Giải hệ thống PT ĐSTT docx

Báo Cáo Chương Lưu Hoàng em – DH7A2 Đại học An Giang • ĐẶT VẤN ĐỀ • PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP: PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ (HAY PHƯƠNG PHÁP KHỬ) • NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP BÀI 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương này, ta xét giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính (pt đstt) n pt n ẩn. 11 1 12 2 13 3 1 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 1 1 1 2 2 3 3 1 (3.1) + + + + + + + =   + + + + =     + + + + =  n n n n n n n n n nn n nn a x a x a x a x a a x a x a x a x a a x a x a x a x a Muốn giải hệ thống pt này bằng pp Crame thì khối lượng tính rất lớn khi n lớn. Vì vậy, người ta phải xây dựng những pp sao cho khối lượng tính có thể thực hiện được khi n lớn. Những pp giải hệ thống pt (3.1) được chia làm 2 loại: những pp trực tiếp và những pp lặp. Việc chọn pp giải phụ thuộc vào đặc điểm cảu ma trận hệ số A của hệ. Việc chọn không phải là một nguyên tắc cứng nhắc, không phải không có những trường hợp ngoại lệ. BÀI 2. PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ 2.1. Nội dung pp 2.2. Sơ đồ tính 2.3. Kiểm tra quá trình tính 2.4. Khối lượng tính 2.5. Sai số của pp Gaoxơ 2.6. PP Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất 2.7. Tính định thức bằng pp Gaoxơ 2.8. Tính ma trận nghịch đảo bằng pp Gaoxơ 2.9. Chuẩn của ma trận và chuẩn của pp vectơ 2.10. Sự không ổn định của hệ thống pt đstt Nội dung cơ bản của PP Gaoxơ là khử dần các ẩn số để đưa hệ (3.4) về hệ “tam giác” tương đương (ma trận hệ số của hệ là ma trận tam giác trên): (1) (1) (1) (1) 1 12 2 13 3 14 4 15 (1) (1) (1) 2 23 3 24 4 25 (1) (1) 3 34 4 35 (1) 4 45 (3.5)  + + + =  + + =   + =   =  x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a Sau đó giải hệ (3.5) từ dưới lên trên. Quá trình đưa hệ (3.4) về hệ (3.5) gọi là quá trình thuận, quá trình giải hệ (3.5) gọi là quá trình ngược. a) Quá trình thuận Khử . Giả sử gọi là trụ thứ nhất). Chia phương trình đầu của hệ (3.4) cho , ta nhận được: 1 x (0) (0) 11 11 0 (a a≠ (0) 11 a (1) (1) (1) (1) 1 12 2 13 3 14 4 15 (1) (0) ij ij (3.6) ( , 2,3,4,5) x a x a x a x a a a j + + + = = = Dùng pt (3.6) khử trong ba pt còn lại của hệ (3.6). Muốn thế, đem pt thứ hai của hệ (3.4) trừ pt (3.6) đã nhân với đem phương trình thứ ba của hệ (3.4) trừ phương trình (3.6) đã nhân với đem phương trìng thứ tư của hệ (3.4) trừ phương trình (3.6) đã nhân với 1 x (0) 21 a (0) 31 a (0) 41 a Kết quả nhận được hệ ba phương trình sau: Khử . Giả sử gọi là trụ hạng thứ hai). Chia pt đầu của hệ (3.7) cho , ta được: (1) (1) (1) (1) 22 2 23 3 24 4 25 (1) (1) (1) (1) 32 2 33 3 34 4 35 (1) (1) (1) (1) 42 2 43 3 44 4 45 (1) (0) (0) (1) ij ij 11 ij (3.7) ( , 2,3,4; 2,3,4,5) a x a x a x a a x a x a x a a x a x a x a a a a a i j  + + =  + + =   + + =  = − = = (1) (1) 22 22 0(a a≠ 2 x (1) 22 a (2) (2) (2) 2 23 3 24 4 25 (2) (1) (1) 2 2 22 (3.8) ( / , 3,4,5). j j x a x a x a a a a j + + = = = Đem phương trình thứ hai của hệ (3.7) trừ phương trình (3.8) đã nhân với Kết quả nhận được hệ hai phương trình sau: (1) 42 .a ( ) (2) (2) (2) 33 3 34 4 35 (2) (2) (2) 43 3 44 4 45 (2) (1) (1) (2) ij 2 2 3.9 ( , 3,4; 3,4,5) ij i j a x a x a a x a x a a a a a i j  + =  + =  = − = = Khử . Giả sử gọi là trụ thứ ba). Chia pt đầu của hệ (3.9) cho và đem pt thứ hai của hệ (3.9) trừ pt vừa nhận được đã nhân với ,ta được: 3 x (2) (2) 33 33 0(a a≠ (2) 33 a (2) 43 a ( ) ( ) (3) (3) 3 34 4 35 (3) (3) 44 4 45 (3) (2) (2) (3) (2) (2) (3) 3 3 33 4 4 43 3 3.10 3.11 ( / , , 4,5) j j j j j x a x a a x a a a a a a a a j + = = = = − = Cuối cùng nếu gọi là trụ thứ tư), ta chia pt (3.11) cho , pt (3.11) có dạng: (3) (3) 44 44 0 (a a≠ (3) 44 a ( ) ( ) 45 (4) 4 45 (4) (3) (3) 45 44 3.12 / x a a a a = = [...]... ca ma trn vuụng cp n 2.So vi cỏch tớnh nh thc bng khai trin Laplax, phng phỏp Gaox ũi hi ớt phộp tớnh nhiu hn, nht l khi n ln 3.Khi ỏp dng phng phỏp Gaox gii h thng pt Ax = b ta cú th nhn c ng thi nghim v nh thc ca ma trn h s A ca h thng pt Thớ d 3.4 Dựng phng phỏp Gaox, tớnh nh thc: 7,4 = 1,6 4,7 5,9 2,2 4,8 7,0 2,7 3,1 0,7 8,5 4,5 6,0 6,6 4,9 5,3 Gii: Kt qu tớnh toỏn c ghi trong bng 3.4 Cn lu... phng phỏp Gaox l mt phng phỏp ỳng Tuy nhiờn, trong tớnh toỏn, khụng trỏnh khi sai s lm trũn, cho nờn trong thc t, dựng phng phỏp Gaox ta cng ch nhn c nghim gn ỳng Thớ d: Dựng phng phỏp Gaox gii h thng pt sau : 2,0 x1 + 1,0 x2 0,1x3 + 1,0 x4 = 2,7 0, 4 x + 0,5 x + 4,0 x 8,5 x = 21,9 1 2 3 4 (3.18) 0,3 x1 1,0 x2 + 1,0 x3 + 5, 2 x4 = 3,9 1,0 x1 + 0, 2 x2 + 2,5 x3 1,0 x4 = 9,9 Gii: Kt qu tớnh toỏn... B (- A = A) tho Ngi ta thng dựng ba chun ma trn sau: ồ A = max 1 j i ổ A = ỗ aij ỗ ỗ 2 ỗ i j ố A = max ồ Ơ i aij 1 2 2ử ồ i ữ ữ ữ ữ ứ aij (chun ct) (chun clit) (chun hng) 2.10 S khụng n nh ca h thng pt stt Trong tớnh toỏn thc hnh, ta cú th gp nhng h thng phng trỡnh i s tuyn tớnh m nhng thay i nh trờn cỏc h s hoc trờn cỏc phn t v phi ca h thng phng trỡnh s gõy ra nhng thay i rt ln v nghim H thng phng . vectơ 2.10. Sự không ổn định của hệ thống pt đstt Nội dung cơ bản của PP Gaoxơ là khử dần các ẩn số để đưa hệ (3.4) về hệ “tam giác” tương đương (ma trận hệ số của hệ là ma trận tam giác trên): (1). lớn. Những pp giải hệ thống pt (3.1) được chia làm 2 loại: những pp trực tiếp và những pp lặp. Việc chọn pp giải phụ thuộc vào đặc điểm cảu ma trận hệ số A của hệ. Việc chọn không phải. KHỬ) • NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP BÀI 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương này, ta xét giải hệ thống phương trình đại số tuyến tính (pt đstt) n pt n ẩn. 11 1 12 2 13 3 1 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 1 1 1 2 2 3 3 1