Bài 12: Cho ánh xạ tuyến tính φ: V → V. Chứng minh rằng: Nếu φ 2 = φ thì V = Imφ ⴲ Kerφ. Giải Để c/m: V = Imφ ⴲ Kerφ, ta cần c/m: V = Imφ + Kerφ Imφ ⋂ Kerφ = {θ} C/m: V = Imφ + Kerφ V ⊂ Imφ + Kerφ V ⊃ Imφ + Kerφ Dễ thấy: ☺ Imφ ⊂ V ☺ Kerφ ⊂ V ⇒ Imφ + Kerφ ⊂ V. (1) Ta xét: ∀x∊V: x = φ(x) + (x – φ(x)), trong đó φ(x) ∊ Imφ. Mặt khác: φ(x – φ(x)) = φ(x) – φ(φ(x)) = φ(x) – φ(x) = {θ} ⇒ x – φ(x) ∊ Kerφ. Do đó: x ∊ Imφ + Kerφ ⇒ V ⊂ Imφ + Kerφ. (2) Từ (1),(2) suy ra: V = Imφ + Kerφ. (Ⅰ) C/m: Imφ ⋂ Kerφ = {θ} Giả sử y = Imφ ⋂ Kerφ: y ∊ Imφ (✼) y ∊ Kerφ (✼✼) Từ (✼) suy ra: ∃x ∊ V: φ(x) = y Ta có: y = φ(x) = φ(φ(x)) = φ(y) = θ (Do (✼✼)) Vậy: Imφ ⋂ Kerφ = {θ}. (Ⅱ) Từ (Ⅰ),(Ⅱ) nên: V = Imφ ⴲ Kerφ.