2 2) ( 0) 1 2 x y m m y x m + + − = ≥ + + − = GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6 Bài 3:Tìm m ñể hệ pt sau có nghiệm duy nhất 2 3 2 2 3 2 4 1) 4 y x x mx x y y my = − + = − + 2 2 2 2 2 2) 2 m x y y m y x x = + = + 2 2 ( 1) 3) ( 1) x y m y x m + = + + = + 3 3 2 4) 2 x y x m y x y m = + + = + + III. Hệ ñẳng cấp 1. ðịnh nghĩa: *Bi ểu thức f(x;y) gọi là hệ ñẳng cấp bậc k nếu ( ; ) ( ; ) k f mx my m f x y = *Hệ: ( ; ) ( ; ) f x y a g x y b = = trong ñó f(x;y) và g(x;y) ñẳng cấp gọi là hệ ñẳng cấp 2. Cách gi ải: *Xét x=0 thay vào h ệ kiểm tra * v ới 0 ≠ x ñặt y=tx thay vào hệ ta có: ( ; ) (1; ) ( ; ) (1; ) k k f x tx a x f t a g x tx b x g t b = = ⇔ = = (1; ) (1; ) , a f t g t t x y b ⇒ = ⇒ ⇒ . 3. Các ví dụ Ví d ụ 1: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 3 1 1) 3 13 x xy y x xy y − + = − − + = 2 3 3 ( ) 2 2) 19 x y y x y − = − = 2 2 2 4 1 3) 3 4 x xy y y xy − + = − = Ví dụ 2:Tìm a ñể hệ bpt sau có nghiệm 2 2 2 2 5 4 2 3 2 1 7 4 2 2 5 x xy y a x xy y a − + ≥ − + + ≤ + . Bài tập: Giải các hệ pt sau 2 2 2 2 3 5 4 38 1) 5 9 3 15 x xy y x xy y + − = − − = 2 2 2 2 2 4 2) 2 2 4 x xy y x xy y + + = + + = 2 2 2 2 ( )( ) 3 3) ( )( ) 15 x y x y x y x y − − = + + = GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7 IV. Một số hệ khác Ví d ụ 1: Giải các hệ phương trình sau 3 3 1) 12 x y x y x y x y + = + − = − − ( ) 2 2 2 2 (1 ) 1 2) 3 1 y x x y x y + = + + = 3 3 3 2 2 1 19 3) 6 x y x y xy x + = + = − 3 3 2 2 3 3 4) 1 x y y x x y + = + + = 3 16 5) 3 8 x y x y = + = 3 1 1 6) 2 1 x y x y y x − = − = + Bài t ập: Giải các hệ pt sau 3 1) 2 x y x y x y x y − = − + = + + 3 2) 4 1 1 2 x y x y x y x − = − + − − = − 2 1 1 3) 3 2 4 x y x y x y + + − + = + = V. Giải phương trình bằng cách ñặt ẩn phụ ñưa về hệ 1. Các d ạng thường gặp * n n x b a ax b + = − ñặt n t ax b = − ta có hệ n n x b at t b ax + = + = * ( ) ( ) n m a f x b f x c − ± + = ñặ t ( ), ( ) n m u a f x v b f x = − = + ta có: n m u v c u v a b ± = + = + 2. Các ví dụ Ví d ụ 1: Giải các phương trình sau 3 3 1) 1 2 2 1 x x + = − 4 4 2) 17 3 x x + − = 3 3) 2 1 3 x x − + + = 4 4 4 4) 1 1 x x x = + − − 2 2 15 5) 8 8 5 16 x x x + + − = Ví dụ 2:Tìm m ñể pt sau có nghiệm 3 3 1) 1 2 1 2 x x m − + + = 2) 3 6 (3 )(6 ) x x x x m + + − − + − = . GV: Nguyễn Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 8 Bài t ập Bài 1. Gi ải các phương trình sau 2 2 3 3 3 1) (2-x) + (x+7) - (2-x)(x+7)=3 2 3 2) 2 4 2 x x x + + = 3 3 2 3) 2 2 x x − = − 3 3 4) 1 2 1 2 2 x x − + + = 3 3 3 3 5) 35 ( 35 ) 30 x x x x − + − = 3 2 4 6) 1 1 1 1 x x x x x − + + + + = + − 4 1 5 7) 2x x x x x x + − = + − 3 4 8 8 8) 17 2 1 1 x x − − − = 2 4 9) 2 8 6 2 x x x + + + = 2 10) 2 4 6 11 x x x x − + − = − + 2 2 11) 3 (2 9 3) (4 2)(1 1 ) 0 x x x x x + + + + + + + = Bài 2: gi ả i các h ệ sau 2 2 2 2 2 1) 4 x y x y x y x y + − − = + + − = 3 3 3 2 2 1 19 2) 6 x y x y xy x + = + = − 2 2 2 2 2 6 3) 1 5 y xy x x y x + = + = 2 3 2 ( ) ( ) 12 4) ( ) 6 x x y y xy xy + = + = 2 2 3 5) 3 x y y x x y xy + = − + = 2 2 1 3 6) 1 3 x x y y x x y y + + = + + = 2 7) 1 x y x y y x y x + + − = + − − = 1 3 3 8) 1 2 8 x x y y x y y + + + − = + + = ( ) 9) 2 ( ) 3 x x y y x y x y − = + = 2 2 2 1 10) 1 x x y x y − + = + = 3 3 11) 12 x y x y x y x y + = + − = − − . Tất Thu http://www.toanthpt.net Tr ường THPT Lê Hồng Phong – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1 PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ 1. Biến ñổi tương ñương * 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n f x g x f x g x = ⇔ = ≥ *. − + + 6) 2 2( 16) 7 3 3 3 x x x x x − − + − > − − Bài t ập: Gi ải các phương trình và bất phương trình sau. 1) 7 13 3 9 5 27 x x x− − − ≤ − 2) 2 2 2 2 2(1 1 ) x x x − = +. 1 x x x x x − + − − + ≥ − 2. ðặt ẩn phụ ñưa về phương trình Ta thường ñặt ẩn phụ cho các biểu thức ñồng dạng Ví dụ 1: Giải các phương trình sau 1) 2 ( 5)(2 ) 3 3 x x x x + − = +