PHÂN TÍCH ĐỘ PHỨC TẠP CÁC GIẢI THUẬT ĐỒ THỊ doc

Nội dung Định nghĩa đồ thị  Các giải thuật duyệt đồ thị  Giải thuật trên đồ thị có trọng số  Giải thuật trên đồ thị có hướng 2 ... Các giải thuật duyệt đồ thị Tìm kiếm theo chiề

PHÂN TÍCH ĐỘ PHỨC TẠP

CÁC GIẢI THUẬT ĐỒ THỊ

1 CHƯƠNG 4

Nội dung

 Định nghĩa đồ thị

 Các giải thuật duyệt đồ thị

 Giải thuật trên đồ thị có trọng số

 Giải thuật trên đồ thị có hướng

2



Định nghĩa đồ thị3

Phân loại đồ thị4

Biểu diễn đồ thị trên máy tính5

Biểu diễn đồ thị trên máy tính6

Biểu diễn đồ thị trên máy tính7

Biểu diễn đồ thị trên máy tính8

Biểu diễn đồ thị trên máy tính9

Biểu diễn đồ thị trên máy tính10

Biểu diễn đồ thị trên máy tính11

Biểu diễn đồ thị trên máy tính12

Biểu diễn đồ thị trên máy tính13

Biểu diễn đồ thị trên máy tính14

Các giải thuật duyệt đồ thị

 Tìm kiếm theo chiều rộng

 Tìm kiếm theo chiều sâu

 Tìm cây bao trùm nhỏ nhất

 Tìm đường đi ngắn nhất

15

Nội dung bài toán tìm kiếm

 Cho đồ thị G=(V,E) và một đỉnh s Xuất phát từ đỉnh s, hãy duyệt qua tất cả các đỉnh của đồ thị

u đã xét xong Color(u)=BLACK

Tìm kiếm theo chiều rộng

(Breadth-First Search-BFS)

Ý tưởng thuật toán

 Bắt đầu tìm kiếm từ đỉnh s cho trước tuỳ ý

 Tại thời điểm đã tìm thấy u, thuật toán tiếp tục tìm kiếm tập tất cả các đỉnh kề với u

 Thực hiện quá trình này cho các đỉnh còn lại

17

Tìm kiếm theo chiều rộng

(Breadth-First Search-BFS)

Ý tưởng thuật toán

 Dùng một hàng đợi để duy trì trật tự tìm kiếm

Tìm kiếm theo chiều rộng

6 For each v ∈ Adj(u)

7 if color(v)= WHITE then

8 color(v):=GRAY; Prev(v):= u;

9 ENQUEUE(Q,v);/*đặt v vào cuối hàng đợi*/

10 DeQueue(Q,u);/* Gỡ u khỏi hàng đợi */

11 Color(u):= BLACK;

Q=B,C,D ,E

C B

E

F

C B

E

F

C B

E

F

Q=Rỗng

Tìm kiếm theo chiều rộng

(Breadth-First Search-BFS)

Phân tích thuật toán BFS

 Tổng phí khởi tạo là O(V)

 Mỗi thao tác trên hàng đợi là O(1), vì vậy tổng thời gian cho thao tác trên hàng đợi là O(V)

 Tổng thời gian chi phí cho quét các danh sách kề

là O(E)

 Tổng thời gian chạy của BFS là O(V+E)

24

Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu

(Depth-First Search-DFS)

Ý tưởng thuật toán

 Bắt đầu tìm kiếm từ một đỉnh u nào đó

 Chọn đỉnh kề v tùy ý của u để tiếp tục quá trình tìm kiếm và lặp lại quá trình tìm kiếm này đối với v

 Dùng các màu để không lặp lại các đỉnh tìm kiếm

 Dùng các biến thời gian để xác định các thời điểm phát hiện và hoàn thành tìm kiếm của một đỉnh

 Dùng một mảng để lưu trữ đỉnh đi trước của đỉnh được tìm kiếm

Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu

5 then DFS-Visit (u)

Procedure DFS-Visit (u)

Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu (DFS)

 Hàm Push(v,Stack) đặt phần tử v vào đỉnh ngăn xếp Stack

 Hàm Pop(Stack) lấy phần tử đửng ở đỉnh ngăn xếp ra khỏi ngăn xếp

F

C B

E

F

F

C B

E

F

Tìm kiếm ưu tiên chiều sâu

(Depth-First Search-DFS)

Ví dụ: DFS(A) (tiếp)

Phân tích thuật toán DFS

 Nếu chưa tính thời gian thực thi DFS-VISIT, vòng lặp 1-3 và 5-7 có chi phí là O(V)

 Trong một lần thực thi DFS-VISIT(v), vòng lặp 4-7 thực thi trong |Adj[v]| lần

 Vì Σv ∈V|Adj[v]|= O(E), nên tổng chi phí thực thi dòng 4-7 của DFS-VISIT là O(E).

 Vậy thời gian chạy của DFS là O(V+E)

33

Phân tích thuật toán DFS

34

Giải thuật trên đồ thị có trọng số

Cây bao trùm nhỏ nhất

 Khái niệm

 Thuật toán Kruskal

 Thuật toán Prim

35

Khái niệm

 Cho G là một đồ thị vô hướng, liên thông có trọng số, n đỉnh và H là một đường đi, chu trình, cây, đồ thị con,…của G

 G là đồ thị liên thông nếu luôn tồn tại đường đi giữa mọi cặp điểm phân biệt của đồ thị

 Trọng số của H, ký hiệu w(H), là tổng trọng số của tất cả các cạnh của nó: w(H) = Σe∈Hw(e)

 Bài toán: Tìm một cây bao trùm T có trọng số nhỏ nhất (minimum spanning tree-MST) của G

36

THUẬT TOÁN KRUSKAL

Ý tưởng

 Tại mỗi bước, thuật toán tìm một cạnh có trọng

số nhỏ nhất thêm vào tập cạnh của cây bao trùm sao cho không gây ra chu trình

 Thuật toán dừng khi số cạnh của cây bằng số

đỉnh của đồ thị trừ 1

37

Giải thuật KRUSKAL

Mô tả bằng ngôn ngữ tự nhiên

Giải thuật KRUSKAL

Giả mã giải thuật KRUSKAL

 Procedure KRUSCAL

1 A:= ∅

2 For each u in V(G) do Make-Set(u);

3 Sắp xếp các cạnh của E(G) theo trong số không

giảm w;

4 For each (u,v) in E(G)

5 if Find-Set(u)<> Find-Set(v) then

Giải thuật

Kruskal

- Ví dụ

Cạnh xét Các cây trong rừng Chọn AB(3) {A},{B},{C},{D},{E},

{F},{G} ABAD(4) {A,B},{D} , {C},{E},

B

A

C D

4

6 9

4 5

9

8 8

Giải thuật KRUSKAL: Ví dụ

 Trong quá trình xây dựng T luôn không có chu trình nên là một rừng

B

A

C D

4

6 9

4 5

9

8 8

Giải thuật KRUSKAL

1 Chọn cạnh (u,v) có trọng số ϕ(u,v) nhỏ nhất thêm

vào T

2 Nếu T đã đủ n-1 cạnh thì dừng;

3 Chọn cạnh (u,v) có ϕ(u,v) nhỏ nhất sao cho khi

thêm vào T thì T không có chu trình;

4 Quay lại 2.

Minh họa tư tưởng giải thuật

Kruscal

Chọn cạnh nhỏ nhất nối hai thành phần liên thông của T với nhau, Mỗi lần bớt đi một thành phần liên

thông

Giải thuật Kruskal-

Ví dụ

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

Giải thuật KRUSKAL: Ví dụ

B

A

C D

9 12

9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12

9

8

11 9

 Trong quá trình xây dựng T luôn không có chu trình nên là một rừng

Đặc điểm của giải thuật KRUSKAL

Trong quá trình xây dựng T có là cây không?

 Trong quá trình xây dựng T luôn không có chu trình nên là một rừng, có thể không là một cây

Khi nào một cạnh (u,v) tạo thành một chu trình với các cạnh đã có trong T ?

 Khi hai đầu mút u, v thuộc cùng một cây của T

Đánh giá giải thuật KRUSKAL

 Thời gian sắp xếp là O(E lgE)

 Chi phí cho tất cả các lần lặp trong vòng lặp while không quá O(V lgE)

 Do đó, tổng chi phí là

O (E lg E + V lg E) = O (E lg E)

THUẬT TOÁN PRIM

 Thuật toán kết thúc khi tất cả các đỉnh của đồ thị

đã được chọn

Giải thuật Prim

Mô tả bằng ngôn ngữ tự nhiên

/*Khởi tạo: mọi đỉnh chưa xét*/

V’:={s}, E’={} (rỗng); n’=1;

While n’ < n do

Begin

n’:=n’+1;

End;

Ghi chú: Để lập trình cần dùng một Cấu trúc đống cực tiểu

và một hàng đợi có ưu tiên

Giả mã Giải thuật PRIM

6 for each v in Adj(u) do

7 if v ∈Q and Key(v) < w(u,v) then

8 Key(v):= w(u,v); Pre(v):=u;

THUẬT TOÁN PRIM

Ví dụ: Giải thuật PRIM

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

Bổ sung loại bỏ

cạnh đươc xét Bổ sung cạnh sung Bổ

đỉnh

A AB,AC,AD,AF AB B

Giải thuật PRIM (tiếp)

B

A

C D

9 12

9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12 9

8

11 9

B

A

C D

9 12

9

8

11 9

THUẬT TOÁN PRIM

Lưu ý

 Đối với mỗi đỉnh v, key[v] là trọng số nhỏ nhất của cạnh nối v với một đỉnh trong cây đang xây dựng

 Ký hiệu π[v] biểu diễn cha của v trong cây đang xây dựng

 Trong quá trình xây dựng , T luôn là một cây con của G Khi T chứa tất cả các đỉnh của G, T trở

thành cây bao trùm của G

THUẬT TOÁN PRIM

 Tổng thời gian cho tất cả các lần gọi MIN trong vòng lặp while là O(V lg V)

EXTRACT- Chi phí cho tất cả các lần lặp của vòng lặp for

8-11 trong vòng lặp while là O(E lg V)

 Do đó, tổng chi phí là

O(V lg V + E lg V) = O(E lg V)

Giải thuật trên đồ thị có hướng Tìm đường đi ngắn nhất

 Các khái niệm

 Thuật giải Dijkstra

 Thuật giải Floyd-Warshall

Các khái niệm

Tìm đường đi ngắn nhất

 Bài toánTìm các đường đi ngắn nhất từmột đỉnh s đến mọi đỉnh khác trong một đồthịcótrọng số

Giải thuật DIJSKTRA

Giải thuật DIJSKTRA

 Tổng chi phí EXTRACT-MIN làO(VlgV)

 Mỗi u được đưa vào S đúng một lần, mỗi cạnh

kề trong Adj[u] được kiểm tra đúng một lần, số lần kiểm tra tất cả các cạnh kề như vậy là |E|

 Thời gian xử lý của RELAX là O(1)

 Vậy tổng chi phí là O(V2+E)

Giải thuật DIJSKTRA

Tổ chức dữ liệu

 Với mỗi u∈ V(G), đặt L(u) là độ dài đường đi ngắn nhất từ s đến u, Pre(u) là đỉnh đứng trước đỉnh u trên đường đi ngắn nhất từ s đến u.

 Gọi S là tập các đỉnh u đã được tính xong giá trị hàm

L(u);

 Gọi Q là hàng đợi có ưu tiên gồm các đỉnh chưa tính xong L(u);

Giải thuật DIJSKTRA- ngôn ngữ tự nhiên

1 {Khởi tạo}

Với mọi v∈V(G) đặt L(v):= +∞, Pre(u)=Null ; L(s):=0; Q:= {} (rỗng)

2 {Lặp: Mỗi bước tính xong L(u) của một đỉnh u}

2.1 Nếu mọi đỉnh của G đã nằm trong Q thì dừng.

2.2 Chọn đỉnh u có L(u) nhỏ nhất, chưa nằm trong S bổ sung vào S

Với mọi v ∈ Adj(u) {tính lại L(v)}

nếu L(v)> L(u)+W(u,v) thì đặt lại

L(v):= L(u)+W(u,v) ; Pre(v):=u;

Quay lại 2.1

Giả mã giải thuật DIJSKTRA

Giả mã- Khởi tạo

Giải thuật DIJSKTRA

Q là hàng đợi có ưu tiên với tiêu chuẩn Disk(u) nhỏ nhất;

ExtrackMin(Q) là thủ tục lấy phần tử có giá trị hàm Disk(u) nhỏ nhất khỏi Q

Ví dụ: Dùng giải thuật DIJSKTRA

Tìm đường đi ngắn nhất từ A tới tất cả các

9 4 5

8

3 9

Mô tả từng bước

B

A

C D

9 4 5

8

3 9

THUẬT TOÁN

FLOYD-WARSHALL

 Ý tưởng: Gọi P là đường đi ngắn nhất từ i đến j qua k đỉnh trung gian {1, 2,…, k-1, k} trong đồ thị G thì

 Nếu đỉnh k ∈P thì P cóthể được chia làm 2 đường

đi ngắn nhất p1từ i đến k và P 2 từ k đến j đều đi qua k-1 đỉnh trung gian {1, 2, …, k-1}

 Ngược lại P là đường đi ngắn nhất từ i đến j chỉ qua k-1 đỉnh{1, 2, …, k-1}

THUẬT TOÁN

FLOYD-WARSHALL

 Ý tưởng: Gọi P là đường đi ngắn nhất từ i đến j qua k đỉnh trung gian {1, 2,…, k-1, k} trong đồ thị G thì

 Nếu đỉnh k ∈P thì P cóthể được chia làm 2 đường

đi ngắn nhất p1từ i đến k và P 2 từ k đến j đều đi qua k-1 đỉnh trung gian {1, 2, …, k-1}

 Ngược lại P là đường đi ngắn nhất từ i đến j chỉ qua k-1 đỉnh{1, 2, …, k-1}

THUẬT TOÁN WARSHALL

THUẬT TOÁN WARSHALL

THUẬT TOÁN WARSHALL

FLOYD-Đọc thêm

 Thomas H Cormen, Charles E Leiserson, Ronald D Rivest Introduction to Algorithms

 Elementary Graph Algorithms

 Minimum Spanning Trees

 Single-Source Shortest Paths

 All-Pairs Shortest Paths

 Nguyễn Mạnh Tường

 Các thuật toán trên đồ thị