Thử sức với toán - Đại học Hồng Đức doc

TRNGHHNG C KHOAKHTN THI THIHC,CAONGNM2011 Mônthi:Toán,khithiB Thigianlàmbài:180phút *********** IPHNCHUNGCHOTTCCÁCTHÍSINH(7,0đim) CâuI(2,0đim) Chohàms 3 2 y=x +3x 3 2x + + (C) 1.Khosátsbinthiênvàvđthhàms 2.M,Nthay đitrên(C)saochotiptuynca(C)tiMsongsongvitiptuynca(C)tiN.Vit phngtrình đngthngMNbitMNtovicáctrcto đmttamgiáccódintíchbng 8 3 . CâuII(2,0đim) 1.Giiphngtrình: 2( tanx sinx) 3(cotx cos ) 1 0x − − − − = 2.Giiphngtrình: 2 1 1 3 ( ) 2 3 4 2 x x x x + + − = CâuIII(1,0đim) Tínhtíchphân: 1 3 0 dx I= ( 2) (2 1)x x + + ∫ CâuIV(1,0đim) ChochóptgiácS.ABCđáy ABCvuôngtiB,AB=a,BC=a 2 ,SA vuônggóc vimtphng(ABC), góctobi(SAC)và(SBC)bng60 o .GiM,Nlnlt làhìnhchiuvuônggóc caAlên SB,SC.Tính th tíchtdinS.AMN CâuV(1đim) Tìmttccácsthcmsaochophngtrìnhsaucónghim thc: 1 ln( 1) ln( 2) 2 x x m x + − + + = + IIPHNRIÊNG(3,0đim) Thísinhchđclàmmttronghaiphn(phn1hoc2) 1.TheochngtrìnhChun CâuVI.a(2,0đim) 1.TrongmtphngvihtođOxy,chotam giácABCcânti A,.ngthngABvàBClnltcó phngtrình: d 1 :2x+y +2=0,d 2 :x+y +2=0.Vitphngtrình đngcaoktBcatam giácABC 2.TrongkhônggianvihtođOxyz,chocácđngđngthng (d 1 ) 1 2 1 2 1 1 x y z − − + = = và (d 2 ) 1 2 1 1 2 1 x y z − − + = = − . Vitphngtrìnhchínhtc cácđngphân giác ca các góctobi (d 1 ) và(d 2 ) . CâuVII.a(1,0đim) Tìmtphpcácđimbiudin casphcz’=z+3ibit 2 3 2z i + − ≤ 2.TheochngtrìnhNângcao CâuVI.b (2,0đim) 1.TrongmtphngtođOxy,chotamgiácABCcóA’(0;2),B’(1;4)vàC’(2;3)lnltlàhìnhchiu vuônggóccaA,B,ClêncácđngthngBC,AC,vàAB.Lpphngtrình đngthngBC 2.TrongkhônggianvihtrctođOxyzchohìnhvuôngABCDcóA(1;3;2),C(1;2;1) .Tìmtođ đnhDbitCthucmtphng(P):x+y+z+2=0. CâuVII.b(1đim) www.VNMATH.com Giihphngtrỡnh: 1 2 2 log log ( 3) 0 2 3 x y x x y + + = + + = Htờnthớsinh:.Sbỏodanh: PN đề thi th năm 2011 Mụn:TON khi B Thigianlmbi:180phỳt Cõu Nidung i I.PHNCHUNGCHOTTCTHSINH(7,0im) CõuI 2.0 1. TXĐ: R Ta có: 'y = ( ) 2 2 3 6 3 3 1x x x + + = + 'y = 0 1x = 0.25 Bảng biến thiên: x 1 + y + 0 + + y 1 0.5 Đồ thị: ( C) cắt Ox tại x = -2 ( C) cắtOy tại y = 2 2 1 1 x y 2 0 0.25 2. 1.0 Gọi k là hệ số góc TT của (C) tại M và N. khi đó: x M , x N là nghiệm phơng trình: 'y ( )x = k 2 2 3 6 3 3 6 3 0 x x k x x k + + = + + > Điều kiện để tồn tại các điểm M, N sao cho TT tại M song song TT tại N: ' 3 0 0k k = > > 0.25 Phâ n tích: ( ) 'y y x = . ( ) ( ) q x r x + 0.25 www.VNMATH.com = ( ) ) 2 1 1 3 6 3 1 3 3 x x x + + + + Vậy đờng thẳng MN cóphngtrỡnh: 1 1 3 3 1 1 1 1 3 3 y k x y kx k = + + = + + A= MN 3 0 k Ox k + = B = MN 3 0 3 k Oy + = 0.25 S OAB = 8 3 ( ) 2 3 1 8 16 . 2 3 3 3 k OAOB k + = = 2 2 10 9 0 22 9 0 k k k k + = + + = 1 9 k k = = Khi đó MNcúphngtrỡnh : 1 4 3 3 3 4 y x y x = + = + 0,25 CõuII 2.0 1. ĐK:sin 2 0 2 k x x k z Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2( tan x - sin x +1) - 3( cot x - cos x +1)=0 sin sin .cos cos cos sin .cos 1 2 3. 0 cos sin x x x x x x x x x + + = ( ) 2 3 sin sin .cos cos 0 cos sin x x x x x x + = 0,25 sin sin cos cos 0 (1) 3 tan (2) 2 x x x x x + = = 0,25 + Giải (1): Đặt t = sin cos 2 2x x + (1) 2 2 1 0t t = 1 2 1 2 t t = + = Với t = 1- 2 ta có: 1 2 2 2 sin 4 2 2 x x + = = 0,25 ( loại) www.VNMATH.com 2 2 arcsin 2 2 4 ( ) 2 2 3 arcsin 2 2 4 x k k z x k = + = + + + Giải (2): (2) 3 arctan ( ). 2 x k k z = + 0,25 2. 1,0 TXĐ: 2 1 3 2 2 3 2 2 3 0 4 2 2 x x x x + + + Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2 2 2 1 . 0 2 1 1 3 12 (1) 4 4 x x x x x x x + + + = 0,25 Ta thấy 0x = không là nghiệm của phơng trình ( 1). xét 0x , chia hai vế của ( 1) cho 2 x : (1) 1 1 3 1 12 4 4 x x x x + + + = Đặt t= 1 4 x x + , khi đó: (1) 2 ( 3)( 1) 12 2 15 0t t t t + = + = 3 5 t t = = 0,25 2 3 2 2 ( / ) 2 3 4 12 1 0 3 2 2 (kot/m) 2 x t m t x x x + = = + = = 0.25 2 5 2 6 5 4 20 1 0 ( / ) 2 t x x x t m = + + = = Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: 3 2 2 2 x + = và 5 2 6 2 x = 0,25 Cõu III ( ) ( ) 1 3 0 2 2 1 dx I x x = + + 1,0 Ta có: ( ) 1 0 2 ( 2)(2 1) dx I x x x = + + + 0 www.VNMATH.com §Æt 2 1 1 2x dx dt t t + = ⇒ = đicn:x=0thit=½;x=1thìt=1/3 0,25 1 1 2 2 2 1 1 2 3 3 1 1 2 1 3 1 2 2 3 3 . 2 3 2 3 t t dt dt I t t t = = = − − − − ∫ ∫ 0.25 VyI= 2 2 3 − 0.25 Câu IV 1,0 TheocácgithitbàiratachngminhđcM,N,P,A đngphng. Gi VlàthtíchkhichópS.ABCD tacóthtíchcahaikhichópS.ABCvàS.ADCbngnhau vàbng 2 V . 0,25 Dođó . . . 1 2 1 1 . . 2 3 3 6 S ANM S ANM S ABC V SN SM V V V SB SC = = = ⇒ = và 0.25 . . . 1 2 1 1 . . 2 3 3 6 S APM S APM S ADC V SP SM V V V SB SC = = = ⇒ = 0.25 Suyra 1 . 1 3 S AMNP V V V = = .Dođóthtíchphncònlilà 2 1 2 3 3 V V V V = − = .Suyratsthtích cahaiphnlà1:2. 0.25 CâuV 1.0 TX§: 1, .x x R > − ∈ §Æt 1 ( ) ln( 1) ln( 2) 2 f x x x x = + − + + + ( ) ( )( ) 2 2 1 1 1 1 ' 0 1 2 2 1 2 f x x x x x = − − = > + + + + + 0.25 1 lim ( ) x f x →− = −∞ 1 lim ln( 1) ln( 2) 2 x x x x −+∞   + − + +   +   = 1 1 lim ln 2 2 x x x x →+∞ +   −   − +   = 0 0.25 B¶ng biÕn thiªn: x 1 +∞ f ′ + 0 f −∞ 0.25 www.VNMATH.com Vậy phơng trình có nghiệm 0m < 0.25 II.PHNRIấNG(3,0im) A.Chngtrỡnhchun CõuVI.a 2.0 1. Ta có (0 2)B AB AB BC = = = 0,25 Gọi M (1;-4) AB ta tìm M ' đối xứng M qua BC Khi đó: M ' (2;-3) 0,25 Nhận xét: ' songsongBM AC khi đó AH đi qua B và ' BM 0,25 Vậy BH có phơng trình 2x-y -2=0 0.25 2. Nhận thấy: d 1 cắt d 2 tại I (1;2;-1) Ta có: 1 (211)u = 2 (1 21)u = Đặt 1 1 1 2 1 1 ( ) 6 6 6 u e u = = 2 2 2 1 2 1 ( ) 6 6 6 u u e = = 0.25 khi đó 1 2 3 1 2 ( ) 6 6 6 e e + = 1 2 1 3 ( 0) 6 6 e e = 0.25 phân giác 1 của 1 2 ,d d đi qua I nhận 1 2 e e + làm vtcp 1 1 1 3 (3 12) ( ) : 2 ( ) 1 2 x t u y t t R z t = + = = = + 0,25 phân giác 2 của 1 2 ,d d đi qua I nhận 1 2 e e làm vtcp ( ) ( ) 2 1 1 (3 12) : 2 3 1 x t u y t t R z = + = = + = www.VNMATH.com CâuVII.a 1.0 Gis , , z x yi x y = + ∈ ∈ ℝ ℝ . Tgithit 2 2 1 z i − + = ( ) ( ) 2 2 2 1 1 x y i ⇔ − + + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 x y x y     ⇔ − + + = ⇔ − + + =         . 0,25 t 1 1 1 cos 1; sin 2 2 2 x y ϕ ϕ = + = − tacó 2 2 2 2 1 1 1 cos 1 sin 2 2 2 z x y ϕ ϕ     = + = + + −         0,25 2 3 1 3 1 3 5 cos sin 1 2 2 2 2 2 ϕ ϕ +   = + − ≤ + + =     (theobđtBunhiacopski) Du“=”xyrakhi 2 1 cos ;sin 5 5 ϕ ϕ = = − 0,25 Sphccómodulelnnhtthamãn 2 2 1 z i − + = là 5 5 5 5 5 10 z i   + + = −       0,25 B.Chngtrìnhnângcao Câu VI.b 2.0 1.NX:     1 1 2 1 ' , 'A B A C = = mà     1 1 1 2 ' 'C B A A = ⇒ = . VËy A A ′ lµ ph©n gi¸c trong gãc A ′ cña A B C ′ ′ ′ △ BC AA ′ ⊥ ⇒ BC lµ ph©n gi¸c ngoµi gãc A ′ cña A B C ′ ′ ′ △ A B ′ C ′ B A ′ C 0,25 pt :A B ′ ′ 2x-y+2=0 pt A C ′ ′ : x-2y+4=0 0,25 gäi 1 2 ,d d lµ ph©n gi¸c c¸c gãc t¹o bëi A B ′ ′ vµ A C ′ ′ ( ) 1 : 2 0d x y + − = ( ) 2 : 2 0d x y − + = 0,25 kimtraB’,C’cùngphía vi d 1 vy phngtrìnhBClà: ( ) 1 : 2 0d x y + − = 0.25 2. 1.0 GiB(x,y,z)khiđó: 2 2 2 2 2 2 (2 )( 3 ) (1 )( 4 ) (1 )(1 ) 0 . 0 (2 ) (1 ) (1 ) ( 3 ) ( 4 ) (1 ) 1 0 ( ) x x x x x x BA BC x x x x x x BA BC x y z B P − − − + − − − + − − =   =   − + − + − = − − + − − + − =   ⇔       + + + = ∈     0.5 Giihtrêntađcx=2,y=4,z=1hocx=3,y=1,z=1 0.25 VyB(2;4;1)khi đóDđi xngBquatrung đim ACvàD(3;1;1) 0,25 Câu VII.b 1.0 www.VNMATH.com K: 0 3 x y >   > −  Tacó: 2 1 2 2 log log ( 3) 0 3x y x y + + = ⇔ = + 0.25 Khi đó 2 2 2 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 (1) x x y x x x x x x x x x x + + = ⇔ + + = − ⇔ + + + = ⇔ + + + = + 0.2 Xéthàm 2 ( ) ( 0)f t t t t = + ≥ khi đóf(t)liêntcvàđng binvi t 0 ≥ Vy (1)tng đngvi 2 3 3x x x + = ⇔ = Vyhcónghim duynhtx=3vày=6 0. (Hcsinhgiiđúngnhngkhôngtheocáchnhtrongđápán,vnchođimtiđatng ngnhtrongđápán). www.VNMATH.com . 0,25 CõuII 2.0 1. ĐK:sin 2 0 2 k x x k z Phơng trình đã cho tơng đơng với: 2( tan x - sin x +1) - 3( cot x - cos x +1)=0 sin sin .cos cos cos sin .cos 1 2 3. 0 cos sin x x x x x x x x. Gọi M (1 ;-4 ) AB ta tìm M ' đối xứng M qua BC Khi đó: M ' (2 ;-3 ) 0,25 Nhận xét: ' songsongBM AC khi đó AH đi qua B và ' BM 0,25 Vậy BH có phơng trình 2x-y -2 =0 0.25 2 (1): Đặt t = sin cos 2 2x x + (1) 2 2 1 0t t = 1 2 1 2 t t = + = Với t = 1- 2 ta có: 1 2 2 2 sin 4 2 2 x x + = = 0,25 ( loại) www.VNMATH.com 2 2 arcsin