BÀI 3 : MÔ HÌNH NHIỀU PHƯƠNG TRÌNH pdf

Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Bài 3 mô hình nhiều phơng trình 1. Đặt vấn đề Trong các mô hình một phơng trình ta luôn xác định các biến giải thích và biến phụ thuộc một cách hết sức rõ ràng và luôn coi nh các yếu tố không có trong mô hình tác động đến biến phụ thuộc là không có tính hệ thống. Điều đó thể hiện trong các mô hình nhờ giả thiết các sai số U i có trung bình bằng không. Trong nhiều hệ thống kinh tế, có nhiều biến phụ thuộc cùng tồn tại và tác động qua lại với nhau. Lúc đó phải xây dựng và ớc lợng các mô hình nhiều phơng trình để mô tả các mối quan hệ đó. 2. Dạng cấu trúc và dạng rút gọn của các mô hình nhiều phơng trình. 2.1. Hệ phơng trình cấu trúc. Ví dụ 1. Xét các phơng trình sau biểu diễn cầu và cung về gạo ( Mô hình cân bằng riêng): Hàm cầu: Q dt = 1 + 2 P t + 3 Y t + u t (1) Hàm cung: Q st = 1 + 2 P t + 3 R t + v t (2) Q dt = Q st (3) Trong đó: Q dt và Q st là cầu và cung về gạo. P t là giá gạo. Y t là thu nhập. R t là lợng ma. u t và v t là các sai số ngẫu nhiên phản ánh các nhân tố khác có ảnh hởng đến cầu và cung về gạo. Các phơng trình (1) và (2) gọi là các phơng trình hành vi vì chúng đợc xác định bằng hành vi của các tác nhân kinh tế. Phơng trình (3) là điều kiện cân bằng, qua đó xác định mức giá cân bằng và lợng gạo đợc giao dịch trên thị trờng. Nh vậy hệ Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. phơng trình đồng thời nói trên bao gồm hai phơng trình hành vi và một điều kiện cân bằng. Các phơng trình (1) (2) và (3) tạo nên hệ phơng trình cấu trúc của mô hình nhiều phơng trình cung cầu. Phơng trình cấu trúc là phơng trình thể hiện quan hệ của các biến kinh tế thiết lập từ các quan điểm, định nghĩa và các giả thiết cho trớc. Các hệ số hồi quy và gọi là các tham số cấu trúc. Vì giá và lợng gạo giao dịch đợc xác định một cách đồng thời qua mô hình và có tác động qua lại với nhau nên chúng đợc gọi là các biến nội sinh (Endogenous Variables ), còn thu nhập và lợng ma không đợc xác định qua mô hình mà đợc cho trớc từ bên ngoài mô hình nên chúng đợc gọi là các biến ngoại sinh ( Exogenous variables). Chú ý rằng trong các mô hình một phơng trình ngời ta thờng dùng thuật ngữ biến phụ thuộc và biến giải thích còn đối mô hình nhiều phơng trình thì các thuật ngữ đó không còn thích hợp nữa. Chẳng hạn trong phơng trình (1) nói trên giá là biến giải thích nhng không phải là biến ngoại sinh. Với mô hình ba phơng trình đợc xác định nh trên ta có thể đặt: Q dt = Q st = Q t Và rút gọn mô hình xuống còn hai phơng trình. Nh vậy mô hình chỉ còn hai phơng trình với hai biến nội sinh là P t và Q t và ba biến ngoại sinh là hệ số chặn, Y t và R t . Số phơng trình của hệ ( cũng là số biến nội sinh) ký hiệu là M và số biến ngoại sinh ký hiệu là K. Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Ví dụ 2. Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây: C t = 1 + 2 DY t + 3 DY t-1 + u t (4) I t = 1 + 2 Y t + 3 Y t-1 + v t (5) DY t = Y t - T t (6) Y t = C t + I t + G t (7) Trong đó C t là tiêu dùng, I t là đầu t, Y t là GNP, G t là tiêu dùng của chính phủ, T t là tổng mức thuế, DY t là thu nhập khả dụng. Phơng trình (6) xác định DY t là GNP trừ thuế, nh vậy nó là một đồng nhất thức. Phơng trình (7) là điều kiện cân bằng. Các phơng trình (4) và (5) là phơng trình hành vi. Nh vậy mô hình gồm bốn phơng trình cấu trúc với bốn biến nội sinh là Y t , C t , I t và DY t ( M = 4). Biến DY t-1 là thu nhập khả dụng ở kỳ trớc, ở thời điểm t nó đã đợc cho trớc giống nh Y t-1 nên có thể xem nh biến ngoại sinh. Vậy mô hình có năm biến ngoại sinh là G t , T t , Y t-1 , DY t-1 và hệ số chặn ( K = 5). Trong các hệ phơng trình cấu trúc còn có thể có cả các phơng trình công nghệ, chẳng hạn có thể thêm vào mô hình kinh tế vĩ mô nói trên hàm sản xuất trong đó tổng lợng cung Q phụ thuộc vào vốn K và lao động L. Nh vậy hệ phơng trình cấu trúc có thể bao gồm các phơng Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. trình hành vi, phơng trình công nghệ, các điều kiện cân bằng và các đồng nhất thức. Ví dụ 3: Mô hình cân bằng thị trờng hàng hóa ( Mô hình IS) vĩ mô: Hàm tiêu dùng: C t = 0 + 1 Y dt 0 < 1 < 1 Thuế: T t = 0 + 1 Y t 0 < 1 < 1 Đầu t: I t = 0 + 1 r t Y dt = Y t - T t G t = G 0 Y t = C t + I t + G t Với: Y là thu nhập quốc dân C là tiêu dùng của đân c I là đầu t thuần túy G 0 là mức tiêu dùng của chính phủ ( đã ấn định) T là thuế Y d là tiêu dùng khả dụng R là lãi suất tiền gửi Ví dụ 4: Mô hình cân bằng thị trờng tiền tệ ( Mô hình LM) Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Là một vế của mô hình kinh tế vĩ mô IS-LM: Hàm cầu tiền mặt: M t d = 0 + 1 Y t - 2 r t Hàm cung tiền mặt: M t s = M 0 M t d = M t s Y t = a 0 + a 1 M 0 + a 2 r t Với các mô hình trên hãy xác định tính chất của từng phơng trình và xét xem biến nào là nội sinh, biến nào là ngoại sinh. ? 2.2. Hệ phơng trình rút gọn. Trở lại mô hình (1) - (3). Giải các phơng trình (1) và (2) theo P ta thu đợc hệ thức sau trong đó P là mức giá cân bằng: P t = 1 + 2 R t + 3 Y t + 1t (8) Q t = 4 + 5 R t + 6 Y t + 2t (9) Trong đó: 22 11 1 22 3 2 22 3 3 22 2112 4 22 32 5 22 32 6 (10) trong đó 1t và 2t là các sai số ngẫu nhiên mới phụ thuộc vào u t và v t . Các phơng trình (8) và (9) chỉ biểu diễn sự phụ thuộc của một biến nội sinh vào các biến ngoại sinh của mô hình và vế phải của chúng không còn biến nội sinh nữa. Các phơng trình trên đợc gọi là các phơng trình rút gọn, còn các hệ số đợc gọi là các hệ số rút gọn. Nh vậy phơng trình rút gọn là phơng trình mà trong đó mỗi biến nội sinh chỉ có mặt trong một phơng trình với t cách là biến phụ thuộc. Nó cho phép sử dụng Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. các kỹ thuật kinh tế lợng để ớc lợng trực tiếp các tham số. Các tham số trong mô hình rút gọn thờng là hàm số của các tham số cấu trúc. Các phơng trình rút gọn nói chung chứa sai số ngẫu nhiên của tất cả các phơng trình của hệ phơng trình cấu trúc. Bài tập: Tìm hệ phơng trình rút gọn của hệ phơng trình cấu trúc (4) - (7). 3. Hậu quả của việc bỏ qua tính đồng thời. Giả sử ta sẽ sử lý mỗi phơng trình của hệ nhiều phơng trình một cách riêng rẽ, tức là xem mỗi phơng trình là một mô hình một phơng trình và ớc lợng các tham số của nó bằng phơng pháp OLS. Lúc đó các ớc lợng thu đợc sẽ có những tính chất gì? Xét mô hình kinh tế vĩ mô sau đây ( Mô hình Keynes): Hàm tiêu dùng: C t = + Y t + u t 0 1 (11) Hàm thu nhập: Y t = C t + I t (12) Trong đó C t là tiêu dùng, Y t là thu nhập, I t là đầu t, u t là sai số ngẫu nhiên. Phơng trình (11) tơng tự nh hàm tiêu dùng. Phơng trình (12) là điều kiện cân bằng. Trong mô hình trên u t thoả mãn mọi giả thiết của OLS, I t là biến ngoại sinh và cũng không tơng quan với u t . Các biến nội sinh là C t và Y t . Thay Y t từ (12) vào (11) và giải theo C t ta có dạng rút gọn của C t : C t = 1 + 1 I t + 1 t u (13) Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Tơng tự thay C t từ (13) vào (12) và giải theo Y t ta thu đợc dạng rút gọn của Y t : Y t = 1 + 1 1 I t + 1 t u (14) Nếu ta bỏ qua tính đồng thời của hệ (11) (12) và ớc lợng (11) nh một mô hình đơn lẻ thì có thể thấy ngay là sẽ thu đợc các ớc lợng chệch. Thật vậy theo giả thiết của OLS thì E(u t ) = 0 và E(u t ,Y t ) = 0 Song từ (14) thấy ngay rằng Y t phụ thuộc vào u t do đó nếu áp dụng OLS thì sẽ cho các ớc lợng chệch. Điều đó cũng đúng với các mô hình nhiều phơng trình hơn. Tính đồng thời ám chỉ rằng các biến nội sinh có mặt trong vế phải của phơng trình sẽ tơng quan với sai số ngẫu nhiên của phơng trình đó làm cho các ớc lợng OLS bị chệch. Ngoài ra còn có thể chứng minh đợc rằng các ớc lợng thu đợc cũng không vững, tức là sẽ không hội tụ về giá trị thực cần ớc lợng khi n . 4. Vấn đề định dạng. 4.1. Khái niệm. Trở lại mô hình cung cầu về gạo. Dạng rút gọn (8) và (9) biểu diễn gía và cung, cầu nh các hàm của thu nhập và lợng ma. Vì các biến ngoại sinh không tơng quan với sai số ngẫu nhiên nên có thể áp dụng OLS để thu đợc các ớc lợng không chệch, vững và hiệu quả nhất cho các tham số của hệ phơng trình rút gọn ( các ). Vậy từ đó Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. có thể tìm đợc các ớc lợng vững cho các tham số của các phơng trình cấu trúc ( và ) hay không? Sau khi đã tìm đợc ớc lợng cho các tham số của phơng trình rút gọn và quay trở lại các tham số của phơng trình cấu trúc thì có thể xảy ra một trong ba trờng hợp sau đây: Từ các tham số của phơng trình rút gọn không thể tìm đợc các tham số của phơng trình cấu trúc. Từ các tham số của phơng trình rút gọn tìm đợc các giá trị duy nhất của các tham số của phơng trình cấu trúc. Từ các tham số của phơng trình rút gọn tìm đợc vô số giá trị của các tham số của phơng trình cấu trúc. Vấn đề định dạng đợc hiểu là từ các tham số của phơng trình rút gọn có thể tìm đợc các tham số của phơng trình cấu trúc hay không? Trờng hợp thứ nhất, phơng trình gọi là không định dạng đợc ( Underidentification) Trờng hợp thứ hai, phơng trình gọi là định dạng đúng ( Exact Identification) Trờng hợp thứ ba, phơng trình gọi là định dạng cao hay vô định ( Overidentification) Sau đây ta sẽ xét một số mô hình cung cầu để minh hoạ cho các tình huống trên. Mô hình 1. Xét mô hình cung cầu gạo sau: Q D t = 1 + 2 P t + u 1t (Phơng trình cầu) Q S t = 1 + 2 P t + u 2t (Phơng trình cung) Q dt = Q st (điều kiện cân bằng) Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Nhóm theo Pt Mô hình rút gọn có dạng: P t = 1 + t Trong đó: Thay p t vào hàm cung hoặc hàm cầu, ta đợc: Q t = 2 + w t Trong đó: 2 = 22 1221 ; w t = 22 1t22t2 u u ở mô hình cung - cầu ban đầu ta có bốn hệ số cấu trúc: 1 , 2 , 1 và 2 . ở dạng rút gọn ta chỉ có hai hệ số - hai hệ số chặn (giá trị trung bình của p và Q). Từ ớc lợng của hai hệ số này, ta không thể tìm đợc ớc lợng của bốn hệ số. Để tìm đợc ớc lợng của bốn hệ số ta cần phải có bốn phơng trình. Nh vậy, Cả hàm cung lẫn hàm cầu đều không định dạng đợc vì từ các tham số của các phơng trình rút gọn không thể tìm đợc các tham số của các phơng trình cấu trúc. Mô hình 2. Ta cải biên mô hình 1 thành mô hình sau, trong đó có thêm một biến ngoại sinh R. Dạng cấu trúc của mô hình là: Q dt = 1 + 2 P t + u 1t Q st = 1 + 2 P t + 3 R t + u 2t Q đt = Q st 22 11 1 2t 1t 2 2 u u t Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội. Trong đó R t là lợng ma. Dạng rút gọn là: P t = 1 + 2 R t + v t Q t = 3 + 4 R t + w t 22 11 1 ; 22 3 2 ; 22 1212 3 ; 22 32 4 Khi dùng phơng pháp bình phơng nhỏ nhất ớc lợng các tham số trong các phơng trình rút gọn ta nhận đợc các giá trị 1 , 2 , 3 , 4 . Thay vào hàm cầu, ta nhận đợc: 2 = 4 / 2 và 1 = 1 4 / 2 ; tuy nhiên, không thể xác định đợc các tham số của hàm cung một cách duy nhất. Một thực tế là ta chỉ có bốn giá trị đã biết mà phải xác định năm tham số cha biết, thì nói chung là bài toán không có nghiệm duy nhất. Với mô hình này, hàm cầu hoàn toàn xác định (định dạng đúng), còn hàm cung thì không . Lý do hàm cầu xác định chính là đã có thêm biến R giải thích sự thay đổi của hàm cung và từ đó, giá cả chỉ còn chức năng giải thích cho hàm cầu, nhng cho dù nh vậy, mô hình vẫn không xác định. Trong mô hình hai phơng trình, nếu một phơng trình bỏ sót một biến thì nó định dạng đợc. Chẳng hạn ở mô hình 2, vì hàm cầu không chứa biến lợng ma nên nó định dạng đợc. Điều kiện tơng tự cũng phải đợc thoả mãn trong các mô hình nhiều phơng trình. Mô hình 3. Bây giờ ta thêm vào mô hình trên một biến thu nhập Y để có mô hình sau: [...]... ) 4 2 3 2 6 3 3 6 3 1 ( 4 1 5 2 6 ) 4 3 2 6 5 3 Đây là nghiệm duy nhất của hệ trên, cả hai phương trình đều xác định với các tham số duy nhất (định dạng đúng) Mô hình 4: Xét mô hình sau: Qdt = 1 + 2Pt + u1t Qst = 1 + 2Pt + 3Rt + 4Wt + u2t Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 3: mô hình nhiều phương trình Qdt = Qst Ta có các phương trình rút gọn: Pt =... toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 3: mô hình nhiều phương trình Giá xuất khẩu: Pwt = a30 + a31Iat + a32Ibt-1 + a33Yt+ a34Dt + b31XTht + u3t Giá chuyển đổi: Pdt= a40 + a41 Dt + b41 Pet + u4t Thị trường: XTht = Qt-1 - Ct - St Giá thuần tu : Pet = Pwt -Tt Để xem xét vấn đề định dạng các phương trình, ta chú ý rằng phương trình( 1) là phương trình vế phải không có biến nội sinh nên nó hoàn... 1 - 12 0 1 - 31 0 - 41 - 42 Y3 Y4 X1 X2 X3 - 13 - 23 1 0 0 0 0 1 - 11 - 21 - 31 0 0 - 21 - 31 0 0 0 0 - 43 Trên cơ sở bảng hệ số này, ta lập bảng: Số biến ngoại sinh không thuộc Phương trình (K-k)=ai Số biến nội sinh thuộc phương trình trừ 1: (g-1)= bi (1) a1 b1 (2) a2 b2 Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 3: mô hình nhiều phương trình (3) a3 b3 (4) a4 b4 So... thì phương trình định dạng đúng (iii) Nếu m < g-1 thì phương trình không định dạng được (ii) Nếu m > g-1 thì phương trình vô định Trở lại với các mô hình trên: - - - Mô hình 1: mô hình có ba biến nội sinh (g =3) trong khi m = 1 tại cả hai phương trình và như ta đã thấy cả hai phương trình không định dạng được Mô hình 2: số biến nội sinh là ba nhưng chỉ có phương trình cầu có m=2, còn phương trình cung... có m=1 và ta đã thấy phương trình cung không định dạng được Mô hình 4 có g =3 và phương trình cầu có m =3 phương trình này vô định Nguyễn cao Văn- Khoa toán kinh tế- Đại học kinh tế quốc dân Hà nội Bài 3: mô hình nhiều phương trình Ngoài ra, điều kiện cần còn có thể phát biểu bởi hai mệnh đề tương đương như sau: Gọi: G- số biến nội sinh của mô hình g - số biến nội sinh ở một phương trình đã cho K - số... trong phương trình nhưng chứa trong các phương trình khác của hệ Trong thực tế, để áp dụng các điều kiện trên có thể tiến hành qua một ví dụ như sau: Xét mô hình: Y1t - 10 - 12 Y2t - 13 Y3t - 11X1t = u1t Y2t - 20 - 23 Y3t - 21X1t - 22X2t = u2t Y3t - 30 - 31 Y1t - 31 X1t - 32 X2t = u3t Y4t - 40 - 41Y1t - 42 Y2t - 43 X3t = u4t Hệ số của các biến Phương trình (1) (2) (3) (4) 1 - 10 - 20 - 30 -... Bài 3: mô hình nhiều phương trình Khi tìm phương trình rút gọn cho EXP, ta nhận được phương trình của EXP theo các biến INC, POP và PS Như vậy, phải chăng mô hình cần có đồng thời hai phương trình đối với EXP và AID Nếu không phải như vậy thì AID độc lập với u hay mô hình này có thể ước lượng riêng rẽ các phương trình Ước lượng phương trình rút gọn thứ nhất người ta có các sai số W*i Uớc lượng phương. .. trước xem Phương trình nào định dạng được phương trình nào không Sau đó mới áp dụng định dạng điều kiện bậc Ví d : Xét tính định dạng của các phương trình trong mô hình sau: Ct = a1 + a2Yt + u1t It = b1 + b2Yt + b3Rt + u2t Yt = Ct + It + Gt + u3t Viết lại mô hình: Ct - a1 - a2Yt = u1t It - b1 - b2Yt - b3rt = u2t Yt - Ct + It + Gt = u3t Lập bảng các hệ số với các phương trình cần định dạng: Phương trình. .. OLS trực tiếp Vấn đề định dạng chỉ xét với các phương trình (2) - (6), Theo điều kiện bậc, ta so sánh số biến không có mặt trong mỗi phương trình với g-1 Phương trình (2 ): vắng mặt 10 biến, Phương trình (3) : vắng mặt 10 biến, Phương trình( 4) : vắng mặt 13 biến Các phương trình đều vô định vì số biến vắng mặt ở mỗi phương trình đều lớn hơn 4 Với phương trình thứ nhất điều kiện hạng được thoả mãn... định Mệnh đề 2: Trong một hệ gồm G phương trình, để một phương trình định dạng được thì số biến ngoại sinh không chứa trong phương trình này không ít hơn số biến nội sinh trong phương trình này trừ đi 1, tức l : K - k g - 1 Nếu K - k = g -1, thì phương trình được định dạng đúng Nếu K- k > g -1 biến, thì phương trình là vô định Điều kiện hạng Trong một mô hình có G phương trình, một phương trình là định . nhất (định dạng đúng). Mô hình 4: Xét mô hình sau: Q dt = 1 + 2 P t + u 1t Q st = 1 + 2 P t + 3 R t + 4 W t + u 2t Bài 3: mô hình nhiều phơng trình Nguyễn cao Văn- Khoa. tơng tự cũng phải đợc thoả mãn trong các mô hình nhiều phơng trình. Mô hình 3. Bây giờ ta thêm vào mô hình trên một biến thu nhập Y để có mô hình sau: Kinh tế lợng nâng cao Nguyễn cao. phơng trình vô định. (iii) Nếu m < g-1 thì phơng trình không định dạng đợc. Trở lại với các mô hình trên: - Mô hình 1: mô hình có ba biến nội sinh (g =3) trong khi m = 1 tại cả hai phơng trình