BÀI THẢO LUẬN ĐỀ TÀI: Tích phân và ứng dụng của tích phân trong kinh tế. Nhóm: 04 Lớp: 1115FMAT0211 DANH SÁCH NHÓM: • Lại Quang Huy • Lã Thanh Huyền • Lê Thị Hường • Nguyễn Thị Hường • Vũ Thị Lan • Vũ Thị Hữu • Nguyễn Thị Hương • Lã Thanh Huyền • Nguyễn Thị Lệ • Đỗ Thị Ngọc Lan Các phương pháp tính tích phân bất định: 1. Phương pháp đổi biến Xét Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công thức . Trong dạng này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn Vậy trở lại biến cũ ta được dttdx )( ϕ ′ = ∫ dxxf )( )(tx ϕ = ( ) ∫ ∫ ′ = dtttfdxxf ϕϕ )]([)( Ctdtttf +Φ= ′ ∫ )()()]([ ϕϕ Cxdxxf +Φ= ∫ − ))(()( 1 ϕ 1. Phương pháp đổi biến Xét Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công thức . Trong dạng này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn Vậy trở lại biến cũ ta được Ví dụ 1. Tính các tích phân: C x x C t t t dt tt tdt I tdtdxtxtxtx + ++ −+ =+ + − = − = − = =−=→=+→=+ ∫∫ 11 11 ln 1 1 ln )1( 2 )1( 2 2;111 22 1 2 ∫∫∫ + = − = + = dx xx x I x dx I xx dx I 44 3 32 21 cossin 2sin )3 )1( )2 1 )1 C x x C t t C t t Ct t dt t tdt I ttxtdtdxxttx + − =+ − =+=+=== =−=−==→= ∫∫ 22 2 2 3 2 2 222 1sin1 sin cos sin tan cos )(cos cos cossin11;cos,arcsinsin CxCt t td tt dt tt dt I xt xx xd dx xxx xx I +−=+−= +− − = ++− = +− = = −− = −+ = ∫∫∫ ∫∫ )1sin2arctan() 2 1 (2arctan ] 4 1 ) 2 1 [(2 ) 2 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 .2(2 221 sin )sin1(sin21 )(sin cossin2)cos(sin cossin2 2 22 2 3 2 22 2 22222 3 Giải 1) Đặt 2)Đặt 3) Đặt Ta có CxCt t td tt dt tt dt I xt xx xd dx xxx xx I +−=+−= +− − = ++− = +− = = −− = −+ = ∫∫∫ ∫∫ )1sin2arctan() 2 1 (2arctan ] 4 1 ) 2 1 [(2 ) 2 1 ( 2 1 ) 4 1 2 1 .2(2 221 sin )sin1(sin21 )(sin cossin2)cos(sin cossin2 2 22 2 3 2 22 2 22222 3 2. Phương pháp tính tích phân theo từng phần • Nếu u(x), v(x) là các hàm khả vi, ta có d(uv)= udv+ vdu Lấy tích phân hai vế ta có công thức Ví dụ 2. Tính các tích phân bất định ∫ ∫ −= vduuvudv ∫ ∫ − xdxexdxx x cos)2sin)1 2 Giải Cxx e J Jxxexdxexexe xdxexexdexdxeJ Cxxxxdxxxxxdxdxx x xxxx xxxx +−=⇒ −−=−− =+=== ++−=+−=−= − −−−− −−−− ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ )cos2(sin 5 4)cos2(sincos4cos2sin sin2sin)(sincos)2 sincoscoscos)cos(sin)1 2 2222 2222 )( )( )( )( )( )( )( )( )()( )( )()()( )( 2 22 1 11 2 2 1 1 22 22 22 2 22 22 2 11 11 22 11 2 22 11 2 11 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 1 + ++ + ++ ++ + + ++ + + ++ + ++ ++ + + ++ + + + − ++ − + − + − ++ − + − = m mm m mm n n n n m n cxbx QP cbx QxP cxbx QxP cxbx NM cbx NxM cbx NxM xx B xx B xx B xx A xx A xx A xQ xP Trong đó là các hằng số được xác định bằng phương pháp hệ số bất định. , , ,,,, ,,,, ,, 121 212121 mnn MMMBBBAAA . BÀI THẢO LUẬN ĐỀ TÀI: Tích phân và ứng dụng của tích phân trong kinh tế. Nhóm: 04 Lớp: 1115FMAT0211 DANH SÁCH NHÓM: • Lại Quang Huy • Lã Thanh. phương pháp tính tích phân bất định: 1. Phương pháp đổi biến Xét Giả sử là một hàm liên tục cùng với đạo hàm của nó và có hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công thức . Trong dạng này. hàm của nó và có hàm ngược. Khi đó .Trong trường hợp đó ta có công thức . Trong dạng này ta dễ dàng tìm được nguyên hàm của nó, chẳng hạn Vậy trở lại biến cũ ta được Ví dụ 1. Tính các tích