LÝ THUYẾT HÀM NGẪU NHIÊN TRONG KHÍ TƯỢNG THỦY VĂN - Chương 5 potx

MËt ®é phỉ nμy (nh− ®· chØ mơc 3.2, vÝ dơ 5) t−¬ng øng víi hμm t−¬ng quan R y (τ ) = σ e −α τ  α  cos βτ + sin β τ  β      (4.4.31) Tõ (4.4.29), biÓu diễn v qua hệ số phơng tr×nh β= k2 −α , σ2 = πc , 2αk (4.4.32) ta viÕt hμm t−¬ng quan (4.4.31) d−íi d¹ng Ry(τ) = πc 2αk e −α τ  α  cos k − α 2τ + sin k − α τ  2 k (4.4.33) Quá trình ngẫu nhiên Y(t) có hm tơng quan dạng (4.4.31) l khả vi, nhiên không tồn đạo hm bậc hai Vì vậy, cần xét nghiệm phơng trình (4.4.26) theo nghĩa nh đà phơng trình (4.4.19) Chơng 5: Nội ngoại suy v lm trơn hm ngẫu nhiên 5.1 Đặt bi toán Ta hÃy xét vi bi toán thờng gặp khí tợng thuỷ văn Ngoại suy Giả sử có thể x(t) trình ngẫu nhiên X(t) khoảng biến đổi no tham số [a,t] xảy trớc thời điểm t Giả thiết đặc trng trình ngẫu nhiên X(t) kỳ vọng toán học v hm tơng quan nó, đà biết Yêu cầu dự báo giá trị x(t+T) thể ny thời điểm t+T no đó, T>0 Ngời ta gọi đại lợng T l lợng ngắm đón Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy trình ngẫu nhiên Do giả thiết thể x(t) đợc xác định xác, sai số đo, nên bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy tuý Lm trơn Giả sử thể x(t) trình ngẫu nhiên X(t) đợc xác định nhờ kết thực nghiệm, khoảng biÕn ®ỉi [a,t] cđa tham sè t, víi sai sè y(t) l thể trình ngẫu nhiên Y(t), tức l thực nghiệm ta nhận đợc thể z(t) = x(t) + y(t), với x(t) l giá trị thực thể hiện, y(t) l sai số đo Giả thiết đà biết đặc trng trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t), nh kỳ vọng toán häc, hμm t−¬ng quan vμ hμm t−¬ng quan quan hƯ Yêu cầu xác định giá trị thực thể x(t) thời điểm t no đó, có nghĩa l tách khỏi sai số đo Bi toán ny gọi l bi toán lm trơn (lọc) trình ngẫu nhiên Nó xuất hiện, chẳng hạn, tách tín hiệu hữu ích nhiễu kỹ thuật vô tuyến, ngời ta gọi giá trị thực l tín hiệu hữu ích, sai số lm méo tín hiệu đợc gọi l 115 nhiễu hay ồn Trong khí tợng thuỷ văn bi toán ny nảy sinh giống nh bi toán loại bỏ sai số ®o chØnh lý c¸c sè liƯu thùc nghiƯm Khi có khác bi toán lm trơn số liệu thực nghiệm v bi toán tách tÝn hiƯu kü tht v« tun Trong kü tht vô tuyến, v nói chung lý thuyết hệ điều khiển tự động, ngời ta giả thiết rằng, tín hiệu qua thiết bị đợc sử dụng để lm trơn tín hiệu thời điểm t no có giá trị tín hiệu trớc thời điểm ny qua, m tính đến giá trị sau Vấn đề chỗ gọi l nguyên lý nhân mặt vật lý hệ Khi đó, để nhận đợc giá trị x(t) phải tiến hnh lm trơn thể z(t) khoảng [a,t] no xảy trớc thời điểm ny Khi lm trơn số liệu thực nghiệm cách tiến hnh tính toán tuý, không sử dụng thiết bị vật lý, không bị phụ thuộc vo điều kiện ny v sử dụng tất giá trị thể z(t) đà có để lm trơn, tức l giá trị cần tìm x(t) thời điểm t đợc xác định cách lm trơn giá trị thể z(t) ton đoạn [a,b] Ngoại suy có lm trơn Bi toán ngoại suy gắn liền chặt chẽ với việc lm trơn, thực tế ta luôn nhận đợc thể trình ngẫu nhiên m ta quan tâm có chứa sai số đo Khi bi toán ngoại suy trình ngẫu nhiên l chỗ, với thể đà có đoạn [a,t] z(t) = x(t) + y(t) phải dự báo đợc giá trị thể x(t) thời điểm t+T, T>0 Bi toán ny đợc gọi l bi toán ngoại suy có lm trơn Khi T0 T−¬ng tù, t0 = b cho trờng hợp lm trơn Vì ta xét hm ngẫu nhiên nên m ta quan tâm l tìm phơng pháp giải bi toán cho nhận đợc kết tốt từ tập hợp tất thể theo nghĩa no đó, tức l tìm toán tử cho tác dụng lên tập thể z(t), cho giá trị tốt thể x(t0), theo nghĩa no Nếu ký hiệu toán tử cần tìm l L, ta viết X(t0) = L{Z(t)} (5.1.2) X(t0) = L{X(t) + Y(t)} (5.1.3) hay Trớc hết cần xác định tiêu chuẩn chất lợng nghiệm bi toán đặt l Trong khuôn khổ lý thuyết xác suất đánh giá chất lợng toán tử phơng diện thống kê trung b×nh theo toμn bé tËp thĨ hiƯn cã thĨ hm ngẫu nhiên Ký hiệu l hiệu giá trị thực X(t0) v giá trị nhận đợc theo c«ng thøc (5.1.2), δ = X(t0) − L{Z(t)} (5.1.4) Cã thĨ gäi to¸n tư L lμ tèt nhÊt nÕu nã lm cho giá trị trung bình hm đợc chọn no hiệu trở nên cực tiểu, vÝ dơ nh− kú väng to¸n häc cđa modul hiƯu Thuận tiện hơn, từ quan điểm toán học, tiêu chuẩn chất lợng l lm cực tiểu kỳ vọng toán học bình phơng hiệu M[ 2] = M{[ X(t0) L{Z(t)}]2} (5.1.5) Ta sÏ gäi to¸n tư L lμ tèi −u nÕu nã lμm cho biÓu thøc (5.1.5) trë thμnh cực tiểu, v công thức (5.1.2) tơng ứng với l công thức ngoại suy (nội suy) lm trơn tèi −u Trªn thùc tÕ hiƯn nay, ta thõa nhËn lời giải bi toán đà nêu có giới hạn sau m tiếp tục xÐt sau nμy: 1) To¸n tư L lμ tun tÝnh v dừng, tức không phụ thuộc vo đối số t; 2) Các trình ngẫu nhiên X(t) v Y(t) l dừng v liên hệ dừng; Với giả thiết đà nêu, bi toán xét đợc gọi l bi toán nội, ngoại suy v lm trơn tuyến tính tối u trình ngẫu nhiên dừng Lần bi toán ny đợc A N Komogorov [10] đề xuất v giải T tởng đợc phát triển tiếp công trình N Viner [32] Phơng pháp giải bi toán đà nêu phụ thuộc vo khoảng m thể z(t) đợc cho l vô hạn hay hữu hạn Ta xét trờng hợp riêng biệt Trong đó, trờng hợp khoảng hữu hạn, ta xem thể đợc cho số hữu hạn giá trị rời rạc tham số t, điều m thờng xuyên xảy thực tế đo đạc khí tợng thuỷ văn 5.2 Nội, ngoại suy tuyến tính tối u v lm trơn hm ngẫu nhiên cho số điểm hữu hạn Ta bắt đầu xét từ trờng hợp đà biết số hữu hạn giá trị thể cuả trình ngẫu nhiên dừng, tức l biết giá trị thể z(t) thời điểm 117 t1, t2, , tn (t10 (5.6.6) τ 0 (5.6.7) τ