D t: Biến giả nhận giá trị 1 trong khoảng năm 1951 đến 1955 và nhận giá trị ở
4. Phương trình vô định và phương pháp 2SLS
Phương pháp 2SLS có thể áp dụng để thu được các ước lượng vững và tiệm cận hiệu quả. Đối với các phương trình định dạng đúng, phương pháp cho kết quả giống như ILS. Tuy nhiên nó còn có thể áp dụng được với cả các mô hình định dạng
đúng và vô định.
Với các mô hình nhiều phương trình có các phương trình vô định, phương pháp 2SLS cho phép ước lượng các tham số hiệu quả hơn vì chính các bước ước lượng của phương pháp này sẽ làm cho các phương trình chỉ còn là các phương trình địng dạng đúng.
Để làm rõ nội dung của phương pháp, ta xét mô hình sau: Hàm thu nhập: Y1t = 10 + 11 Y2t + 11X1t + 12X2t + u1t Hàm cung tiền: Y2t = 20 + 21 Y1t + u2t
Trong đó: Yt - thu nhập; Y2t - dự trữ tiền; X1 - đầu tư; X2 - chi tiêu của chính phủ về hàng hóa và dịch vụ. X1 và X2 là các biến ngoại sinh. Theo điều kiện cần và điều kiện đủ của định dạng, phương trình thu nhập không định dạng được, phương trình cung là vô định . Do đó, không thể áp dụng ILS. Nếu như áp dụng OLS cho hàm cung tiền thì các ước lượng sẽ không có tính vững. Để giải quyết vấn đề này,
ngưới ta dùng phương pháp biến công cụ.
Giả thiết rằng ta tìm được một biến xấp xỉ biến giải thích Y1 ở hàm cung tiền song lại không tương quan với u2 . Một biến như vậy được gọi là biến công cụ. Dùng biến này để ước lượng hàm cung tiền. Các ước lượng nhận được có tính chất vững. Để tìm biến công cụ gười ta dùng phương pháp bình phương nhỏ nhất hai giai đoạn (2SLS).
Giai đoạn 1: Để loại bỏ tính tự tương quan giữa Y1 và u2 , trước hết hồi quy Y1 phụ thuộc vào tất cả các biến ngoại sinh trong hệ phương trình. Trong ví dụ này: 1 2 1 3 2 ˆ ˆ X t ˆ X t Từ đó, ta có: Y1t = Yˆ1t + et
Giai đoạn 2: Phương trình cung tiền bây giờ có thể viết lại như sau: Y2t = 20 + 21 Y1t + u2t
= 20 + 21 (Yˆ1t + et ) + u2t
= 20 + 21Yˆ1t + 21 et + u2t
= 20 + 21 Yˆ1t + u* t
Phương trình trên giống hàm cung tiền xuất phát trong đó Y1 đã được thay bằng Yˆ1 . Như vậy, dù Y1 tương quan với u2 nhưng
1
ˆ
Y không tương quan với u2 nên ước lượng của 20 và 21 là các ước lượng vững.
Thực chất của 2SLS là lọc khỏi Y1 ảnh hưởng của yếu tố ngẫu nhiên u2 . Việc này được thực hiện khi hồi quy phương trình rút gọn. Các ước lượng tìm được là các ước lượng vững, chúng hội tụ về giá trị
thực khi kích thước của mẫu tăng vô hạn.
Bây giờ ta sửa đổi hàm thu nhập và hàm dự trữ tiền như sau: Y1t = 10 + 12 Y2t + 11X1t + 12X2t + u1t
Y2t = 20 + 21 Y1t + 23 X3t + 24 X24 + u2t
Trong đó X3 - thu nhập, X4 - mức cung tiền. Hai biến này là các biến ngoại sinh.
Ta có thể thấy rằng, cả hai phương trình đều là vô định. Thủ tục 2SLS như sau:
Giai đoạn 1: Ước lượng các hàm rút gọn:
Y1t = 10 + 11 X1t + 12 X2t + 13 X3t + 14 X4t + v1t
Y2t = 20 + 21 X1t + 22 X2t + 23 X3t + 24 X4t + v2t
Giai đoạn 2: Ước lượng mô hình xuất phát bằng cách thay Y1 và Y2 ở vế phải của các phương trình bằng Yˆ1 và Yˆ2 nhận được ở giai đoạn 1. Các ưu điểm của 2SLS:
Có thể áp dụng cho từng phương trình riêng rẽ, không cần chú ý đến các phương trình khác. Điều này là thuận lợi khi ước lượng một hệ gồm nhiều phương trình.
ILS đưa ra các ước lượng của các hệ số của phương trình thu gọn, để tìm được ước lượng của các hệ số ban đầu, ta phải thực hiện một vài tính toán, 2SLS cho ngay ước lượng của từng hệ số.
Dễ áp dụng vì chỉ cần biết tổng số các biến ngoại sinh.
Khi áp dụng cho các phương trình định dạng đúng thì kết quả không khác so với kết quả của ILS.
Nếu R2 ở giai đoạn 1 khá cao thì có nghĩa là chúng ta đã tìm được một xấp xỉ khá tốt của Y1 và Y2 .
2SLS cho Se của các ước lượng, trong khi đó ILS không cho. Hạn chế : 2SLS chỉ dùng trong trường hợp mẫu lớn.