Lý thuyết cơ sơ KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN - Chương 2 ppt

Đồ thị SMITH được xây dựng dựa trên phép biểu diễn trở kháng z trong mặt phẳng hệ số phản xạ, đã được đề cập đến ở mục 2.2, trên đó , ta đã vẽ các đồ thị vòng tròn là các đường đẳng r và

Chương 2

ĐỒ THỊ SMITH 2.1 Giới thiệu

Một cách tổng quát đồ thị Smith được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa hệ số

truyền sóng

)(1

)(1)

x

x Z

x Z

)(1

)(1)(

x

x x

0

0 ) (

) ( ) (

Z x Z

Z x Z x







 (2.3)

1)(

1)()(

x z

x (2.4)

trong đó trở kháng chuẩn hóa

0

) ( ) (

Z

x Z x

z  (2.5)

2.2 Các đồ thị vòng tròn

Để thuận tiện, ta quy ước dùng các ký hiệu sau:

Hệ số phản xạ:  (x)  r(x)  ji(x) hoặc r  ji (2.6)

Trở kháng đường dây: Z(x) = R(x) + jX(x) hoặc Z = R +jX

(2.7)

R: là điện trở đường dây

X: là điện kháng đường dây

Trở kháng đường dây chuẩn hóa: z(x) = r(x) + jx(x) hoặc z = r + jx

(2.8)

X = X/Z0 là điện kháng đường dây chuẩn hóa

Ngoài ra, trong thực tế, người ta thường chuẩn hóa các trị số trở kháng của mạch

điện theo một điện trở chuẩn R0 (số thực) thay vì theo một trở kháng chuẩn Z0 (số

phức trong trường hợp tổng quát) Do đó , các trị số R và X tỉ lệ hoàn toàn với các

2.2.1 Phép biểu diễn z trong mặt phẳng phức 

hóa z tương ứng, căn cứ theo (2.2)

Dùng các biểu thức phức của  và z ở (2.6) và (2.8), ta có thể viết lại (2.2) như

sau:

i r

i r j

j jx

Nhân vế phải của biểu thức (2.10) với lượng liên hợp phức, sau đó cân bằng phần

thực và phần ảo hai vế của (2.10), ta thu được cặp phương trình:

2 2

2 2)1(

1

i r

i r r

2 2

)1(

2

i r

i x

Xét (2.11), phương trình này chỉ phụ thuộc r mà không phụ thuộc giá trị x (nghĩa

là x bất kỳ) Nếu ta coi r là thông số hằng số thì (2.11) sẽ trở thành một phương

trình quan hệ giữa r và i (hoành độ và tung độ trong mặt phẳng phức ) và do

diễn này không phụ x (với mọi giá trị bất kỳ của x) mà chỉ phụ thuộc vào r : lần

lượt cho r các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn

Ta gọi đó là họ các đường đẳng r (mỗi đường tương ứng với một giá trị r hằng số)

Ta viết lại (2.11) dưới dạng:

2 2

+bán kính:

r

 1

1 (ta luôn giả thiết r  0)

Hình 2.2 biểu diễn họ các đường tròn đẳng r với các giá trị r khác nhau.Trong thực

tế r luôn luôn  0 nên ta chỉ xét họ vòng tròn đẳng r với 0 r 

Các vòng tròn đẳng r đáng chú ý:

+ r = 0 : tâm(0,0), bán kính = 1 Ta thấy rằng r = 0 có nghĩa R = 0, tất cả các điểm

hoặc dung kháng)

+ r =1 : tâm (1/2; 0), bán kính ½ Ta thấy rằng r = 1 có nghĩa R = R0, trở kháng

kháng là một hở mạch

Tương tự như phương trình đẳng r ở (2.11), ta xét tiếp (2.12) Phương trình này chỉ phụ thuộc x mà không phụ thuộc r (nghĩa là r bất kỳ) Nếu ta coi x là thông số hằng thì (2.12) sẽ trở thành một phương trình quan hệ giữa r và i Lần lượt cho

x các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn, ta gọi đó

là các đường đẳng x (mỗi đường tương ứng với một giá trị x hằng số)

Ta viết lại (2.12) dưới dạng:

2 2

)1

x

1

(2.16)

Hình 2.3 biểu diễn họ các đường đẳng x với các giá trị x khác nhau Chú ý rằng x

có thể mang giá trị dương (cảm kháng ) hoặc giá trị âm(dung kháng), nhưng bán

kính vòng tròn đẳng x phải là một số dương và bằng

x

1

hình 2.3)

Vì   1 nên trong mặt phẳng phức  ta chỉ xét các điểm nằm trong phạm vi

Các vòng tròn đẳng x đáng chú ý

thành số thực

+ với các giá trị điện kháng x đối nhau, các đường tròn đẳng x tương ứng sẽ đối

xứng nhau qua trục hoành

2.2.2 Phép biểu diễn  trong mặt phẳng phức z

Nội dung chính là gán cho mỗi điểm trở kháng chuẩn hóa trong mặt phẳng phức z

=r +jx một giá trị hệ số phản xạ  tương ứng, căn cứ theo (2.4) Ở đây , ta có thể

 arg (2.17)

vậy biểu thức (2.4) có thể được viết lại dưới dạng :

 arg =

jx r

jx r

1

(2.18)

(2.18) ta cũng có thể biểu diễn  theo r và x; arg theo r và x

+jx, được trình bày ở hình 2.4

2.3 Đồ thị SMITH

Đồ thị SMITH là công cụ được sử dụng rất nhiều trong việc phân tích và thiết kế các mạch siêu cao tầng Ta có thể thực hiện nhiều phép tính toán trực tiếp trên đồ thị Smith, chỉ bằng cách vẽ hình và đọc trị số mà không dùng các công cụ toán học khác Hiể sâu sắc và vận dụng nhuần nhuyễn đồ thị SMITH giúp người thiết kế nắm được bản chất của mạch siêu cao tần, đồng thời biết trước được kết quả thiết

kê hoặc phỏng đoán các khó khăn trong việc thi công mạch điện

Đồ thị SMITH được xây dựng dựa trên phép biểu diễn trở kháng z trong mặt phẳng hệ số phản xạ, đã được đề cập đến ở mục 2.2, trên đó , ta đã vẽ các đồ thị vòng tròn là các đường đẳng r và đẳng x

2.3.1 Mô tả

Hình 2.5 là đồ thị Smith chuẩn, các điểm cần lưu ý:

+tất cả các giá trị trở kháng trên đồ thị Smith đều là trở kháng chuẩn hóa theo một

Người sử dụng phải tự suy ra giá trị thật

phức có module nhỏ hơn hay bằng 1 Ta sẽ không xét các điểm  nằm ngoài phạm vi của đồ thị Smith

+ Các đường đẳng r: là họ các vòng tròn có phương trình thông số r xác định bởi (2.13), mỗi vòng tròn tương ứng với một giá trị r duy nhất (hình 2.2) Trên đồ thi Smith , giá trị r của mỗi vòng tròn đẳng r được đặt tên là “ Thành phần điện trở R/Z0 “ và được ghi trị số dọc theo trục hoành của đồ thị Smith Giá trị của r tăng từ

+ Các đường đẳng x : là họ các vòng tròn có phương trình thông số x xác định bởi (2.15), mỗi vòng tròn tương ứng với mỗi giá trị x duy nhất (hình 2.3) và chỉ được

vẽ phần vòng tròn nằm trong phạm vi vòng tròn đơn vị

Có hai nhóm đường tròn đẳng x

-Với giá trị x dương ( cảm kháng ), các đường đẳng x nằm ở phía trên trục hoành

vòng tròn đơn vị, ở nửa phần bên trên của trục hoành được đặt tên là “ thành phần cảm kháng +jX/Z0 “

- Với giá trị x âm( dung kháng ), các đường đẳng x nằm ở bên dưới trục hoành của

- Tâm điểm của đồ thi Smith là giao điểm của đường đẳng r =1 và đẳng x= 0 ( trục

) Đây là điểm có  = 0 ( có phối hợp trở kháng)

- Điểm tận cùng bên trái của trục hoành của đồ thị Smith là giao điểm của đường

đẳng r =0 và đẳng x = 0 , do đó tương ứng với trở kháng chuẩn hóa z = r + jx = 0

- Điểm tận cùng bên phải của trục hoành của đồ thi Smith là điểm đặc biệt mà tất

cả các đường đẳng r và đẳng x đều đi qua( mọi giá trị của r và x) ở đây, ta coi

điểm x đến tải:

d

e l

x) ( ) 2(   

 (2.19)

Mỗi điểm trên đồ thi Smith đều tương ứng với một hệ số phản xạ trên đường dây

vòng tròn không tổn hao, là một quỹ tích hình tròn tâm là tâm của đồ thị Smith (

xem biểu thức (1.99) và hình 1.22)

e e l

 ( 2/ ) (2.20)

quanh gốc tọa độ của đồ thi Smith

Như vậy, khi di chuyển khoảng cách d bất kỳ thì góc quay sẽ là:



(2.21)

Công thức (2.20) thường được sử dụng với khoảng cách d khi di chuyển từ tải về

nguồn Tuy nhiên có thể mở rộng (2.20) cho trường hợp tổng quát: điểm khởi

hành ở vị trí bất kỳ trên đường truyền sóng và di chuyển về phía nguồn (d > 0)

hoặc về phía tải (d < 0):

+ về hướng nguồn : theo chiều kim đồng hồ

+ về hướng tải: ngược chiều kim đồng hồ

-Đối với đường truyền có tổn hao (0), khi di chuyển dọc theo đường truyền

sóng, theo (2.20), module của hệ số phản xạ  cũng biến thiên tỉ lệ với d

e 2 Điều này có nghĩa khi di chuyển về phía nguồn (d > 0) thì giảm dần và khi di

một thang giá trị “ hệ số suy hao đường truyền” ở phần dưới trái của đồ thị Smith

Trên thang giá trị này , cũng có hai chiều trị số: về phía nguồn và về phía tải

- Hệ số sóng đứng S trên đường truyền không tổn hao cũng có thể được xác định

theo đồ thi Smith Ở phần 1.4 , chúng ta biết rằng với đường truyền sóng không

xem biểu thức (1.180) và (1.182))

- Như vậy, các vòng tròn có tâm là gốc tọa độ trên đồ thị Smith có thể được coi là

trên đồ thị Smith nhưng chúng ta có thể xác định chúng một cách dễ dàng nhờ

thang giá trị “Hệ số sóng đứng” ở phần dưới trái của đồ thị

2.3.2 Đặc tính

a)Dẫn nạp trên đồ thị Smith

0 0 1

R

G  (2.22)

- Định nghĩa dẫn nạp chuẩn hóa theo điện dẫn chuẩn:

z R Z R

Z G

Y

/

1/

1

/1

0 0

1

111

y z

z

(2.24) Hoặc

1

y (2.25)

xây dựng đồ thị Smith theo dẫn nạp

Mặt khác, nếu so sánh (2.24) và (2.25) với (2.2) và (2.4), ta nhận thấy rằng quan

đồ thị Smith xây dựng theo trở kháng chuẩn hóa z và đồ thị Smith xây dựng theo

Nói một cách khác, đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa y được suy ra từ đồ thị

Smith theo trở kháng chuẩn hóa z bằng một trong hai cách sau:

+ Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị Smith qua gốc tọa độ (Hình 2.6)

+ Giữ nguyên đồ thị Smith, nhưng lấy đối xứng của điểm hệ số phản xạ đang xét

 qua gốc tọa độ thành điểm hệ số phản xạ (-) (hình 2.7)

Chú ý nếu trở kháng chuẩn hóa z có thể được viết : z = r + jx (2.26)

Thì dẫn nạp chuẩn hóa y cũng được viết tương tự: y = g + jb (2.27)

Trong đó: g = G/G0 là điện dẫn chuẩn hóa

b = B/G0 là điện nạp chuẩn hóa

Như vậy, trên đồ thị Smith theo trở kháng chuẩn hóa ta có đường đẳng r và đẳng x

thì trên đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa, các đồ thị vòng tròn giống hệt như

trên sẽ trở thành các đường đẳng g và đẳng b Các thang trị số trên đồ thị không

thay đổi ( giá trị r giá trị g; giá trị x giá trị b)

b) Bụng sóng và nút sóng trên đồ thị Smith

Ở phần (1.4), chúng ta đã biết rằng khi có sóng đứng trên đường dây, các điểm

bụng sóng và nút sóng điện áp xảy ra tuần hoàn dọc theo chiều dài đường dây với

Tại điểm bụng sóng điện áp, theo (1.183) và (1.186), trở kháng đường dây sẽ cực

đại thuần trở và giá trị chuẩn hóa là :

rmax S (2.31)

tại nút sóng điện áp, theo (1.187) và (1.189), trở kháng đường dây sẽ cực tiểu

thuần trở và giá trị chuẩn hóa là:

S

rmin  1 (2.32)

trong đó : 1 S  là hệ số sóng đứng đường dây

tròn đẳng S có tâm là tâm là gốc tọa độ, bán kính được xác định trên thang giá

trị của S ( xem phần 2.3.1) Giao điểm của đường tròn đẳng S này với trục

hoành của đồ thị Smith( đường đẳng x= 0) là các điểm mà tại đó trở kháng

đường dây trở thành điện trở thuần (do x = 0) Đây chính là các điểm tương

ứng với trở kháng đường dây tại bụng sóng và nút sóng

Cụ thể là:

+ Giao điểm của vòng tròn đẳng S với nửa bên trái của trục hoành sẽ là nút

sóng điện áp (Hình 2.8) và trở kháng đường dây tại đó là

S

rmin  1 + Giao điểm của vòng tròn đẳng S và nửa bên phải của trục hoành là các điểm

bụng điện áp và trở kháng đường dây tại đó là rmax S

Nhờ đặc tính này, ta có thể suy ra trở kháng tải ZL tại đầu cuối đường dây bằng

sóng hoặc nút sóng cho đến điểm tải Biết được giá trị của S, ta suy ra vị trí của

điểm bụng sóng (hoặc nút sóng) ở giao điểm bên phải (hoặc bên trái) của

đường đẳng S với trục hoành Từ đó, xoay ngược chiều kim đồng hồ (về phía

tải) trên đường đẳng S một góc xoay tương ứng với khoảng cách từ điểm bụng

với tải ZL Phép tính trên hoàn toàn được thực hiện trên đồ thị Smith mà không

dùng công thức tính toán nào

Chú ý: Cũng vì rmin = 1/rmax (do 2.31) và (2.32) nên thang trị số r ở nửa bên trái

của trục hoành là nghịch đảo của thang trị số r ở nửa bên phải

Cũng vì rmax S (do (2.31) nên thang trị số r ở nửa bên phải của trục hoành

cũng trùng với thang trị số của S ở phần dưới trái của đồ thị Smith (xem phần

2.3.1)

a) Đổi cơ sở trở kháng chuẩn trên đồ thị Smith

aR0 ( a là hệ số tỉ lệ, giả sử là một số dương) trên đồ thị Smith của điện trở

chuẩn R0 Hệ số phản xạ trên đường dây Rao của một trở kháng Z là

ao

ao a

R R a

Vậy các điểm a ( tương ứng Sa ) trên đường dây có điện trở đặc tính Rao có

quỹ tích là đường tròn tròn trong mặt phẳng đồ thị Smith có :

Tâm :   ,0

1

)1(2 2 2

K p

K p

; Bán kính :

)1

(

)1(2 2 2

K p

p K





(2.45)

Hình 2.9 miêu tả các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa trên đồ thị Smith của

mặt phẳng  có điện trở chuẩn R0:

+ Nếu Rao = R0 ( a =1 ) nghĩa là không thay đổi cơ sở trở kháng chuẩn hóa thì

p = 0 và các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa trở thành các vòng tròn đẳng 

+ Nếu Rao > R0 ( a>1) thì p < 0 : các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa sẽ nằm

ở nửa phải của trục hoành của đồ thị Smith Họ các vòng tròn này bao lẫn

+ khi có phối hợp trở kháng trên đường dây Rao thì a = 0, có nghĩa là Sa = 1

1

a

a

trên

đồ thị Smith Điểm này cũng chính là điểm tương ứng với điện trở chuẩn hóa r

= Rao/ R0 = a trên nửa phải của trục hoành của đồ thị Smith

trục hoành của đồ thị Smith Điểm bụng sóng nằm ở phía phải có giá trị điện trở là Sa.Rao = a Sa.R0 ; điểm nút sóng nằm ở phiá trái có giá trị điện trở là

+ Nếu Rao < R0 ( a < 1) thì p > 0 : các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa sẽ nằm

ở nửa trái của trục hoành của đồ thị Smith Các vòng tròn với Sa càng nhỏ thì

bán kính càng nhỏ và nằm ở phía trong

Đặc biệt khi có phối hợp trở kháng trên đường dây Rao thì Sa = 1 Lúc này

1

a

a

tương ứng với điện trở chuẩn hóa r = Rao/ R0 = a ( a<1) trên nửa trái của trục hoành của đồ thị

Smith

2.4 Ứng dụng cơ bản của đồ thi Smith

2.4.1 Vẽ vector điện áp và dòng điện trên đồ thị Smith

Giả sử sóng điện áp và dòng điện tới hình sin, được biểu diễn bằng vector:

Như vậy, tại điểm toạ độ x bất kỳ, sóng phản xạ điện áp và dòng điện cũng được

biểu diễn bằng các vectơ:

V   x V

) ( (2.47a)

trong đó: (x) là một số phức, biểu thị cho hệ số phản xạ điện áp tại điểm x

vậy, sóng điện áp và dòng điện tổng là vector tổng

+ Nếu Rao < R0 ( a < 1) thì p > 0 : các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa sẽ nằm

ở nửa trái của trục hoành của đồ thị Smith Các vòng tròn với Sa càng nhỏ thì

bán kính càng nhỏ và nằm ở phía trong

Đặc biệt khi có phối hợp trở kháng trên đường dây Rao thì Sa = 1 Lúc này

Smith

V V V V   x V

) ( (2.48a)

II II  x I

)( (2.48b)

Nếu ta chuẩn hóa các vectơ tổng điện áp và dòng điện theo biên độ sóng tới thì ta

có các vectơ điện áp và dòng điện chuẩn hóa như sau:

 x e

V

)(

1





(2.49a)

 x e

I

)(

1





(2.49b)

trong đó, ta coi e

Vậy ta có thể biểu diễn như sau:

+ vectơ điện áp chuẩn hóa được coi là tổng của vectơ đơn vị và vectơ hệ số phản

xạ Hình 2.10 minh hoạ phép cộng vectơ trên và ta có được vectơ điện áp chuẩn

hóa

+ vectơ dòng điện chuẩn hóa được coi là hiệu của vectơ đơn vị và vectơ hệ số

phản xạ (tổng của vectơ đơn vị với trừ của vectơ hệ số phản xạ) Hình 2.11 minh

họa phép hiệu vectơ trên và ta có được vectơ dòng điện chuẩn hóa

Khi điểm khảo sát x di chuyển dọc theo chiều dài đường dây( giả sử đường dây

không tổn hao), điểm hệ số phản xạ sẽ di chuyển trên đường tròn đẳng S, tức là

đường tròn có tâm là tâm của đồ thị Smith( xem phần 2.3) Lúc này, các vectơ

điện áp và dòng điện chuẩn hóa trên đường dây sẽ có điểm gốc cố định nhưng

điểm đỉnh sẽ di chuyển trên đường tròn đẳng S (xem hình 2.10 và 2.11), biên độ

Imin tại giao điểm của đường tròn đẳng S với nửa trái của trục hoành , góc pha

đường dây là số thực (điện trở đường dây) có trị số rmax được đọc trực tiếp trên

thang trị số ở nửa phải của trục hoành (xem phần 1.4 và 2.3)

nửa trái của trục hoành , goá pha bằng 00; vectơ dòng điện đạt biên độ cực đại Imax

Đây là điểm nút điện áp, bụng dòng điện trên đường dây, trở kháng đường dây là

số thực (điện trở đường dây) có trị số rmin (hình 2.10 và 2.11)

Nhờ phương pháp biểu diễn vectơ điện áp và dòng điện trên đồ thi Smith, ta có

thể:

-Tính biên độ và góc pha của điện áp và dòng điện tại bất kỳ điểm x nào trên

đường dây, nếu các đại lượng sóng tới V+ và I+ đã được xác định trước

- Thực hiện phép tổng hoặc hiệu vector trên đồ thị Smith

2.4.2 Tính hệ số sóng đứng, hệ số phản xạ và trở kháng đường dây

Trên đường truyền sóng (có tổn hao hoặc không tổn hao), nếu ta biết giá trị trở

chuẩn hóa z(x0) tại điểm x0 xác định trước), ta luôn có thể suy ra giá trị của hệ

điểm x bất kỳ trên đường dây, với vị trí của x được xác định tương đối so với điểm tải (hoặc so với điểm x0 định trước) Tất cả các tính toán trên đều có thể thực hiện trực tiếp trên đồ thị Smith mà không cần phương tiện trung gian nào khác

Ví dụ xét hình 2.14, 2.15: 1 đường truyền sóng không tổn hao, điện trở đặc tính

R 0 , chiều dài l, z L = Z L / R 0 = 1 +j1, = 5 cm, tìm các điểm bụng và nút điện

áp đầu tiên kể từ tải và hệ số sóng đứng S trên đường dây.Từ đó suy ra trở kháng (TK) đường dây chuẩn hóa tại điểm cách tải một đoạn d = / 4 = 1.25

cm

Bài toán trên có thể được giải trực tiếp trên đồ thị Smith

TK tải chuẩn hóa zL biểu thị bởi điểm zL trên đồ thị Smith (hình 2.15) Đường thẳng đi ngang qua điểm zL và cắt vòng tròn chu vi của đồ thị (vòng

Vẽ vòng tròn đẳng S (có tâm là tâm đồ thị Smith) đi qua zL (xem hình 2.15), từ đó suy ra giá trị của hệ số sóng đứng là S=2.6

Ta biết rằng vị trí các điểm bụng và nút điện áp trên đường dây lần lượt là giao điểm của vòng tròn đẳng S với nửa phần phải và nửa phần trái của trục hoành (điểm Vmax và Vmin ở hình 2.15) Tọa độ các điểm đó trên thang giá trị ở vòng chu vi của đồ thị Smith là 0.25 và 0.5

Vậy khoảng cách từ tải đến điểm bụng và nút điện áp đầu tiên trên đường dây (đi theo chiều về nguồn):

d(Vmax)=(0.25-0.162) =0.088=0.44cm

d(Vmin)=(0.5-0.162) =0.338=1.69cm

zL theo chiều về nguồn một nửa vòng tròn trên đường đẳng S (hết vòng tròn ứng với /2), kết quả là:

a> Xác định điểm bụng, nút điện áp đầu tiên

b> Xác định trở kháng tại điểm bụng, nút điện áp