Hμm nμy cã nghiƯm d−¬ng nhÊt z = α + β mμ nã cho phÐp t×m a1 hm trọng lợng Để xác định hệ số A1 vμ A ta sư dơng hƯ (5.6.22) d−íi d¹ng + A = e − ( α − iβ ) T , α + β − (α − iβ ) A1 − (α + i β ) T + A=e α + β − (α + iβ ) A1 Gi¶i hệ ny ta đợc A1 = ( 2 + β −α α + β A=e −αT )e −αT (5.6.38) sin β T (5.6.39) 2 cos β T + α + β − α sin βT β (5.6.40) Cuối hm trọng lợng có dạng ) ( 2 α α + β −α − β g(t) = sin βTe − β α +β 2T + α + β −α sin βT δ (t )e −αT + cos βT + β (5.6.41) KÕt qu¶ nhËn đợc ny l kết ví dụ mục 5.5 Chơng 6: Xác định đặc trng hm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm 6.1 Các đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên chơng đà thấy rằng, lý thuyết tơng quan, ng−êi ta lÊy kú väng to¸n häc vμ hμm tơng quan lm đặc trng hm ngẫu nhiên Ta xét phơng pháp xác định đặc trng ny theo số liệu thực nghiệm Trong cần nhớ rằng, sử dụng số liệu thực nghiệm ta không giả thiết có tập hợp tất thể hiƯn cã thĨ cđa hμm ngÉu nhiªn, mμ chØ cã số hữu hạn thể hiện, l phần no tập tổng thể Vì vậy, đặc trng hm ngẫu nhiên đợc xác định theo tập mÉu nμy mang tÝnh chÊt ngÉu nhiªn vμ cã thĨ khác với đặc trng thực xác định theo ton tập tổng thể thể Những đặc trng nhận đợc theo số liệu thực nghiệm gọi l đặc trng thống kê hay ớc lợng thống kê Khác với giá trị thực kỳ vọng toán học 143 m(t ) vμ hμm t−¬ng quan R(t1 , t ) , ta ký hiệu đặc trng thống kê tơng ứng dới ~ ~ dạng m(t ), R (t , t ) Cã thÓ xÐt hm ngẫu nhiên nh tập hợp tất lát cắt Xuất phát từ đó, đa việc xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên việc xác định đặc trng tơng ứng hệ đại lợng ngẫu nhiên Giả sử kết thực nghiệm ta nhận đợc n thể hiÖn X i (t ) (i = 1, 2, , n) trình ngẫu nhiên X (t ) khoảng t0 t t0 + T (hình 6.1) Ta chia khoảng ny thnh m phần điểm t0 , t1 , , tm1 , t0 + T Đối với giá trị ®èi sè t j ( j = 1, 2, , m) ta nhận đợc lát cắt trình ngÉu nhiªn X j = X (t j ) lμ đại lợng ngẫu nhiên, tức l ta nhận đợc hệ m đại lợng ngẫu nhiên V thay cho đặc trng thống kê trình ngẫu nhiên ta xét đặc trng tơng ứng hệ đại lợng ngẫu nhiên ny Hình 6.1 Theo mục 1.8, đặc trng l: kỳ vọng toán học đại lợng ngẫu nhiên ~ ~ (6.1.1) m[X j ] = m x (t j ) l giá trị thống kê kỳ vọng toán học trình ngẫu nhiên giá trị rời rạc ®èi sè tj, vμ ma trËn t−¬ng quan ~ ~ ~ R11 R12 R1 m ~ ~ R22 R2 m ~ R j ,l = (6.1.2) ~ Rmm Các phần tử ma trận tơng quan (6.1.2) l mômen tơng quan thống kê lát cắt trình ngẫu nhiên, ứng với giá trị đối số t j v tl , tức l giá trị thống kê hm tơng quan trình ngẫu nhiên giá trị rời rạc đối số t j vμ tl ~ ~ R j ,l = Rx (t j , tl ) Theo ln ®iĨm cđa thèng kê toán học (chẳng hạn, xem [8]), ngời ta xem trung bình số học n giá trị có đại lợng ngẫu nhiên l giá trị thống kê cđa kú väng to¸n häc n ~ mx (t j ) = xi (t j ), j = 1, 2, , m n i =1 144 (6.1.3) Tơng tự, giá trị thống kê mômen tơng quan đợc xác định theo công thức [ ] ~ n ~ ~ Rx (t j , tl ) = xi (t j ) − mx (t j ) [xi (tl ) − mx (tl )] n − i =1 (6.1.4) Đặc biệt, j = l mômen tơng quan l giá trị thống kê phơng sai lát cắt tơng ứng [ ] n ~ ~ ~ (6.1.5) D x (t j ) = R x (t j , t j ) = xi (t j ) − m x (t j ) n − i =1 r r C¸c giá trị thống kê hệ số tơng quan ~j ,l = ~x (t j , t l ) lμ giá trị thống kê hm tơng quan chuẩn hoá ~x (t j , t l ) giá trị đối số t j , tl , đợc xác định theo r công thức ~ ~ (t , t ) = R x (t j , t l ) , rx j l ~ ~ σ x (t j ) σ x (t l ) (6.1.6) ~ ~ ®ã σ x (t ) = Dx (t ) Phơng pháp vừa xét đây, lấy trị số trung bình số học theo tất thể có đợc lm giá trị thống kê kỳ vọng toán học đại lợng ngẫu nhiên, dựa së sư dơng quy lt sè lín Quy lt nμy phát biểu rằng, số lợng thí nghiệm l lớn, với xác suất gần đơn vị, cho độ lệch giá trị trung bình so với kỳ vọng toán học l nhỏ giả thiết rằng, thí nghiệm l độc lập v đợc tiến hnh điều kiện nh Các thí nghiệm đợc coi l tiến hnh điều kiện nh− nÕu thùc hiƯn chóng, tËp hỵp tÊt tác động đợc tính tới, điều kiện ban đầu v mối liên hệ đợc giữ nguyên không đổi Các thí nghiệm đợc coi l độc lập kết thí nghiệm không phụ thuộc vo kết lần thí nghiệm khác Dới góc độ toán học, tính độc lập lần thí nghiệm khác tơng đơng với độc lập luật phân bố hm ngẫu nhiên thí nghiệm đó, tồn điều kiện bên ngoi giống tiến hnh thí nghiệm tơng đơng với việc quy luật phân bố hm ngẫu nhiên nh tất lần thí nghiệm Hệ phơng pháp vừa xét đợc ứng dụng để xác định đặc trng thống kê trờng ngẫu nhiên Giả sử có n thể u i ( ρ ) (i = 1, 2, , n) cđa tr−êng ngÉu nhiªn U ( ρ ) miỊn không gian D no Ta chia miền D thnh m phần tập hợp mặt phẳng song song với mặt phẳng toạ độ v phân bố cách Ký hiệu j l bán kính vectơ điểm N j , đỉnh khối lập phơng m miền D đà đợc chia thnh Khi ứng với giá trị đối số j l đại lợng ngẫu nhiên U ( j ) lát cắt trờng ngẫu nhiên điểm N j Tất công thức để xác định đặc trng thống kê trờng ngẫu nhiên U ( ) đợc nhận từ công thức tơng ứng trình ngẫu nhiên X (t ) (6.1.3)(6.1.6) cách thay số x thnh số u , đối số vô hớng t đợc thay đối số vectơ Phơng pháp xử lý theo tập hợp thể hm ngẫu nhiên vừa xét đòi hỏi số lợng lớn thể hiện, vì, nh đà biết từ thống kê toán học, độ xác đặc trng thống kê nhận đợc giảm nhanh giảm số lợng thể Với số lợng thể lớn, việc tính toán theo công thức (6.1.3) v đặc biệt theo công 145 thức (6.1.4) khó khăn Công việc ny đợc thực cách hiệu nhờ máy tính điện tử Ngy ngời ta đà lập chơng trình xác định kỳ vọng toán học v ma trận tơng quan cho nhiều loại máy tính khác nhau, nhờ việc xử lý thông tin khí tợng thủy văn đợc thực Thông thờng thực tế việc đo đạc yếu tố khí tợng thủy văn đợc tiến hnh không liên tục tất giá trị đối số, m giá trị rời rạc Nh vậy, xác định đặc trng hm ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm quan trắc khí tợng thủy văn, có hệ lát cắt giá trị cụ thể đà cho ®èi sè, vμ chóng ta chØ cã thĨ thao t¸c với hệ Trong trờng hợp trình ngẫu nhiên dừng hay trờng đồng đẳng hớng, kỳ vọng toán học không phụ thuộc vo đối số hm ngẫu nhiên, hm tơng quan l hm đối số vô hớng modul hiệu đối số Khi việc tính toán đơn giản nhiều, thay ma trận tơng quan (6.1.2) cần tính phần tử hng nó, l mômen tơng quan lát cắt nằm cách khoảng khác hm ngẫu nhiên 6.2 Các đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên có tính Egođic Đối với trình ngẫu nhiên dừng hay trờng đồng đẳng hớng có tính egođic việc lấy trung bình theo tập thể (xem chơng 2) thay lấy trung bình theo thể cho khoảng biến thiên đủ lớn đối số Ta xét phơng pháp xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên trờng hợp ny Giả sử x(t ) trình ngẫu nhiên dừng egođic X (t ) cho khoảng [0, T ] Nh đà trình by mục 2.6, giá trị kỳ vọng toán học v hm tơng quan trình ngẫu nhiên đợc xác định theo công thức (2.6.1) v (2.6.2) Trong công thức (2.6.2) có mặt giá trị thực kỳ vọng toán học mx trình ngẫu nhiên Song đa số trờng hợp giá trị ny cha đợc biết, v thay cho giá ~ trị thực buộc phải sử dụng giá trị thống kê kỳ vọng toán học mx Trên thực tế thờng biểu thức giải tích cđa thĨ hiƯn x(t ) , mμ chØ lμ biĨu diễn đồ thị nó, nhận đợc dụng cụ tự ghi, thông thờng l bảng giá trị trị số rời rạc cđa ®èi sè t v t1 t2 tj-1 tj Hình 6.2 Khi đó, công thức (2.6.1) v (2.6.2) tích phân đợc thay gần tổng tích phân 146 Giả sử có băng ghi liên tục thể x(t ) (hình 6.2), ta chia khoảng [0, T ] thnh n phần ®é dμi Δt vμ ký hiƯu ®iĨm ci cđa tõng ®o¹n lμ t j = jΔt ( j = 1, 2, , n) Vì T = nt , nên công thức (2.6.1) v (2.6.2) viết dới d¹ng n ~ m x = x( jΔt ) , n j =1 (6.2.1) ~ n−k ~ ~ Rx (τ k ) = [x( jΔt ) − mx ][x[( j + k )Δt ] − mx ] , n − k j =1 (6.2.2) ®ã τ k = kΔt (k = 1, 2, , m) Nếu băng ghi thể không liên tục m l rời rạc, t j lấy giá trị đối số ghi giá trị thể x(t ) ~ ~ Việc xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học mu vμ hμm t−¬ng quan Ru (l ) cđa tr−êng ®ång nhÊt ®¼ng h−íng U (ρ) theo mét thĨ hiƯn cho miền không gian D đợc tiến hnh cách tơng tự Hệ phơng pháp vừa xét hon ton đợc áp dụng để xác định hm cấu trúc trình dừng egođic hay trờng ngẫu nhiên đồng đẳng hớng Công thức để xác định giá trị thống kê hm cấu trúc theo thể hiƯn cđa hμm ngÉu nhiªn X (t ) cho trªn ®o¹n [0, T ] cã d¹ng Bx (τ) = T −τ T −τ [x(t + τ) − x(t )] dt (6.2.3) Khi thay thÕ tÝch phân (6.2.3) tổng tích phân, giống nh hm tơng quan, ta có công thức [ ] ~ n−k Bx (τ k ) = x(t j + τ k ) − x(t j ) n − k j =1 (6.2.4) NÕu kh«ng chØ cã mét thĨ hiƯn, mμ lμ mét sè c¸c thĨ nhận đợc điều kiện nh nhau, việc xử lý đợc tiến hnh theo phơng pháp thể hiện, sau lấy trung bình đặc trng tính đợc Trong trờng hợp ny cần nhớ giá trị trung bình hm cấu trúc nhận đợc cách lấy trung bình theo n thể độ di hữu hạn T , tiến tới giá trị thực lấy giới hạn n Còn hm tơng quan, tính không sử dụng giá trị thực m dùng giá trị thống kê kỳ vọng toán học hm ngẫu nhiên, nên giá trị trung bình nó, chí n , bị sai lệch Thực vậy, hm cÊu tróc ta cã T −τ ~ M B x ( τ) = M [X (t + τ) − X (t )] dt = T − τ [ = T −τ T −τ ] { } M [X (t + τ) − X (t )] dt = T −τ T −τ B (τ)dt = B (τ) , x x (6.2.5) tøc lμ kú väng toán học hm cấu trúc thống kê giá trị thực Nếu giá trị thống kê hm tơng quan đợc xác định theo thể độ di T có sử dụng giá trị thống kê kỳ vọng toán học hm ngẫu nhiên, th× 147 T −τ T −τ ~ ~ ~ ~ ~ [X (t ) − mx ][X (t + τ) − mx ] dt = = M {[X (t ) − m x ][X (t + τ) − m x ]}dt = M R x (τ) = M T −τ T −τ [ ] = T −τ T −τ M {[X (t ) − m x ][X (t + τ) − m x ]}dt − − − T −τ T −τ T −τ ~ M {[m x − m x ][X (t ) − m x ]}dt + T −τ M {[m ~ − m ][X (t + τ) − m ]}dt − x x x T −τ T −τ M [(m ] ~ − m ) dt x x (6.2.6) H¹ng thø nhÊt (6.2.6) giá trị thực hm tơng quan Rx () Thế ~ giá trị thống kê m x vo hạng lại (6.2.6), sau loạt biến đổi ta nhận đợc biểu thức [ ] ~ M R x (τ) = R x (τ) − T τ1 1 − τ [τR x (τ1 ) + TR x (τ1 − τ)] dτ1 + (T − τ)T τ + (T + τ − 2τ ) [R x (τ1 ) + R x (τ − τ)] dτ (T − τ)T (6.2.7) Tõ ®ã thÊy rằng, kỳ vọng toán học giá trị thống kê hm tơng quan, m giá trị trung bình lấy theo tất thể tiến tới n , không trùng với giá trị thực hm tơng quan Khi , từ (6.2.7) ta nhận đợc công thức cho kỳ vọng toán học phơng sai thống kê hm ngẫu nhiên tính giá trị cách lấy trung bình theo thể độ di T có sử dụng giá trị thống kê kỳ väng to¸n häc [ ] [ ] ~ ~ M R x (0) = M D x = D x − T T (T − τ) R x (τ) dτ (6.2.8) Tõ (6.2.8) thÊy r»ng, chí số thể để lấy trung bình giá trị thống kê phơng sai tiến tới vô hạn v khoảng ghi thể T hữu hạn phơng sai trung bình khác biệt với giá trị thực phơng sai đại lợng, phô thuéc vμo T vμ b»ng T α= (T − τ) Rx (τ)dτ T2 (6.2.9) B»ng viƯc xư lý sè liƯu thùc nghiƯm nh− trªn, ta nhận đợc giá trị thống kê hm tơng quan trị số rời rạc đối số §Ĩ cã thĨ sư dơng tiÕp hμm t−¬ng quan nghiên cứu thống kê trình v trờng khí tợng thủy văn, thuận tiện nên sử dụng biểu thức giải tích hm tơng quan nh l hm đối số liên tục Có thể nhận đợc hm nh cách xấp xỉ giá trị tính đợc biểu thức giải tích sử dụng phơng pháp toán học quen thuộc Khi chọn biểu thức giải tích để xấp xỉ hm tơng quan cần nhớ điều kiện cần tính dừng trình ngẫu nhiên hay tính đồng trờng ngẫu nhiên l điều kiện không âm phổ Vì vËy chØ cã thĨ chän nh÷ng hμm nμo cã phỉ không âm lm hm xấp xỉ Trong chơng đà xÐt chi tiÕt mét sè hμm vμ ®· chØ hm no dùng lm hm tơng quan trình ngẫu nhiên dừng hay trờng ngẫu nhiên đồng Dĩ nhiên hm ny cha bao quát đợc tất hm có phổ không âm m chóng cã thĨ lμ hμm t−¬ng quan, song nh− nhiỊu nghiên cứu đà ra, hm thờng cho kết phù hợp với số liệu thực nghiệm xấp xỉ giá trị thống kê hm tơng quan trình v trờng khí tợng thủy văn 148 Khi chọn biểu thức xấp xỉ nên dựng đồ thị mômen tơng quan nhận đợc v xem xÐt tÝnh chÊt phơ thc cđa nã vμo ®èi số, so sánh đồ thị ny với đồ thị hm tơng quan đà xét chơng Những dẫn tỉ mỉ phơng pháp xấp xỉ v độ xác chúng đà đợc xét sách chuyên khảo v dừng lại vấn đề ny 6.3 Độ xác xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên Do nhiều nguyên nhân lm ảnh hởng tới độ xác, đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên xác định theo số liệu thực nghiệm l đặc trng gần v khác nhiều so với giá trị thực kỳ vọng toán học v hm tơng quan Ta xét ảnh hởng nhân tố khác tới độ xác việc xác định đặc trng thống kê Để đơn giản cho việc tính toán ta tiến hnh nghiên cứu độ xác trình ngẫu nhiên Với trờng ngẫu nhiên, tính chất nghiên cứu v kết luận tơng tự ảnh hởng sai số số liệu ban đầu Các số liệu thực nghiệm đợc sử dụng xử lý không tránh khỏi có chứa sai số phụ thuộc vo độ xác phơng pháp quan trắc v dụng cụ đo Ta cho sai số đo l trình ngẫu nhiên Y (t ) có kỳ vọng toán học m y (t ) vμ hμm t−¬ng quan R y (t1 , t2 ) Khi thể zi (t ) trình ngẫu nhiên X (t ) nhận đợc thí nghiệm l tổng giá trÞ thùc cđa thĨ hiƯn xi (t ) vμ sai sè ®o yi (t ) zi (t ) = xi (t ) + yi (t ) (6.3.1) Trong tr−êng hợp ny, tơng ứng với (6.1.3), giá trị thống kê cđa kú väng to¸n häc ~ (t ) sÏ b»ng mz n [ ] ~ ~ ~ m z (t j ) = xi (t j ) + yi (t j ) = m x (t j ) + m y (t j ) n i =1 (6.3.2) Vì trờng hợp xét ta quan tâm tới ảnh hởng sai số đo, nên ta coi số thể đủ lớn cho đặc trng thống kê trình đợc xét không khác biệt so với giá trị thực tơng ứng Khi ®ã cã thĨ viÕt (6.3.2) d−íi d¹ng ~ mz (t j ) = mx (t j ) + m y (t j ) , (6.3.3) tøc lμ sai sè cña giá trị thống kê kỳ vọng toán học kỳ vọng toán học sai số đo Theo (6.1.4), ta xác định giá trị thống kê hm tơng quan dới dạng ~ R z (t j , t l ) = = [ ] n ~ ~ z i (t j ) − m z (t j ) [z i (t l ) − m z (t l )] = n − i =1 n [ xi (t j ) + y i (t j ) − m x (t j ) − m y (t j )] [ xi (t l ) + y i (t l ) − n − i =1 −m x (tl ) − m y (t l )] = = Rx (t j , tl ) + R y (t j , tl ) + R xy (t j , t l ) + R yx (t j , t l ) (6.3.4) Trong thùc tế quan trắc khí tợng thủy văn, thông thờng ngời ta thừa nhận rằng, sai số đo không liên quan với giá trị thực đại lợng đợc đo, v sai số ứng 149 với giá trị khác đối số không liên hệ với nhau, tức lμ Rxy (t j , tl ) = R yx (t j , t l ) = 0, 0 R y (t j , t l ) = σ y (t j ) (6.3.5) j ≠ l , (6.3.6) j = l Khi ®ã công thức (6.3.5) đợc viết dới dạng R x (t j , t l ) ~ R z (t j , t l ) = 2 σ x (t j ) + σ y (t j ) j ≠ l , (6.3.7) j = l Tõ c«ng thøc (6.3.7) suy r»ng, trờng hợp xét sai số đo không ảnh hởng tới giá trị thống kê hm tơng quan trình ngẫu nhiên t j tl , ~ nhng lm tăng giá trị thống kê phơng sai z (t j ) , nhận đợc từ (6.3.7) t j = tl , lên lợng phơng sai sai số đo y (t j ) Khi đó, theo (6.1.6), giá trị thống kê hm tơng quan chuẩn hoá đợc xác định nh− sau ~ Rx (t j , t l ) ~ (t , t ) = R z (t j , t l ) = (6.3.8) rz j l ~ (t )σ (t ) ~ σz j z l σ (t j ) + σ (t j ) σ (t l ) + σ (t l ) x y x y Tõ (6.3.8) thÊy r»ng, sai số đo lm giảm giá trị thống kê hm tơng quan chuẩn hoá Đối với trình ngẫu nhiên dừng X (t ), Y (t ) hμm t−¬ng quan phơ thc vμo mét tham sè τ = t l t j , phơng sai , l đại lợng không đổi, x y (6.3.8) đợc viết thnh d¹ng ~ (τ) = R x (τ) rz σ2 + σ2 x y (6.3.9) Chia tö thøc vμ mÉu thøc cña (6.3.9) cho σ , ta cã x ~ (τ) = r (τ) rz x , 1+δ (6.3.10) rx () l giá trị thực hm tơng quan chuẩn hoá, = y σ2 x r Khi τ → hμm t−¬ng quan chuẩn hoá tiến tới đơn vị, ~z (τ) → , vμ ®iỊu 1+δ nμy cho phÐp xác định đại lợng Ta dựng đồ thị hm ~z () , giá trị = v ngoại suy đến điểm r τ = NÕu τ0 nhá th× cã thể tiến hnh ngoại suy phơng pháp đồ thị Ngoμi ra, r cịng cã thĨ thùc hiƯn ®iỊu ®ã b»ng c¸ch xÊp xØ hμm ~z (τ) b»ng biĨu thøc giải tích, sau tính giá trị biểu thức ny với = Sử dụng đẳng thức (6.3.10), ta xác định đợc đại lợng (6.3.11) 1+ = ~ rz (0) Bây giá trị bị hạ thấp hm tơng quan chuẩn hoá thống kê đợc hiệu chỉnh lại nhân chúng với đại lợng + vừa tìm đợc 150 Để hiệu chỉnh giá trị bị tăng phơng sai thống kê, cần phải lấy giá trị nhận ~ đợc cđa σ chia cho + δ theo c«ng thøc z ~ σ2 σ2 = z (6.3.12) x 1+ Giá trị thống kê hm cấu trúc Bz () đợc xác định dới dạng ~ n B z (τ) = [zi (t + τ) − zi (τ)] = n − i =1 = n [xi (t + τ) + yi (t + τ) − xi (t ) − yi (t )] = n − i =1 [ ] = Bx (τ) + B y (τ) + Rxy (0) + Rxy (0) − Rxy (τ) − R yx (τ) (6.3.13) Cũng dựa giả thiết tính không tơng quan sai số đo v đại lợng đợc đo v tính không tơng quan với sai số thời điểm t khác nhau, ta nhận ®−ỵc ~ Bz (τ) = Bx (τ) + 2σ (6.3.14) y Nh giá trị thống kê hm cấu trúc bị tăng lên lợng hai lần phơng sai sai số ~ Vì Bx (0) = nªn Bz (0) = 2σ Tõ tìm đợc đại lợng 2 cách ngoại y y ~ suy đồ thị hm cấu tróc Bz (τ) ®Õn ®iĨm τ = Sau xác định đợc , hiệu y chỉnh giá trị nhận đợc hm cấu tróc b»ng c¸ch trõ chóng cho 2σ2 y Hμm cấu trúc chuẩn hoá đợc xác định theo công thức B ( τ) B ( τ) bz (τ) = z = z Bz (∞) Rz (0) (6.3.15) Do đó, giá trị thống kê hm cấu trúc chuẩn hoá đợc xác định theo công thức Bx () + 2σ 2σ bx (τ) + 2σ bx (τ) + δ ~ y x y bz (τ) = = = 2 2 2σ x + 2σ y 2σ x + 2σ y 1+δ (6.3.16) C«ng thức ny đặc trng cho sai lệch hm cấu trúc gây nên sai số đo Chúng ta ®· xÐt ¶nh h−ëng cđa sai sè ®o sè liệu ban đầu đến độ xác đặc trng thống kê tính đợc phơng pháp lấy trung bình theo tập hợp thể Các sai số ®o cịng ¶nh h−ëng ®óng nh− vËy ®Õn ®é chÝnh xác đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên dừng egođic, đặc trng ny đợc xác định cách lấy trung bình theo thể với độ di đủ lớn ảnh hởng hạn chế số lợng thể Khi xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên cách lấy trung bình theo tập thể hiện, có số lợng hạn chế thể hiện, thờng l không lớn Nh đà biết thống kê toán học, độ xác việc xác định đại lợng ny phụ thuộc vo số lợng thể Đối với đại lợng ngẫu nhiên phân bố gần chuẩn, sai số bình phơng trung bình r hệ số tơng quan đợc xác định theo công thøc 151 σr = − r2 n −1 , (6.3.17) r l giá trị thực hệ số tơng quan, n l số lợng quan trắc độc lập Từ công thức (6.3.17) thấy rằng, đại lợng r phụ thuộc đáng kể vo giá trị hƯ sè t−¬ng quan Ký hiƯu γ= σr − r2 , = r r n −1 (6.3.18) ta nhËn ®−ỵc: víi r = 0,9 γ = 0,2 n −1 , víi r = 0,5 γ = 1,5 n −1 , víi r = 0,1 γ = 9,9 n −1 Điều ny cho thấy, giá trị thống kê hệ số tơng quan cặp lát cắt hm ngẫu nhiên liên hệ chặt chẽ với tin cậy so với trờng hợp lát cắt liên hệ yếu Đối với trình ngẫu nhiên gặp khí tợng thủy văn, mối liên hệ tơng quan thờng giảm nhanh tham số tăng Nh vậy, giá trị R() nhận đợc theo số liệu thực nghiệm xác với trÞ sè τ nhá vμ Ýt tin cËy τ lớn Xuất phát từ đó, xấp xỉ giá trị nhận đợc hm tơng quan R() biểu thức giải tích cần phải đạt đợc phù hợp tốt giá trị thực nghiệm v giá trị lm trơn không lớn, cho sai lệch trị số lớn chủ yếu l ngẫu nhiên Đối với hm ngẫu nhiên dừng, giá trị hm tơng quan đợc xác hoá cách tính chúng cho trị số giống lấy đoạn khác khoảng biến thiên đối số t , v sau lấy trung bình chúng Trong trờng hợp ny sai số bình phơng trung bình chúng giảm Mức độ giảm sai số ny cng đáng kể lát cắt hm ngẫu nhiên đoạn khoảng biến thiên t , m ta tính trị số r () để lấy trung bình, cng liên hệ với Khi để ý đến điều đó, cần lặp lại việc tính toán r () qua khoảng biến thiên đủ lớn cđa tham sè t , cho mèi liªn hƯ tơng quan lát cắt khoảng trở nên không đáng kể Nếu hệ số tơng quan tham gia vo phép lấy trung bình đợc tính đoạn thực tế độc lập với nhau, nh đà biết, sai số bình phơng trung bình r giảm k lần, với k l số giá trị r () đem lấy trung bình Bây ta xét sai số xuất xác định đặc trng thống kê cách lấy trung bình theo thể ảnh hởng hạn chế khoảng ghi thể Khi xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên dừng có tính egođic cách lấy trung bình theo thể xt hiƯn sai sè chóng ta chØ cã mét ghi thể khoảng biến thiên hữu hạn no đối số m ton khoảng vô hạn Khi đặc trng thống kê l đại lợng ngẫu nhiên, v ta quan tâm tới mức độ sai lệch đại lợng ny khỏi giá trị thực Vì vậy, đơng nhiên ta lấy bình phơng trung bình độ lệch giá trị đặc trng thống kê so với giá trị thực lm thớc đo độ xác đặc trng thống kê ny 152 Giả sử giá trị thực đặc trng l a, giá trị thống kê nhận đợc việc lấy trung bình theo thể l giá trị đại lợng ~ ngẫu nhiên A , để lm thớc đo độ xác ngời ta dùng đại lợng ( ) ~ σ= M A−a (6.3.19) ~ Khi xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học mx cách lÊy trung b×nh theo mét thĨ hiƯn cđa hμm ngÉu nhiên X (t ) cho khoảng [0, T ] , theo (2.6.1) đại lợng (6.3.19) đợc xác định dới dạng T σ = M X (t )dt − m x = M T T m T2 = T T [X (t ) dt − m ][X (t x 0 )dt − m x ] dt1dt = T T R (t x − t1 )dt1 dt , (6.3.20) 0 ®ã mx lμ giá trị thực kỳ vọng toán học hm ngẫu nhiên X (t ) , Rx (t2 t1 ) = Rx (τ) lμ hμm t−¬ng quan cđa Ta biến đổi tích phân hai lớp (6.3.20) T T T T J = Rx (t − t1 )dt1 dt = Rx (t − t1 )dt dt1 0 0 (6.3.21) Thay biÕn t2 t1 = tích phân bên T T −t1 J = R x (τ)dτ dt −t1 (6.3.22) v lấy tích phân phần, ta đợc T T T 0 J = T R x (τ)dτ − τR x (τ)dτ − tR x (T − t )dt (6.3.23) Sau thay T − t = τ tÝch ph©n ci cïng cđa (6.3.23) T J = 2 (T − τ) R x (τ)dτ (6.3.24) ThÕ (6.3.24) vμo (6.3.20), cuèi cïng ta cã τ − T R x ( τ) d τ T 0 T σ2 = m (6.3.25) Tõ (6.3.25) thÊy r»ng độ lệch bình phơng trung bình m , đặc trng cho độ xác việc xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán học, phụ thuộc vo khoảng lấy trung bình T v phụ thuộc vo dạng hm tơng quan Rx () Ví dụ, ®èi víi hμm ngÉu nhiªn X (t ) cã hμm t−¬ng quan R x ( τ) = D x e σ2 = m 2D x αT T τ 1 − T e − ατ dτ = −α τ 2D x αT , (6.3.26) − αT 1 − αT − e ( ) (6.3.27) Tõ ®ã thÊy r»ng, đại lợng phụ thuộc vo tích T Với giá trị T lớn m công thức xấp xỉ sau 153 m 2Dx αT (6.3.28) hay σm Dx αT ≈ (6.3.29) Công thức (6.3.29) cho thấy rằng, tỷ trọng tơng đối độ lệch bình phơng trung bình sai số xác định giá trị thống kê kỳ vọng toán häc cđa hμm ngÉu nhiªn X (t ) so víi độ lệch bình phơng trung bình x = D x tỷ lệ nghịch với bậc hai khoảng lấy trung bình T Từ (6.3.29), với trị số đà cho, tìm đợc độ di cần thiết khoảng T cho trớc sai số tơng đối cho phép m x ~ Khi xác định giá trị thống kê hm tơng quan Rx () cách lấy trung bình theo thĨ hiƯn cđa hμm ngÉu nhiªn X (t ) cho khoảng [0, T ] , theo (2.6.2), đại lợng (6.3.19) đợc xác định dới dạng {[ ~ ( τ ) = M R x ( τ) − R x ( τ) R = M ] }= T −τ [X (t ) − m x ][X (t + τ) − m x ]dt − R x (τ) T − τ (6.3.30) Đối với trờng hợp hm ngẫu nhiên dừng phân phối chuẩn, cách biến đổi biểu thức (6.3.30), vÝ dơ nh− [16] ®· thùc hiƯn, cã thĨ nhận đợc công thức gần để tính (τ) d−íi d¹ng R ∞ σ (τ) ≈ R [ ] 2 R x (τ1 ) + R x (τ1 + τ) R x (τ − τ) dτ T −τ (6.3.31) C«ng thøc nμy giá trị T lớn v với giá trị m R() có giá trị đáng kể Sử dụng công thức (6.3.31) nhận đợc giá trị () hm ngẫu nhiên có R hm tơng quan (6.3.26) dới d¹ng σ (τ) ≈ R [ ] Dx + (1 + 2ατ) e −2ατ α(T − τ) (6.3.32) Đặc biệt, với = ta đợc công thức gần độ lệch bình phơng trung bình phơng sai thống kê D x (6.3.33) D αT Tõ ®ã thÊy r»ng tû sè D v độ lệch bình phơng trung bình x hm ngẫu nhiên tỷ lệ nghịch với bậc hai khoảng lấy trung bình T ¶nh h−ëng cđa phÐp thay thÕ tÝch ph©n b»ng tỉng tích phân Nh đà trên, xác định đặc trng thống kê hm ngẫu nhiên cách lấy trung bình theo thể xuất sai số tích phân xác định công thức (2.6.1) v (2.6.2) bị thay tổng tích phân (6.2.1) v (6.2.2) Theo (6.3.19), độ lệch bình phơng trung bình m , đặc trng cho độ xác 154 việc xác định kỳ vọng toán học thống kê, đợc xác định dới dạng 2 n n 2m x n σ = M X (t j ) − m x = = M X (t j ) − M X (t j ) + mx2 = n j =1 n n j =1 j =1 n n n n 2m x 1 = M X (t j ) X (t k ) − nm x + m x = = M { X (t j ) − m x [X (t k ) − m x ]} = n n j =1 k =1 n j =1 k =1 [ m [ ] [ = n2 n n R (t x k ] ] −tj) (6.3.34) j =1 k =1 Khi phân chia khoảng lấy trung bình T lm n phần t k = k tj = j T , n T , ®ã n t k − t j = (k − j ) ®ã Δ = T = ( k − j ) Δ, n (6.3.35) T n Khi sư dơng (6.3.35) cã thĨ viÕt (6.3.34) d−íi d¹ng σ2 = m n2 n n R [(k − j )Δ] (6.3.36) x j =1 k =1 Theo công thức ny, biết hm tơng quan trình ngẫu nhiên Rx () ớc lợng đợc đại lợng m ứng với bớc chia đà chọn, cho trớc đại lợng m cho phép chọn đợc bớc chia tơng ứng với Cụ thể, hm tơng quan (6.3.26) đại lợng tính theo công thức (6.3.36) sÏ m b»ng [16] Δ 2Δ 2Δ2 e2Δ − − e − αT σ = Dx + m αΔ 2Δ T T e − T e − ( ) ( ) (6.3.37) Từ thấy rằng, độ lệch bình phơng trung bình giá trị thống kê kỳ vọng toán học so với giá trị thực phụ thuộc vo khoảng lấy trung bình T v bớc chia khoảng thay tích phân xác định tổng tích phân Trong công thức (6.3.37), giảm vô hạn bớc chia, tøc lμ Δ → (n → ∞) : Δ = 0, Δ →0 T lim 2Δ 2Δ2 e αΔ = = 2 , lim αΔ αΔ Δ →0 T e − α Δ Δ →0 α T e − T α lim ( ) Tõ ®ã lim σ = m Δ →0 Dx αT − αT 1 − αT − e ( ) (6.3.38) Từ (6.3.38) thấy rằng, giá trị bớc chia nhỏ, đại lợng m giảm T tăng Với giá trị đủ nhỏ v T đủ lớn, ta có công thức gần m Dx αT (6.3.39) T−¬ng øng víi (6.3.19) vμ (6.2.2), độ lệch bình phơng trung bình giá trị thống kê 155 hm tơng quan so với giá trị thùc cđa nã viƯc thay thÕ tÝch ph©n b»ng tổng tích phân đợc xác định theo công thức ~ σ = M R x (τ) − R x (τ) = R {[ ]} n − k M X (t j ) − m x n − k j =1 [ ] X (t j T + k ) − m x − R x (τ) n (6.3.40) Khi sử dụng phơng pháp đơn giản hoá biểu thøc (6.3.40) vμ c¶ cho biĨu thøc (6.3.30) mμ (6.3.40) khác với chỗ tích phân đợc thay tổng tích phân, nhận đợc công thức gần hm ngẫu nhiên phân bè chuÈn σ2 ≈ R 2 T Rx (0) + Rx k + n−k n n 2 T T T T 2 T + 2 R x j + R x j + k R x j + k n n n n n j =1 (6.3.41) Công thức ny khoảng lấy trung bình T lớn v với trị số T k m hm tơng quan Rx k đạt giá trị đáng kể n Đối với trình ngẫu nhiên có hm tơng quan (6.3.26), đại lợng , tÝnh theo R c«ng thøc (6.3.41), b»ng [16] σ2 ≈ R D x + e −2 α Δ + e −2 kΔ + 2ke −2 αkΔ −2 α Δ n k e ( ) (6.3.42) Đặc biệt, k = ta nhận đợc công thức gần độ lệch bình phơng trung bình phơng sai thống kê D Dx + e −2 αΔ n − e (6.3.43) Có thể nhận đợc công thức tơng tự độ lệch bình phơng trung bình , xuất hạn chế khoảng lấy trung bình T thể nh viƯc thay B thÕ tÝch ph©n b»ng tỉng tÝch phân, giá trị thống kê hm cấu trúc so với giá trị thực Các công thức ny v ớc lợng tơng ứng trình ngẫu nhiên có hm tơng quan (6.3.26) đợc trình by, chẳng hạn, công trình [1] Ví dụ Ta minh hoạ hệ phơng pháp đà trình by ví dụ chỉnh lý thống kê số liệu gió cao không mực 250 mb, đợc quan trắc bóng thám không, thời kỳ từ tháng 9/1957 đến tháng 4/1959 Avakuni (Nhật Bản) Trờng vectơ vận tốc gió mực ny đợc xem l trờng ngẫu nhiên vectơ phẳng Có tất 86 lần thả bóng đợc tiến hnh, tøc lμ cã 86 thĨ hiƯn cđa tr−êng ngÉu nhiªn Độ di thời gian lần thả bóng khác nhau, di l 92 Đại lợng vectơ vận tốc gió đợc ghi với thời đoạn một, tức l có 15 lát cắt trờng ngẫu nhiên Tại thời điểm ban đầu máy thám không vị trí điểm N o ( o ) mặt phẳng, sau thời gian t dịch chuyển đến điểm N (ρ) , tøc lμ ta sÏ xÐt tr−êng ngÉu nhiên miền khôngthời gian Do đặc trng thống kê nó, nh kỳ vọng toán học v hm tơng quan, l hm toạ độ không gian v thời gian 156 Nhiều công trình nghiên cứu trờng gió chứng tỏ rằng, giới hạn khoảng cách v khoảng thời gian xảy trờng hợp đây, trờng gió mặt phẳng ngang thực tế xem l đồng v đẳng hớng với độ xác chấp nhận đợc Vì (xem mục 2.14), đặc trng hai hm tơng quan: hμm t−¬ng quan däc G (1) vμ hμm t−¬ng quan ngang F (1) §èi víi tr−êng giã cã thĨ lấy thnh phần vĩ hớng vectơ gió, m ta ký hiƯu lμ U (ρ) , lμm thμnh phÇn dọc, thnh phần kinh hớng V () lm thnh phần ngang Nh vậy, bi toán đợc đa việc tìm kỳ vọng toán học v hm tơng quan thnh phần kinh hớng v vĩ hớng vectơ gió thể hiện, thnh phần kinh hớng v vĩ hớng đợc tính cho tất thời điểm ghi vectơ gió, tức l với thời khoảng Vì trình dịch chuyển bóng thám không qua khoảng thời gian ny không đợc ghi lại, nên qui ớc xét thời gian nh l tham số, thực tế hm tơng quan thống kê l hm cđa hai tham sè − kho¶ng thêi gian τ = t − t1 vμ t−¬ng øng víi l khoảng cách điểm l = − ρ , tøc chóng lμ hμm t−¬ng quan khôngthời gian Để có khái niệm trực quan tính chất hm ngẫu nhiên xét, hình 6.3 ®· dÉn mét vμi thĨ hiƯn cđa thμnh phần gió vĩ hớng Trên hình giá trị rời rạc thể đà đợc nối lại đờng liền nét Dạng đờng cong không mâu thuẫn với giả thiết tính đồng v egođic hm ngẫu nhiên đợc xét Chúng có dạng dao động ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình chung, biên độ trung bình v đặc điểm dao động ny không biểu biến đổi đáng kể theo thời gian Ngoi ra, điều khẳng định dạng hm tơng quan nhận đợc xử lý Những tính toán G A Degtiapenko thực máy tính điện tử Uran Trong chơng trình đợc lập có tính đến độ di khác thể riêng biệt Kỳ vọng toán học v phơng sai đợc tính cho giá trị tham số t theo công thức (6.1.3), (6.1.5) cách lấy trung bình theo số lát cắt thực có thể ~ Trong bảng 6.1 đà dẫn giá trị kỳ vọng toán học mu v độ lệch bình phơng trung bình ~ ~ u lát cắt thnh phần vĩ hớng Từ bảng thấy rằng, mu l đại lợng không đổi mμ cã tÝnh chu kú nμo ®ã, tøc lμ tÝnh dừng đợc chấp nhận ~ với gần định Các giá trị u khác đôi chút 157 Hình 6.3 Bảng 6.1 t (giờ) 12 18 24 30 36 42 48 ~ mu (m/s) 2,0 2,7 -2,2 -2,2 3,0 1,7 -2,6 -1,5 ~ σu (m/s) 16 15 13 15 14 13 11 12 t (giê) 54 60 66 72 78 84 90 ~ mu (m/s) 2,4 2,0 -2,6 -2,2 -0,8 0,4 0,3 ~ σu (m/s) 13 13 11 11 Để loại bỏ sai số cách xác hơn, đà tính hm cấu trúc v hm tơng quan tách biệt theo số liệu thực nghiệm Tất thể (các lần thả bóng) đà đợc chia thnh ba nhóm theo giá trị tốc độ gió: I 50 km/h; II − 50–100 km/h vμ III − trªn 100 km/h Các hm cấu trúc v hm tơng quan đợc xác định riêng biệt cho thể theo công thức (6.2.17) v (6.2.6), sau lấy trung bình theo tất thể nhóm Trên hình 6.4 đa hm cấu trúc đà trung bình hoá thnh phần vĩ hớng Từ hình vẽ thấy rằng, giá trị lớn hm cấu trúc đạt đợc = 30 Tiếp theo ®ã ta thÊy hμm cÊu tróc gi¶m Sù gi¶m nμy đợc giải thích diện tính chu kỳ cấu trúc hm ngẫu nhiên Từ hình 6.4 thấy rằng, giá trị hm cấu trúc nhận đợc bị sai lệch Nếu kéo di chúng đến điểm = giá trị nhận đợc khác không Những trị số ngoại suy ~ B (0) ny có giá trị hai lần phơng sai sai số số liệu ban đầu v chúng phải đợc trừ bỏ khỏi giá trị hm cấu trúc Chính giá trị ny đợc sử dụng để chỉnh lý hm tơng quan thu đợc Khi giả thiết giá trị nhỏ hm cấu trúc xác Các hm tơng quan thnh phần vĩ hớng đợc dẫn hình 6.5 Từ hình vẽ ~ thấy rằng, hm tơng quan Ru (τ) dÇn tíi τ → ∞ , điều xác nhận giả thiết tính egođic hm ngẫu nhiên Các hm tơng quan thnh phần vĩ hớng đợc dẫn hình 6.5 Từ hình vẽ ~ thấy rằng, hm tơng quan Ru () dần tới , điều xác nhận giả thiết tính egođic hm ngẫu nhiên Các đồ thị hm tơng quan tơng ứng víi nhãm thø nhÊt vμ nhãm thø hai cđa nh÷ng lần thả bóng (khi tốc độ gió nhỏ 100 km/h), lm gợi nhớ tới đồ thị hm R() = e Đồ thị hm tơng quan tốc độ gió 100 km/h lm gợi nhớ đến đồ thị hm R () = σ e − ατ cos βτ 158 ... Hình 6. 3 Bảng 6. 1 t (giờ) 12 18 24 30 36 42 48 ~ mu (m/s) 2,0 2,7 -2 ,2 -2 ,2 3,0 1,7 -2 ,6 -1 ,5 ~ σu (m/s) 16 15 13 15 14 13 11 12 t (giê) 54 60 66 72 78 84 90 ~ mu (m/s) 2,4 2,0 -2 ,6 -2 ,2 -0 ,8... lợng ngẫu nhiên U ( j ) lát cắt trờng ngẫu nhiên điểm N j Tất công thức để xác định đặc trng thống kê trờng ngẫu nhiên U ( ) đợc nhận từ công thức tơng ứng trình ngẫu nhiên X (t ) (6. 1.3) (6. 1 .6) ... (t j ) lμ đại lợng ngẫu nhiên, tức l ta nhận đợc hệ m đại lợng ngẫu nhiên V thay cho đặc trng thống kê trình ngẫu nhiên ta xét đặc trng tơng ứng hệ đại lợng ngẫu nhiên ny Hình 6. 1 Theo mục 1.8,