Chương 3 MA TRẬN TÁN XẠ 3.1 Khái niệm Nội dung của chương này giới thiệu một phương cách mô hình hóa một mạch điện hoặc một phần mạch điện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương đư
Trang 1Chương 3
MA TRẬN TÁN XẠ
3.1 Khái niệm
Nội dung của chương này giới thiệu một phương cách mô hình hóa một mạch điện hoặc một phần mạch điện ở tần số siêu cao bằng các phần tử tương đương
có thông số phân bố hoặc tập trung trung, biểu diễn dưới dạng các mạng nhiều cửa Thông số của mạng được định nghĩa thông qua các ma trận đặc tính Biết được giá trị của ma trận đó là biết được hoàn toàn đặc tính hoạt động của
mạng, mà ta không cần quan tâm đến cấu trúc thực tế của các phần tử trong mạng , đến cường độ điện từ trường tại các điểm của mạng
Hình 3.2 một mạng n cửa được đánh số từ cửa 1 đến cửa n Tại mỗi cửa j , có một nguồn tín hiệu EJ và một nội trở nguồn ZoJ (được chọn làm trở kháng
chuẩn cho cửa j đó)
Điện áp và dòng điện tại ngõ vào cửa j bất kỳ là tổng của sóng tới và sóng phản xạ:
Vj = Vij + Vrj
Ij = Iij - Irj
n
j 1 ,
3.2 Ma trận Tán Xạ S - các hệ số:
1 Dẫn dắt ban đầu
Trang 2Cho mạch điện đơn giản gồm nguồn tín hiệu E, nội trở Z0 (phần thực R0), mắc nối
vào lần lượt là V và I
Ta có:
L
Z Z
E I
0 (3.1)
L
L Z Z
Z E V
0 (3.2)
Công suất từ nguồn E đạt cực đại khi có sự phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn, nghĩa là:
*
0
Z
Z L (liên hiệp phức) (3.3)
Ở vùng tần số siêu cao, điện áp và dòng điện tại bất kì điểm nào cũng đều được coi là tổng của 1 sóng tới và 1 sóng phản xạ
Dòng điện sóng tới được định nghĩa là dòng điện trong mạch khi có sự phối hợp trở kháng (điều kiện (3.3)):
0
* 0
E Z
Z
E
(3.4) Điện áp sóng tới được tính khi có sự phối hợp trở kháng:
0
* 0
* 0 0
* 0
2R
EZ Z
Z
EZ
(3.5) Vậy: V i Z0*I i (3.6) Sóng phản xạ điện áp là:
V r V V i (3.7)
Thay (3.2) và (3.5) vào (3.7), ta có:
i L L
L L L L
L
L r
V Z Z
Z Z Z Z
Z Z
Z Z Z
Z Z Z EZ
Z Z
Z Z Z
Z Z Z EZ
Z Z
EZ Z
Z
EZ V
0
* 0
* 0 0
0
* 0
* 0
0
* 0 0
* 0
0
* 0 0
* 0
* 0 0
* 0
* 0 0
* 0 0
1
(3.8) Tương tự, sóng phản xạ dòng điện là:
I r (II i) (3.9)
Thay (3.1) và (3.4) vào (3.9), ta có:
Trang 3
i L L
L
L r
I Z Z
Z Z
Z Z
Z Z Z
Z E
Z Z
E Z
Z
E I
0
* 0
0
* 0 0
* 0 0
0
* 0 0
1
(3.10)
Hệ số phản xạ điện áp:
L L i
r v
Z Z
Z Z Z Z V
V S
0
* 0
* 0 0
(3.11)
Hệ số phản xạdòng điện là:
i
r i I
I
=
L
L Z Z
Z Z
0
* 0
(3.12)
Trường hợp đặc biệt, nếu Z0 là điện trở thực (Z0 R0) thì (3.11) và (3.12) sẽ đồng nhất:
0
0
R Z
R Z S S S
L
L v
(3.13) Biểu thức (3.13) chính là hệ số phản xạ trên đường dây đã xét ở chương 1
Ta cũng có:
V r Z0I r (3.14)
Cho mạng n cửa như hình 3.2 Xét cửa thứ j như hình
Trang 4Tại cửa j gồm nguồn Ej, nội trở R0j , Vij,Vrj, Iij, Irj là hiệu điện thế tới/về và cường độ dòng điện tới/về
Vj, Ij là hiệu điện thế và cường độ dòng điện tại ngõ vào bằng tổng của sóng tới và sóng phản xạ:
V j V ij V rj (3.15)
I j I ij I rj (3.16)
các trở kháng chuẩn tại các cửa Z0j
Ta cũng định nghĩa các đại lượng điện áp và dòng điện sóng tới và sóng phản
xạnhư là các vectơ cột n phần tử:
in
i i
i
V
V V
V
2 1
rn
r r
r
V
V V
V
2 1
in
i i
i
I
I I
I
2 1
rn
r r
r
I
I I
I
2 1
(3.18)
Vậy (3.15) và (3.16) được viết thành:
V V i V r
(3.19)
I I i I r
(3.20)
Ta cũng có quan hệ tương tự như (3.6) và (3.14):
V i Z0* I i
(3.21)
V r Z0 I r
(3.22)
Tương tự như hệ số phản xạ điện áp và dòng điện được định nghĩa ở (3.11)
và (3.12) ta cũng có ma trận hệ số phản xạ điện áp và dòng điện:
V r S v V i
(3.23)
I r S i I i
(3.24)
2 Ma trận tán xạ S
Ma trận Tán Xạ S ( Scattering Matrix) của một mạng n cửa được xây
dựng từ quan hệ của các đại lượng a và b liên quan đến công suất sóng tới
và sóng về( khác với sóng phản xạ) Với mạng n cửa , tại mỗi cửa thứ j đều có một
Trang 5thành phần sóng tới aj ( sóng đi vào cửa) và một thành phần sóng về bj ( sóng đi ra khỏi cửa) như được vẽ ở hình 3.3
Sóng tới aj không những bao gồm công suất của nguồn tín hiệu E j tại cửa j
vào cửa j
Sóng về theo hướng đi ra khỏi cửa j không những bao gồm sóng phản xạ của
tại các cửa khác và đi ra khỏi cửa j Do đó ta không gọi tên đây là sóng phản xạ
mà gọi là sóng về
n a
a a
a
2 1
;
3
2 1
b
b b
b (3.25)
Sóng tới [a] và sóng về [b] được định nghĩa như sau:
i I Z Z a
2
2
1
* 0
0
(3.26)
r I Z Z b
2
2
1
* 0
0
Trong đó, các ma trận [Z0], [Ii] và [Ir] được định nghĩa lần lượt theo (3.17) và (3.18), (3.21), (3.22)
Nếu gọi R0j là phần thực của trở kháng chuẩn Z0j thì (3.26) và (3.27) có thể viết thành:
a j R0j.I ij (3.28)
Trang 6b j R0j.I rj (3.29) Hoặc viết dưới dạng ma trận:
a R 2 I i
1 0
(3.30) b R 2 I r
1 0
(3.31)
Ma trận tán xạ S được định nghĩa dựa theo quan hệ sau đây giữa a và b : b = S a (3.32)
Nghĩa là S biểu diễn quan hệ giữa các đại lượng sóng tới a và sóng về b
tại các cửa Biết được các thông số của ma trận S có nghĩa là ta biết được đặc tính hoạt động của mạng n cửa và tính được các công suất sóng ra khi đã biết được các công suất sóng đưa vào, mà không cần biết đến cấu trúc mạch điện bên trong của mạng n cửa
Liên hệ giữa sóng tới và sóng về với điện áp và dòng điện
Xét tại cửa thứ j của mạng n cửa như hình, ta có:
E j V j Z0j (3.42) Mặc khác, từ (3.15) và (3.16):
V j V ij V rj (3.43)
I j I ij I rj (3.44) Kết hợp với (3.6) và (3.14):
V ij Z0*j I ij (3.45)
V rj Z0j I rj (3.46)
Ta có thể viết lại thành:
E j V j Z0j
ij j
ij j ij j
rj ij j rj j ij j
I R
I Z I Z
I I Z I Z I Z
0 0
* 0
0 0
* 0
2
(3.47)
Theo (3.28), ta có thể viết lại:
j
j j j
ij j j
R
I Z V
I R a
0 0 0
2
(3.48)
j
j
R
E
0 2
(3.49)
Trang 7
Để tìm quan hệ giữa sóng về bj với Vj và Ij, ta lại tính:
V j Z0*j I j
rj j
rj j rj j
rj ij j rj j ij j
I R
I Z I Z
I I Z I Z I Z
0
* 0 0
* 0 0
* 0
2
(3.50)
Từ (3.29) ta có thể viết:
j
j j j
rj j j
R
I Z V
I R b
0
* 0 0
2
.
(3.51)
Từ (3.48) và (3.51) ta có thể viết:
j
j j j
j j
R
Z Z R
V b a
0
* 0 0
j
j j j
R
Z Z b
0
* 0 0
Trường hợp đặc biệt, nếu Z0j là điện trở thực (Z0j R0j) thì (3.54) có thể viết lại:
j
j j j
R
V b a
0
(3.56)
3.2.1 Ý nghĩa các đại lượng a và b :
Trang 8
Xét tại cửa th ứ j của mạng n cửa như hình, ta có công suất trung bình Pj
được truyền vào phía trong của cửa j là:
Re 2
1
j j
P (3.61) Thay giá trị của Vj và Ij từ (3.55) và (3.56) vào (3.61):
0 0
1 Re
2
1
j j j j
j j
R b a R
Re 2
1
j j j j j j j
j a a b a b b b
j j j
j b a b
2
1
j j
P (3.63)
2
1
j
a tượng trưng cho công suất sóng tới Pij của cửa j
2
1
j
b tượng trưng cho công suất sóng về Prj của cửa j
Như vậy, 1 phần công suất tới sẽ phản xạ ngược ra khỏi cửa j, chỉ 1 phần công suất mới được truyền vào phía trong mạng n cửa
3.2.2 Đặc tính của ma trận tán xạ S :
Tính đối xứng: nếu mạng n cửa có tính thuận nghịch thì ma trận S sẽ đối xứng qua đường chéo, hoặc nói cách khác S klS lk k,l 1,n
(Tính thuận nghịch là khi đưa một tín hiệu vào cửa k, công suất tín hiệu ra tại cửa l cũng bằng công suất tín hiệu đi ra tại cửa k nếu đưa cùng một tín hiệu vào cửa l)
Trang 9Định lý Kronecker:
Ngoài tính chất đối xứng, các hệ số S kl của ma trận S của mạng n cửa không tổn
hao còn phải thỏa mãn định lý Kronecker:
ij n
k
kj
ik S
1
*
.
Trong đó
j i neu
j i neu ij
0
1
3.2.3 Ý nghĩa vật lý của các hệ số S kl của ma trận S :
Xét một mạng hai cửa thụ động không tổn hao và thuận nghịch như hình 3.6
Ta có từ (3.48) và (3.49):
j
j j j
ij j j
R
I Z V
I R a
0 0 0
2
j
j
R
E
0 2
(3.85)
Ta có từ (3.51):
Trang 10
j
j j j
rj j j
R
I Z V
I R b
0
* 0 0
2
.
j=1,2
(3.86)
và từ (3.32):
b = S a
Ma trận S có dạng S =
22 21
12 11
S S
S S
Ma trận [a] có dạng
2
1
a
a
Ma trận [b] có dạng
2
1
b
b
Vậy, ta có:
2
1
b
b
22 21
12 11
S S
S S
2
1
a a
Dạng biểu thức:
2 22 1 21 2
2 12 1 11 1
a S a S b
a S a S b
Ý nghĩa của S 11 :
Ta có:
0
2 1
1
11 a a
b
Điều kiện a2 0 ám chỉ không có sóng đi vào cửa 2 của mạng, có nghĩa là:
+ Cửa 2 được kết thúc bởi tải phối hơp
+ Nguồn E2 bị triệt tiêu
Từ (3.85), ta có: Với a2 0 nên E2=0 và V2 R02I2
(3.88)
Thay (3.85) và (3.86) vào (3.87), ta có:
Load R
E I R V
I R V S
: ,
2 1 01 1
1 01 1
(3.89)
Gọi
Load R
E I
V Z
: ,
2 1
1
2 có tải R02 và nguồn E2 triệt tiêu, ta có thể viết lại (3.89):
Trang 11
01 11
01 11 11
R Z
R Z S
(3.90)
S11 chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 1 với trở kháng chuẩn là R01 và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z11, trong điều kiện cửa 2 không có nguồn E2 (E2 = 0) và được kết thúc bởi tải R02 phối hợp
0 2
1 2 1
1
2 1
2 2 1
2 1 2
a
b
a a
b
Như ta đã biết, 1 2
2
1
2
1
b
tượng trưng cho công suất sóng phản xạ của cửa 1
Vậy S112 tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 1
Ý nghĩa của S 22 :
Tương tự như trên, ta có:
0
1 2
2 22
a a
b
S
(3.92)
Và ta cũng suy ra:
02 22
02 22 22
R Z
R Z S
(3.93)
S22 chính là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào 2 với trở kháng chuẩn là R02 và trở kháng nhìn vào cửa 1 là Z22 , trong điều kiện cửa 1 không có nguồn E1 (E1 = 0 ) và được kết thúc bởi tải R01 phối hợp
Tương tự S22 2 tượng trưng cho hệ số phản xạ công suất tại cửa 2
Ý nghĩa của S 21 :
Tương tự như trên, ta có:
0
2 1
2
21 a a
b
S (3.94)
S21 là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 2 khi đặt sóng tới tại cửa 1 trong điều kiện không có sóng tới tại cửa 2 ( nguồn E2 = 0 và cửa 2 được kết thúc bởi tải R02 phối hợp)
Thay (3.85) và (3.86) vào (3.94), ta có:
0 2 2 01
2 02
21 i i
r
I I R
I R
S (3.95)
Trang 12Mặc khác vì I i2 0 nên I2= -Ir2 và do cửa 2 có tải là R02 nên
V2 R02I2 R02I r2 Vậy:
01 1 02 2
1 01 02 2
21
2
1
R E R V
I R R V S
i
(3.96)
Ta cũng có thể viết từ (3.94):
0 2
1 2 1
1
2 2
2 2 1
2 2 2
a
b
a a
b
(3.97)
Vậy S212 tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi cửa 2 để đến tải R02 với công suất tín hiệu đến tại cửa 1 S212 được gọi là hệ số truyền đạt công suất từ cửa 1 đến cửa 2
Chú ý rằng do điều kiện Kronecker của mạng 2 cửa thụ động và thuận
nghịch, ta có:
S212+S112=1 (3.98)
So sánh (3.91) và (3.97) với (3.98), ta nhận thấy định luật bảo toàn công suất
2
2
1
1 2
1
1
2
1
Ý nghĩa của S 12 :
Tương tự như trên, ta có:
0
1 2
1
12 a a
b
S (3.99)
S12 là tỉ số giữa sóng ra tại cửa 1 khi đặt sóng tới tại cửa 2 trong điều kiện
không có sóng tới tại cửa 1 ( nguồn E1 = 0 và cửa 1 được kết thúc bởi tải R01 phối hợp)
Tương tự như trên, S12 2 tượng trưng cho tỉ số giửa công suất tín hiệu ra khỏi cửa 1 để đến tải R01 với công suất tín hiệu đến tại cửa 2 S12 2 được gọi là hệ số
truyền đạt công suất từ cửa 2 đến cửa 1
Một cách tổng quát ta có các đặc tính sau của các hệ số S ij của mạng n cửa:
Trang 13- Sjj là hệ số phản xạ điện áp tại cửa vào thứ j trong điều kiện các cửa còn lại không có sóng vào Nếu Sjj = 0 , ta có phối hợp trở kháng tại cửa j
- Sij là hệ số truyền đạt công đạt công suất từ cửa j đến cửa i Nếu Sij = 0 , ta nói cửa i và cửa j cách ly nhau
Bài tập:
R01, trở kháng nhìn vào cửa 1 có giá trị Z11 Cửa 2 gồm nguồn E2, nội trở R02, trở kháng nhìn vào cửa 2 có giá trị Z22 Cho Z1=(50-j75), Z2=(60+j50), Z3 =(20-j25)
R02 100 R01
50
E2 E1
Xác định ma trận [S]
Z 3
