Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Chương 1:
Nguyên hàm Bài 1 Xác định nguyên hàm bằng
định nghĩa
Bài1:
1) Tính đạo hàm của hàm số
1 )
(
2
x
x x
g
2) Tính nguyên hàm của hàm số
3 2
) 1 (
1 )
(
x
x
f
Bài2:
1) Tính đạo hàm của hàm số
0 , )
(x x x2 a a
2) Tính nguyên hàm của hàm số
0 , )
(x x2 a a
3) Tính nguyên hàm của hàm số
0 , )
2 (
)
(x x x2 a a
Bài 3: CMR hàm số F(x) x ln( 1 x) là một
nguyên hàm của hàm số
x
x x f
1 ) (
Bài 4: CMR hàm số
0
# a , ln
2 2
)
(x x x2 a a x x2 a
nguyên hàm của hàm số f x x2 a
) (
Bài 5: CMR hàm số
0 x khi 0
0 x khi 4
) 1 ln
(
)
(
x
x
hàm của hàm số
0 x khi 0
0 x khi x.lnx )
(x
f
Bài 6: Xác định a,b,c để hàm số
2
3 x voi 3 2 ) (
)
(x ax2 bxc x
nguyên hàm của hàm số
3 2
7 30 20 ) (
2
x
x x x
f
Bài 2 Xác định nguyên hàm bằng công
thức
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
x x
3
1
x x
3
1 2) ( x 2 4 x)(x x 4 x) dx
1 2
1
; 1 2
4
2 2
x x
x x dx
x x
x
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1
1
; 4
2
x
x dx
x
dx
sin
; sin
dx dx
x
dx
x x x
dx dx
x
dx x
) ln(ln ln
; 2 cos
sin
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1) e x ex dx ; 2x 3x dx
2)
ln
;
cos 2
x x
dx dx
x
e e
x x
3)
4 9
3 2
; ) 1
x x x
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1) sin2x cosx dx ; cotgx.dx
cosx).dx (sinx
; cos
; cos
dx x
dx
Bài 3 Xác định nguyên hàm bằng
phương pháp phân tích
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1 2
1 6 4 f(x)
; 2 3 ) (
2 2
3
x
x x x
x f
2)
6
2 )
(
; 1 3 2
2 4
x x x f x
x x
3)
9 4
1 9 4 ) (
; 2
1
3
x
x x x f x
x
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) ( ) 3 4 ; f(x) 4 4 2
x x x
x x x f
2)
3 4
1 )
(
; 1 2 2
1 )
(
x x x
f x x x
f
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:
1) f(x) 3 2x 2x2; f(x) 2 2x 3 3x 4 4x
e x f
10
5 2 f(x)
; )
(
1 1 2
3
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
1)
) 1 (
; ) 1
2 10
x
x dx
x x
2)
3 1
.
; 5 2
3
x
dx x dx
x x
Bài 5: (ĐHQG HN Khối D 1995)
Trang 2Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
Cho hàm số
2 3
3 3 3
3
2
x x
x x y
1) Xác định a,b,c để
) 2 ( ) 1 ( )
1
( 2
x
c x
b x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của y
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1) f(x) cos 4x; f(x) sin 4x cos 4x
2) f(x)cos6xsin6 x; f(x)cotg2x
3)
x x
x x
sin
1 f(x)
; sin cos
8
)
4)
x x
x x
x x
sin cos
2 cos f(x)
; sin cos
1 )
5)
2 3 x
x f(x)
; 2 sin 3
cos sin
)
x x
x x x
f
6)
2 2 3
) 1 x (x
1 f(x)
;
1
)
(
x x
x
f
7)
) x.e x.(1
1 x f(x)
; 1
1
)
e x
f
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
(Không có hàm ngược )
2
3 2
x
13 f(x)
;
2 3
)
(
x
e x x x x
x
x
2)
2 2
x -1
1 1 f(x)
; 3 )
x
x
x
1 x
2 )
(
; x 1
1 )
(
2
x
x x
f x
x
f
Bài 4 Xác định nguyên hàm bằng
phương pháp đổi biến số
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
3 2 3 2
).
1 2 ( B
; ) 4
3
x x x x
dx x x
dx
x
A
x x x
x dx
x
x
) 2 3 (
3 B
; 1
1
2 4 2
4
2
x x
x dx
x
x
) 1 (
1 B
; ) 1 (
1
4 4
2 6
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
x x
xdx
1 1 1
2
2
x x
dx e
dx
A
1 ) 1 ( 1 B
;
6 5 B
; 1 2
x x
dx x
x
dx A
4)
2 3
3
1 B
; ) 2 ).(
1
dx x x
x
dx A
1 1
B
; 2 2 )
1
dx x
x x
dx A
1
2 B
; 1 ).
4 3 (
) 1 8 6 (
2 2
2 2
3
x
dx x x
x
dx x x A
1 B
; dx 1
2
3
x x
dx x
x A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
x
x x x x
x
dx A
sin 2
cos sin cos B
; 1 cos sin 2 2
x x x
x
dx
cos sin
1 B
; sin 2 2 sin
x x
x x
x
dx A
1 sin cos
sin B
; cos
Bài 4: Tính các tích phân bất định sau
x
x dx
x x
A
2 B
; ) 5 1 (
2 10
2 3
x
dx dx
x
dx A
3 2 3
2
) 4 ( B
; ) 4 (
1
x B
; 1
2
5 6
x
dx x
dx x A
2
x
2
2
x
dx A
Bài 5: Tính các tích phân bất định sau
1) Ax2 ax.dx dx
x
x
1
1 B
x
x x
dx x x
2
2 3
cos
sin B
; cos 1
cos sin
e e dx
x x
A cos5 sin ; B x 1 x/2
4) Ax x dx e x ex dx
x
4
1 B
; ).
ln 1 (
Bài 5 Xác định nguyên hàm bằng
phương pháp tích phân từng phần
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
x
x x
x
f( ) ln ; f(x) ln ; f(x) x2sin 2
2
2) f(x) (x 1 )2.cos2x ; f(x) x2 1e2x1;
Trang 3Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
3) f(x) e2x.sinx ; f(x) e-2x cos 3x;
4) f(x) (cotg2x cotgx 1 )ex ;
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) Ax cos x.dx; B e ax sin(bx).dx
2) Ae2x cos2x.dx; B x n lnx.dx
3) Ax2.e3x.dx; B x2 sin( 3x).dx
x
dx e
x
A
x
).
2 cos(
B
; ) 2 (
2 2
x
dx e x dx
x
x A
x
cos 1
) sin 1 ( B
; sin
) ln(sin
2
6) A x cos x.dx; B e ax sin(bx).dx
7) A(x3 4x2 2x 7 ).e2x.dx;
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
x
x x
dx
cos B
;
x
x dx
x
x x
sin
cos B
; 1
1
ln
2
x
dx
x
sin
2
Bài 6 Nguyên hàm của các hàm số
hữu tỉ
Bài1:(ĐHNT HN 1998)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x x
x
x
f
a
34 2
)
(
)
x x x f b
31 ) ( )
Bài2: (ĐHQG HN 1999)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
2
) 1 (
1 )
(
x x x
f
Bài 3: (ĐHQG HN 1995) Cho hàm số
2 3
3 3 3
3
2
x x
x x
y
1) Xác định các hằng số a,b,c để
) 2 ( ) 1 ( )
1
( 2
x
c x
b x
a
y
2) Tìm họ nguyên hàm của họ y
Bài 4(ĐHQG HN 2000)
Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1002 2
2001
) 1 (
)
(
x
x
x
f
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau
1)
2 2
1 )
(
; 1 2 3
1 )
x x x f x
x x f
2)
) 2 2 (
1 )
(
; ) 1 2 3 (
1 )
x x x f x
x x f
3)
) 5 4 (
13 7 ) (
; ) 5 4 (
13 7 )
x x
x x
f x
x
x x
f
4)
1
1 f(x)
: 2
3 2 )
2
x
x x
x x x f
5)
1) x(x
1 f(x)
; 1 2 )
3
x x
x x
f
Bài 6: Tính các tích phân bất định sau
x x
x x
x
dx x
2 3 B
; 1 2
.
3 2
4
x
x x
x
dx x
1 B
; 2
.
8 5
3 6 5
x
x x
x
dx x
) 10 (
B
; ) 1 (
).
1 (
2 10 4
7 7
Bài 7: Tính các tích phân bất định sau
x
x x
x x
dx x
) 1 ( B
; 6 5
).
1 (
100 3
2 3 3
x x x
x x x
x x x
dx x
2 5 4
4 B
; 1
).
1 (
2 3 2
2 3 4 2
Bài 7 Nguyên hàm của các hàm số
Lượng giác
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
1) (ĐHVH 2000)
2 sin ) (x 2 x
2) f(x) tg5x; f(x) cotg6x; 3) f(x) cos 3x sin 8x; f(x) cos 3x sin 2x; 4)
x x x x
f
x x x x
f
3 cos 2 cos cos ) (
; 4 sin 2 cos cos ) (
Bài2: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
x x
dx x x x
x
dx x A
cos sin
sin cos B
; ) cos 1 ( sin
) sin 1 (
x x
dx x x
x
dx A
2 cos sin 10 13
cos B
; 1 cos sin
3)
x x
x x
dx
x x
x
dx A
2 2
2 2
cos 5 cos sin 8 sin 3 B
; cos 2 sin sin
x x
dx x x
dx x
cos sin
2 cos B
; 1 sin
2 sin
x x
dx x
x
dx
cos sin B
; cos sin
Trang 4Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
x
dx x
x
dx x x
cos B
; cos 2 sin
) cos (sin
1 cos 2
).
sin (sin B
; sin
cos
2 3
3
4
x
dx x x
x
dx x A
1 2 sin B
; 2 sin 1
).
sin (cos
x
dx x
dx x x
A
(ĐH NT TPHCM 2000)
Bài 8 Nguyên hàm của các hàm số
Vô tỉ
Bài1: Tính các tích phân bất định sau
1 2
B
;
2 4
3 4
3
x x
dx x dx
x x
A
1 1
) 1 (
B
;
2
2
x x x
dx x x x x
x x
dx A
3 2 2
) 1 ( B
; 1 6
).
5 4
(
x
dx x
x
dx x
A
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
2 2
2 3 ).
1 ( B
; 1 ) 1
dx x
x
dx A
2)
1 2 ) 1 2
(
B
; 3 2 1 2
dx
x x
dx A
Bài 3(ĐHY HN 1999)
x
dx
) 3 ln(
3
2
nguyên hàm F(x) x2 3 dx
Bài 4(HVBCVT TPHCM 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
) (
x
x x
F
Bài 5:(ĐH KTQD HN 1999) Tìm họ nguyên
hàm của hàm số
1 2 1 2
1 )
(
x x
tgx x F
Bài 6(ĐHY Thái Bình 2000) Tính tích
1
x
dx I
Bài 9 Nguyên hàm của các hàm số
Siêu việt
Bài1: Tìm họ nguyên hàm của các hàm số
e x x
x
F( ) ( 2 3 2 ).
e x x
4 cos(
2
)
x
F( ) ( 32 2 )2; F(x) 22x 33 4
e e e
x
F(x) : )
(
e
e x F
10
5 2 F(x) :
1 )
(
1 1 x 5
2
2
1).e -(x F(x) : 1
).
1 (
) (
x x
e x x x F
x
Bài2: Tính các tích phân bất định sau
1) Ae ax sin(bx).dx; B e2x sin 2x.dx
2) Ax n lnx.dx; B x2.e3x dx
3) Asin(lnx).dx; B x2 ln( 2x 1 ).dx
4) A( 2x3 5x2 2x 4 ).e2x.dx;
e
dx e x
dx x A
1
2 B
; sin
) ln(sin
2
x
dx x x
dx e x A
x
2
cos
).
ln(cos B
; cos 1
).
sin 1 (
1
1 ln 1
1
2
x
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau
1
) 1 ln(
B
;
2
x
dx x
x x e
dx A
x
dx e
x x
dx x
1 ln
.
Chương 2:
tích phân Bài 1 Tính tích phân bằng phương pháp
phân tích
Bài 1: Tính các tích phân
3
1
2
1 -2 3
2 x
x.dx B
; ).
1 (x dx A
2
1
5
dx B
; 5 2 7
e
x
dx x
x x A
3) 2
1
ln
).
1 (
x x x
dx x
6 3
3
; sin
cos
dx x B
0 4
0
cos
.
x x
x x
e e
e e x
dx tgx A
2
1
0
; 8 4 B
;
x x
dx e
e
dx e A
x x x
Trang 5Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
0
3
ln
0
; sin 1 B
;
x
dx e
e
dx
4 4 1
2
; sin B
; 1
dx x
x
dx
A
1 3
0
2 2
2
3 t
; 4 9
6 B
; cos 3 sin
x x
x
x
dx x
x
dx A
Bài 2: Tính các tích phân
2
4
2
0
2
) 4 ( cos sin B
; 3 sin
.
5
cos
dx x
x dx
x x
A
Bài 3: Tính các tích phân
3
3
4
1
-2
2 3 B
;
x
A
Bài 4: (ĐH QGHN Khối B 1998) Tìm các hằng
số A,B F(x) A sin( x) B thoả mãn F(1) = 2
0
4 ).
(x dx
F
Bài 5: Cho F(x) a sin 2xb cos 2x xác định
a
Bài 6: (ĐHSP Vinh 1999)
0 4
0
2
5
10 3 (
x
x x
Bài 7: (ĐHBKHN 1994)Tìm a,b để
2 )
( 2
x
b
x
a
x
2 1 ,(x) 4 va F(x).dx 2 - 3.ln2
F
Bài 8: Cho F(x) a sin 2xb xác định a,b biết
2
0 , 0 4 va F(x).dx 3
F
Bài 2 Tính tích phân bằng phương pháp
đổi biến số
Bài 1: Tính các tích phân sau
1) (ĐHNN1 HN 1999) 1
0
19
; ) 1 ( x dx x
A
2) (ĐHSP Quy Nhơn)
1
0
10 2
; ) 3 2 1 )(
3 1
I
3) (ĐHTM 1995) 1
0 2
5
;
1dx
x
x I
4) a
x a
dx I
0
2 2
) (
5) (ĐHKT HN 1997) 1
0
6 3 5
; ) 1 ( x dx x
I
6) (ĐH TCKTHN 2000) 1
0
2 4
1
.
x x
dx x I
Bài 2: : Tính các tích phân sau
4 B
; 1
1
2 1
x
x dx
x
x A
2)
1 B
;
1
2 2 2
2
x x
dx dx
x
x A
3) 1 ; (DHTM - 1995)
1
0
x x dx A
4) 1 ; (DHYHN 1998)
1
2
2
A
5) ( 1 ) ; (DHY HP 2000)
1
0
3 2
A
1
3
x x
dx A
7) (ĐHGTVT HN 1996) 3
0
2 5
;
1 x dx x
A
Bài 3: Tính các tích phân sau
0 4
B
; sin 2
x
dx x tg dx
x A
6 2 2
B
; 1 cos sin
x x x
dx tgx x
x
dx A
3) (ĐHQGTPHCM 1998) 2
0
4
sin 1
2 sin
x
dx x I
4) (CĐHQ TPHCM 1999)
2
0
2
cos sin 7 11
cos
x x
dx x I
Trang 6Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
5) (HVKTQS 1996)
2
3
3
3
cot sin
sin sin
dx gx x
x x I
6) (ĐH Y Dược TPHCM 1995)
0
2
cos 4 9
sin
x
dx x x I
7) (HVBCVT HN 1998) 2
0
2 3
cos 1
cos sin
x
dx x x I
8) (CĐSP TPHCM 1997) 6
0
2
sin sin 5 6
cos
x x
dx x I
9) (HVNH HN 1998)
0
2
cos sin x x dx x
I
Bài 4: Tính các tích phân sau
0 2 1
2
2 ln 4
1
; 2
ln 2
dx x
x x
B x
dx x A
e
2) (ĐH CĐoàn 1999) ln2
dx I
3) (ĐH Y HN 1999) 1
0
e e
dx I
2 ln
0 2x
2x 1
0
3 3 e
3 e B
;
e
e dx
e
x x
Bài 5: Tính các tích phân sau (Tham khảo)
**Đổi biến dạng luỹ thừa cơ bản***
1
1
0 3 3
x
x
A
1 B
; 1
1
1 2 1
0
x x
x dx
x x
A
1 B
; 2
1
0 6
2 2
1
2 4 6
x
x dx
x x A
4
1 4
x
e x
x
dx
A
x
**Đổi biến hàm lượng giác cơ bản***
0 4
6
cos 3 1
sin B
; cot
dx x
x dx
gx
A
0 cos 6
dx x e
dx x
0
3 4
0
sin sin B
; cos sin
cos sin
dx x x
dx x x
x x
A
0 3
3 4
3 6 2
cos
sin B
; cos
sin
dx x
x dx
x
x A
6 4
3 6
0 2 2
sin
cos B
; 1
1
dx x
x dx
x tg
x tg A
0
2 4
2 sin B
; 2 sin 2
cos sin
dx x
x dx
x
x x
A
**Đổi biến hàm mũ logarit cơ bản***
e e
x x
dx dx
x
x A
B
; ln 1
e e
dx x x
x x
dx A
1
2
ln 1 ) (ln B
; ) ln 1 ( cos
4
1
2 ln 1
B
;
dx e
dx A
1
0
3 ln
0
B
;
x x x x
x
e e
dx e e
e
dx A
**Bài tập tổng hợp ** * *
5 ln
B
; ) 1 (
) 1 (
x x
x e
x
e e
dx e xe
x
dx x A
1
1 ln 1 1
2 1
0 2
x
x x
A
3
6
2
sin cos
4 cos B
; cos sin
dx dx
x x
dx A
Bài 3 Tính tích phân bằng phương pháp
tích phân từng phần
Bài 1: Tính các tích phân sau
0 2 3
0
cos B
; cos
dx x x dx
x x A
0 3
4
sin
dx x e
x
dx x
x
dx x dx
x e
A
0 0
2 2
).
cos(ln B
; sin
Trang 7Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
4) x e
dx x dx
e
x
A
1 3 2
ln
0
ln B
;
1
0
2
0
2
).
1 ln(
B
; ln
x
A
e
1 2 1
2
.
ln B
; ) ln
1
x
x dx
x A
e
ln
1 ln
1
2
2
e
e
dx x x A
e x
dx x dx
e
A
1
2 4
4
1
) ln 1 ( B
;
0 1
2
cos sin B
; ln ) 1 (
xdx x
x dx
x x
x
A
e
2
2 4
2 3
0
2
) ( cos B
; ) 1 ln(
dx x dx
x x
A
3
4
sin B
; sin
dx x
x x dx
x A
e
dx x
x dx
x
x A
1
2
ln B
; ) ln(ln
2
Bài 2: ( Một số đề thi ) Tính tích phân sau:
1) (ĐHBKTPHCM 1995) 2
0
2
cos
dx x x I
2) (ĐHQG TPHCM 2000)
1
0
2
).
( sin x dx e
3) (CĐKS 2000) I e x x dx
1
ln ).
2 2 (
4) (ĐHSPHN2 1997) 4
0
2 sin 5
dx x e
5) (ĐHTL 1996) 2
0
2
cos
dx x e
6) (ĐH AN 1996)
0
2
sin x dx x
I
Bài 4 Một số dạng tích phân đặc biệt
Bài 1: Tính các tích phân sau
1
3
5 cos 2x.dx; B x e 2.dx
x
2
3 2
1
2 1
cos 1
sin B
; 1
1 ln
dx x
x dx
x
x x
A
Bài 2: Tính các tích phân sau
0
2004 2004
2004 2
0
sin cos
cos B
; sin 1
2 sin
dx x x
x dx
x
x A
0
2 0
cos 1
sin B
; cos 3
sin
dx x
x x dx
x
x x A
1 3
sin 2
dx x A
Bài 3: Tính các tích phân sau
1) 3
0
; 5 cos 3 sin 2 sin
A
0 0
3
).
sin(sin B
; sin
4
4
3 5 7 2
1
2 1
9 2
cos
) 1 (
; sin A
dx x x x x B
dx x x
Bài 4: (Một số đề thi )
1) (ĐHPCCC 2000) Tính
1
1
2
2 1
1
dx x
2) (ĐHGT 2000 )Tính
2
2
sin 4 cos
dx x
x x I
3) (ĐHQG HN 1994) Tính
0
3
sin x dx x
I
4) (ĐHNT TPHCM 1994)Tính
dx x
1 3 sin2
5) (HVBCVTHN 1999)Tính
1
1
4
2
x
6) (ĐH Huế 1997) Cho hàm số
2 neu x )
0 (
2 x 0 neu ) ( ) (
f
tgx f x g
a) CMR g(x) liên tục trên 0;2
Trang 8Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
b) CMR : 4
0
2
4
).
( ).
(
dx x g dx x g
Bài 5 Tích phân các hàm số hữu tỉ
Bài 1: : Tính các tích phân sau
2 3 B
; ) 1
(
1 2 3
2
9
2
x x
dx x
dx
x
A
) 1 ( B
; 1
2 2
2
10
3 2
1
3
2
x
dx x x
dx x x
A
3)
; ) 1 ( ) 3
(
B
; 6
5
).
1 16 10 2
(
1
0
2 2
1
1
2
2 3
x x
dx
x x
dx x x x
A
2 3
) 4 7 ( B
; 6 5
).
6 3
1 3 1
1
2 3
2 3
x x
dx x x
x x
dx x x x
A
3 4 B
; 2
2
1
2 4 2
1
2
x x
dx x
x x
dx A
) 4 (
B
; ).
1 4
0
2 8
3 2
1
3 4
2 3
x
dx x x
x
dx x x x
A
) 1 (
).
1 ( B
; ) 1 (
3
1 4
4 2
1
2
x x
dx x x
x
dx
A
0
2 2
2 4
3
3 6
5
; ) 1 )(
2 (
13 2 2 B
; 2
3
3
dx x
x
x x x
x
dx x
A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (CĐSP HN 2000): 3
0 2
2
1
2 3
dx x
x I
2) (ĐHNL TPHCM 1995) 1
0 2
6
5x
x
dx I
3) (ĐHKT TPHCM 1994)
1
0
3 ) 2 1 ( x dx
x I
4) (ĐHNT HN 2000) 1
0
2
2 3
9 2
).
1 10 2 (
x x
dx x x x I
5) (ĐHSP TPHCM 2000) 1
0 2
6 5
).
11 4 (
x x
dx x
I
6) (ĐHXD HN 2000) 1
0
3
x
dx I
7) (ĐH MĐC 1995 ) 1
0
2 4
3
4x
x
dx I
8) (ĐHQG HN 1995) Xác định các hằng số A,B,C để
2 1
) 1 ( 2 3
3 3 3
2 3
2
x
C x
B x
A x
x
x x
x x
x x
2 3
3 3 3
3
2
9) (ĐHTM 1995)
1
0 2 5
1
.
x
dx x I
10)(ĐH Thái Nguyên 1997)
x x
dx x
HD : t x1
1
).
1 (
2
1 4 2
11)Xác định các hằng số A,B để
1 )
1 ( ) 1 (
2
2
x
B x
A x
x
x
x
) 1 (
) 2 (
3
2
2
) 1 ( ) 1 ( ) (
x x
x x
f
a) Định các hệ số A,B,C,D,E sao cho
1 1
) 2 )(
1 ( )
2
x
dx E x
dx D x
x
C Bx Ax dx x f
b) Tính 3
2
) (x dx f
Bài 6 Tích phân các hàm số lượng giác
Bài 1: Tính các tích phân sau
6 2 2
B
; cos sin 1
x x x
dx tgx x
x
dx A
6
3
0
4
).
sin cos
( B
; 2 cos
dx x x
x
dx x tg A
x
dx x x
cos 1
) sin
2
0 2 4
sin 1
cos
2
0
2
x
dx x x A
Bài 2: (Một số đề thi)
1) (ĐHQG TPHCM 1998) Tính :
0 4 2
0
4
1 cos
2 sin J
va
; sin 1
2 sin
x
dx x x
dx x I
2) (ĐHSP TPHCM 1995) Cho f(x) sinx
Trang 9Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
a) Tìm A,B sao cho
x x
x x B A x
f
sin cos
sin cos )
(
b) Tính 3
0
).
(
dx x f I
3) (ĐHGTVT TPHCM 1999)
2
0
4 4
4 2
0
4 4
4
sin cos
sin sin
cos
cos
x x
dx x x
x
dx x
b) Tính 2
0
4 4
4
sin cos
cos
x x
dx x I
4) (ĐH Công Đoàn 1999): Tính 2
0 1 sin 2
x
dx I
5) (HVKTQS 1996):Tính
2
3
3
3
cot sin
sin sin
dx gx x
x x I
6) (ĐHTS 1999) Tính :
2
0
2
) cos 1 (
cos
sin
dx x x
x
I
7) (ĐHTM HN 1995) Tính 4
0 4
cos
x
dx I
8) (HVKTQS 1999):Tính 4
0
4 3
cos 1
sin 4
x
dx x I
9) (ĐHNN1 HN Khối B 1998) 2
2 cos
x
dx x I
10) (ĐHQGHN Khối A 1997) 2
0
2 3
cos 1
sin
x
dx x I
11) (ĐHQG TPHCM Khối A 2000) Tính :
4
0
4
sin
dx x
I
12) (ĐHTL 1997) Tính: I 1 cos 2x.dx
0
13)(ĐHGT TPHCM 2000) Tính 3
6 6 2
cos
sin
dx x I
14)(ĐHNN1 HN 1998) Tính
2
6
cos sin
2 cos 2 sin 1
dx x x
x x
I
15) (ĐHT HN 1999) Tính 3
4
2 sin
dx I
16) (ĐHNT HN 1994b) Tính 2
0
sin
1 x dx I
17) (ĐHQG TPHCM 1998) 2
0
2 3
sin cos
dx x x I
18) (HVNH TPHCM 2000) 4
0
2
cos 1
4 sin
x
dx x I
19) (ĐHLN 2000) 2
0
2 2
cos 4 sin 3
) cos 4 sin 3 (
x x
dx x x
I
20) (ĐHMĐC 2000)
3
x x
dx I
21) (ĐHBK HN 1999)
) sin 2 (
2 sin )
(
x
x x
h
a) Tìm A,B để
x
x B x
x A x h
sin 2
cos ) sin 2 (
cos )
0
2
).
(
dx x h I
22) (ĐHBK HN 1998)
2
0
4 4
).
sin (cos
2 cos
dx x x
x I
23) (ĐHTM HN 2000) 2
0
3
) cos (sin
sin 4
x x
dx x I
24) (HVKTMM 1999) 3
6
4 cos sin
dx I
Trang 10Hệ thống bài tập tích phân- ứng dụng của tích phân
25) (ĐHTCKT HN 1996)
2
0
5 cos 3 sin
4
6 cos 7 sin
dx x x
x x
I
26) (ĐHBKHN 1996) 2
0
2
cos
dx x x I
27) (ĐHCĐ 1999) 2
0
2
cos ).
1 2 (
dx x x
I
28) (HVNH TPHCM 2000) 3
0
2
cos
).
sin (
x
dx x x I
Bài 7 Tích phân các hàm số vô tỉ
Bài 1: (Một số bài tập cơ bản) Tính các tích
phân sau :
1) Ax x dx a x ax dx a
2
0
2 1
0
8 15
) 0 ( 2 B
; 3 1
1 0
2 2 2
) 0 ( ) 1 ( B
;
x x
dx dx
x a x
A
a
2
1 0
dx x
x
dx
A
1 1
2
1
2 2
2 4
B
; 1
x x
dx x
dx x A
0 2 2
1 B
; 1
dx x x x
x
dx
A
7
0 3 1
dx x
dx
x
A
3
0 2 3
) 2 1 ( (*)B
;
dx x
x x
dx
A
1 1
1 (*)
0
1
3
x
dx x
x A
***đổi biến lượng giác ****
1 2 1
0
A
2 1 2
2 2
1
2
1 B
; 1
dx x
x dx
x
x
A
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVNH THCM 2000) 1
3
1
.
x x
dx x I
2) (ĐH BKHN 1995) 2
3
2 x x2 1
dx I
1
dx I
4
7 2
9
x
x
dx I
5) (ĐHQG HN 1998) 1
0
2 3
1 x dx x
I
6) (ĐHSP2 HN 2000) 2
1 x x3 1
dx I
7) (ĐHXD HN 1996) 1
0
2
1
).
1 (
x
dx x
I
8) (ĐHTM 1997) 7
3
1
.
x
dx x I
9) (ĐHQG TPHCM 1998) 1
.
x
dx x I
Bài 8 Tích phân các hàm số siêu việt
Bài 1: (Một số bài cơ bản)
1) (ĐHCĐ 2000) 1
0 2
3
x
e
dx I
2) (ĐHY HN 1998) 1
0
e e
dx I
3) (HVQY 1997) ln3
dx I
4) (ĐHAN 1997) 2
0
2 e dx x
5) (ĐHKT HN 1999 ) 2
0
3 sin
cos sin 2
dx x x e
6) (ĐHQG TPHCM 1996) 1
x
e
dx e I
2 ln
0
2
1
.
x x
e
dx e I
Bài 2: (Một số đề thi )
1) (HVQY 1997) I 2x.e2 dx
x