Nguyên lý bù trừ suy rộng

Nguyên lý bù trừ suy rộng

Định nghĩa 0.0.1. Khi hai công việc có thể được làm đồng thời, ta không thể dùng quy tắc cộng để tính số cách thực hiện nhiệm vụ gồm cả hai việc. Để tính đúng số cách thực hiện nhiệm vụ này, ta cộng số cách làm mỗi một trong hai việc rồi trừ đi số cách làm đồng thời cả hai việc. Ta có thể phát biểu nguyên lý đếm này bằng ngôn ngữ tập hợp. Cho A 1 , A 2 là hai tập hữu hạn, khi đó | A 1 ∪ A 2 |=| A 1 | + | A 2 | − | A 1 ∩ A 2 | . Từ đó, với ba tập hữu hạn A 1 , A 2 , A 3 , ta có: | A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 |=| A 1 | + | A 2 | + | A 3 | − | A 1 ∩ A 2 | − | A 1 ∩ A 3 | − | A 2 ∩ A 3 | + | A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 |, và bằng quy nạp, với k tập hữu hạn A 1 , A 2 , ., A k , ta có: | A 1 ∪ A 2 ∪ . ∪ A k |= N 1 − N 2 + N 3 − · · · + (−1) k−1 N k , trong đó N m (1  m  k) là tổng phần tử của tất cả các giao m tập lấy từ k tập đã cho, nghĩa là N m =  1i 1 <i 2 <···<i m k | A i 1 ∩ A i 2 ∩ · · · ∩ A i m |. Bây giờ, ta đồng nhất tập A m (1  m  k) với tính chất A m cho trên tập vũ trụ hữu hạn U nào đó và đếm xem có bao nhiêu phần tử của U sao cho không thỏa mãn bất kỳ một tính chất A m nào. Gọi N là số cần đếm, N là số phần tử của U. Ta có: N = N− | A 1 ∪ A 2 ∪ . ∪ A k |= N − N 1 + N 2 − N 3 + · · · + (−1) k N k , trong đó N m là tổng các phần tử của U thỏa mãn m tính chất lấy từ k tính chất đã cho. Công thức này được gọi là nguyên lý bù trừ. Ví dụ 0.0.1. 1) Có bao nhiêu số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7? Ký hiệu A = {1, 2, ., 1000}, A 2 = {a ∈ A | a chia hết cho 2}, A 3 = {a ∈ A | a chia hết cho 3}, A 7 = {a ∈ A | a chia hết cho 7}. Theo nguyên lý bù trừ, số các số nguyên dương từ 1 đến 1000 mà không chia hết cho 2, không chia hết cho 3 và cũng không chia hết cho 7 là: |A \ (A 2 ∪ A 3 ∪ A 7 )| = |A| − |(|A 2 | + |A 3 | + |A 7 |) + (|A 2 ∩ A 3 | + |A 2 ∩ A 7 | + |A 3 ∩ A 7 |) − |A 2 ∩ A 3 ∩ A 7 |, trong đó, |A 2 | = [1000/2] = 500, |A 3 | = [1000/3] = 333, |A 7 | = [1000/7] = 142, |A 2 ∩ A 3 | = [1000/6] = 166, |A 2 ∩ A 7 | = [1000/14] = 71, |A 3 ∩ A 7 | = [1000/21] = 47, |A 2 ∩ A 3 ∩ A 7 | = [1000/42] = 23, với [x] là phần nguyên của x được định nghĩa ở Định nghĩa ?? Thay vào công thức trên, ta có số cần tìm là: 286. 1 2) Có n lá thư và n phong bì ghi sẵn địa chỉ. Bỏ ngẫu nhiên các lá thư vào bì sao cho mỗi phong bì chỉ chứa một lá thư. Hỏi xác suất để xảy ra không một lá thư nào đúng địa chỉ là bao nhiêu? Có tất cả n! cách bỏ thư. Vấn đề còn lại là đếm số cách bỏ thư sao cho không có lá thư nào đúng địa chỉ. Gọi U là tập hợp tất cả các cách bỏ thư | U |= n!, và A m là tính chất lá thư thứ m bỏ đúng địa chỉ (m = 1, 2, · · · , n). Theo nguyên lý bù trừ N = n! − N 1 + N 2 − N 3 + · · · + (−1) n N n , trong đó, ta ký hiệu N m (1  m  n) là số tất cả các cách bỏ thư sao cho có đúng m lá thư đúng địa chỉ. Nhận xét rằng N m là tổng theo mọi cách lấy m lá thư từ n lá, với mỗi cách lấy m lá thư, có (n − m)! cách bỏ để m lá thư này đúng địa chỉ, nên ta có N m = C m n (n − m)! = n! m!(n − m)! (n − m)! = n! m! . N = n!  1 − 1 1! + 1 2! − · · · + (−1) n 1 n!  , trong đó C m n là tổ hợp chập m của tập n phần tử (xem Mục 1.4). Xác suất cần tìm là: 1 − 1 1! + 1 2! − · · · + (−1) n 1 n! . Một điều lý thú là xác suất này dần đến e −1 (nghĩa là còn lớn hơn 1 3 ) khi n khá lớn. 0.1 Nguyên lý bù trừ suy rộng Định nghĩa 0.1.1. Xét m vật a 1 , a 2 , ., a m . Các vật này tương ứng được gắn với các trọng số ω(a 1 ), ω(a 2 ), ., ω(a m ), mà là các phần tử của một vành giao hoán K nào đó. Mỗi vật a i đã cho có thể có hay không có các tính chất P 1 , P 2 , ., P n . Ký hiệu S 0 = m  i=1 ω(a i ), S k =  1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n M(P i 1 , P i 2 , . . . , P i k ), ở đây M(P i 1 , P i 2 , . . . , P i k ) là tổng trọng số của tất cả các vật có các tính chất P i 1 , P i 2 , . . . , P i k , M(r) là tổng trọng số của tất cả các vật có đúng r tính chất, M r là tổng trọng số của tất cả các vật có không ít hơn r tính chất. Định lý 0.1.1 (Nguyên lý bù trừ suy rộng). M(r) = n  k=r (−1) k−r C r k S k , M r = n  k=r (−1) k−r C r−1 k−1 S k , với mọi r = 0, 1, . . . , n. 2 Chứng minh. Trọng số của các vật có đúng r tính chất được tính đúng một lần trong tổng S r và không tham gia vào việc tính các tổng S r+1 , ., S n . Vì vậy trọng số của các vật đó tham gia trong tổng n  k=r (−1) k−r C r k S k với hệ số bằng (−1) 0 C r r = 1. Trọng số của các vật có t > r tính chất được tính C k t lần trong tổng S k với k ≥ r. Vì vậy trọng số của các vật đó tham gia trong tổng n  k=r (−1) k−r C r k S k với hệ số bằng n  k=r (−1) k−r C r k C k t = n  k=r (−1) k−r C r t C k−r t−r = C r t n  k=r (−1) k−r C k−r t−r = C r t n−r  j=0 (−1) j C j t−r = C r t t−r  j=0 (−1) j C j t−r = 0. Trọng số của các vật có t < r tính chất không tham gia vào việc tính tổng S r , ., S n . Vì vậy trọng số của các vật đó cũng tham gia trong tổng n  k=r (−1) k−r C r k S k với hệ số bằng 0. Vậy n  k=r (−1) k−r C r k S k = M(r). Bây giờ ta chứng minh công thức tính M r . Ta có M r = n  j=r M(j) = n  j=r  n  k=j (−1) k−j C j k S k  = n  k=r (−1) k−r C r k S k + n  k=r+1 (−1) k−(r+1) C r+1 k S k + · · · + n  k=n (−1) k−n C n k S k = n  k=r S k k  j=r (−1) k−j C j k = n  k=r S k k−r  t=0 (−1) t C k−t k = n  k=r S k k−r  t=0 (−1) t C t k = n  k=r S k k−r  j=0 (−1) j C j k . Theo Mệnh đề 2.1.2, ta có (1 − x) −1 = 1 + x + x 2 + x 3 + · · · . Do đó (1 − x) k (1 − x) −1 =  1 − C 1 k x + C 2 k x 2 − · · · + (−1) k C k k x k  (1 + x + x 2 + x 3 + · · · ). Hệ số của x k−r trong chuỗi biểu diễn (1 − x) k (1 − x) −1 ở trên bằng k−r  j=0 (−1) j C j k . Mặt khác, (1 − x) k (1 − x) −1 = (1 − x) k−1 =1 − C 1 k−1 x + C 2 k−1 x 2 − · · · + (−1) j C j k−1 x j + · · · + (−1) k−1 C k−1 k−1 x k−1 . 3 Do đó hệ số của x k−r bằng (−1) k−r C k−r k−1 . Vì vậy k−r  j=0 (−1) j C j k = (−1) k−r C k−r k−1 ⇒ M r = n  k=r (−1) k−r C k−r k−1 S k = n  k=r (−1) k−r C r−1 k−1 S k . Nếu ω(a 1 ) = · · · = ω(a m ) = 1 thì M(r) bằng số các vật có đúng r tính chất trong số các tính chất P 1 , P 2 , ., P n đã cho. Ký hiệu A i là tập tất cả các vật có tính chất P i , i = 1, 2, , n. Khi đó M(P i 1 , P i 2 , . . . , P i k ) = |A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i k |, M 1 = |A 1 ∪ A 2 ∪ . . . ∪ A n |, S k =  1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n |A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i k | ⇒ |A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n | = n  k=1 (−1) k−1 C 0 k−1 S k = n  k=1 (−1) k−1 S k = n  k=1 (−1) k−1  1≤i 1 <i 2 <···<i k ≤n |A i 1 ∩ A i 2 ∩ . . . ∩ A i k |, tức là ta nhận được nguyên lý bù trừ dạng kinh điển. Ví dụ 0.1.1. Giả sử B = {0, 1} và n là một số nguyên dương. Khi đó hàm f : B n −→ B được gọi là hàm Boole n biến và được ký hiệu là f(x 1 , x 2 , . . . , x n ). Hàm Boole f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) được gọi là phụ thuộc thật sự vào biến x i nếu có hai bộ giá trị (b 1 , . . . , b i−1 , b i , b i+1 , . . . , b n ) và (b 1 , . . . , b i−1 , b  i , b i+1 , . . . , b n ) với b i = b  i sao cho f(b 1 , . . . , b i−1 , b i , b i+1 , . . . , b n ) = f(b 1 , . . . , b i−1 , b  i , b i+1 , . . . , b n ). Trong trường hợp ngược lại, hàm Boole f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) được gọi là phụ thuộc không thật sự vào biến x i . Hãy tính số M n (r) tất cả các hàm Boole f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) mà phụ thuộc không thật sự vào đúng r biến. Giả sử P i là tính chất “phụ thuộc không thật sự vào biến x i ”. Khi đó với ω(f) = 1 cho mọi hàm f(x 1 , x 2 , ., x n ) ta có M(P i 1 , P i 2 , ., P i k ) bằng số các hàm Boole n biến có các tính chất P i 1 , P i 2 , ., P i k và M n (r) bằng số các hàm Boole n biến có đúng r tính chất trong số các tính chất P 1 , P 2 , ., P n . Dễ thấy rằng M(P i 1 , P i 2 , ., P i k ) = 2 2 n−k . Vì vậy theo nguyên lý bù trừ suy rộng, M n (r) = n  k=r (−1) k−r C r k S k = n  k=r (−1) k−r C r k C k n 2 2 n−k = n  k=r (−1) k−r C r n C k−r n−r 2 2 n−k = C r n n−r  j=0 (−1) j C j n−r 2 2 n−r−j . 4 . (−1) n 1 n! . Một điều lý thú là xác suất này dần đến e −1 (nghĩa là còn lớn hơn 1 3 ) khi n khá lớn. 0.1 Nguyên lý bù trừ suy rộng Định nghĩa 0.1.1. Xét. trọng số của tất cả các vật có không ít hơn r tính chất. Định lý 0.1.1 (Nguyên lý bù trừ suy rộng) . M(r) = n  k=r (−1) k−r C r k S k , M r = n  k=r (−1)