TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 1 PHẦN A: ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHỦ ĐỀ 1: MA TRẬN 1. ĐỊNH NGHĨA Ma trận là một bảng gồm nhiều số được sắp xếp thành m dòng và n cột. Dưới đây là mô tả của ma trận tổng quát. Chú ý: a ij là phần tử nằm tại dòng thứ i cột thứ j ( giao của dòng i và cột j ). m.n là kích thước của ma trận. Ví dụ: cho ma trận sau: Thì: a 11 là phần tử nằm ở dòng 1 cột 1 tức là 1. a 23 là phần tử nằm ở dòng 2 cột 3 tức là số 2. a 34 là phần tử nằm ở dòng 3 cột 4 tức là số 8. Ma trận trên có kích thước là 4.4 vì nó gồm 4 dòng và 4 cột tạo thành. Ma trận như ví dụ trên là ma trận vuông ( cấp 4 ), ắt hẳn các bạn sẽ hình dung được vuông là như thế nào? Đúng rồi, vuông tức là số dòng bằng với số cột đấy nhé ( cấp của ma trận vuông = số dòng = số cột ). Ôi chao, sao mà rắc rối nhỉ. Vuông là thế à? Còn nếu ma trận không phải là ma trận vuông thì sao? Dễ thôi mà, sau đây là một số ví dụ cho các bạn thấy có rất nhiều loại ma trận với kích cỡ khác nhau. Đây là ma trận có 3 dòng và 4 cột. Đây là ma trận có 2 dòng và 1 cột. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 2 Cứ như vậy tự các bạn có thể làm ví dụ viết lên theo ý thích của mình rất nhiều ma trận có kích cỡ khác nhau. Các ban nên quan tâm rằng mỗi ma trận ta gán cho nó một tên gọi riêng. Như ở đây chúng ta gán cho các ma trận với các tên gọi là ma trận A, ma trận B hay ma trận C ( điều đó là tùy thích ). Nhưng trong đề thi cho tên gọi là gì thì các bạn hãy tuân theo như thế. Đừng thay đổi làm gì nhé. 2. MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT. Ma trận không, ma trận đường chéo, ma trận đơn vị cấp n, ma trận vuông tam giác. Tuy nhiên, thực dụng chúng ta quan tâm nhiều nhất là ma trận đơn vị cấp n và ma trận vuông tam giác. Ma trận đơn vị cấp n có dạng tổng quát như sau: ( ký hiệu I n ). I n = Ma trận đơn vị có: - Số dòng = số cột. - Các phần tử bằng 1 nằm trên đường chéo chính. - Các phần tử nằm ngoài đường chéo chính bằng 0. Ma trận vuông tam giác: bao gồm ma trận vuông tam giác trên và ma trận vuông tam giác dưới. Ma trận vuông tam giác trên là ma trận có dạng tổng quát như sau: A= Ví dụ các ma trận sau là ma trận vuông tam giác trên. A= ; B= ; C= Như vậy, các bạn có thể thấy tất cả các phần tử nằm dưới đường chéo chính là bằng không. Tương tự ta có ma trận vuông tam giác dưới. Ở đây các bạn hãy thử viết xem ma trận vuông tam giác dưới là có dạng gì? Hãy đặt bút và suy nghĩ để tự viết lên nhé. 3. CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TRÊN MA TRẬN. 3.1 Hai ma trận bằng nhau: Cho 2 ma trận A=(a ij ), B=(b ij ) và 2 ma trận này có số dòng bằng nhau, số cột bằng nhau thì chúng ta gọi 2 ma trận này bằng nhau nếu a ij =b ij với mọi i,j. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 3 3.2 Tổng của hai ma trận cùng cấp ( cùng loại ): Tổng của hai ma trận cùng cấp ( cùng loại ) A=(a ij ), B=(b ij ) là một ma trận cùng loại với A,B ký hiệu là A+B với phần tử ở dòng i và cột j là a ij +b ij , có nghĩa là A+B = (a ij +b ij ). Chúng ta nên lấy 1 ví dụ để các bạn hiểu rõ hơn về phép cộng này nhé: Tìm A+B với A= và B= Ta làm như sau: A+B= + = = 3.3 Nhân ma trận với một số thực α. Tích của ma trận A với một số thực α là một ma trận cùng loại được ký hiệu là αA, với phần tử của dòng thứ i và cột thứ j là αa ij . Hay nói các khác: αA = (αa ij ). Ví dụ: A= , α =3 thì αA = = 3.4 Tích của hai ma trận. Chúng ta xem xét 2 ma trận, ma trận A=(a ij ) loại m.n ( tức m dòng và n cột ), B=(b ij ) loại n.p ( tức n dòng và p cột ). Thì tích của hai ma trận A và B là một ma trận loại m.p ( tức m dòng và p cột ) được ký hiệu là A.B, với phần tử dòng thứ i cột thứ j là: c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj, hay AB = (a i1 b 1j + a i2 b 2j + … + a in b nj ) Một điều quan trọng các bạn phải chú ý đặc biệt là số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B. Nếu không bằng thì không thể thực hiện phép tính nhân hai ma trận với nhau được. Tổng quát về phép nhân 2 ma trận như sau: = Ví dụ: A= , B= thì A.B = = 4. MA TRẬN CHUYỂN VỊ. Ma trận chuyển vị của ma trận A loại m.n ( m dòng n cột ) là một ma trận loại n.m được ký hiệu là A T . Với phần tử dòng thứ i cột thứ j là a ji , hay là A T = (a ji ). Như vậy chúng ta sẽ sắp xếp dòng của ma trận A thành cột của ma trận chuyển vị. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 4 Ví dụ như sau: A= thì ma trận chuyển vị của ma trận A là A T = 5. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP CỦA MA TRẬN. Nhân tất cả các phần tử của một dòng với một số khác không. Cộng tất cả các phần tử của một dòng đã được nhân với một số khác không vào các phần tử tương ứng của một dòng khác. Đổi vị trí hai dòng với nhau. Đây là các phép biến đổi sơ cấp đối với dòng. Như vậy đối với cột thì sao? Vâng, chúng cũng được phát biểu tương tự. Vậy các bạn hãy thử phát biểu xem như thế nào? 6. MA TRẬN BẬC THANG VÀ MA TRẬN BẬC THANG RÚT GỌN. 6.1 Ma trận bậc thang. Ma trận bậc thang là ma trận thỏa các điều kiện sau: - Tất cả các dòng bằng không nằm ở dưới các dòng khác không ( dòng bằng không là dòng mà tất cả các phần tử đều bằng không, dòng khác không là dòng mà có ít nhất một phần tử khác không ). - Phần tử chính ( phần tử trụ, phần tử cơ sở ) của một dòng bắt buộc phải nằm phía phải đối với phần tử chính của hàng trên nó ( phần tử chính hay phần tử trụ, phần tử cơ sở là phần tử khác không đầu tiên của một dòng tính từ trái sang ). Ví dụ các ma trận sau đây có phải là dạng bậc thang không? A= , B= , C= D= , E= , F= Các bạn hãy nhận định xem, ma trận nào là ma trận dạng bậc thang? 6.2 Ma trận bậc thang rút gọn. Một ma trận được gọi là ma trận bậc thang rút gọn khi nó đáp ứng đủ các yếu tố sau: - Hiển nhiên là nó phải có dạng bậc thang. - Phần tử chính của dòng bằng 1 và là phần tử khác không duy nhất của cột chứa nó. Ví dụ các ma trận sau đây có phải là ma trận bậc thang rút gọn hay không? A= TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t - L u y ệ n T h i C a o H ọ c T E N s – 3 6 T r ầ n C a o V â n Trang 5 B= , C= , D= Các bạn hãy nhận định xem, ma trận nào là ma trận dạng bậc thang rút gọn? 6.3 BIẾN ĐỔI MA TRẬN THÀNH MA TRẬN BẬC THANG HOẶC MA TRẬN BẬC THANG RÚT GỌN. Chúng ta thừa nhận một điều chắc chắn đúng là một ma trận dù có kích cỡ như thế nào thì bằng các phép biến đổi sơ cấp với hàng ( hay cột ) đều có thể đưa ma trận đó thành một ma trận bậc thang hoặc ma trận bậc thang rút gọn. Ví dụ: biến đổi các ma trận sau thành ma trận bậc thang. A= , B= Chúng ta dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để thực hiện. Ma trận A: A= = C Như vậy, ta đã biến đổi các phần tử nằm ở bên dưới góc trái của ma trận A thành số 0 sao cho thỏa mãn yêu cầu của ma trận dạng bậc thang. Ma trận B: B= Dòng 2: ta lấy dòng 2 trừ 2 lần dòng 1. Dòng 3: ta lấy dòng 3 trừ 3 lần dòng 1. Dòng 3: ta lấy dòng 3 trừ dòng 1. Ta đổi dòng 1 cho dòng khác để phần từ đầu tiên của dòng 1 khác không, ở đây ta đổi cho dòng 2. Đưa các phần tử ở cột 1 thành 0 ( ngoại trừ phần tử đầu tiên của dòng 1 với cột 1 ). Dòng 2: dòng 2 trừ dòng 1. Dòng 3: dòng 3 trừ dòng 1. . TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t. Đây là ma trận có 3 dòng và 4 cột. Đây là ma trận có 2 dòng và 1 cột. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t. thì chúng ta gọi 2 ma trận này bằng nhau nếu a ij =b ij với mọi i,j. TOÁN CAO CẤP THI CAO HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ [WWW.TENS.VN | WWW.SAUDAIHOC.INFO] B i ê n t ậ p : T u t k k t