Đang tải... (xem toàn văn)
Bài 1. Không gian afin 1.1. Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên trường K (K=R,C,…), A là một tập hợp khác rỗng mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ φ:A×A→V. Ký hiệu φ(M,N)=(MN ) ⃗ với M,N∈A. Bộ ba (A,φ,V) gọi là không gian afin nếu hai tiên để sau thỏa mãn: i) Với mọi điểm M∈A, mọi vectơ v ⃗∈V, có duy nhất điểm N∈A sao cho (MN) ⃗=v ⃗; ii) Với mọi ba điểm M,N,P∈A có (NM) ⃗+(NP) ⃗ =(MP) ⃗ (hệ thức Chasles). Không gian afin (A,φ,V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V, còn gọi tắt là không gian afin A trên trường K (hoặc K – không gian afin A). Không gian vectơ liên kết V thường được kí hiệu A ⃗. Không gian afin A được gọi là không gian n chiều nếu dimV=n. Không gian afin n chiều thường được kí hiệu là An, số chiều của không gian afin A ký hiệu là dimA. Khi K là trường số thực, ta nói A là không gian afin thực, khi K là trường số phức, ta nói A là không gian afin phức. Trong giáo trình này, nếu không nói gì thêm thì không gian afin là không gian afin n chiều và K là trường số thực R hoặc trường số phức C. Liên quan đến siêu mặt bậc hai chỉ chú trọng đến việc trình bày trong không gian afin thực. 1.2. Các ví dụ Ví dụ 1. Trong hình học ở trường trung học phổ thông, chúng ta cần phân biệt không gian ba chiều thông thường là không gian chỉ gồm các điểm, kí hiệu là E3và không gian các vectơ “tự do”, kí hiệu là E ⃗3. Với phép cộng vectơ và phép nhân một số thực với vectơ chứng tỏ E ⃗3 là một không gian vectơ ba chiều. Khi đó việc “vẽ” vectơ nối hai điểm A và B chính là ánh xạ liên kết φ. Ta có E3 là không gian afin liên kết với không gian vectơ E ⃗3 vì có thể dễ dàng kiểm tra ánh xạ φ: E3×E3→E ⃗3 (A,B)↦(AB) ⃗ thỏa mãn các tiên đề trong định nghĩa. Ví dụ 2. Cho V là không gian vectơ trên trường K, ánh xạ φ: V×V→V (u ⃗,v ⃗ )↦φ(u ⃗,v ⃗ ):=v ⃗u ⃗ Khi đó, φ thỏa mãn các tiên đề của không gian afin nên V là không gian afin liên kết với chính nó. Ta nói φ xác định một cấu trúc afin chính tắc trên không gian vectơ V hay V là không gian afin với cấu trúc afin chính tắc. Ví dụ 3. Cho tập hợp Rn trong đó mỗi phần tử của nó là một bộ n số thực có thứ tự, Vn là không gian vectơ mà mỗi vectơ x ⃗ ứng với một bộ số thực (x_1,x_2,…,x_n), với x_i∈R. Ánh xạ f xác định như sau: Với hai điểm A(a_1,a_2,…,a_n ),B(b_1,b_2,…,b_n) của Rn ta đặt tương ứng với một vectơ (b_1a_1,b_2a_2,…,b_na_n ) của Vn. Khi đó dễ dàng chứng minh được Rn là không gian afin n – chiều. 1.3. Một số tính chất đơn giản của không gian afin Sau đây là một số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa của không gian afin: (MM) ⃗=0 ⃗; ∀M∈A Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có: (MM) ⃗+(MM) ⃗=(MM) ⃗, suy ra (MM) ⃗=0 ⃗. 2. (MN) ⃗=(NM) ⃗; ∀M,N∈A Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có (MN) ⃗+(NM) ⃗=(MM) ⃗=0 ⃗. Do đó ta suy ra (MN) ⃗=(NM) ⃗; 3. (MN) ⃗=(PQ) ⃗ khi và chỉ khi (MP) ⃗=(NQ) ⃗; Thật vậy, (MN) ⃗=(PQ) ⃗ ⇔(MP) ⃗+(PN) ⃗=(PN) ⃗+(NQ) ⃗ ⇔ (MP) ⃗=(NQ) ⃗. 4. (MN) ⃗=(PN) ⃗(PM) ⃗, ∀M,N,P∈A Thật vậy, (MN) ⃗=(MP) ⃗+(PN) ⃗=(PM) ⃗+(PN) ⃗=(PN) ⃗(PM) ⃗.
Chương Hình học afin Bài Khơng gian afin 1.1 Định nghĩa Cho không gian vectơ trường , tập hợp khác rỗng mà phần tử gọi điểm ánh xạ Ký hiệu với Bộ ba gọi không gian afin hai tiên để sau thỏa mãn: i) Với điểm , vectơ , có điểm cho ; ii) Với ba điểm có (hệ thức Chasles) Khơng gian afin cịn gọi khơng gian afin liên kết với khơng gian vectơ , cịn gọi tắt không gian afin trường (hoặc – không gian afin ) Không gian vectơ liên kết thường kí hiệu Khơng gian afin gọi khơng gian n chiều Không gian afin n chiều thường kí hiệu , số chiều khơng gian afin ký hiệu Khi trường số thực, ta nói khơng gian afin thực, trường số phức, ta nói khơng gian afin phức Trong giáo trình này, khơng nói thêm khơng gian afin không gian afin n chiều trường số thực trường số phức Liên quan đến siêu mặt bậc hai trọng đến việc trình bày khơng gian afin thực 1.2 Các ví dụ Ví dụ Trong hình học trường trung học phổ thông, cần phân biệt không gian ba chiều thông thường không gian gồm điểm, kí hiệu khơng gian vectơ “tự do”, kí hiệu Với phép cộng vectơ phép nhân số thực với vectơ chứng tỏ khơng gian vectơ ba chiều Khi việc “vẽ” vectơ nối hai điểm A B ánh xạ liên kết Ta có khơng gian afin liên kết với khơng gian vectơ dễ dàng kiểm tra ánh xạ thỏa mãn tiên đề định nghĩa Ví dụ Cho khơng gian vectơ trường , ánh xạ Khi đó, thỏa mãn tiên đề không gian afin nên không gian afin liên kết với Ta nói xác định cấu trúc afin tắc khơng gian vectơ không gian afin với cấu trúc afin tắc Ví dụ Cho tập hợp phần tử n số thực có thứ tự, khơng gian vectơ mà vectơ ứng với số thực , với Ánh xạ xác định sau: Với hai điểm ta đặt tương ứng với vectơ Khi dễ dàng chứng minh khơng gian afin n – chiều 1.3 Một số tính chất đơn giản khơng gian afin Sau số tính chất đơn giản suy từ định nghĩa không gian afin: ; Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có: , suy ; Thật vậy, theo tiên đề ii) ta có Do ta suy ; ; Thật vậy, ⇔ , Thật vậy, 1.4 Hệ điểm độc lập a) Định nghĩa Hệ điểm không gian afin gọi độc lập afin (hay gọi tắt độc lập) hệ vectơ độc lập tuyến tính Hệ điểm khơng độc lập afin gọi phụ thuộc afin (hay gọi tắt phụ thuộc) Quy ước: hệ gồm điểm xem độc lập b) Nhận xét: - Trong định nghĩa điểm khơng đóng vai trị đặc biệt so với điểm khác Thật người ta chứng minh vectơ độc lập tuyến tính i hệ m vectơ độc lập tuyến tính; - Hệ hệ điểm độc lập hệ điểm độc lập, hệ điểm chứa hệ phụ thuộc hệ điểm phụ thuộc; - Hệ điểm không gian afin A phụ thuộc hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính c) Định lý Trong khơng gian afin n chiều ln có hệ m điểm độc lập với , hệ gồm nhiều n+1 điểm hệ không độc lập Chứng minh Giả sử sở Vì khơng rỗng nên có , tồn điểm Mi cho Theo định nghĩa, hệ điểm hệ gồm n+1 điểm độc lập Khi đó, hiển nhiên hệ với , hệ gồm m điểm độc lập Nếu hệ gồm n+1 điểm , hệ có nhiều n vectơ nên phụ thuộc tuyến tính Theo 1.5 Mục tiêu afin.Tọa độ afin 1.5.1 Mục tiêu afin Định nghĩa Cho không gian afin n chiều liên kết với không gian vectơ Gọi sở điểm thuộc Khi tập hợp hay gọi mục tiêu afin , gọi điểm gốc, gọi vectơ sở thứ i mục tiêu, gọi sở mục tiêu Nhận xét i) Kí hiệu điểm thỏa mãn , hệ điểm hệ điểm độc lập Ngược lại hệ gồm điểm độc lập xác định mục tiêu afin với Do ta gọi hệ gồm điểm độc lập mục tiêu afin với điểm gốc , gọi đỉnh thứ mục tiêu ii) Một mục tiêu afin có sở nhất, ngược lại với sở nhiều mục tiêu khác 1.5.2 Tọa độ afin điểm Trong không gian afin n chiều cho mục tiêu afin Với điểm ta có vectơ , có n phần tử trường cho Bộ n phần tử gọi tọa độ điểm mục tiêu chọn, kí hiệu hay Nhận xét : i) Theo định nghĩa, mục tiêu afin , điểm có tọa độ điểm có tọa độ (số đứng vị trí thứ i) ii) Nếu Vậy vectơ có tọa độ sở khơng gian iii) Giả sử chọn mục tiêu cố định với Xét ánh xạ: với tọa độ mục tiêu Ta có song ánh Ánh xạ cho phép đồng điểm với phần tử nhờ sau đối tượng hình học đồng với đối tượng đại số 1.5.3 Đổi mục tiêu afin Trong không gian afin n chiều cho hai mục tiêu afin (I) (II) Với điểm gọi tọa độ với mục tiêu (I), tọa độ với mục tiêu (II) Giả sử có Tìm mối liên hệ Từ đẳng thức ta có Suy (*) Kí hiệu Khi đó, (*) viết dạng ma trận ma trận sau: (**) Các biểu thức (*) (**) gọi công thức đổi mục tiêu từ (I) sang (II) 1.6 Các phẳng không gian afin 1.6.1 Định nghĩa Cho không gian afin liên kết với không gian vectơ Gọi I điểm của không gian vectơ Khi tập hợp gọi phẳng (hay gọi tắt phẳng) qua I, có phương Nếu có số chiều m ta nói α phẳng m chiều (hay phẳng) viết Theo cách gọi thông thường, phẳng đường thẳng, phẳng mặt phẳng Siêu phẳng tên gọi phẳng có đối chiều 1, tức số chiều khơng gian số chiều siêu phẳng Nhận xét i) Nếu phẳng qua điểm với , vectơ ii) Mỗi điểm phẳng iii) Điểm định nghĩa phẳng α khơng đóng vai trị đặc biệt so với điểm khác α (điểm bình đẳng với điểm α) Thật vậy, giả sử phẳng qua có phương điểm Điều có nghĩa Ta có hay , tức Điều chứng tỏ điểm đóng vai trị điểm iv) I M Hình 1.1: Đường thẳng xác định điểm vectơ phương 1.6.2 Các tính chất I Hình 1.2: Mặt phẳng xác định điểm cặp vectơ phương Định lý Nếu phẳng khơng gian afin có phương không gian afin m chiều liên kết với không gian vectơ Chứng minh Giả sử phẳng qua có phương Rõ ràng Với cặp điểm ta lấy vectơ (không gian afin ba theo định nghĩa , từ suy Vậy ta xét ánh xạ: ánh xạ thỏa mãn hai tiên đề i), ii) không gian afin Tiên đề i) suy từ định nghĩa phẳng, tiên đề ii) tồn Vậy ( không gian afin không gian afin liên kết với không gian vectơ Định lý Qua điểm độc lập khơng gian afin có phẳng ( Chứng minh Giả sử ( điểm độc lập không gian afin liên kết với không gian vectơ Khi hệ m vectơ độc lập tuyến tính Gọi khơng gia vectơ nhận m vectơ làm sở Gọi phẳng qua có phương Vì nên với Vậy phẳng qua điểm cho Sự phẳng hiển nhiên Hệ điểm không gian afin độc lập chúng không thuộc phẳng 1.6.3 Phương trình phẳng khơng gian afin a) Phương trình tham số Trong khơng gian afin n chiều với mục tiêu afin , với , cho cho phẳng qua điểm có phương Chọn m vectơ độc lập tuyến tính : , cở sở Giả sử tọa độ điểm mục tiêu , tọa độ vectơ sở Giả sử tọa độ mục tiêu cho Ta có Tức Vậy ta có Hệ phương trình (1) viết dạng tường minh hay dạng ma trận Trong [x], [b] ma trận cột tọa độ điểm X, I ma trận cột tọa độ vectơ Hệ phương trình (1) (hay (2), (3)) gọi phương trình tham số phẳng α, phần tử gọi tham số Ví dụ Với ta có phương trình tham số đường thẳng không gian afin n chiều Trong t tham số, phần tử a1,a2, ,an không đồng thời thành phần tọa độ vectơ phương α, (b1,b2, ,bn) tọa độ điểm I cho trước thuộc α (xi) tọa độ điểm tùy ý b) Phương trình tổng qt Trong khơng gian afin n chiều với mục tiêu afin , với , cho cho phẳng có phương trình tham số dạng (1) Nếu xem phương trình tham số α hệ gồm n phương trình m ẩn cịn từ điều kiện ma trận hệ số có hạng m ta chọn n phương trình hệ hệ gồm m phương trình độc lập (có định thức hệ khác khơng) Khơng tính tổng qt, giả sử hệ gồm m phương trình đầu Giải hệ m phương trình (là hệ Cramer) ta tìm nghiệm biểu thị cách (do ti nhất) dạng bậc qua Thay m giá trị ti vào n − m phương trình cịn lại ta thu hệ phương trình dạng Ma trận hệ số hệ phương trình (4) có hạng n − m có định thức cấp n − m ứng với ẩn xm+1,xm+2, ,xn Tóm lại, m-phẳng khơng gian biểu thị hệ phương trình tuyến tính có hạng n − m Ta gọi hệ phương trình dạng (4) phương trình tổng quát m- phẳng Nhận xét Phương trình tổng quát siêu phẳng (ứng với mục tiêu afin cho trước có dạng phần tử khơng đồng thời khơng Như từ phương trình tổng qt m-phẳng, ta xem phẳng giao siêu phẳng (độc lập) 1.6.4 Vị trí tương đối phẳng Định nghĩa Trong không gian afin n chiều cho phẳng phẳng β (với ) có phương i) gọi cắt chúng có điểm chung; ii) gọi song song với , ký hiệu ; iii) gọi chéo chúng không cắt không song song với nhau; Giao hiểu theo nghĩa thông thường lý thuyết tập hợp gọi giao hai phẳng ; Tổng giao tất phẳng chứa , gọi tổng hai phẳng Ví dụ Xét không gian chiều thông thường Hai đường thẳng “cắt theo nghĩa PTTH” hai phẳng cắt điểm (phẳng) Tổng chúng mặt phẳng xác định hai đường thẳng Hai mặt phẳng “cắt theo nghĩa PTTH” hai phẳng cắt theo đường thẳng (phẳng) Tổng chúng Hai đường thẳng “song song theo nghĩa PTTH” hai phẳng song song Tổng chúng mặt phẳng chứa hai đường thẳng Tương tự, hai mặt phẳng “song song theo nghĩa PTTH” hai phẳng song song Hai đường thẳng “chéo theo nghĩa PTTH” hai phẳng chéo Tổng chúng d α β α Hình Tính chất a) Định lý Giao hai phẳng tập rỗng phẳng có phương Chứng minh Nếu chúng có điểm chung Gọi phẳng qua có phương Như phẳng có phương Hệ Nếu hai phẳng song song với chúng khơng có điểm chung chúng chứa Thật vậy, (hoặc ) Giả sử ta có phẳng có phương (hoặc ) Suy (hoặc hay (hoặc ) Hệ Tồn m-phẳng qua điểm cho trước song song với m-phẳng cho Thật vậy, gọi m-phẳng có phương , phẳng qua có phương Khi song song với Nếu có m-phẳng qua song song với song song với nhau, lại có có chung điểm với nên chúng trùng b) Định lý (đinh lý số chiều giao tổng hai phẳng) Trong không gian afin n chiều cho -phẳng -phẳng có phương Nếu cắt Nếu khơng cắt c) Định lý Trong không gian afin n chiều cho siêu phẳng phẳng β Khi song song với , cắt theo -phẳng Chứng minh *) Nếu cắt xảy hai trường hợp Trường hợp , song song với Trường hợp , Áp dụng cơng thức Định lý số chiều giao tổng phẳng ta có hay Suy Vậy α β cắt theo phẳng *) Nếu không cắt nhau, áp dụng công thức Định lý số chiều giao tổng phẳng ta có hay Suy Tức Vậy ta có song song với Định lý chứng minh 1.7 Tâm tỷ cự a) Định lý Cho k điểm không ggian afin A k số thuộc trường K: cho Khi có điểm G cho Điểm G nói định lý gọi tâm tỷ cự hệ điểm gắn với họ hệ số Chú ý Các tâm tỷ cự hệ điểm gắn với hai họ hệ số tỷ lệ: trùng Thật vậy, ta có e) Phép chiếu song song Cho không gian afin A phẳng có phương khơng gian Gọi khơng gian cho Khi phẳng có phương cắt điểm Xét ánh xạ ( khơng gian afin có không gian kiến kết cho bởi: với giao điểm phẳng qua M có phương với phẳng Ta gọi M’ hình chiếu M lên phẳng theo phương f phép chiếu song song không gian afin A lên phẳng theo phương Đây mở rộng phép chiếu vng góc trình bày hình học Ơclit Định lý Phép chiếu song song ánh xạ afin 2.1.3 Tính chất ánh xạ afin a Mỗi ánh xa afin có ánh xạ tuyến tính liên kết b Cho ánh xạ tuyến tính cặp điểm Khi có ánh xạ afin nhận ánh xạ liên kết c Cho n+1 điểm độc lập không gian An n+1 điểm không gian afin A’ Khi có ánh xạ afin cho c Tích g.f hai ánh xạ afin ánh xạ afin nhận ánh xạ liên kết , tức d Ánh xạ afin biến m-phẳng A thành l- phẳng A’ 2.2 Đẳng cấu afin, biến đổi afin 2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ afin song ánh gọi đẳng cấu afin Đẳng cấu afin gọi biến đổi afin hay phép afin Khi có đẳng cấu afin ta nói hai khơng gian A A’ đẳng cấu Ví dụ Phép vị tự, phép tịnh tiến phép biến đổi afin 2.2.2Tính chất a Ánh xạ afin đẳng cấu afin ánh xạ tuyến tính liên kết đẳng cấu tuyến tính b Hai khơng gian afin đẳng cấu chúng có chiều c Cho hai hệ n+1 điểm độc lập hai khơng gian afin A, A’ có chiều n Khi có đẳng cấu afin cho d .Đẳng cấu afin biến m-phẳng thành m-phẳng e Ánh xạ ngược đẳng cấu afin đẳng cấu afin 2.2.3 Biểu thức tọa độ phép afin Cho phép afin Giả sử cho mục tiêu có tọa độ mục tiêu giả sử biến sở biến thành sở X điểm , gọi X’=f(X) Giả sử mục tiêu cho Ta có liên hệ tọa độ X tọa độ điểm ảnh X’ cho công thức sau Ký hiệu gọn ma trận chuyển từ sở sang sở ma trận chuyển vị A Công thức gọi biểu thức tọa độ (hay phương trình) phép afin f mục tiêu cho Ma trận A biểu thức ma trận vuông không suy biến Ngược lại, mục tiêu cho trước, phương trình có dạng phương trình phép afin Ví dụ Cho A, B, C điểm độc lập không gian afin A2 Gọi phép afin thỏa mãn f(A)=B, f(B=C, f(C)=A Lập phương trình f mục tiêu {A;B,C} Giải Cơ sở liên kết với mục tiêu{A;B,C} Gọi ánh xạ liên kết f, ta có Do ma trân chuyển từ sở sang ảng qua ánh xạ tuyến tính liên kết Điểm B ảnh điểm gốc A mục tiêu tọa độ B mục tiêu{A;B,C} (1,0) Vậy phương trình phép afin hay 2.2.4 Hình học afin a Hình khơng gian: Ta gọi tập khác rỗng không gian afin A hình Ví dụ: điểm, hệ điểm, m-đơn hình, m-hộp ; m-phẳng,…là hình khơng gian afin b Tương đương afin: Hai hình ảnh qua phép afin gọi tương đương afin Ví dụ: Hai điểm tương đương afin; hai hệ m điểm độc lập tương đương afin; hai m-đơn hình tương đương afin; hai m-hộp tương đương afin c Bất biến afin: Ta gọi tính chất bất biến afin tính chất có hình H có hình H’ tương đương afin với hình H Ví dụ: Ta có bất biến afin sau: Tính độc lập, phụ thuộc hệ điểm, tính đồng quy đường thẳng, tính thẳng hàng điểm; Tính cắt nhau, song song, chéo hai phẳng Tỷ số đơn điểm, đặc biệt tính chất trung điểm đoạn thẳng, bất biến afin d Hình học afin: Hình học afin n chiều nghiên cứu tất bất biến afin khơng gian afin n chiều Như vậy, hình học afin nghiên cứu tính độc lập, phụ thuộc hệ điểm; phẳng; quan hệ phẳng (song song, cắt nhau, chéo nhau), m-đơn hình, m-hộp, tỷ số đơn, tính đồng quy đường thẳng, tính thẳng hàng hệ điểm,… Bài Siêu mặt bậc hai không gian afin 3.1 Định nghĩa Trong không gian afin trường số thực chọn mục tiêu afin Cho phương trình bậc hai: hệ số số thực, không đồng thời không Tập hợp tất điểm X thuộc cho tọa độ thỏa mãn phương trình (1) gọi siêu mặt bậc hai xác định phương trình Nếu (S) phương trình bậc hai xác định phương trình (1) phương trình (1) gọi phương trình (S) Với siêu mặt bậc hai gọi đường bậc hai mặt bậc hai 3.2 Dạng ma trận phương trình siêu mặt bậc hai Ký hiệu , nên A ma trận đối xứng Ký hiệu , Khi đó, phương trình (1) viết dạng Ma trận gọi ma trận bé, ma trận gọi ma trận lớn siêu mặt bậc hai Một siêu mặt bậc hai gọi không suy biến ma trận lớn không suy biến () Dựa vào tính chất đặc trưng, người ta gọi siêu mặt bậc hai suy biến với hạng ma trận lớn hạng ma trận bé siêu nón bậc hai, siêu mặt bậc hai suy biến với hạng ma trận lớn khác hạng ma trận bé siêu trụ bậc hai Nhận xét Khái niệm siêu mặt bậc hai không phụ thuộc vào việc chọn mục tiêu Thật vậy, giả sử ta có phép đổi mục tiêu Thay giá trị vào (2) ta Do ma trận vng cấp nên Do (3) trở thành tức có dạng (2) Ví dụ Trong khơng gian afin A2 với mục tiêu cho trước, cho siêu mặt bậc hai có phương trình Ta có 3.3 Định lý Qua phép biến đổi afin, siêu mặt bậc hai biến thành siêu mặt bậc hai Chứng minh Giả sử ta có siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: phép biến đổi afin f có phương trình (với ) (4) Thay (4) vào (2) ta có: Khai triển phương trình với ý rằng: (vì vế đẳng thức ma trận vng cấp nên chuyển vị nó), ta có: Ta có hạng hạng Vậy (5) phương trình siêu mặt bậc hai (S’), ảnh siêu mặt bậc hai S qua ánh xạ afin f cho 3.4 Giao siêu mặt bậc hai với đường thẳng Trong không gian afin cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: đường thẳng (d) qua điểm có khơng gian phương sinh bới vectơ Khi phương trình (d) viết dạng: c, b ma trận cột Khi giao điểm (d) với (S) có tọa độ nghiệm hệ (2) (6) Thay (6) vào (2) ta được: hay Nếu � nghiệm (8), cách thay vào (6) ta tìm tọa độ giao điểm Ta có trường hợp sau: - Nếu (8) phương trình bậc hai �, có nghiệm phân biệt, nghiệm kéo vô nghiệm Như (d) cắt (S) hai điểm phân biệt điểm (mà ta gọi điểm kép) khơng cắt - Nếu phương trình (8) có nghiệm nhất, tức (d) cắt (S) điểm - Nếu phương trình (8) vơ nghiệm, tức (d) khơng cắt (S) 3.5 Tâm siêu mặt bậc hai Định nghĩa Tâm siêu mặt bậc hai (S) điểm mà ta chọn làm gốc mục tiêu phương trình (S) có dạng: hay viết dạng ma trận với Từ định nghĩa ta suy điểm M thuộc siêu mặt bậc hai (S) (S) có tâm I điểm M’ đối xứng với M qua tâm I thuộc (S) Vậy tâm tâm đối xứng tập (S) 3.6 Điểm kì dị siêu mặt bậc hai Định nghĩa Một điểm I gọi điểm kì dị siêu mặt bậc hai (S) I tâm (S) Vậy cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình điểm kì dị có tọa độ thỏa mán hệ phương trình 3.7 Phương tiệm cận đường tiệm cận siêu mặt bậc hai Định nghĩa Vectơ gọi phương tiệm cận siêu mặt bậc hai (S) với phương trình (2) Đối với siêu mặt bậc hai có tâm nhất, đường thẳng qua tâm gọi đường tiệm cận siêu mặt bậc hai phương phương tiệm cận khơng cắt siêu mặt bậc hai Ví dụ Trong khơng gian afin chiều thơng thường ta có: - Elip khơng có phương tiệm cận - Hyperbol có hai vectơ phương tiệm cận Các đường tiệm cận tương ứng - Parabol có vectơ phương tiệm cận khơng có đường tiệm cận khơng có tâm 3.8 Siêu phẳng kính siêu mặt bậc hai Định lý Cho hai điểm M1, M2 thay đổi siêu mặt bậc hai (S) cho đường thẳng M1M2 có phương cố định (mà khơng phải phương tiệm cận) Khi tập hợp trung điểm đoạn thẳng M1M2 nằm siêu phẳng qua tâm (nếu có) (S) Siêu phẳng gọi siêu phẳng kính (S) liên hợp với phương , phương liên hợp với siêu phẳng kính Chứng minh Giả sử không gian afin với mục tiêu chọn, siêu mặt bậc hai (S) có phương trình: Giả sử trung điểm đoạn thẳng Phương trình đường thẳng qua có dạng: tọa độ vectơ Để tìm tọa độ M1, M2 ta giải phương trình (8): Giả sử nghiệm phương trình (8) ứng với giao điểm M1, M2 Ta có Mặt khác, nên suy (do ) Vậy hay hay Như tọa độ trung điểm I đoạn thẳng thỏa mãn phương trình Trong phương trình (13) ta có , , tức phương tiệm cận Vậy phương trình phương trình siêu phẳng Vì tâm (S) có tọa độ thỏa mãn phương trình nên thỏa mãn phương trình (13) Vậy siêu phẳng bậc hai (S) có tâm siêu phẳng kính liên hợp với phương chứa tâm (S) Ví dụ Trong khơng gian afin chiều thơng thường ta có: Đường kính liên hợp với phương , với , elip đường thẳng có phương trình Đường kính liên hợp với phương , với , hyperbol đường thẳng có phương trình Đường kính liên hợp với phương , với , parabol đường thẳng có phương trình 3.9 Tiếp tuyến siêu tiếp diện siêu mặt bậc hai a) Định nghĩa Trong không gian afin cho siêu mặt bậc hai (S) Đường thẳng (d) gọi tiếp tuyến (S) nếu: - Hoặc phương d phương tiệm cận (S) (d) cắt (S) điểm (điểm gọi tiếp điểm), ta nói (d) tiếp xúc với (S) điểm - Hoặc phương (d) phương tiệm cận (d) nằm (S) b) Định lý Nếu siêu mặt bậc hai (S) có phương trình cho điểm nằm (S) đường thẳng (d) qua có phương tiếp tuyến Chứng minh Thật vậy, để tìm giao (d) (S) ta đến giải phương trình Trong trường hợp Vậy phương trình tương đương với phương trình hay - Nếu , tức phương tiệm cận, để đường thẳng (d) tiếp tuyến (S) điều kiện cần đủ (d) cắt (S) điểm Điều tương đương với hay - Nếu , phương tiệm cận (S), để đường thẳng (d) tiếp tuyến (S) điều kiện cần đủ (d) nằm (S), tức phương trình (15) nhận giá trị � nghiệm Điều tương đương với hay Hệ Nếu B điểm kì dị (S) đường thẳng qua B tiếp tuyến (S) Thật vậy, điểm kì dị (S) B tâm nên tọa độ thỏa mãn phương trình hay , suy (ở phương đường thẳng qua B) c) Định lý Nếu B thuộc (S) B điểm khơng kì dị tiếp tuyến (S) B tạo thành siêu phẳng Siêu phẳng gọi siêu tiếp diện (S) B Thật vậy, giả sử M nằm tiếp tuyến (S) tiếp điểm B Điều tương đương với tọa độ vectơ thỏa mãn phương trình (14), tức là: hay Do B khơng phải điểm kì dị nên Phương trình (15) phương trình siêu phẳng Ví dụ Trong không gian afin chiều thông thường ta có: 3.10 Tiếp tuyến điểm elip đường thẳng có phương trình Tiếp tuyến điểm hyperbol đường thẳng có phương trình Tiếp tuyến điểm parabol đường thẳng có phương trình Dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai Định lý Cho (S) siêu mặt bậc hai khơng gian afin An Khi tồn mục tiêu afin để phương trình (S) mục tiêu có dạng sau: Ta gọi phương trình phương trình dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai Nhận xét Mỗi siêu mặt bậc hai, phương trình dạng chuẩn tắc thuộc dạng ứng với cặp số (k, r) xác định Do ta có khái niệm sau Định nghĩa Hai siêu mặt bậc hai không gian afin An gọi loại phương trình chuẩn tắc chúng có dạng (I) (II) (III) với giá trị k r giống Định lý i) Phép afin biến siêu mặt bậc hai thành siêu mặt bậc hai loại ii) Hai siêu mặt bậc hai loại tương đương afin Phân loại đường bậc hai mặt phẳng Dựa vào định lý phương trình dạng chuẩn tắc siêu mặt bậc hai trên, khơng gian afin A2 có tất đường bậc hai (siêu mặt bậc hai) sau: đường elip đường hyperbol đường elip ảo cặp đường thẳng ảo cắt cặp đường thẳng cắt parabol cặp đường thẳng song song cặp đường thẳng ảo song song cặp đường thẳng trùng Ví dụ Xác định loại đường bậc hai sau mặt phẳng A2: Giải Biến đổi vế trái phương trình, ta có Đổi tọa độ theo cơng thức Phương trình có dạng Biến đổi vế trái, ta có Tiếp tục đổi tọa độ Ta có phương trình đường bậc hai hệ tọa độ Do đường bậc hai elip Theo cách phân loại dựa phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai, khơng gian afin chiều ta có tất 17 loại mặt bậc hai CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG Câu 1.Trình bày khái niệm hệ điểm độc lập mục tiêu afin Câu Nêu định nghĩa mục tiêu afin tọa độ điểm mục tiêu afin Câu Trình bày khái niệm m-phẳng, siêu phẳng không gian afin Câu Chứng tỏ không gian afin n chiều hệ có q n+1 điểm hệ khơng độc lập Câu Chứng minh tồn hệ m+1 điểm độc lập m -phẳng Câu Trong không gian afin A3 với mục tiêu cho trước, cho điểm , , a) Lập phương trình phẳng bé qua , , b) Lập phương trình mặt phẳng qua song song với Câu Trong không gian afin , chứng minh phẳng có phương trình mục tiêu phương trình phương sở Câu Trong không gian với mục tiêu cho trước cho phẳng có phương trình điểm M(2, 2, -1, 0) Lập phương trình mặt phẳng qua M song song với Câu Trong không gian afin với mục tiêu cho trước, cho điểm , phẳng có phương trình: a) Xét vị trí tương đối đường thẳng b) Viết phương trình mặt phẳng qua song song với Câu 10 Trình bày khái niệm siêu mặt bậc hai khái niệm phương tiệm cận siêu mặt bậc hai Câu 11 Trong không gian afin cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình a) Tìm tâm (S) b) Đưa phương trình (S) dạng chuẩn tắc Câu 12 a) Trong không gian afin cho siêu mặt bậc hai (S) có phương trình Tìm tâm (S) b) Chứng minh siêu mặt bậc hai có nhiều tâm có vơ số tâm Câu 13 Chứng minh phép tịnh tiến không gian afin phép biến đổi afin Câu 14 Chứng minh phép vị tự tâm I tỉ số k không gian afin phép biến đổi afin Câu 15 Trong không gian afin A2 với mục tiêu cho trước, cho điểm M(1,3), N(0,-1), P(1,2), Q(1,0) a) Chứng tỏ mục tiêu afin Tìm tọa độ điểm Q mục tiêu b) Có phép biến đổi afin biến tập thành Câu 16 Chứng tỏ phép afin biến trọng tâm hệ điểm thành trọng tâm hệ điểm ảnh Câu 17 Chứng minh ảnh hai phẳng cắt nhau, song song qua ánh xạ afin hai phẳng tương ứng cắt nhau, song song Câu 18 Chứng minh ảnh hai phẳng chéo qua biến đổi afin hai phẳng chéo Kết luận cịn khơng thay biến đổi afin ánh xạ afin Câu 19 Chứng tỏ rằng, phép afin có điểm bất động phép đồng Câu 20 Chứng minh phép afin biến điểm độc lập mặt phẳng thành điểm phép afin biến điểm mặt phẳng thành Câu 21 a) Trong khơng gian afin với mục tiêu cho trước cho phép biến đổi afin có biểu thức tọa độ: Tìm điểm kép b) Chứng minh phép biến đổi afin có nhiều điểm kép có vơ số điểm kép ... afin biến m-phẳng A thành l- phẳng A’ 2.2 Đẳng cấu afin, biến đổi afin 2.2.1 Định nghĩa Ánh xạ afin song ánh gọi đẳng cấu afin Đẳng cấu afin gọi biến đổi afin hay phép afin Khi có đẳng cấu afin. .. tính chất trung điểm đoạn thẳng, bất biến afin d Hình học afin: Hình học afin n chiều nghiên cứu tất bất biến afin khơng gian afin n chiều Như vậy, hình học afin nghiên cứu tính độc lập, phụ thuộc... qua phép afin gọi tương đương afin Ví dụ: Hai điểm tương đương afin; hai hệ m điểm độc lập tương đương afin; hai m-đơn hình tương đương afin; hai m-hộp tương đương afin c Bất biến afin: Ta gọi