Giáo trình truyền nhiệt - Chương 3 doc

28 CHƯƠNG 3 TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU 3.1. CÔNG THỨC NEWTON VÀ HỆ SỐ TỎA NHIỆT α 3.1.1. Định nghĩa và phân loại tỏa nhiệt Trao đổi nhiệt đối lưu hay toả nhiệt, là hiện tượng trao đổi nhiệt giữa một lớp chất lưu (chất lỏng hoặc chất khí) chuyển động với bề mặt của 1 vách tiếp xúc. Hiện tượng chất lưu chuyển động theo dòng tuần hoàn gọi là đối lưu. Theo nguyên nhân gây chuyể n động đối lưu, người ta phân toả nhiệt ra 2 loại: 1) Toả nhiệt tự nhiên là hiện tượng toả nhiệt khi đối lưu được sinh ra một cách tự nhiên, do trọng lực tạo ra trong chất lưu không đồng nhất về nhiệt độ. 2) Toả nhiệt cưỡng bức là hiện tượng toả nhiệt khi đối lưu được tạo ra do một ngoại lực, ví dụ do bơm qu ạt. 3.1.2. Công thức Newton và hệ số toả nhiệt α Xét mô hình toả nhiệt gồm một bề mặt vách nhiệt độ t W tiếp xúc một lớp chất lưu chuyển động có nhiệt độ giảm dần từ t W sát vách đến t f ở xa vách, như hình Hình 3.1. Lượng nhiệt toả ra chất lưu qua mặt vách được tính theo công thức qui ước, gọi là công thức Newton, có dạng: q=α(t W - t f ), [W/m 2 ] và Q = αF(t W - t f ), [W] trong đó t W là nhiệt độ mặt vách, t f là nhiệt độ chất lưu ở xa vách, F là diện tích mặt tiếp xúc và t F Q t q ∆ = ∆ =α , [W/m 2 K] gọi là hệ số toả nhiệt . Hệ số toả nhiệt α đặc trưng cho cường độ toả nhiệt, là ẩn số chính của mọi bài toán toả nhiệt. 1 2 t w t f x t α F ω Hình 3.1 Phân bố t(x) trong chất l ưu khi tỏa nhiệt 29 3.2. PHNG TRèNH TNGG QUT CA H S TO NHIT 3.2.1. cỏc thụng s nh hng n H s ta nhit ph thuc vo cỏc yu t gõy ra i lu v dn nhit trong cht lu, bao gm cỏc thụng s chớnh sau õy: 1) Cỏc thụng s hỡnh hc ca mt to nhit . Hỡnh dng, kớch thc v v trớ ca mt to nhit nh hng ti dũng chuy n ng ca cht lu, do ú s nh hng ti . c trng hỡnh hc ca b mt to nhit cú th gm nhiu kớch thc khỏc nhau, nhng khớ tớnh thng chn mt kớch thc duy nht, gi l kớch thc nh tớnh l t . Kớch thc nh tớnh l t do ngi lp cụng thc tớnh la chn, theo qui tc nh sau = haỷn vỏỷt hổợuimỷt ngoaỡ bóử hoỷcg nũm nganọỳng cuớa õổồng kờnh tổồng õổồỡng õổùng thúng truỷ hoỷcgmỷt phún cuớa h cao chióửu t l ng nm ngang vi din tớch v chu vi ca tit din cha cht lng l f v u, s cú ng kớnh tng ng u f4 d td = . Vt hu hn vi th tớch V, din tớch xung quanh F s cú d t = F GV , [m]. u ddt=4f/u f V F ddt=6V/F Hỡnh 3.2 d td ca vỏch phng v V hỡnh tr 2) Cỏc thụng s vt lý ca cht lu Cỏc thụng s vt lý trc tip nh hng n bao gm: - Cỏc thụng s nh hng n chuyn ng l: khi lng riờng [kg/m 3 ], h s n nhit ]K[, TV V 1 = , nhp ng hc à = [m 2 /s] 30 - Các thông số ảnh hưởng tới dẫn nhiệt là: hệ số dẫn nhiệt λ[W/mK], hệ số khuếch tán nhiệt p C a ρ λ = [m 2 /s]. Các thông số vật lý nới trên đều thay đổi theo nhiệt độ chất lưu . Để xác định giá trị các thông số vật lý khi tính α, người lập công thức qui định 1 trị số nào đó của nhiệt độ chất lưu, gọi là nhiệt độ định tính. Nhiệt độ định tính [t] có thể lấy một trong các giá trị sau: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += = ût biãn nhiãlåïp giæîa åí læucháút âäü nhiãût laì saït vaïch læucháút âäü nhiãût laì vaïchxa læucháút âäü nhiãût laì t f )tt( 2 1 t t]t[ fWm W 3) Các thông số đặc trưng cho cường độ đối lưu - Đối lưu tự nhiên là dòng đối lưu tự phát sinh trong chất lưu khi có độ chênh trọng lượng riêng giữa các lớp chất lưu. độ chênh trọng lượng riêng tỷ lệ thuận với gia tốc trọng lực g[m/s 2 ], với hệ số nở nhiệt β[K -1 ] và với độ chênh nhiệt độ ∆t = t W = t f giưac chất lưu ở gần và ở xa vách. Do đó, cường độ đối lưu tự nhiên đặc trưng bằng tích số gβ∆t, [m/s] của chất lưu. -Đối lưu cưỡng bức gây ra bởi lực cưỡng bức của bơm, quạt được đặc trưng bằng tốc độ ω(m/s) của chất lưu. Khi đối lưu cững bức, nếu trong chất lưu có g≠0 và ∆t ≠ 0 thì luôn kèm theo đối lưu tự nhiên. 4) Các thông số đặc trư ng cho chế độ chuyển động của chất lưu . Khi chảy tầng, các phân tử chất lưu chuyển động song song vách nên hệ số α không cao. Khi tăng vận tốc ω đủ lớn dòng chảy rối sẽ xuất hiện. Lúc này các phân tử chất lưu xuất hiện các thành phần chuyển động rối loạn theo phương ngang, t ăng cơ hội va đập lên vách, khiến cho hệ số α tăng cao. Chế độ chuyển động chất lưu được phân ra 3 dòng, đặc trưng bởi các thông số ω, l, ν , thông qua giá trị của vận tốc không thứ nguyên hay số Reynolds như sau: 31 ữ = = rọỳichaớy doỡng - õọỹ quaù doỡng - )10(2300 Re tỏửngchaớydoỡng 4 4 10Re 2300Re l Re 3.2.2. phng trỡnh tng quỏt ca h s ta nhit Phng trỡnh tng quỏt ca l phng trỡnh cha tt c cỏc thụng s nh hng ti giỏ tr , nh ó phõn tớch trờn õy, cú dng: = f(l, , , a, , g, (t W - t f ), ), (1) õy l phng trỡnh tớnh dng tớch phõn tng quỏt, ph thuc vo 10 bin s, m dng c th ca nú s c tỡm ch yu bng thc nghim. 3.3. H PHNG TRèNH VI PHN TA NHIT 3.3.1.cỏc phng trỡnh cõn bng nhitng lc hc cht lu Quỏ trỡnh trao i nhit i lu ca phõn t cht lu dV cú cỏc thụng s , C p , a, à, q v , p, t, , vi mt tip xỳc W cú th mụ t bng 1 h cỏc phng trỡnh, gm phng trỡnh cõn bng nhit, phng trỡnh cõn bng ng lc hc v phng trỡnh cõn bng lng cht lu nh sau. 1) Phng trỡnh cõn bng nhit nh lut bo ton nng lng cho dV cú ni dung l: tng entanpi ca dV = hiu s dũng nhit(vo ra )dV + lng nhit t phỏt sinh trong dV hay: dVqdVqdiv t dVC vp += vi t)tdivdtagr.(C)dtagrtC(divqdiv 2 pp +== õy dtagr. l tớch vụ hng ca 2 vectow v dtagr Do ú, nu ký hiu C a = v q t x tw W t f q à a g p q v d V H ỡnh 3.3 lp h phng trinh trỡnh vi p hõn ta nhit 32 τ = ∂ ∂ τ∂ ∂ + ∂ ∂ τ∂ ∂ + ∂ ∂ τ∂ ∂ + τ∂ ∂ =ω+ τ∂ ∂ d dt z tz y ty x txt dtagr. t , [K/s] là đạo hàm toàn phần của nhiệt độ theo thời gian thì phương trình cân bằng nhiệt có dạng: p v 2 C q tdivta d dt ρ +ω−∇= τ Nếu dV không chuyển động, ω = 0, thì có p v 2 C q ta t ρ +∇= τ∂ ∂ là phương trình vi phân dẫn nhiệt như nêu ở chương 2 2) Phương trình can bằng động lực họ cho dV có nội dung là: Lực quán tính của dV = trọng lực của dV + hiệu số áp lực lên dV + lực ma sát quanh dV, hay phương trình có dạng: ω∇µ+−ρ= τ ω ρ 2 dpagrg d d với )kji( z 2 y 2 x 22 ω∇+ω∇+ω∇µ=ω∇µ [N/m 3 ] là tổng các lực nội ma sát ứng với 1m 3 của dV. Phương trình trên còn được gọi là phương trình Naver – Stockes, là phương trình cơ bản của động lực học chất lưu 3) Phương trình liên tục Khi trong phân tố chất lưu dV không có điển rò hoặc điểm nguồn, thì hiệu số lưu luợng (vào - ra)dV bằng độ tăng khối lượng riêng của dV, hay: )(div ωρ−= τ∂ ρ∂ = ωρ−ωρ− div.dagr Suy ra + τ∂ ρ∂ ρω dagr. = τ ρ d d =- ωρdiv Với chất lỏng không chịu nén như nước hoặc dầu, ρ = const, thì phương trình liên tục có dạng 0div =ω 3.3.2. Mô hình toán học của bài toán tỏa nhiệt Phát biểu toán học của bài toán toả nhiệt là tìm các hàm phân bố vận tốc ω, nhiệt độ t và hệ số toả nhiệt α thoả mãn hệ phương trình vi phân, gồm 3 phương trình cân bằng nhiệt - động lực học chất lưu và 4 loại điều kiện đơn trị như sau: 33 = == =à = à+= += ]t-)W[t(M)Wgradt(M- Wbión - z)y,t(x,0) M,t(:õỏửu ban - f(t))q,a,,,C,(õởnh xaùcluỏỷt :lyù vỏỷt - W cuớa l ckờch thổồù daỷng, hỗnh :hỗnh hoỹc : KTcaùc vồùi f333 vp : ),(div dpagrgp d d qtdivta d dt 2 v 2 õy l bi toỏn rt phc tp, hin nay cha cú li gii tng quỏt. Vic tớnh ch yu da vo cỏc s liu v cụng thc thc nghim, nh s trỡnh by bi sau. 3.4. Lí THUYT NG DNG Lý thuyt ng dng l mụn hc nghiờn cu tớnh cht ca cỏc hin tng vt lý ng dng nhau, l mt lý thuyt ch o cho cụng tỏc thc nghim. 3.4.1. Cỏc khỏi nim ng dng Cỏc khỏi ni m ng dng c m rng t ng dng hỡnh hc. 1) ng dng hỡnh hc: Hai vt th hỡnh hc c gi l ng dng nu t sụ 2 kớch thc tng ng bt k l khụng i. Vớ d: Hai hỡnh hp s ng dng khi .constC ' z 'z y 'y x 'x ===== l l l Khi 2 vt th ng dng vi t s l c thỡ t s cỏc din tớch hoc th tớch tng ng l 32 C V 'V C f 'f ll == 2) ng dng ca 2 trng vt lý x' y' z' l' x y z l Hỡnh 3.4 ng dng hỡnh hc 34 Hai trường của một đại lượng vật lý )),z,y,x(M( τ ϕ = ϕ được gọi là đồng dạng nhau nếu tỷ số 2 giá trị của ϕ tại 2 điểm tương ứng bất kỳ trong không gian, thời gian là không đổi: ),M(,constC )),z,y,x(M( )C),zC,yC,xC('M(' ' τ∀== τϕ τ ϕ = ϕ ϕ ϕ τ lll Để 2 trường vật lý đồng dạng, cần có 3 hằng số ϕτ C,C,C l . 3) Đồng dạng 2 hiện tượng vật lý: Hai hiện tượng vật lý cùng được mô tả bởi phương trình F(ϕ 1, ϕ 1 ,…ϕ i ,…ϕ n )=0 được gọi là đồng dạng nhau, nếu 2 trường của mỗi đại lượng vật lý cùng tên đồng dạng nhau: )),z,y,x(M( )C),zC,yC,xC('M(' i ' i τϕ τϕ = ϕ ϕ llll =C φi , ),M( τ ∀ và 1( i = ∀ ÷n). Hai hiện tượng vật lý chỉ đồng dạng trong không gian đồng dạng về hình học, và cần (n+2) hằng số đồng dạng, là l C , τ C và n là hằng số C φi 3.4.2. Tiêu chuẩn đồng dạng và phương trình tiêu chuẩn. 1) Định nghĩa: Tiêu chuẩn đồng dạng là 1 biến số không thứ nguyên chứa một số đại lượng vật lý, được suy ra từ tính đồng nhất(hay tương đương) của phương trình mô tả 2 hiện tượng đồng dạng. 2) Ví dụ: khi 2 hiên tượng toả nhiệt đồng dạng, thì phương trình n t t ∂ ∂ λ−=∆α và 'n t ''t' ∂ ∂ λ−=∆α là đương nhau → thay các thông số ii ' i C ϕ=ϕ ϕ vào phương trình thứ 2 có )nC/(tCCtCC tt ∂ ∂ λ − = ∆ α λα l →Do phương trình này tương đương với phương trình đầu , nên có l C/CCCC tt λα = → ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ λ λ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ α α == λα ''' 1C/CC l l l → Suy ra idem ' '' = λ α = λ α ll (như nhau) →tổ hợp không thứ nguyên λ α = l Nu có giá trị như nhau cho 2 hiện tượng đồng dạng, được gọi là tiêu chuẩn Nusselt. Xét tương tự với các phương trình khác trong hệ phương trình vi phân toả nhiệt, có thể dẫn ra các tiêu chuẩn : 35 Tiêu chuẩn Prandtl Pr = a ν , tiêu chuẩn Reynolds Re = ν ω l và tiêu chuẩn Galilei: Ga = 2 3 g ν l . Nếu nhân Ga với t 0 0 ∆β= ρ ρ − ρ sẽ được tiêu chuẩn Grashoff: 2 3 tg Gr ν ∆β = l . 3)Phân loại : các tiêu chuẩn đồng dạng được phân ra 2 loại : tiêu chuẩn xác định chỉ chứa các thông số đã cho trong điều kiện đơn trị (ví dụ Pr và Gr) và tiêu chuẩn chưa xác định có chứa 1 thông số chưa biết. Ví dụ: Nu = λ α l là chưa xác định vì chứa α chưa biết. ν ω = l Re là tiêu chuẩn xác định khi toả nhiệt cưỡng bức vì đã biết ω, và là tiêu chuẩn chưa xác định trong toả nhiệt tự nhiên, vì lức này chưa biết ω. 4) Phương trình tiêu chuẩn là phương trình liên hệ các tiêu chuẩn đồng dạng. Ví dụ, phương trình tiêu chuẩn suy ra từ hệ phương trinh vi phân toả nhiệt có dạng tổng quát Nu=f(Re, Gr, Pr). 3.4.3. Các định lý đồng dạng và ứng dụng của nó. 1) Định lý 1: hai hiện tượng đồng dạ ng thì trị số các tiêu chuẩn đồng dạng cùng tên bằng nhau. Định lý này cho phép xác định các thông số trong hiện tượng thực tế bằng cách đo các thông sô trong mô hình thí nghiệm đồng dạng với nó. 2) Định lý 2: Hệ phương trình vi phân và phương trình tiêu chuẩn suy ra từ hệ ấy là tương đương nhau. Định lý này chỉ ra cách giải 1 hệ phưông trình vi phân bằng thực nghiệm theo các bước sau: - Từ hệ phương trình vi phân suy ra các tiêu chuẩn đồng dạng. - Lập mô hình đồng d ạng đo các đại lý có trong các tiêu chuẩn. - Tính và lập bảng tương ứng các tiêu chuẩn đồng dạng và xấp xỉ bảng này bằng một phương trình tiêu chuẩn. 36 Phương trình tiêu chuẩn là một công thức thực nghiệm, tương đương với nghiệm của hệ phương trình vi phân đã cho. 3) Định lý 3: Điều kiện cần và đủ để 2 hiện tượng đồng dạng là các điều kiện đơn trị đồng dạng và các tiêu chuẩn xác định cùng tên bằng nhau. Định lý này chỉ ra cách lập mô hình thí nghiệm đồng dạng với hiện tượng cần khảo sát, bằng cách tạ o các trường thông số cho trước đồng dạng và chọn các hệ số đồng dạng sao cho tiêu chuẩn xác định bằng nhau. Nó cũng cho hay phạm vi ứng dụng của một công thức thực nghiệm là lớp các hiện tượng đồng dạng với mô hình đã xét. 3.5. PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUYÊN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIÊU CHUẨN. 3.5.1. Cơ sở và các bước áp dụng phương pháp PTTN - Phương pháp PTTN là phương pháp tìm các biến số độc lập không thứ nguyên ảnh hưởng t ới 1 hiện tượng vật lý nào đó, thay vào quan hệ giữa các đại lượng có thứ nguyên đã biết. - Cơ sở của phương pháp PTTN là nguyên lý cho rằng, nội dung của phương trình mô tả một hiện tượng vật lý sẽ không đổi khi thay đổi đơn vị đo các đại lượng vật lý chứa trong phương trình. - Các bước áp dụng phương pháp PTTN gồm : 1) Phân tích thứ nguyên các đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới hiệ n tượng để tìm hệ đơn vị cơ bản. 2) Thay đổi hệ đơn vị cơ bản theo các tỷ lệ thích hợp để khử các biến số phụ thuộc và tìm ra các biến độc lập không thứ nguyên. - Đặc điển của phương pháp PTTN là chỉ dựa vào nhận xét tổng quát về các đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới hiện tượng, không cần lập hệ phươ ng trình vi phân mô tả hiện tượng. Do đó phương pháp này sẽ tiện lợi khi nghiên cứu các hiện tượng mới. 3.5.2. Tìm phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt bằng phương pháp PTTN 37 Nhận xét tổng quát về các đại lượng ảnh hưởng tới α trong bài (3.2) đã nêu ra phương trình tổng quát của toả nhiệt là: ),tg,,a,,,(f ω ∆βλνρ=α l (1) Phương pháp PTTN chuyển phương trình (1) về dạng tiêu chuẩn gồm 2 bước như sau: 1) Phân tích thức nguyên các đại lượng vật lý trong phương trình (1) gồm: ]Kkgms[]KWm[][],a[]sm[][],m/kg[][],m[][ 1311123 −−−−− ==λ==ν=ρ=l , do W= Js -1 = Nms -1 =kgm 2 s -3 , [gβ∆t]=[ms -2 ], [ω]=[ms -1 ] và [α] = [Wm -2 K -1 ]=[kgs -3 K -1 ]. Suy ra đơn vị cơ bản của phương trình (1) là hệ gồm 4 đơn vị sau [kg, m, s, K] 2) Dùng hệ đơn vị cơ bản mới, là [Gkg, Mm, Ss, DK] với G, M, S, D là các hằng số tỷ lệ khác không tùy ý, thì phương trình (1) có dạng (1’) như sau: GS -3 D -1 α = f(M l , GM -3 ρ, M 2 S -1 ν, M 2 S -1 a, GMS -3 D -1 λ, MS -2 gβ∆t, MS -1 ω) Để khử các đại lượng phụ thuộc, cần chọn 4 hằng số G, M, S, D theo 4 điều kiện sau: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ νρλ= ν= ρ= = → ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ =λ =ν =ρ = −− − −− − −− − − 312 2 13 1 13 12 3 D S G M rasuy 1DGMS 1SM 1GM 1M l l l l l Thay các giá trị của M, G, S, D vào (1’) sẽ có: α l /λ = f(1; 1’;1;a/ν;1; gβ∆t l 3 /ν 2 , ω l /ν), (1”) Đây là phương trình tiêu chuẩn tổng quát, có dạng Nu = (Pr, Gr, Re). Theo nguyên lý nói trên, các phương trình (1’), (1”) và (1) là tương đương nhau. 3.5.3. Ý nghĩa của tiêu chuẩn đồng dạng Các tiêu chuẩn đồng dạng là các biến số độc lập không thứ nguyên(KTN), đặc trưng cho hiện tượng toả nhiệt. [...]... sau: Pr - Khi chựm ng song song = n 0,5 0,26 Re 0 , 65 Prf0, 33 f fd Pr n w 1 4 d S 2 0 ,15 d - Khi chựm sole vi S1/S2 . tỷ lệ khác không tùy ý, thì phương trình (1) có dạng (1’) như sau: GS -3 D -1 α = f(M l , GM -3 ρ, M 2 S -1 ν, M 2 S -1 a, GMS -3 D -1 λ, MS -2 gβ∆t, MS -1 ω) Để khử các đại lượng phụ thuộc,. −−−−− ==λ==ν=ρ=l , do W= Js -1 = Nms -1 =kgm 2 s -3 , [gβ∆t]=[ms -2 ], [ω]=[ms -1 ] và [α] = [Wm -2 K -1 ]=[kgs -3 K -1 ]. Suy ra đơn vị cơ bản của phương trình (1) là hệ gồm 4 đơn vị. 28 CHƯƠNG 3 TRAO ĐỔI NHIỆT ĐỐI LƯU 3. 1. CÔNG THỨC NEWTON VÀ HỆ SỐ TỎA NHIỆT α 3. 1.1. Định nghĩa và phân loại tỏa nhiệt Trao đổi nhiệt đối lưu hay toả nhiệt, là hiện tượng trao đổi nhiệt