Chuyên đề Bài toán viết phương trình một đường, một mặt Với việc đưa hệ tọa độ vào mặt phẳng và không gian, ta có thể nghiên cứu Hình học bằng các phương pháp của Đại số. Ở đó, mỗi sự kiện trong Hình học được cho tương ứng với một sự kiện trong Đại số. Nói cách khác, ta phiên dịch các sự kiện trong Hình học sang ngôn ngữ của Đại số
Trang 1Chương IV CAC CHUYEN DE Chuyén để 1
BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG, MỘT MẶT Với việc đưa hệ toạ độ vào mặt phẳng và không gian, ta có thể nghiên cứu
Hình học bằng các phương pháp của Đại số Ở đó, mỗi sự kiện trong Hình học được cho tương ứng với một sự kiện trong Đại số Nói cách khác, ta "phiên dịch”
các sự kiện trong Hình học sang ngơn ngữ của Đại số Các đối tượng đầu tiên cần
"phiên dịch" là các khái niệm chính của hình học : điểm, vectơ, đường thẳng, mặt
phẳng, đường tròn, mặt cầụ (và sau đó là các tính chất của chúng) Các khái niệm tương ứng với những đối tượng trện trong Đại số được gọi là phương trình của đối tượng đó (riêng đối với điểm, vectơ, chúng được gọi là toạ độ) Có thể hiểu
một cách đơn giản phương trình (tổng quát) của một đường hay: một mặt là một
phương trình hay hệ phương trình đa thức (rút gọn) sao cho điểm M thuộc đường
hay mặt đó (sự kiện của hình học) khi và chỉ khi toạ độ điểm M thoả mãn phương
trình hay hệ phương trình nói trên (sự kiện của Đại số) Bài tốn viết phương trình
của một đường thẳng hay một mặt là bài toán cơ bản nhất của hình học giải tích
Trong các kì thi đại học, các bài toán loại này ln có mặt trong đề thi và chiếm phân nhiều số điểm dành cho phần hình học Trong chuyên đề này, ta phân tích các phương pháp khi giải bài toán loại nàỵ
Bài tốn viết phương trình của đường hay mặt thường được giải quyết bằng
một trong các cách saụ
Cách 1 : Dùng định nghĩa để viết phương trình
Cách này được bắt đầu bằng việc xem xét điều kiện cần và đủ để một điểm MŒx ; y ; z) thuộc hình (') đang cần viết phương trinh Diém M(x ; y ; z) thuộc (9) khi và chỉ khi x, y, z thoả mãn phương trình hay hệ phương trình nào đó, thì phương trình, hệ phương trình tìm được sẽ là phương trình của (Ø) Cần lưu ý rằng có thể có nhiều tiêu chuẩn để kiểm tra điểm 3 thuộc (8), nhưng ta cần lựa chọn
tiêu chuẩn dễ thể hiện bằng Hình học giải tích và gây ra phương trình Đại số
Cách này thường được dùng trong các bài toán viết phương trình của một
đường (hay mặt) (#) mà những điểm thuộc (#) có đặc ứng để thể hiện bằng
Hình học giải tích
Trang 2Cách 2 : Dùng lí thuyết đã học để viết phương trình
Trong lí thuyết đã trình bày các cách khác nhau để xác định phương trình của một đường hay một mặt Ví dụ phương trình của một đường thẳng trong mặt
phẳng toạ độ hoàn toàn xác định nếu biết một trong các thong tin sau : + Một điểm thuộc nó và pháp vectơ ;
+ Một điểm thuộc nó và vectơ chỉ phương ; + Hai điểm thuộc nó ;
+ Một điểm thuộc nó và hệ số góc
Do vậy, muốn viết phương trình một đường hay một mặt, ta có thể xác định
các thông tin mà cách viết phương trình của nó ở lí thuyết yêu cầụ
Cách 3 : Dùng lí thuyết để gọi (giả định) phương trình, sau đó tính các hệ số chưa biết của phương trình vừa gọị -
Trong lí thuyết, chúng ta đã biết các dạng phương trình của từng loại đường cụ
thể Nhờ đó, ta có thể gọi phương trình của đường (mặt) cần tìm theo dạng tương
ứng của nó trong lí thuyết Trong khi gọi phương trình của đường (mặt), cần lưu ý lựa chọn cách gọi sao cho trong phương trình đó có ít ẩn chưa biết nhất Việc gọi phương trình của một đường hay một mặt sao cho cịn ít ẩn nhất phụ thuộc vào từng hoàn cảnh cụ thể, sau đây là một số gợi ý trong một số tình huống :
+ Nếu điểm É thuộc một đường thẳng A cho trước trong mặt phẳng hay trong
không gian thì có thể gọi toạ độ của M với một ẩn, bằng cách viết phương trình
đường thẳng A dưới dạng tham số
+ Nếu điểm M thuộc mặt phẳng (a) cho trước thì có thể gọi toạ độ của M với
hai ẩn :
+ Có thể gọi phương trình một đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ dưới
dạng A : x =m và A : y = ax + b (thay vì A : Ax + By + C =0)
+ Nếu đường thẳng A trong mat phẳng toạ độ đi qua một điểm 3 cho trước thì
có thể gọi hệ số góc & (nếu có) của đường thang A dé từ đó thiết lập phương trình đường thẳng A với một ẩn là *
+ Nếu đường thẳng A trong mặt phẳng toạ độ có pháp vectơ hay hệ số góc cho trước thì có thể gọi phương trình của đường thẳng A với một ẩn chưa biết là hệ số
tự dọ Chú ý rằng có nhiều cách thể hiện khác nhau để từ đó suy ra pháp vectơ
(hay hệ số góc) của đường thẳng Ạ Ví dụ như cho biết đường thẳng A vng góc,
hoặc song song với một đường đã biết, hoặc tạo với một đường đã biết một góc cho trước
Trang 3+ Nếu một mặt phẳng trong không gian chứa đường thẳng cho trước thì có thể
gọi phương trình mặt phẳng dưới dạng chùm, khi đó trong phương trình h xác định
mặt phẳng chỉ còn một dn
+ Nếu mặt phẳng trong không gian đã biết pháp vectơ thì có thể gọi phương
trình mặt phẳng dưới dạng phương trình tổng quát với một ẩn là hệ số tự dọ Các bài tốn viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu đã được phân
tích và làm rõ trong chương IỊ Do đó, trong chuyên đề này, chúng ta xem xét
thêm các bài tốn hình học giải tích trong mặt phẳng
Ví dụ 1 Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M(I ; 1) và cùng với các
đường thẳng A¡ : 2x - 3y + 4 = 0,A¿ : 3x + 2y + 5 = Ô tạo thành một tam giác cân
Lời giảị (h.53)
Ta nhận thay A, L A;, do đó nếu gọi đường thẳng cần lập phương trình là A,
A la giao điểm của hai đường thang A, va A, B, C lần lượt là giao điểm của đường thẳng A với A¡ và A; thì tam giác ABC vuông cân tại Ạ Nói cách khác, đường
thẳng A là đường thẳng qua M(I ; 1) và tạo với đường thẳng A; góc T
2 4 Aliya gets:
Giả sử & là hệ số góc của Ạ Khi đó
5 Hinh 53
Vậy có hai dudng thang qua M(1 ; 1) và tạo với các đường thẳng A¡, A; một
tam giác cân là :
A:y=5(x- ])+ l hay y= 5x- 4,
1 1 6
Ai: y =——(x-1)4+1 hay y = -—x+- y=~s( —]) Yya—ert es
Vi dụ 2 Viết phương trình các cạnh cha hinh wong ABCD biét A = (-4 ; 5)
và đường chéo BD có phương trình 7x — y + 8 = 0
Trang 4Lời giải (h.54)
Trước hết ta có nhận xét : 4B, AD là các đường thẳng qua A và tạo với BD góc ? C đối xứng với A qua BD, CB//AD, CD//AB Đường thẳng ở qua A có phương trình x = — 4 hoặc y —5 = kí + 4) hay y = kx + 5 + 4k A D
Dễ thấy đường thẳng x = — 4 tạo với BD góc ọ # T
BD có phương trình y = 7x + 8 có hệ số góc bằng 7
nên đường thẳng y = kx + 5 + 4k tạo với BD góc 7 B Cc
khi va chi khi Hinh 54
4
k-7 = tan— © xn |k=7 =l© ham
1+ 7k 4 1+ 7k 3
=F
Giả sử AB là đường thẳng có hệ số góc ke thì A2 là đường thẳng có hệ
3 Ố gÓc k = — : SỐ g 4 ‘ ` 4 I AB có phương trình : y =-xT AD có phương trình : y = =x +8 AC 1 BD = AC phaong ih: | 5-3 y=Š-F 22
Vi / là trung diém AC nén C = (3;4), suy ra
Gọi 7 là giao diém cha AC va BD thi 7 = (+ ; 2)
CB có phương trình ỹ4 = ` =3) hay y= 2x +
và CD có phương trình y - 4 = Ss ~ 3) hay y = x +8
Trang 5Vậy phương trình các cạnh của hình vng ABC? là :
4 1 - 3
AB: y=-~x~- =, AD: y=~x+8, 7293 “'
3_ 7 4
CB:y=—x+—, CD:y=——x+8 476 „ng
Vi dụ 3 Lập phương trình các cạnh của AABC biét A = (1 ; 6) và hai trung tuyến có phương trình : x - 2y + 1 = 0 và 3x - y— 2=0
Lời giải (h.55)
Giả sử Ai:xT— 2y +1 =0,
Ay :3x-y-2=0
Dễ thấy A # Ai, A £ A¿ Vậy Ai, A; là các trung tuyến qua 8 và C Giả sử
A, 1a dudng thang qua B, A, là đường thẳng qua C Gọi G là giao điểm của A; và
A, thi G là trọng tâm của AABC và toạ độ của G là nghiệm của hệ : -2y+1=0
= G=(1;1) 4
3x-y-2=0
=-l+2t
A¡ có phương trình tham số : f
yet B
x=s Hinh 55
A¿ có phương trình tham số :
‘ y=-2 + 3s
Do B e A¡,C e A¿ nên B=(-1+2;:), C =(s;-2 + 3s)
Do G là trọng tâm của AABC nên
tả freeẻ => >t=2,s=-1 6+?~2+3s =3 f+ 3s = —l = B=(3;2) và C = (-1;-5)
AB: “CC = Ö“ hay 2x + y—8 =0
x-l y-6
AC: 2 = ay Yẻ hay llx -2y+1=0,
x3 y-2
BC : 471g VY = hay 7x - 4y — 13 = 0
Trang 6Chú ý : Ta có nhiều cách khác nhau để giải bài toán trên Chẳng hạn, nếu gọi
Á là điểm đối xứng của A qua Ở thì : 8GCÁ là hình bình hành Từ đó ta viết được
phương trình BÁ, CÁ và tính được toạ độ của B va C
Ví dụ 4 Cho đường tron (@) : x? + y* — 2x + 6y — 15 = 0 và điểm Ă2; 1)
Viết phương trình đường thẳng A cắt (Ø) tai hai diém M, N sao cho A là trung diém cha MN
Lời giải (h.56)
(®: (x- 1Ÿ +(y+3)” = 25,
suy ra (®) có tâm /({1 ; —3) và bán kính £ = 5
Do A là trung diém cha MN nén JA Ạ Vay
A là đường thẳng qua A và nhận 74 làm vectơ
pháp tuyến IA = (1; 4) nén
A: l(Qx-2)+4(y - 1) =O hay
A:x+4y-6=0
(@)
Nhận xét : Nếu thay đường tròn () bởi elip, hyperbol, thì cách giải trên
không áp dụng được Cách giải sau có thể áp dụng khi (Ø) là một đường cong
bất kị
x=2+at y=1+ ft
Toa do giao diém cia dudng thang A va (@) 1a nghiém cia he :
A cỏ phương trình tham số : (2 + Lư # 0),
e+y*-2x+6y-15=0 (1)
x=2+at y=l+ ft
Thay x = 2+ at,y =1+ ft vao (1), ta duge phuong trinh bac hai d6i voi t :
(ả + B?)P +2(a+ 4B - 8 = 0 (2)
Phương trình (2) ln ln có hai nghiệm phân biệt í¡, ứ; Khi đó :
M(2 + at, 31+ Bh),N(2 + at 31+ Bh)
Trang 7A là trung điểm của MN khi và chỉ khi
{a tay = 2tq re +h) =0
yu + Yn = 2VA Bt + b) =0
(í¡ + r; phải bằng 0 vì nếu ñ + & #0 thi a = Ø = 0, vơ lí)
2t+h =0
Ap dung dinh li Vi-ét cho phuong trinh (2), suy ra
2(ø + 48)
e+ Pe a= -48
Lấy ø = 4, Ø = —I, ta được phương trình tham số của A là :
x=2+4t
y=l-t 0=n+»=
Ví dụ 5 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ xÓy, cho tam giác ABC có Ă0 ; 2),
B(-2 ; —2) va C(4 ; -2) Goi H là chân đường cao ké tir B ; M va N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và 8C Viết phương trình đường trịn đi qua các điểm H,M,N
Lời giải
Ta có : M = (~1 ; 0), N=(1; 2), AC = (4;—4) Giả sử H = (x; y), ta có :
re BH.AC =0 - 4(x + 2) ~ 4(y + 2) =0 fot
> > >
HeAC 4x+4(y-2)=0 |4x+4y-8=0 y=l
= H=(I;1)
Giả sử đường trịn có phương trình : x2 + y” +2ax +2by+c=0 (1)
Do 1, N, H thuộc đường tròn nên ta có : 2a-c=1
2a-4b+c=-5 2a+2b+c=~2
Giải hệ ta được : a = ty, = + c=-2.,
2 2
Vậy đường tròn đi qua cdc diém H, M, N c6 phuong trình là : x2+y ˆ-x+y-2=0
Trang 8Ví dụ 6 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đề-các vng góc, cho đường tròn
(Ø: (x~ Ÿ +(y— 2Ÿ” = 4 và đường thẳng đ: x- y— =0
Viết phương trình đường trịn (*Z') đối xứng với đường tròn (%) qua đường thang d và tìm toạ độ các giao điểm của (8) và ('')
Lời giải l
Do (9) có phương trình : (x — tỶ +ÍÚy- 2 = 4 nên (9) có tâm /(1 ; 2) và có bán kinh R = 2
Do (@’) đối xứng với () qua đ nên ('Š") có tâm J là điểm đối xứng với J qua
đ và có bán kính R' = R = 2
Giả sử A là đường thẳng qua 7 và vng góc với đ, A cắt đ tại một điểm K
Khi đó K là trung điểm của /J
x=l+í Phương vam: | y=2-t x=l+í 2 2 = X; = ¿Xy —X Xét hệ: {y =2— "°Ÿ ~-0¡) =|⁄ 2y, r x-y-1=0 = Jy = “YK 7 yy " ={" => J = (3:0) yy =9
Vay (€") c6 phuong trinh : (x — 3) + ỷ = 4
Giao diém cia (@) va (@') ciing 14 giao diém cia (@") và ¿ nên toạ độ giao điểm của (Ø) và (Ø”") là nghiệm của hệ :
(x - 3ƒ + =4 x-y-1=0 Suy rax=1, y = 0 hoặc x = 3, y = 2
Vay (@) va (@’) cat nhau tại hai điểm phân biệt là Ă1 ; 0) và 8 ; 2)
Ví dụ 7 Viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác có ba đỉnh là
Ă-1 ; 7), B(4; -3) va C(-4; 1)
Trang 9Lời giải (h.57)
A Ta có :
AB = \|(4- (-ÙŸ + (-3- 7” = 545,
AC = 35
Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ A, B D C
khi đó: Để „ 48 _ 5 pp = Sc Hình 57 DC AC 3 3 *p= =ạ xp = 1 1 5 > 2t => 1 > D=(-1:-3) = a= 35, - 338 † 5c P2 2 2 3+5
Gọi / là tâm đường tròn nội tiếp A4BC, khi đó 7 là chân đường phân giác kẻ từ B của AABD Tương tự như trên, ta tính được toạ độ của / 1a (-1 ; 2) Goi r 14 ban
kính đường trịn nội tiếp AABC thì r = d1, BC)
Ta có
BC : x+2y +2 = 0 nên r = d(I,BC) = v5
Vậy, đường tròn nội tiếp AABC có phương trình :(x + IŸ + (y- 2Ÿ” = 5 Vi du 8 Cho các đường trịn
(®:x?+ y =1,
(G,): x + v ~2(m + 1)x + 4my = 5
a) Chứng minh rằng có hai đường trịn (Ø2 ), (%„) tiếp xúc với (Ở) ứng với hai giá trị của zn là mị và mạ
b) Viết phương trình các tiếp tuyến chung của hai đường tròn (%, ) và (%, ) Loi gidi
a) Ta có : (Ø7„) có phương trình chính tắc :
[x-(m+ Đ +(y+ 2m)” = 5m2 + 2m + 6
Trang 10=> (Gp) C6 4M Ip (mm + 1,-2m) Va ban kinh R,, = V3m? +2m+6
(#) có tâm O(0 ; 0) và bán kính R = 1 (G,,) tiếp xúc với () khi và chỉ khi
Ol„ = R+ R„ = 5m2 + 2m +6 +1 (1) Ol„ = |R — R„| = Ms» + 2m +6 - (2) (1) (m4 1) + 4m? = V5? + 2m +6 +1 © V5m? + 2m +1 = VSm? +2m+6 +1 vô nghiệm (2) S {5m + 2m + 1 =| 5m + 2m + 6 — ||= ấm” + 2m +6 ~1 & V5m2 + 2m +1 +1 = x|5mÊ + 2m +6 <3 mụ = —l, mạ = thị) = dpem b) (%, ): x? + (y - 2) = 9 có tâm 1,0; 2) và bén kinh R, = 3, m 2 2 (2) : ( ;) NHÍ =9 c6 um f{ 2:-$] và ban kinh Ry = 3 Do R, = Ry = 3 và yy < R, + Ry neén hai dudng tron cat nhau tại hai điểm
phân biệt Vì vậy, chúng chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoàị Đó là các đường thẳng A song song và cách /¡J; một khoảng bằng 3 Ta có
hạ :2x+ y-2=0
Vì A//h1;¿ nên có phương trình dạng :2x + y + c = 0
d(h1;,A)= d(h.,A) = ch = tra
=d(00,A)=3© E}Ã ~3 e ó= 33/5 —2, V5
Vậy hai tiếp tuyến có phương trình :
2x+y-2-35=0 và 2x+y-2+35 =0,
Trang 11Ví du 9 Cho dudng tron (@) : x2 + y* -2x+2y—2=0 va dudng thing
A:2x+y+I10=0
a) Chứng minh rằng A không cắt (ð)
b) Từ một điểm Ä bất kì trên A, kẻ các tiếp tuyến M7, M2 tới (#) (Jy, Ja Ia các tiếp điểm) Viết phương trình đường thẳng J;J; và chứng minh rằng đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định
Lời giải (h.58)
a) Ta có (9): (x ~ ” +(y +1} =4,
(9) có tâm /{1 ; —1) và có bán kính # = 2
P.J—1+1d 11
J2+ v5
đo đó A khơng cắt đường tròn ( ở)
d(1,4) = = d(LA) > R,
b) Giả sử M = (sọ; yọ) và Jị = (x4: ị),
J; = (x;; y;ạ), khi đó Hình 58
2x + yọ + I0 =0,
dung thang MJ, cé phương trình : (x, - 1)(x - 1) + (y, + I(y +1) = 4, dudng thing MJ, cé phuong trinh : (x — 1)(x - 1) + () + I(y +1) = 4
Do M € MJ,,M e M2; nên :
~I(y - 1) + (0 + Ny +1) = 4 (*) (% ~ Nz -1) + Oo + DOr +1) = 4
Xét dudng thing d : (x -1)(x-1)+() +1)(y +1) =4 Từ (*) suy ra Jị,J; e d nên đ chính là đường thẳng qua J¡, J; hay 7¡J; có phương trình :
(x -— D(x - 1) + (v0 +I)(y+1)=4 (v6i 2x9 + yo + 10 = 0)
Trang 12* Chứng minh J;J; luôn đi qua một điểm cố định Do 2x + yọ + 10 = 0 nên yọ = (2% + 10), suy ra
Ji; = (% — I(x — 1) +(C2xe — 9 (y + 1) = 4
(x - Ixy — 2(y + lạ -x+1—9y—-9 =4
(x - 2y -3)x — x -9y-12 =0
3
x=— Xethe: JÝ 2730 Q„ x+9y+12=0 _l5 i
iW
Vậy 7”; luôn đi qua điểm cố định : (3 ; -3}
Ví dụ 10 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đẻ-các vng góc Oxy, cho đường
tron () : x2 + ỷ = 4và điểm Ă1 ; 0) Gọi M là điểm di động trên (Ø), A„ là
đường thẳng vuông góc với đường thẳng AM tại M Hãy chứng mỉnh rằng A„„ luôn tiếp xúc với một đường cong cố định ; xác định phương trình đường cong đó
Lời giải (h.59)
M e (ð) = M = (2cost; 2sint) > AM(2cost — 1; 2sin?)
Am vuông góc với AM tại M nên nhận AM làm vectơ pháp tuyến và có phương trình :
(2cost - 1)(x — 2cosr) + 2sin/(y — 2sinr) = 0
© (2cosr — I)x + (2sin?)y — 4(cos?s + sin? ‘) + 2cost = 0
© (2cosr — 1)x + (2sin?)y + 2cos/ — 4 = 0
N(x,y) # A„ khi M di động trên () nếu và chỉ nếu
(2cosr — 1)x + (2sint)y + 2cost — 4 = 0 vô nghiệm ¿ > 2(x + I)cost + 2ỵsint — (x + 4) = 0 vơ nghiệm £
©4(x+ tỶ +4ỷ <(x+4
Trang 13> 4x7 +8x444 4ỷ <x +8x416 <> 3x7 + 4ỷ <12 2 2 e421, 4 3 x y Ta sẽ chimg minh ring Aj, lu6n tiép xúc với elip (E):T+~= 1, Dat A = 2cost ~1, B= 2sint, C = 2cost - 4, a = 4, B? = 3
Tacó: 42Ả +28? = 4(2cos - 1Ÿ + 3(2sin:Ÿ
= l6cos?r + 12sin2 — l6cos/ + 4
= 4cos*t - 16cost + 16 =(2cosr - 4y =C?,
x2
: 2
Suy ra A¿; luôn tiếp xúc với elip (E) : T + + =1
Bài tập
1 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, cho tam giác ABC cân tại A có : AB:2x-y+5=0,“
AC :3x+6y—1=0
Viết phương trình cạnh ØC, biết nó đi qua diém M(2 ; —1) 2 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy cho :
Ay :2x-y-2=0,
A, :2x+4ỹ7=0,
Á‡ : mx + y ~ 2m = Ö
Tìm ø sao cho Ai,A;,A+ là ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác cân
3 Trong mặt phẳng toạ độ xÓy, cho tam giác ABC cân tại A có :
AB: y+1=0, BC: x+y-2=0
Tính diện tích tam giác ABC biết AC đi qua điểm M(—I ; 2)
Trang 14Tam giác ABC có C(-3 ; l), đường cao h¿ :x+ 7y +32 =0, phân giác
l„ : x+ 3y + 12 =0 Viết phương trình các cạnh của tam giác , Lap phương trình các cạnh của tam gidc ABC c6 Ă1 ; 3), hai duéng trung tuyén lA mg i x~2y+1=0;me:y-1=0
Tam giác ABC có ĂI ; l), B(-2 ; 5), trong tam G thudc dudng thing
A, :2x+3y-1=0, dinh C thuéc dudng thẳng A;:x+y—1=0 Tính -
điện tích tam giác ABC
Tam giác ABC có ĂI ; 3), trung tuyến mạ :x+3y—~1=0, đường cao hẹ : 2x + 3y + 5 = 0 Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có hai đường cao
hạ:x+3y—-1=0, hc:x+y+1=0 và trung tuyến mạ : 2x — y+1 =0
Viết phương trình các cạnh của AA8C
Tam giác ABC có hai đường cao hạ :4x— y-1=0, hp:x-y+3=0, trong tam G(1 ; 2) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
10 Tam giác ABC có đường trung tuyến mơ :x— y+ =0, đường cao jp :x+2y—1=0, đoạn AB có trung điểm M(I ; 1) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
11 Tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp /(4 ; 0), đường cao hạ :x+ y—2=0,
12
13
150
trung tuyến mạ : x + 2y - 3 = 0
Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC
Tam giác ABC có đường phân giác !¿ : x + y— 3 =0, đường trung tuyến
mg :xT— y +1= 0, đường cao J¿- : 2x + y + 1 = 0 Tính toa độ các đỉnh của
tam giác
Cho hai đường tròn (9) :x” + y =16, (#'): x” + y” - 10x + 5 = 0cất
nhau tại hai điểm A và Á, trong đó A có tung độ dương Viết phương trình
Trang 1514 Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (4): x+ỷ -6x4+5=0,
(6): x” + ỷ -12x - 6y +44 =0
15, Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn
(8): + +? —2x+2ỹ7=0,
(%): * +yẺ —4x+6y+4=0 16 Cho hai đường tròn :
(8): x+y -2x-2y-14=0, (B): 2° + ỷ -4x4+2y-20=0
Viết phương trình đường thẳng A cắt (Ø) tại A và B, cát (Ø) tại C và D sao
cho AB = 2V7, CD =8
17 Viết phương trình đường trịn () có tâm /(1 ; 2) cắt trục hoành tai A va B, cat
đường thẳng y = 3 tại C và D sao cho AB + CD = 6
Lời giải
1 Phương trình đường phân giác góc A của tam giác ABC : Jx- y+3 _ Bx + 6y - Ij
Bia oe (4)
3(2x—- y+5) =-3x—6y +] 9x+3y+14=0 (d;)
dị có vectơ pháp tuyến 7i (1; -3) ; dạ có vectơ pháp tuyến 7 (3; 1) Tam giác ABC cân tại Á nên BC vưông góc với dị hoặc d;
+ öC là đường thẳng qua M(2 ; —1) và vng góc với dị nên 8C có vectơ chỉ
phương là đ,(L; 3) Phương trình BC : Š—ˆ = a
Trang 16+ BC là đường thẳng qua M(2 ; —1) và vng góc với d; nên BC có vectơ chỉ
phương là n;(3; 1) Phương trình BC : oad = a
2 A, :2x-y-2=0,
A, :2x+4y-7=0, Az :mx+y-2m=0
Vì A; L A; nên A¿ là đường thẳng chứa cạnh đáy của tam giác cân
Phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng A, A; là :
bx - y - 2| — lbx + 4y - 7| “an n3 can ba
J2 +(-IÝ 422 +42 2(—2x + y+ 2) = 2x + Áy ~7
nà (4)
6x+2y-l1=0 (4)
Ai› Á¿ chứa hai cạnh bên của tam giác cân nên A; L đ¡ hoặc A; 1 d, d, cd
vectơ pháp tuyến mạ (L:—3) d;¿ có vectơ pháp tuyến m (3:1), As có vectơ pháp tuyến n(m 31)
A; L dị © nan =Ú cm —3 =0 cm = 3
Ay Ld © fim = 060 3m +1 =0 m = TỐ,
Vậy m = 3 hoặc m = :
3 AB:y+1=0, M(-1;2), BC:x+ y—2 =0
Toa độ điểm 8 là nghiệm của hệ phương trình :
1=0 =3
a ot => B=(3;-1)
x+y-2=0 |
Gợi ¿ là đường thẳng đi qua Ä⁄, song song với BC thì ở có vectơ pháp tuyến
(1; ]) nên có phương trình :
1(x + 1) + ly - 2) =0 @ x+yT—1=0
Trang 17Toạ độ giao điểm N của ở và AB là nghiệm của hệ phương trình :
= =2
y+1ES0 J2 —My=(2;-1)
x+y-l=0 y=-Ì
Tam giác ABC cân tại Á nên A thuộc trung trực của N Gọi K là trung điểm
của MN thì K = (š:;) Đường trung trực của MN đi qua «(3:3) và có
vectơ pháp tuyến : SMN = (1; —1) nên có phương trình :
1 1
x-—|-lly-—|=0e©x-y=0
(: 3) b ;) j3
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ :
y+1l=0 x=~l © x-y=0 y=-l =>Az=(-1;-1) Từ đó AC = 4, AB = 4 va dé thay AB LAC Suy ra Sanc = 5 AB.AC =8 hy ix + 7y + 32 = 0 có vectơ pháp tuyến m(I;7)
Vì BC 1 hạ nên BC có vectơ chỉ phương m(I ;7) Đường thing BC di qua
C(-3;1) vạcé vecto chỉ phương 7,(1;7) c6 phuong trinh 1a ~ * 3- =
Toa do diém A 14 nghiém cia hé phuong trinh :
+7y+32=0 =3
ee ey = A=(3;-5)
x+3y+12=0 y=-5
Gọi C¡ là điểm đối xứng với C qua I, thi C; e AB là : x + 3y + 12 = 0 có vectơ pháp tuyến m(I ;3)
Vì CC, 1L 1„ nên CC; có vectơ chỉ phương la mạ(1; 3)
Trang 18Phương trình đường thẳng CC; đi qua điểm C(-3;1) và có vectơ chỉ phương
x+3 ~3~ 1 3
là m(1;3) 2
Toa do giao diém / cha CC, va |, la nghiém cia hé :
x+3_ y-] x=-<
1 3 2 13
x+3y+12=0 yas
71a trung điểm của CC; nên
XC, = 2x, -X¢ =2/
31
Ye, = 2 — Ie = 5"
>C = (-2:-2}, C/A = G 3) = Sứ: 1)
AB đi qua Ă3; —5) và có vectơ chỉ phương (7 ; 1) nén phương trình đường thing AB la:
AC di qua Ă3 ; —5) va cé vecto chi phuong CÁC =(-1; 1) nén phuong trinh
đường thẳng AC là :
5 Bthuộc mg : x—2y+1 =0 nên gọi B(2 ~ I;?)
C thuộc mẹ : y — Ì = 0 nên gọi C( ; 1)
Trang 19
M là trung điểm M cia AC thi M = [ = 2}
Ite _—22¿1=0e€w=5
Memp >
Vậy € = (5;1)
» t+3
Toạ độ trung điểm N của AB là: W = t;—— ,
Ne me @ 23-12 0e9 12-1
Vay B = (-3;-1), AB = (-4;-4) ; AC = (4;-2) ; BC = (8;2)
Đường thẳng AB đi qua Ă1 ; 3), có vectơ chỉ phương (1 ; 1) có phương trình :
x-l_ y-3
1 1
Đường thẳng AC đi qua Ă1 ; 3), có vectơ chi phuong (2 ;—1) cé phuong trình : x-l_ y-3
2 _1 `
Đường thẳng BC đi qua B(—3 ;—1), có vectơ chỉ phương (4 ; 1) có phương trình :
x+3_ytl
4 1
x=t
Ait:2x+3y-l=0© 1-21
` y= 3
Gọi d|s:°®) 6Ai, C(y;1—v) e Á¿
Vì ĂI;1), B(—2;5) nên toạ độ trọng tâm Ở của tam giác ABC là :
Trang 20156 Vay: w 3 3 Ta có AB = (-3;4), AB = 5
Đường thẳng AB đi qua điểm Ă1;1), có vectơ chỉ phương (-3;4) nên có phương trình :
xt Ly! 4x+3y—7=0, -3 4 : Su ra d = d(C,AB) = É-16 = 3-15 T = 12
” oa ˆ 442 +3 5”
1 1.12 Sasc = ~ABd ABC 2 = — 5 = 6 2°°5
b„ :2x + 3y + 5 =0 có vectơ pháp tuyến n(2 ;3)
Vì AB L le nên A có vectơ chỉ phương n(2 ; 3)
x-1 y3
2 3ˆ
Gọi ce: #5) € hẹ
Toa do trung diém M cia AC 1a u(t 23
Vậy phương trình AB :
Me mg 24 42-1-1=0 se r=3, Dođs
c~[s:-3} AC = (z:-
3 3
Đường thẳng AC di qua Ă1 ; 3), có vectơ chỉ phương SẠC = (3;-10) nén
x-l_ y-3
3 -10
Trang 21
Toạ độ điểm Ö là nghiệm của hệ : Do đó 8 -(-2:5} BC -(2:-2| ll 3 x-3 yey Phương trình đường thắng 8C : ——— = 120 -139 x=-3t+1 y=t
hg 1x +3y-1=00 | có vectơ chỉ phương ø4(~3; 1) x=-t-l
yet
Goi B(i - 3; 2) € hạ, C(-1-u;u) € he, Ăv;2v + Ie mạ
Toa d6 trung điểm M của 8C là &rzty+I=0e{ x _]-3:-l-m _— 3!+u _ t†+u „ 2 2 0M 2C Mcm, © (-# T#)-Ÿ #+1=0 s1 +3 =2, Ta có Að(I — 3 ~ v;£ — 2v — 1), AC(-1 - u - v;;4 - 2v ~ 1) Vi he 1a dudng cao cla tam gidc ABC nên
AB = 06> —1 t3 +v+r~2v—1=0@œ 4£—v—2 =0,
Vì đp là đường cao của tam giác AABC nên
Trang 22158
11 t 1
Vay B=|-~;~—|, C=| ; —},A=(; y B= [1:4] (3 th A=: 1)
* Vì BC(0; ~1) nên phương trình đường thẳng 8C :
* ÁC đi qua Ă0 ; 1), có vectơ pháp tuyến m(~3;1) nên phương trình đường
thẳng AC là : ,
-3(x - 0) + l(y — 1) =0 © -3x+ y—1=0
* AB di qua Ă0; I), có vectơ pháp tuyến „2(~1 ; ]) nên có phương trình là :
-I(x - 0) + lýy—I)=0 @ -x+y-1=0
hạ : 4x ~ y—1= 0 có vectơ chỉ phương ø4(1;4),
hạ : x — y + 3 =0 có vectơ chỉ phương 1 (1 ;1)
Gọi Ăf; 4? — I) e hụ, B(U;u + 3) € hg Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên :
Trang 2310 Giải hệ (1) và (2) ta được „ = —l, = Ì Vay A =(1;3), B =(-1;2), C = (351) x-l_ y-3 —
* AB(~2;~1) nên phương trình đường thẳng A8 : * AC đi qua Ă1 ; 3) có vectơ pháp tuyến ø2(1; 1)
Phương trình đường thẳng AC :
x-l+y-3=O0@x+y-4=0 * BC di qua C(3 ; 1), có vectơ pháp tuyến uy (i ;4)
Phương trình đường thẳng BC :
x-3+4(y-I)=0«œx+4y-7=0
m,:x-y+1=0
hạ : x + 2y — 1 =0 có vectơ pháp tuyến n{ ;2)
Goi Ăt; t+ lhe mas nụ — 2w ;w) € hp
t+1—-2u
xy mạ
Toa độ trung điểm M của AB là :
‘ _t+ltu YM 2 t+1-2u l=——— ` 2 u=0 Từ đó suy ra : oS paliltu £ =1 2 Vay A=(1;2),B=(1; 0)
Suy ra AB = (0; ~2) và phương trình đường thẳng AB :
xe=l y=2+t
Trang 2411
160
* Đường thẳng AC đi qua Ă1;2) có vectơ chỉ phương n(1;2) nên có phương trình :
x1 1 a yaar y-2 2
* Giả sử C(y;2v) € AC
Toạ độ trung điểm của N của BC là : of! ’ )
Y_y+l=0©yv=3
Nemeot
Vay C = (3;6), BC = (2;6) = 2(1;3)
Phương trình đường thẳng BC di qua B(1;0), cé vecto chi phuong (1 ; 3) là : x-l_y
1 3
hà :x+y—2=0, mụ:x+2y—3=0
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình : x+y-2=0
©x=y=Ị x+2y-3=0
Vậy A =(1; 1)
Goi M 1a trung điểm của BC thì IM | BC, suy ra IM // hỵ
Đường thẳng /M đi qua /(4 ; 0), có vectơ pháp tuyén (1 ; 1) nên có phương trình :
I(x - 4) + ly —0)=0€©x+y-4=0
M € m, (IM nén toa do cia M 1a nghiém cha he :
+2y-3=0 =5
43 ol => M = (5;-1)
x+y-4=0 y=-l
Vì BC là đường thing di qua M(5;-1) va vudng géc với h„ nên 8C có
phương trình : x5 -31!
Trang 25Goi-B(t + 5; - 1) Tacé JA = IB hay
(+1 +(t- =(1-4Ÿ +
© 2 +2 =10 ©t = 42 Do đó B = (7; L) hoặc 8 = (3 ; ~3)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử 8 = (7 ; 1) ; € = (3 ; -3) Khi đó : AB = (6;0), AC = (2;-4)
x=l+í
Phương trình đường thẳng 4ð : { 1 yal
x=1l+t
Phuong trinh dudng thang AC :
y=l-2t
12, ,:x+y-3=0, mg:x-yt+1=0
lệ : 2x + y+1 =0 có vectơ chỉ phương ẵ1;2)
Nhận xét : J, L mạ
Giả sử: A = (t;3— 0), B = (w;u +1), C = (y; =L— 2v) Khi đó AB(u — t;u + t — 2)
AB L he => AB.a = 0 => ~{u — t) + 2(u + t— 2) =0 @ ư3—4= 0 (1)
Gọi M là trung điểm của AC, M = (HẢ)
Meng = TT” =2” vi =0 er+Ÿy =0, (2)
Trang 26Giải hệ (1), (2), (3) ta được : _ 32 “17 17 17 17 17 17 17 17 8 “17 u t
13 (h.60) (@): x7 + ỷ = 16 c6 tam O(0; 0), bin kinh # = 4
(@): 2 +ỷ -10x+5=0(x-5) +? = 20
(') c6 tam Ó(5 ; 0), ban kinh R' = 2V5 |
Toa do diém A là nghiệm của hệ :
very =16 -5+10x = 16 erty -l0x+5=00 ety =16 y>0 y>0 21 x=— 10 v1159 an Vay A | ne) 10” 10 ma Hình 60
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của Ó, Ø' trên A, 7 là trung điểm của OO’ Khi đó
I= 2.9), HA = }AB, AK = LẠC
2 2 2
Vì A là trung điểm của 8C nên.A là trung điểm của HK Do đó, A/ là đường trung bình của hình thang vng OHWKỚ Suy ra
AI = (2 ; vn vng góc với Ạ
Trang 2714,
21) V1159 10
Đường thẳng A đi qua (a 0” } có vectơ pháp tuyến (4:-vI 159) nên
A có vectơ chỉ phương (vi 159; 4)
Phương trình đường thẳng A :
21 V1159
x-— 10 _ ÿy-—— 10
Vv1159 4
(A): x +ỷ -6x+5=0 > (x-3) +y=4, (5) có tam O,(3 ; 0), ban kinh R, =2
(&): x? + ỷ -12x-6y + 44 = 0 (x6) +(y-3) =
(2) có tam O,(6 ; 3), bán kính R; =1
se Đường thẳng x = m là tiếp tuyến chung của (Ø7) và (2) khi và chỉ khi
- m|=2
II cm=5
se Đường thẳng A : y = ax + b là tiếp tuyến chung của (Ø)và (Ø) khi và
chỉ khi
b=6-9a
Ba + ð| = 2|6a - 3 + 0| | T2 kh sọ = 4( +1)
ôâ 4|b=2- 5a
Ben Ba + bl = 2Va" +1 b=2-Sa 2 5
(2- 2a} = 4(a“ˆ + l)
9+ v17 9— 17
a= 8 ; a> 8 a=0
© hoặc hoặc hoặc
„- -33- 9/7 „„ 33+ 9/17 le 2
8 8
Vay (Sế})) và (2) có 4 tiếp tuyến chung là :
9+1? 33+9/17 9-17 -33+9V17 5 gs 8 8
x=5, y=2, y=
Trang 2815 (8): x2 + yŸ~2x+2y—=7=0 9 (x-1) + (y+ IP =9
() có tâm Ø;(1 ; ~1), bán kính # =3
(G): xP +ỷ - 4x4 6y+4=0 o (x-2) +(y 43) =9
16
() có tâm O,(2 ; -3), ban kính R; =3
Vi 0,0, = \(2-1) +(-3 +1) =V5 < R +R, nen (8), (8) cat nhau tại
hai điểm phân biét Nhung R, = R, = 3 nên (Ø) (ð) có hai tiếp tuyến chung
là các đường thẳng song song với Ó,Ó;, cách Ø,0; một khoảng bằng 3
Ta có O,Ó; = (L;~2)
Giả sử tiếp tuyến chung A của (5) (Ø) có phương trình 2x + y + c = 0
b-1+ô =3â Â =3y5-1 V22 +1 ¢ = -3V5 = 1
Vay (&), (&) cé hai tiép wyén chung là :
2x +y+3V5—-1=0 va 2x + y-3V5.-1=0
d(0,,A) = 3 <>
(@): 2 +? -2x-2y-14=0 & (x- 1) +(y- I) = 16
(5) có tam O,(1 ; 1), ban kinh Ry = 4