Giải hệ thống PT ĐSTT docx

Sơ đồ tínhPhân tích quá trình áp dụng phương pháp Gaoxơ ở mục 2.1 ta thấy: để đưa hệ thống 3.4 về hệ thống “tam giác” tương đương 3.13, chỉ cần tính các hệ số Kết quả tính, trong trường

Báo Cáo Chương

Lưu Hoàng em – DH7A2

Đại học An Giang

• ĐẶT VẤN ĐỀ

• PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP: PHƯƠNG PHÁP

GAOXƠ (HAY PHƯƠNG PHÁP KHỬ)

• NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP

ta phải xây dựng những pp sao cho khối lượng tính có thể thực hiện được khi n lớn.

Những pp giải hệ thống pt (3.1) được chia làm 2 loại:

những pp trực tiếp và những pp lặp

Việc chọn pp giải phụ thuộc vào đặc điểm cảu ma trận hệ

số A của hệ

Việc chọn không phải là một nguyên tắc cứng nhắc,

không phải không có những trường hợp ngoại lệ

BÀI 2 PHƯƠNG PHÁP GAOXƠ

Nội dung cơ bản của PP Gaoxơ là khử dần các ẩn số để đưa hệ (3.4) về hệ “tam giác” tương đương (ma trận hệ số của hệ là ma trận tam giác trên):

Sau đó giải hệ (3.5) từ dưới lên trên

Quá trình đưa hệ (3.4) về hệ (3.5) gọi là quá trình thuận,

x

(0) 21

a

(0) 31

a

(0) 41

a

Kết quả nhận được hệ ba phương trình sau:

Khử Giả sử gọi là trụ hạng thứ hai) Chia

pt đầu của hệ (3.7) cho , ta được:

Đem phương trình thứ hai của hệ (3.7) trừ phương trình (3.8)

Khử Giả sử gọi là trụ thứ ba) Chia pt đầu của hệ (3.9) cho và đem pt thứ hai của hệ (3.9)

trừ pt vừa nhận được đã nhân với ,ta được:

3

x a33(2) 0(a33(2)

(2) 33

a

(2) 43

(4)

4 45 (4) (3) (3)

Rõ ràng là các phần tử trụ khác không thì hệ thống phương trình (3.4) tương đương với hệ thống phương trình “tam giác” sau:

b) Quá trình ngược: Giải hệ thống (3.13) từ dưới lên, ta có:

2.2 Sơ đồ tính

Phân tích quá trình áp dụng phương pháp Gaoxơ ở mục 2.1

ta thấy: để đưa hệ thống (3.4) về hệ thống “tam giác” tương đương (3.13), chỉ cần tính các hệ số

Kết quả tính, trong trường hợp không dùng máy tính điện

tử, thường được ghi thành bảng, gọi là sơ đồ Gaoxơ, trong

đó cột dùng để kiểm tra quá trình tính.

2.3 Kiểm tra quá trình tính

Khi không dùng máy tính điện tử, để có thể kiểm tra từng bước quá trình tính toán của phương pháp Gaoxơ, người ta

5 (0) (0) 6

Thật vậy, thay (3.17) vào (3.16) do (3.4), ta nhân được:

bên trái cột Hiện tượng này được dùng để kiểm tra quá trình thuận Quá trình ngược được kiểm tra bằng hệ thức

Nếu khi tính toán có sai số làm tròn thì bắt đầu từng hàng

thứ 5 trở đi (trong sơ đố Gaoxơ) phần từ ờ cột và tổng

những phần tử cùng hàng và ở bên trái và bên trái được

phép lệch nhau trong phạm vi giới hạn của sai số làm tròn

Nếu ma trận hệ số A của hệ thống phương trình xuất phát đối

xứng, nghĩa là thì căn cứ vào các công thức (3.6), (3.8) và (3.9) dễ thấy rằng

Nghĩa là những ma trận trung gian:

(1) (1) (1)

22 23 24 (2) (1)(1) (1) (1) (1) (2) 33 34

32 33 34 (1) (1)(1) (1) (1) 43 44

2.4 Khối lượng tính

Xét hệ thống n phương trình n ẩn số Căn cứ vào những

công thức tính của pp Gaoxơ, ta đếm được số các phép tính cộng, trừ, nhân và chia cần phải thực hiện gồm (không kể các phép tính đối với các phần tử của cột kiểm tra ):

Nếu ma trận hệ số của hệ thống phương trình đối xứng thì

số các phép tính cộng, trừ, nhân và chia cần phải thực

phép tính

giảm hơn một nửa so với trường hợp ma trận hệ số A không đối xứng

2.5 Sai số của pp Gaoxơ

Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân và chia làm đúng hoàn toàn và không phải làm tròn thì phương pháp Gaoxơ cho ta nghiệm đúng của hệ thống phương trình (3.1) Vì vậy

phương pháp Gaoxơ là một phương pháp đúng Tuy nhiên, trong tính toán, không tránh khỏi sai số làm tròn, cho nên trong thực tế, dùng phương pháp Gaoxơ ta cũng chỉ nhận được nghiệm gần đúng

Thí dụ: Dùng phương pháp Gaoxơ giải hệ thống pt sau :

( 0 ) (1) ( 2 ) ( 3 )

11 , , ,22 33 44

a a a a

Để khắc phục những hạn chế vừa nêu, người ta thường dùng phương pháp Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất Nội dung phương pháp như sau:

Sau khi khử trong sơ đồ Gaoxơ, người ta chọn số lớn

nhất về trụ tuyệt đối trong các số làm trụ lớn nhất và gọi là trụ lớn nhất thứ nhất Sau đó ta hoán vị hàng

chứa trụ lớn nhất thứ nhất với hàng thứ nhất nằm đúng ở

hàng 1 cột 1 của sơ đồ Gaoxơ (nghĩa là ở hàng 1 cột 1 của

ma trận hệ số A), và quá trình khử được tiến hành như ở mục 2.1a

Khi khử trong sơ đồ Gaoxơ, người ta chọn số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số làm trụ thứ hai và gọi là trụ lớn nhất thứ hai Sau đó ta hoán vị hàng chưa trụ lớn nhất thứ hai với hàng chứa phần tử để trụ lớn nhất thứ hai nằm

đúng ở hàng 6 cột 2 của sơ đồ Gaoxơ (nghĩa là ở hàng 1 cột 1 của ma trận trung gian ) và quá trình khử được tiến hành như ở mục 2.1a

Ta áp dụng quá trình thuận của sơ đồ Gaoxơ trong đó không

có cột số hạng tự do Kết quả ta nhận được ma trận tam giác:

a

Những phần tử của mt tam giác B lần lượt nhận được từ

những phần tử của mt A và của những mt trung gian (ma trận chỉ có một phần tử ) bằng những phép biến đổi

Vậy ta có:   



( 0 ) (1) ( 2 ) ( 3 )

11 22 33 44 ( 0 ) (1) ( 2 ) ( 3 )

11 22 33 44

det( ) 1.1.1.1 1 det( ) / det( )B A a a a a (3.21)A a a a a

Từ đó:

Nếu ta áp dụng quá trình thuận của sơ đồ Gaoxơ có tìm trụ lớn nhất, thì mỗi lần hoán vị hai hàng với nhau, ta đã làm đổi dấu định thức của ma trận A

Nhận xét:

1.Những công thức (3.21), (3.22) hoàn toàn có thể mở rộng

để tính định thức cấp n của ma trận vuông cấp n

2.So với cách tính định thức bằng khai triển Laplaxơ,

phương pháp Gaoxơ đòi hỏi ít phép tính nhiều hơn, nhất là khi

n lớn

3.Khi áp dụng phương pháp Gaoxơ giải hệ thống pt

ta có thể nhận được đồng thời nghiệm và định thức của ma

trận hệ số A của hệ thống pt



Ax b

-3,1 -8,5 -6,0 4,9

0,7 4,5 6,6 -5,3

7,2 2,4 12,3 8,2

4,32432

5,06269 0,94593

-7,82973 -4,03180 7,37163

4,34866 6,15543 -5,85808

0,84325 7,72704 2,45948

2.8 Tính mt nghịch đảo bằng pp Gaoxơ

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K Ta bảo A là ma

trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K

sao cho: A.B = B.A = In Khi đó, B được gọi là ma trận

nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Như vậy: A.A-1= A-1.A= In

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2) Khi đó :

Nếu A khả nghịch thì In nhận được từ A bởi một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A

Ma trận In có dạng sau:

Ta thực hiện các bước sau đây :

Bước 1: Lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào bên phải ma trận A

Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A' | B ], trong đó A’ là một ma trận bậc

thang chính tắc

Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = BNếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’

về dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán

Nhận xét:

Phương pháp này đều tính được ma trận vuông cấp n

không suy biến

So với cách tính ma trận nghịch đảo bằng định thức,

phương pháp nêu trên đòi hỏi ít phép tính hơn nhiều, lúc là khi n lớn

2.9 Chuẩn của mt và chuẩn của pp vectơ

Chuẩn của ma trận A = (aij) là một số thực ký hiệu thoả

Người ta thường dùng ba chuẩn ma trận sau:

1

1 2 2 2

2.10 Sự không ổn định của

hệ thống pt đstt

Trong tính toán thực hành, ta có thể gặp những hệ thống

phương trình đại số tuyến tính mà những thay đổi nhỏ trên các

hệ số hoặc trên các phần tử ở vế phải của hệ thống phương

trình sẽ gây ra những thay đổi rất lớn về nghiệm Hệ thống

phương trình như vậy gọi là hệ thống phương trình không ổn định trong tính toán Nếu ngược lại, hệ thống phương trình gọi

là ổn định trong tính toán

Thí dụ 3.8: Hệ thống phương trình: 2x1 + x2 = 2

2x1 + 1,01x2 = 2,01

Có nghiệm x1 = 0,5 và x2 = 1, trong khi đó hệ thống

phương trình cới các hệ số của x1, x2 và vế phải của phương trình thứ hai thay đồi "đôi chút" ở chữ số lẻ thứ hai sau dấu

Cách đơn giản nhất để nhận biết một hệ thống phương trình tuyến tính Ax = b có ổn định trong tính toán hay không là bên cạnh việc giải hệ thống phương trình đã cho, ta giải thêm hệ thống phương trình Ax = b1 với các phần tử của b1 sai khác các phần tử tương ứng của b rất ít Nếu nghiệm của hệ thống phương trình này khác đáng kể so với nghiệm của hệ thống phương trình đã cho thì hệ thống phương trình đã cho không

(ở đây là một chuẩn ma trận nào đó) do mức độ nhạy cảm của nghiệm x của hệ thống phương trình Ax = b đối với

những thay đổi trên các phần tử của ma trận hệ số A và của vế phải b, nghĩa là do mức độ ổn định của hệ thống phương trình

Ax = b Cond(A) lớn chứng tỏ hệ thống phương trình Ax = b không ổn định trong tính toán Cond(A) càng gần 1, hệ thống phương trình Ax = b càng ổn định trong tính toán

A

Trở lại các thí dụ 3.8 và 3.9 ta thấy rằng đối với: 1 2 1

Để nâng cao độ chính xác của nghiệm khi giải hệ thống

phương trình không ổn định trong tính toán, người ta có thể dùng độ chính xác kép đối với các phép tính trung gian nhưng biện pháp này tốn nhiều thời gian tính toán, do đó không tính

tế Một biện pháp khác là dùng quá trình lặp sau:

Giả sử là nghiệm gần đúng tìm được Thay chúng vào vế trái của (3.23) nhận được những giá trị mới của b1, b2, b3, b4 là nghĩa là:

Đem mỗi phương trình của (2.23) trừ phương trình tương

BÀI 3 NHỮNG PHƯƠNG PHÁP LẶP

• 3.1 PP lặp đơn

• 3.2 PP lặp dâyđen

• 3.3 Đưa hệ thống phương trình tuyến tính về dạng

thỏa mãn điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn hoặc phương pháp lặp Dây đen:

3.1 PP l p đơn ặp đơn

a.Nội dung phương pháp

Xét hệ thống phương trình Ax b (3.2)

Đưa (3.2) về dạng tương đương sau x   x (3.34)

n n

Sau đó ta tự cho một vectơ, gọi là vectơ xấp xỉ đầu, ký hiệu là

b.Sự hội tụ của phương pháp

Người ta chứng minh được rằng quá trình lặp đơn hội tụ

đến nghiệm duy nhất của hệ thống phương trình (3.2), không phụ thuộc vào việt lụa chọn vectơ xấp xỉ đầu (nghĩa là chon tùy ý), nếu:

  0

x

 1(3.36)

p

c Đánh giá sai số của gần đúng

Đễ đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng nhận

được bằng phương pháp lặp đơn, và nghiệm đúng của hệ thống (3.2), người ta chứng minh được những công thức sau:

Từ (3.38) dễ thấy rằng sự hội tụ của phương pháp lắp đơn càng nhanh nếu càng bé Bất đẳng thức (3.38) cũng cho phép, sau lần lặp thứ nhất (sau khi biết được xác định được số lần lặp can tiến hành để nhận được nghiệm gần đúng đạt độ chinh xác

3.2) PP lặp Dâyđen

a) Nội dung phương pháp

Xét hệ thống phương trình (3.2) Đưa (3.2) về dạng tương đương sau: x    x

n n



Sau đó ta tự cho một vectơ, gọi là vectơ xấp xỉ đầu, ký hiệu là

3.4

n

j j j

n

j j j

Đó là phương pháp lặp Dâyđen, phương pháp này có thể

xem là một biến dạng của phương pháp lặp đơn Phương pháp lặp Dâyđen khác phương pháp lặp đơn ở chỗ: khi tính thành

phần thứ i của vectơ lặp thứ k +1: ta sử dụng ngay

những thành phần vừa tính được

( 1) 1

k

x  ( 1) ( 1) ( 1)

  0   1  

, , , k ,

b) Sự hội tụ của phương pháp

Điều kiện hội tụ của phương pháp lặp Dâyđen hoàn toàn giống điều kiện hội tụ của phương pháp lặp đơn

c) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúng nhận được bằng phương pháp lặp Dâyđen và nghiệm đúng của hệ thống phương trình (3.2), người ta chứng minh được những công thức sau:

 k

x

*

x

Thí dụ 3.11 Dùng phương pháp lặp Dâyđen, tìm nghiệm gần

235

33,19243,1949523,1949643

55,0446485,04480565,0448073

( ) 1

k

3) Xem là nghiệm gần đúng phải tìm, ta có thể đánh giá sai số phạm phải của theo (3.35):

ax max 0,08; 0,0515463 0,081

1

i i i

i i

i

q m

Qua thí dụ này ta thấy rằng nếu lấy làm nghiệm gần

đúng phải tìm thì phương pháp lặp Dâyđen cho ta kết quả tốt hơn phương pháp lặp đơn

3

x

phương pháp lặp đơn hội tụ thì phương pháp lặp Dâyđen cũng hội tụ và phương pháp lặp Dâyđen hội tụ nhanh hơn

3.3 Đưa hệ thống PTTT về dạng thỏa mãn điều kiện hội tụ của PP lặp đơn hoặc PP lặp Dây đen:

Muốn giải hệ thống phương trình Ax = b bằng phương pháp lặp đơn hoặc phương pháp lặp Dâyđen, ta phải đưa về dạng

n n

hệ thống phương trình đã cho khi không phụ thuộc

vào việc lựa chọn vectơ xấp xỉ đầu (nghĩa là chọn tùy ý)

Đối với hệ thống phương trình đầu:

Nghĩa là trị tuyệt đối của hệ số chéo của mỗi phương trình của hệ thống (đó là hệ số nằm trên đường chéo chính của ma trận hệ số A của hệ thống phương trình) phải lớn hơn tổng trị tuyệt đối của hệ số còn lại của phương trình (không kể số

hạng tự do của phương trình), vì khi đó có thể đưa hệ thống

về dạng tương đương với các hệ số thỏa

mãn điều kiện hội tụ Nếu hệ thống phương trình Ax = b đã cho bất kì (nghĩa là không thỏa mãn điều kiện (*)) thì bằng cách dùng những biến đổi sơ cấp thích hợp, ta có thể đưa hệ thống về dạng thỏa mãn điều kiện (*) Cách làm như sau:

 

 

Từ hệ thống pt đã cho, ta lấy ra những pt mà hệ số của chúng thỏa mãn điều kiện (*), sau đó ta xếp các pt ấy vào các hàng của

hệ thống pt mới sao cho hệ số có trị tuyết đối lớn nhấ của mỗi

pt chính là phần tử nằm trên đường chéo chính là phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận hệ số của hệ thống pt mới

Từ những pt đã và chưa được dùng đến của hệ thống pt ban đầu, ta thành lập những tổ hợp tuyến tính, độc lập tuyến tính với nhau, để tạo nên những pt thỏa mãn nguyên tắc lựa chọn nêu trên và xếp chúng vào những vị trí thích hợp của những hàng còn lại của hệ thống pt mới, với chú ý rằng mỗi pt chưa được dùng đến của hệ thống pt ban đầu phải có mặt trong một

tổ hợp tuyên tính để tạo nên một pt nằm trong những hàng còn lại của hệ thống phương trình mới

Thí dụ: Đưa hệ thống pt sau về dạng thỏa mãn điều kiện hội tự của PP lặp đơn hoặc PP lặp Dâyđen.

2.Căn cứ vào hệ thống pt đã cho, dễ thấy rằng để nhận được

pt thứ hai của hệ thống pt mới với hệ số của có trị tuyệt đối thỏa điều kiện (*), ta thành lập tổ hợp tuyến tính (A) – (B) và có:

Như vậy, trong hệ thống pt mới đã có sự tham gia của các

pt(A), (B), và (D), do đó trong pt thứ tư của hệ thống pt mới bắt buộc phải có sự góp mặt của pt(C) Muốn thế, ta có thể lập tổ hợp tuyến tính 2(A) – (B) + 2(C) – (D) và nhận được:

3 Kết quả ta nhận được hệ thống phương trình (I), (II), (III)

và (IV), tương đương với hệ thống phương trình ban đầu và thỏa mãn điều kiện (*) Bây giờ ta chia hai vế của phương trình (I) cho 10, hai vế của phương trình (II) cho 5, hai vế của phương trình (III) cho -5 và hai vế của phương trình (IV) cho -

9 và nhận được hệ thống phương trình tương đương sau:

Vậy ta có thể dùng phương pháp lặp đơn hoặc phương pháp lặp Dâyđen đối với hệ thống phương trình (2) để tìm nghiệm gần đúng của hệ thống phương trình (1)

max ij max(0,5;0,4;0,8;0,333) 0,8 1

i j

3,77 7,21 8,04 2,28 15,45

a Kết quả tính toán được ghi trong bảng sau:

0,1 -0,1 -0,5

0,4 0,8 0,2

1,8 2,1 -0,4

Quá trình thuận

1,48667 0,16000 -0,09333-0,47999 0,826670,28000 -0,042,22

Từ bảng trên ta nhận được nghiệm của hệ thống phương trình là:

x1 x2 x3 x4 Số hạng

tự do

Quá trình

4,1 7,78 8,04 1,69

1,9 2,46 2,28 6,99

-10,65 12,21 15,45 -8,35

6,27 55,574 36,75 6,13

Quá Trình thuận

1 0,31566 0,49398 0,22892 -1,28313 0,75542

7,21261 6,01996 2,95239

5,84359 6,17769 0,59830

1,56263 1,41697 6,48409

17,23987 20,2874 -5,51428

31,8587 33,90202 4,5205

1 0,81019 0,21665 2,39024 4,41708

1,30038 -1,79369 0,112755,84445

5,89825 - 12,57120

7,31138 -8,52044

0,26077 5,59989 -0,17639

Quá trình

