Lý thuyết cơ sơ KỸ THUẬT SIÊU CAO TẦN - Chương 2 ppt

Chương 2: Đồ thị Smith Trang 42 Chương 2 ĐỒ THỊ SMITH 2.1 Giới thiệu Một cách tổng quát đồ thị Smith được xây dựng dựa trên mối quan hệ giữa hệ số phản xạ )(x và trở kháng đường dây Z(x) tại một điểm x bất kỳ trên đường dây truyền sóng. )(1 )(1 )( 0 x x ZxZ    (2.1) )(1 )(1 )( x x xz    (2.2) 0 0 )( )( )( ZxZ ZxZ x    (2.3) 1)( 1)( )(    xz xz x (2.4) trong đó trở kháng chuẩn hóa 0 )( )( Z xZ xz  (2.5) Đồ thi Smith sẽ được xây dựng từ mặt phẳng  này: Chương 2: Đồ thị Smith Trang 43 2.2 Các đồ thị vòng tròn Để thuận tiện, ta quy ước dùng các ký hiệu sau: Hệ số phản xạ: )()()( xjxx ir  hoặc ir j (2.6) Trở kháng đường dây: Z(x) = R(x) + jX(x) hoặc Z = R +jX (2.7) R: là điện trở đường dây X: là điện kháng đường dây Trở kháng đường dây chuẩn hóa: z(x) = r(x) + jx(x) hoặc z = r + jx (2.8) Trong đó r = R/Z 0 là điện trở đường dây chuẩn hóa X = X/Z 0 là điện kháng đường dây chuẩn hóa Ngoài ra, trong thực tế, người ta thường chuẩn hóa các trị số trở kháng của mạch điện theo một điện trở chuẩn R 0 (số thực) thay vì theo một trở kháng chuẩn Z 0 (số phức trong trường hợp tổng quát). Do đó , các trị số R và X tỉ lệ hoàn toàn với các trị số r và x: 0 R R r  : 0 R X x  (2.9) 2.2.1 Phép biểu diễn z trong mặt phẳng phức  Nội dung chính là gán cho mỗi điểm hệ số phản xạ  một giá trị trở kháng chuẩn hóa z tương ứng, căn cứ theo (2.2). Dùng các biểu thức phức của  và z ở (2.6) và (2.8), ta có thể viết lại (2.2) như sau: ir ir j j jxr    1 1 (2.10) Chương 2: Đồ thị Smith Trang 44 Nhân vế phải của biểu thức (2.10) với lượng liên hợp phức, sau đó cân bằng phần thực và phần ảo hai vế của (2.10), ta thu được cặp phương trình: 22 22 )1( 1 ir ir r    (2.11) 22 )1( 2 ir i x    (2.12) Xét (2.11), phương trình này chỉ phụ thuộc r mà không phụ thuộc giá trị x (nghĩa là x bất kỳ). Nếu ta coi r là thông số hằng số thì (2.11) sẽ trở thành một phương trình quan hệ giữa r  và i  (hoành độ và tung độ trong mặt phẳng phức  ) và do đó (2.11) được đặt trưng bởi một đường biểu diễn trong mặt phẳng  . Đường biểu diễn này không phụ x (với mọi giá trị bất kỳ của x) mà chỉ phụ thuộc vào r : lần lượt cho r các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn. Ta gọi đó là họ các đường đẳng r (mỗi đường tương ứng với một giá trị r hằng số). Ta viết lại (2.11) dưới dạng: 2 2 2 1 1 1                 rr r ir (2.13) vậy, mỗi đường đẳng r là một vòng tròn trong mặt phẳng phức  , có: + tâm :        0; 1 r r (2.14) +bán kính: r1 1 (ta luôn giả thiết r 0 ) Chương 2: Đồ thị Smith Trang 45 Hình 2.2 biểu diễn họ các đường tròn đẳng r với các giá trị r khác nhau.Trong thực tế r luôn luôn 0 nên ta chỉ xét họ vòng tròn đẳng r với  r0 Các vòng tròn đẳng r đáng chú ý: + r = 0 : tâm(0,0), bán kính = 1. Ta thấy rằng r = 0 có nghĩa R = 0, tất cả các điểm có  nằm trên vòng tròn này (  =1) là thuần kháng ( đoạn nối tắt, cảm kháng hoặc dung kháng) + r =1 : tâm (1/2; 0), bán kính ½. Ta thấy rằng r = 1 có nghĩa R = R 0 , trở kháng đường dây của tất cả các điểm có  nằm trên vòng tròn này có thành phần thực R bằng đúng điện trở chuẩn hoá R 0. + r  : tâm (1;0), bán kính 0, có nghĩa  = +1. Đây là điểm tương ứng với trở kháng là một hở mạch. Tương tự như phương trình đẳng r ở (2.11), ta xét tiếp (2.12). Phương trình này chỉ phụ thuộc x mà không phụ thuộc r (nghĩa là r bất kỳ). Nếu ta coi x là thông số hằng thì (2.12) sẽ trở thành một phương trình quan hệ giữa r  và i  . Lần lượt cho x các giá trị thông số khác nhau, ta thu được một họ các đường biểu diễn, ta gọi đó là các đường đẳng x (mỗi đường tương ứng với một giá trị x hằng số). Ta viết lại (2.12) dưới dạng: Chương 2: Đồ thị Smith Trang 46 22 2 11 )1(               xx ir (2.15) Mỗi đường đẳng x trong mặt phẳng phức  cũng là đường tròn có: Tâm         x 1 ,1 ; bán kính x 1 (2.16) Hình 2.3 biểu diễn họ các đường đẳng x với các giá trị x khác nhau. Chú ý rằng x có thể mang giá trị dương (cảm kháng ) hoặc giá trị âm(dung kháng), nhưng bán kính vòng tròn đẳng x phải là một số dương và bằng x 1 . Các điểm tâm của các vòng tròn đẳng x luôn luôn nằm trên đường r  = 1 (xem hình 2.3) Vì  1 nên trong mặt phẳng phức  ta chỉ xét các điểm nằm trong phạm vi vòng tròn  =1 Các vòng tròn đẳng x đáng chú ý + x =0 : tâm (1 ;  ) , bán kính  , vòng tròn biến thành đường thẳng trùng với trục hoành. Thật vậy, với trở kháng đường dây là điện trở thuần thì hệ số phản xạ  trở thành số thực. + x  : tâm(1;0), bán kính = 0, đường tròn biến thành điểm có tọa độ (1;0), nghĩa là  = 1, tương ứng trở kháng là một hở mạch. + với các giá trị điện kháng x đối nhau, các đường tròn đẳng x tương ứng sẽ đối xứng nhau qua trục hoành. Chương 2: Đồ thị Smith Trang 47 2.2.2 Phép biểu diễn  trong mặt phẳng phức z Nội dung chính là gán cho mỗi điểm trở kháng chuẩn hóa trong mặt phẳng phức z =r +jx một giá trị hệ số phản xạ  tương ứng, căn cứ theo (2.4). Ở đây , ta có thể biểu diễn  dưới dạng tọa độ cực.  arg (2.17) vậy biểu thức (2.4) có thể được viết lại dưới dạng :  arg = jxr jxr z z      1 1 1 1 (2.18) tương tự như phép biểu diễn z trong mặt phẳng  ở (2.10), (2.11) và (2.12), từ (2.18) ta cũng có thể biểu diễn  theo r và x; arg  theo r và x do đó, ta cũng được các đường đẳng  và đẳng arg  trong mặt phẳng phức z = r +jx, được trình bày ở hình 2.4. 2.3 Đồ thị SMITH Chương 2: Đồ thị Smith Trang 48 Đồ thị SMITH là công cụ được sử dụng rất nhiều trong việc phân tích và thiết kế các mạch siêu cao tầng. Ta có thể thực hiện nhiều phép tính toán trực tiếp trên đồ thị Smith, chỉ bằng cách vẽ hình và đọc trị số mà không dùng các công cụ toán học khác. Hiể sâu sắc và vận dụng nhuần nhuyễn đồ thị SMITH giúp người thiết kế nắm được bản chất của mạch siêu cao tần, đồng thời biết trước được kết quả thiết kê hoặc phỏng đoán các khó khăn trong việc thi công mạch điện. Đồ thị SMITH được xây dựng dựa trên phép biểu diễn trở kháng z trong mặt phẳng hệ số phản xạ, đã được đề cập đến ở mục 2.2, trên đó , ta đã vẽ các đồ thị vòng tròn là các đường đẳng r và đẳng x. 2.3.1 Mô tả Hình 2.5 là đồ thị Smith chuẩn, các điểm cần lưu ý: +tất cả các giá trị trở kháng trên đồ thị Smith đều là trở kháng chuẩn hóa theo một điện trở chuẩn định trước ( điện trở chuẩn R 0 hoặc điện trở đặc tính đường dây). Người sử dụng phải tự suy ra giá trị thật. + Đồ thị Smith nằm trong phạm vi vòng tròn đơn vị vì hệ số phản xạ  là một số phức có module nhỏ hơn hay bằng 1. Ta sẽ không xét các điểm  nằm ngoài phạm vi của đồ thị Smith. + Các đường đẳng r: là họ các vòng tròn có phương trình thông số r xác định bởi (2.13), mỗi vòng tròn tương ứng với một giá trị r duy nhất (hình 2.2). Trên đồ thi Smith , giá trị r của mỗi vòng tròn đẳng r được đặt tên là “ Thành phần điện trở R/Z 0 “ và được ghi trị số dọc theo trục hoành của đồ thị Smith. Giá trị của r tăng từ 0   (luôn luôn dương). + Các đường đẳng x : là họ các vòng tròn có phương trình thông số x xác định bởi (2.15), mỗi vòng tròn tương ứng với mỗi giá trị x duy nhất (hình 2.3) và chỉ được vẽ phần vòng tròn nằm trong phạm vi vòng tròn đơn vị Có hai nhóm đường tròn đẳng x -Với giá trị x dương ( cảm kháng ), các đường đẳng x nằm ở phía trên trục hoành của đồ thị Smith. Giá trị của x tăng dần từ 0 đến  và được ghi dọc theo chu vi vòng tròn đơn vị, ở nửa phần bên trên của trục hoành được đặt tên là “ thành phần cảm kháng +jX/Z 0 “ - Với giá trị x âm( dung kháng ), các đường đẳng x nằm ở bên dưới trục hoành của đồ thi Smith. Giá trị của x giảm dần từ 0 đến -  , chỉ ghi dọc theo chu vi vòng tròn đơn vị(chỉ ghi giá trị tuyệt đối x ) ở nửa phần bên dưới của trục hoành , và được đặt tên là thành phần dung kháng –jX/Z 0 ). - Tâm điểm của đồ thi Smith là giao điểm của đường đẳng r =1 và đẳng x= 0 ( trục hoành của đồ thị), do đó tương ứng với trở kháng chuẩn z = r +jx = 1 (tức Z= R 0 ). Đây là điểm có  = 0 ( có phối hợp trở kháng). Chương 2: Đồ thị Smith Trang 49 - Điểm tận cùng bên trái của trục hoành của đồ thị Smith là giao điểm của đường đẳng r =0 và đẳng x = 0 , do đó tương ứng với trở kháng chuẩn hóa z = r + jx = 0 (tức Z = 0), là một ngắn mạch. Đây là điểm có hệ số phản xạ  = -1. - Điểm tận cùng bên phải của trục hoành của đồ thi Smith là điểm đặc biệt mà tất cả các đường đẳng r và đẳng x đều đi qua( mọi giá trị của r và x). ở đây, ta coi rằng điểm này tương ứng với trở kháng chuẩn hóa z  ( tức Z  ), là một hở mạch . Đây cũng là điểm có hệ số phản xạ  = +1. - Chúng ta biết rằng từ (1.97), ta có thể suy ra hệ số phản xạ  (x) tại điểm x bất kỳ trên đường truyền sóng từ hệ số phản xạ  (l) tại điểm tải l và khoảng cách d từ điểm x đến tải: d elx  2 )()(   (2.19) Mỗi điểm trên đồ thi Smith đều tương ứng với một hệ số phản xạ trên đường dây. Do đó ta dễ dàng duy ra điểm  (x) trên đồ thị Smith nếu biết trước vị trí của điểm  (l) bằng cách xoay vòng trên một quỹ tích xoắn ốc quanh gốc tọa độ ( đối với vòng tròn không tổn hao, là một quỹ tích hình tròn tâm là tâm của đồ thị Smith ( xem biểu thức (1.99) và hình 1.22). djd eelx  22 )()(   (  /2 ) (2.20) Khi d tăng một khoảng cách bằng  /2 thì điểm hệ số phản xạ  sẽ quay 1 vòng quanh gốc tọa độ của đồ thi Smith. Như vậy, khi di chuyển khoảng cách d bất kỳ thì góc quay sẽ là:   dd 00 720 2/ 360  (2.21) Công thức (2.20) thường được sử dụng với khoảng cách d khi di chuyển từ tải về nguồn. Tuy nhiên có thể mở rộng (2.20) cho trường hợp tổng quát: điểm khởi hành ở vị trí bất kỳ trên đường truyền sóng và di chuyển về phía nguồn (d > 0) hoặc về phía tải (d < 0): + về hướng nguồn : theo chiều kim đồng hồ + về hướng tải: ngược chiều kim đồng hồ Như vậy góc quay của hệ số phản xạ  khi di chuyển trên đường truyền sóng có thể xác định theo đơn vị đo góc (độ), biến thiên từ –180 0 đến +180 0 hoặc theo số lần bước sóng biến thiên từ 0 đến 0.5 lần  cho mỗi vòng quay. -Đối với đường truyền có tổn hao ( )0  , khi di chuyển dọc theo đường truyền sóng, theo (2.20), module của hệ số phản xạ  cũng biến thiên tỉ lệ với d e  2 . Điều này có nghĩa khi di chuyển về phía nguồn (d > 0) thì giảm dần và khi di chuyển về phía tải (d < 0) thì  tăng dần. Sự biến thiên  được xác định theo Chương 2: Đồ thị Smith Trang 50 một thang giá trị “ hệ số suy hao đường truyền” ở phần dưới trái của đồ thị Smith. Trên thang giá trị này , cũng có hai chiều trị số: về phía nguồn và về phía tải. - Hệ số sóng đứng S trên đường truyền không tổn hao cũng có thể được xác định theo đồ thi Smith. Ở phần 1.4 , chúng ta biết rằng với đường truyền sóng không tổn hao, giá trị của  và của S đều là hằng số trên suốt chiều dài đường truyền ( xem biểu thức (1.180) và (1.182)). - Như vậy, các vòng tròn có tâm là gốc tọa độ trên đồ thị Smith có thể được coi là các đường đẳng  hoặc các đường đẳng S , mỗi vòng tròn tương ứng với một giá trị của  và một giá trị S duy nhất. Họ các đường đẳng S không được vẽ cụ thể trên đồ thị Smith nhưng chúng ta có thể xác định chúng một cách dễ dàng nhờ thang giá trị “Hệ số sóng đứng” ở phần dưới trái của đồ thị. 2.3.2 Đặc tính a)Dẫn nạp trên đồ thị Smith - Định nghĩa điện dẫn chuẩn: là nghịch đảo của điện trở chuẩn R 0 0 0 1 R G  (2.22) - Định nghĩa dẫn nạp chuẩn hóa theo điện dẫn chuẩn: zRZR Z G Y y 1 / 1 /1 /1 000  (2.23) -Hệ số phản xạ  được tính là (theo (2.4)): 1 1 1 1 1 1 1 1          y y y y z z (2.24) Hoặc    1 1 y (2.25) Quan hệ giữa  và y theo (2.24) và (2.25) là quan hệ một-một, và ta cũng có thể xây dựng đồ thị Smith theo dẫn nạp. Mặt khác, nếu so sánh (2.24) và (2.25) với (2.2) và (2.4), ta nhận thấy rằng quan hệ giữa  với z hoàn toàn giống như quan hệ giữa (-  ) với y. Điều này có nghĩa đồ thị Smith xây dựng theo trở kháng chuẩn hóa z và đồ thị Smith xây dựng theo dẫn nạp chuẩn y là đối xứng nhau qua gốc tọa độ của mặt phẳng phức  . Nói một cách khác, đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa y được suy ra từ đồ thị Smith theo trở kháng chuẩn hóa z bằng một trong hai cách sau: Chương 2: Đồ thị Smith Trang 51 + Lấy đối xứng toàn bộ đồ thị Smith qua gốc tọa độ (Hình 2.6) + Giữ nguyên đồ thị Smith, nhưng lấy đối xứng của điểm hệ số phản xạ đang xét  qua gốc tọa độ thành điểm hệ số phản xạ (-  ) (hình 2.7). Chú ý nếu trở kháng chuẩn hóa z có thể được viết : z = r + jx (2.26) Thì dẫn nạp chuẩn hóa y cũng được viết tương tự: y = g + jb (2.27) Trong đó: g = G/G 0 là điện dẫn chuẩn hóa b = B/G 0 là điện nạp chuẩn hóa Như vậy, trên đồ thị Smith theo trở kháng chuẩn hóa ta có đường đẳng r và đẳng x thì trên đồ thị Smith theo dẫn nạp chuẩn hóa, các đồ thị vòng tròn giống hệt như trên sẽ trở thành các đường đẳng g và đẳng b. Các thang trị số trên đồ thị không thay đổi ( giá trị r  giá trị g; giá trị x  giá trị b) b) Bụng sóng và nút sóng trên đồ thị Smith Ở phần (1.4), chúng ta đã biết rằng khi có sóng đứng trên đường dây, các điểm bụng sóng và nút sóng điện áp xảy ra tuần hoàn dọc theo chiều dài đường dây với chu kỳ khoảng cách là  /2. Tại điểm bụng sóng điện áp, theo (1.183) và (1.186), trở kháng đường dây sẽ cực đại thuần trở và giá trị chuẩn hóa là : [...]... jx1=zt-zL=(0 . 2- j0.4 )-( 0 . 2- j0.8)=j0.4 L Vì x1>0 nên đây là điện cảm L1: 1 =0.4L1 =20 nH R0 jb2= 1- yt = 1-( 1+j2)=-j2 Vì b2 0 nên đây là điện dung C2: C 2 =2  C2=40pF 1 R0 Ví dụ: ZL = (10 – j40)  cần được phối hợp trở kháng với đường dây không tổn hao có R0 = 50  , tại tần số hoạt động  = 109 rad/s Dùng mạch phối hợp hình  Cách làm tương tự ví dụ trên cho ta 2 nghiệm: Nghiệm 1: L1=77.5nH, L2=70nH (xem đồ thị... trí của (B): yRC1=0 .2+ j0.4 jC 2 Dẫn nạp của C2 là y C  =j0.6 2 1 R0 Vậy dẫn nạp yRC1C2=0 .2+ j0.4+j0,6=0 .2+ j (điểm (C)) Vì phần mạch điện RC1C2 mắc nối tiếp với L nên ta chuyển sang trở kháng Trang 60 Chương 2: Đồ thị Smith Trở kháng zRC1C2 được suy ra từ yRC1C2 bằng cách lấy đối xứng điểm (C) qua gốc tọa độ thành điểm (D) (xem hình 2. 17), trở kháng kết quả (lấy gần đúng): zRC1C2=0 . 2- j0.95 jL Trở kháng... dẫn nạp trên đồ thị Smith (mục 2. 3.2a) Ví dụ xét hình 2. 16, 2. 17: R = 50  , C1 = 10 pF, C2 = 12 pF, L = 22 .5nH,  = 109 rad/s Tính trở kháng Z tương đương giữa 2 đầu mạch điện Trang 59 Chương 2: Đồ thị Smith Chọn R0=50  Trở kháng gồm R và C1 nối tiếp có trị số chuẩn hóa: R z RC1  1 jC1 =1-j2 (điểm (A) trên đồ thị Smith ở hình 2. 17) R0 Vì zRC1 mắc song song với C2 nên trên đồ thị Smith, ta chuyển... điểm y=  đến điểm có điện nạp j5 .2 theo chiều kim đồng hồ (xem hình 2. 73) Từ hình vẽ, ta suy ra: l=(0. 5-0 .031)  =0.469  d=(0.30 2- 0 .21 5)  =0.087  Nghiệm 2: l’=0.031  d’=[0. 5-( 0 .21 5-0 .198)]  =0.483  0 Trang 73 Chương 2: Đồ thị Smith 2. 5.4 Phối hợp trở kháng bằng hai dây chêm (double stub) Phương pháp phối hợp trở kháng bằng một dây chêm tuy đơn giản về mặt nguyên lý hoạt động nhưng khó thực hiện,... đầu cuối ngắn mạch, cách tải đoạn d=0.4  Dây chêm 2 chiều dài l2, đầu cuối ngắn mạch, cách chêm 1 đoạn d 12= 3  /8 Xác định l1 và l2 để có phối hợp trở kháng Cách giải tương tự với lập luận trên, ta có 2 nghiệm: Nghiệm 1: l1=0.373  , l2=0.337  (xem hình 2. 38, 2. 39) Nghiệm 2: l1=0.143  , l2=0.058  (xem hình 2. 38, 2. 39) Trang 75 Chương 2: Đồ thị Smith Trang 76 ... đường đẳng g=1 qua gốc tọa độ (đường tròn chấm chấm trên hình 2. 21) Vậy từ zL ta di chuyển đến điểm zt =0 . 2- j0.4 hoặc điểm z t' =0 .2+ j0.4 Bài toán có 2 nghiệm Trang 64 Chương 2: Đồ thị Smith Nghiệm 1: Từ điểm zt ta lấy đối xứng qua gốc để có điểm dẫn nạp yt=1+j2 Mắc song song với yt điện nạp chuẩn hóa jb2 sẽ cho dẫn nạp tổng là: y= yt + jb2 Vì jb2 là thành phần điện nạp nên được chọn sao cho điểm yt sẽ... đường tròn tròn trong mặt phẳng đồ thị Smith có : Tâm :  p(1  K 2 )  K (1  p 2 )   1  p 2 K 2 , 0  ; Bán kính : (1  p 2 K 2 )    (2. 45) Hình 2. 9 miêu tả các vòng tròn đẳng a hoặc đẳng Sa trên đồ thị Smith của mặt phẳng  có điện trở chuẩn R0: Trang 53 Chương 2: Đồ thị Smith + Nếu Rao = R0 ( a =1 ) nghĩa là không thay đổi cơ sở trở kháng chuẩn hóa thì p = 0 và các vòng tròn đẳng a hoặc . phần thực và phần ảo hai vế của (2. 10), ta thu được cặp phương trình: 22 22 )1( 1 ir ir r    (2. 11) 22 )1( 2 ir i x    (2. 12) Xét (2. 11), phương trình này chỉ phụ thuộc. zRZR Z G Y y 1 / 1 /1 /1 000  (2. 23) -Hệ số phản xạ  được tính là (theo (2. 4)): 1 1 1 1 1 1 1 1          y y y y z z (2. 24) Hoặc    1 1 y (2. 25) Quan hệ giữa  và y theo (2. 24) và (2. 25). thị Smith (mục 2. 3.2a). Ví dụ xét hình 2. 16, 2. 17: R = 50  , C1 = 10 pF, C2 = 12 pF, L = 22 .5nH,  = 10 9 rad/s. Tính trở kháng Z tương đương giữa 2 đầu mạch điện Chương 2: Đồ thị Smith