Các mô hình mạng 5 pot

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 140 Các số π 1, π 2, , π N ñược tìm từ hệ phương trình N j k kj k 1 x x p , j 1, 2, , N = = = ∑ , x j ≥ 0 ∀j và N j j 1 x 1 = = ∑ . 2/N ế u có các s ố π 1 , π 2 , , π N tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n π 1 + π 2 + + π N = 1 và n lim →∞ p (n) ij = π j , không ph ụ thu ộ c vào i thì ma tr ậ n P là ma tr ậ n chính quy. Chú ý: Phân ph ố i [π 1, π 2, , π N ] tho ả mãn ñ i ề u ki ệ n π 1 + π 2 + + π N = 1 và n lim →∞ p (n) ij = π j , không ph ụ thu ộ c vào i, ñượ c g ọ i là phân ph ố i gi ớ i h ạ n. Ngoài ra, n ế u ñ i ề u ki ệ n π j > 0, ∀j ñượ c th ỏ a mãn thì phân ph ố i này ñượ c g ọ i là phân phối Ergodic . Có th ể ch ứ ng minh ñượ c r ằ ng, n ế u phân ph ố i gi ớ i h ạ n t ồ n t ạ i thì ñ ó là phân ph ố i d ừ ng (duy nh ấ t). Tuy nhiên, ñ i ề u ng ượ c l ạ i không luôn ñ úng. 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH MARKOV Phân tích Markov có nhiều ứng dụng trong Kinh tế, Quản trị kinh doanh, Kĩ thuật, Sinh học, Xã hội học… Trong mục này, chúng ta sẽ xem xét các ứng dụng như tìm cân bằng thị phần, xác ñịnh chính sách thay thế vật tư thiết bị, dự báo thất thu cho các hợp ñồng thực hiện trước, tìm phân phối giới hạn của một hệ thống kĩ thuật và một ứng dụng của quá trình sinh − tử cho hệ thống hàng chờ. 2.1. Tìm cân bằng thị phần Ta nhắc lại một cách vắn tắt bài toán cho ở mục 1.2: Trong một khu phố 1000 dân (khách hàng) có 3 siêu thị là A, B và C. Giả sử, trong tháng ñầu, số khách vào các siêu thị lần lượt là 200, 500 và 300. Những tháng sau ñó, ta giả sử xác suất ñể một khách hàng (ñã vào siêu thị A lúc trước) vào lại A luôn là 0,8; chuyển sang B luôn là 0,1 và chuyển sang C luôn là 0,1 Các xác suất chuyển khác của khách hàng ("trụ lại" B, chuyển sang A, chuyển sang C ) ñược cho thông qua ma trận chuyển P P =      083,0 07,0 8,0 067,0 9,0 1,0      85,0 03,0 1,0 Lúc ñ ó, theo k ế t qu ả ñ ã bi ế t, t ỉ l ệ ph ầ n tr ă m cân b ằ ng d ừ ng (khi th ờ i gian ñủ dài) s ố khách hàng vào các siêu th ị A, B, C là 27,3%, 45,4% và 27,3% có th ể tìm ñượ c t ừ h ệ Π × (I - P) = 0. 2.2. Chính sách thay thế vật tư thiết bị Trong m ộ t h ệ th ố ng ñ i ệ n k ĩ thu ậ t, các thi ế t b ị cùng m ộ t lo ạ i ñượ c phân ra các tr ạ ng thái sau ñ ây: v ừ a m ớ i thay, còn t ố t, v ẫ n dùng ñượ c và ñ ã b ị h ỏ ng. Theo s ố li ệ u th ố ng kê ñượ c, ta có ma tr ậ n xác su ấ t chuy ể n tr ạ ng thái nh ư sau: P=       0,1 0 0 0 0 0 6,0 8,0 0 5,0 4,0 2,0       0 5,0 0 0 , trong ñ ó, sau m ỗ i tu ầ n (xem hàng ñầ u c ủ a ma tr ậ n P) có 0%, 80%, 20% và 0% s ố các thi ế t b ị m ớ i thay chuy ể n sang tr ạ ng thái m ớ i thay, còn t ố t, v ẫ n dùng ñượ c và ñ ã b ị h ỏ ng. Các hàng khác c ủ a ma tr ậ n P ñượ c gi ả i thích m ộ t cách t ươ ng t ự . Ta ñ i tìm phân ph ố i d ừ ng b ằ ng ph ươ ng pháp ñ ã bi ế t. Xu ấ t phát t ừ Π (n+1) = Π (n) × P, cho qua gi ớ i h ạ n c ả hai v ế khi n →∞ ta có: Π = Π × P, hay Π × (I - P) = 0 . Do P là ma tr ậ n ñặ c bi ệ t (ma tr ậ n chuy ể n xác su ấ t) nên nó là ma tr ậ n suy bi ế n. Khi vi ế t l ạ i d ướ i d ạ ng h ệ ph ươ ng trình (4 ẩ n, 4 ph ươ ng trình) ta ph ả i lo ạ i b ớ t m ộ t ph ươ ng trình ñ i và thêm vào h ệ th ứ c π 1 + π 2 + π 3 + π 4 = 1 và ràng bu ộ c π k ≥ 0 (k = 1, 2, 3, 4). Kí hi ệ u x 1 = π 1 , x 2 = π 2 , x 3 = π 3 và x 4 = π 4 ta s ẽ có h ệ : 1 4 1 2 1 2 3 3 4 1 2 3 4 x x 0 0,8x 0,4x 0 0,2x 0,4x 0,5x 0 0,5x x 0 x x x x 1 − =   − + =   − − + =   − + =   + + + =  1 4 2 3 1 x x 6 1 x x . 3  = =   ⇔   = =   V ậ y phân ph ố i d ừ ng Π = [1/6 1/3 1/3 1/6]. Gi ả s ử r ằ ng chi phí thay m ớ i m ộ t thi ế t b ị là 25 nghìn ( ñồ ng) và th ấ t thu khi m ỗ i m ộ t thi ế t b ị h ỏ ng là 18,5 nghìn thì m ỗ i tu ầ n h ệ th ố ng trên ph ả i chi trung bình trên m ộ t thi ế t b ị s ố ti ề n là: (1/6) × 25 + (1/6) × 18,5 = 7,25 nghìn/thi ế t b ị /tu ầ n. Ta xét ph ươ ng án th ứ hai cho vi ệ c thay th ế v ậ t t ư thi ế t b ị v ớ i ma tr ậ n xác su ấ t chuy ể n tr ạ ng thái sau ñ ây: P =      0,1 0 0 0,8. 0,6 0 0,2 0,4 0      . Ma tr ậ n này t ươ ng ứ ng v ớ i chính sách m ớ i v ề thay th ế v ậ t t ư thi ế t b ị là: thay th ế m ỗ i thi ế t b ị m ộ t khi ki ể m tra và phát hi ệ n thi ế t b ị ở tr ạ ng thái v ẫ n dùng ñượ c. ð i ề u này có th ể d ẫ n t ớ i vi ệ c gi ả m thi ể u th ấ t thu do thi ế t b ị h ỏ ng gây nên. Th ậ t v ậ y, ứ ng v ớ i ma tr ậ n P trên ñ ây, phân ph ố i d ừ ng Π = [1/4 1/2 1/4]. Lúc này, m ỗ i tu ầ n h ệ th ố ng trên ph ả i chi trung bình trên m ộ t thi ế t b ị s ố ti ề n là: (1/4) × 25 + (0) × 18,5 = 6,25 nghìn/thi ế t b ị /tu ầ n. Nh ư v ậ y h ệ th ố ng s ẽ ti ế t ki ệ m ñượ c 1 nghìn/thi ế t b ị /m ộ t tu ầ n. N ế u h ệ th ố ng có 2000 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 142 thiết bị thì nhờ chính sách thay thế vật tư mới, mỗi tuần hệ thống sẽ tiết kiệm ñược 2 triệu (ñồng). 2.3. Phân tích Markov trong dự báo thất thu cho các hợp ñồng thực hiện trước Một công ti kinh doanh trong ngành ñiện chuyên về sửa chữa và thay thế phụ tùng ñề ra chính sách tín dụng: ñáp ứng yêu cầu của khách hàng trước, thanh toán sau. Phần nhiều hợp ñồng sẽ ñược thanh toán ñúng thời hạn, một tỉ lệ nhất ñịnh sẽ ñược công ti cho thanh toán chậm, còn một số ít không thanh toán ñược. Theo kinh nghiệm, sau hai hay ba hợp ñồng thanh toán chậm của một khách hàng nào ñó là hợp ñồng không thanh toán ñược sau một thời gian dài, công ti coi ñây là hợp ñồng “xấu” và sẽ cắt bỏ chính sách tín dụng với khách hàng ñó. Như vậy tại từng thời ñiểm các hợp ñồng có thể rơi vào một trong các trạng thái sau: − S 0 : hợp ñồng ñược thanh toán, − S 1 : hợp ñồng không ñược thanh toán, − S 2 : hợp ñồng sẽ ñược thanh toán ñúng thời hạn, − S 3 : hợp ñồng sẽ ñược thanh toán chậm. Sau ñây là ma trận xác suất chuyển trạng thái (sau từng tháng): P =       4,0 5,0 0 1 3,0 0 1 0 2,0 3,0 0 0       1,0 2,0 0 0 Hi ệ n t ạ i công ti có các h ợ p ñồ ng ph ả i thanh toán ñ úng h ạ n v ớ i t ổ ng s ố 500 tri ệ u và các h ợ p ñồ ng cho thanh toán ch ậ m v ớ i t ổ ng s ố 100 tri ệ u. Hãy xác ñị nh trong t ổ ng trên có bao nhiêu s ẽ ñượ c thanh toán, còn bao nhiêu s ẽ là n ợ “x ấ u” không ñ òi ñượ c. ð ây là bài toán khá ph ứ c t ạ p liên quan t ớ i phân lo ạ i các tr ạ ng thái c ủ a xích Markov là v ấ n ñề chúng ta s ẽ không trình bày trong giáo trình này. Tuy nhiên, có th ể th ấ y ngay r ằ ng các tr ạ ng thái S 0 và S 1 là các tr ạ ng thái “h ấ p th ụ ” ( absorbing state ), t ứ c là m ọ i h ợ p ñồ ng dù hi ệ n ñ ang ở tr ạ ng thái nào thì cu ố i cùng sau m ộ t th ờ i gian nh ấ t ñị nh c ũ ng s ẽ r ơ i vào m ộ t trong hai tr ạ ng thái trên. Trong khi ñ ó các tr ạ ng thái S 2 và S 3 ñượ c g ọ i là các tr ạ ng thái truy ề n ứ ng (hay các tr ạ ng thái di chuy ể n). ðể tìm câu tr ả l ờ i cho v ấ n ñề ñặ t ra, chúng ta c ầ n th ự c hi ệ n các b ướ c sau: Tr ướ c h ế t, ta chia ma tr ậ n P theo kh ố i. P =    Κ J    Μ Ο v ớ i J =    0 1    1 0 , K=    4,0 5,0    3,0 0 , O =    0 0    0 0 , M =    2,0 3,0 0,2 0,1    . Sau ñ ó, ta tìm ma tr ậ n R = I - M và ma tr ậ n ngh ị ch ñả o c ủ a nó R −1 , ở ñ ây I là ma tr ậ n ñơ n v ị cùng c ỡ v ớ i ma tr ậ n M. Ta có: R −1 =    3390,0 5254,1    1864,1 3390,0 , và tính ñượ c: R −1 × K =    6441,0 8983,0    3559,0 1017,0 . Các ph ầ n t ử trong ma tr ậ n trên có ý ngh ĩ a ñặ c bi ệ t. Trong s ố các h ợ p ñồ ng hi ệ n t ạ i ở tr ạ ng thái S 2 (ph ả i thanh toán ñ úng kì h ạ n) cu ố i cùng sau m ộ t th ờ i gian nh ấ t ñị nh có 89,83% s ẽ r ơ i vào tr ạ ng thái S 0 ( ñượ c thanh toán) và 10,17% s ẽ r ơ i vào tr ạ ng thái S 1 (không d ượ c thanh toán). Còn trong s ố các h ợ p ñồ ng hi ệ n t ạ i ở tr ạ ng thái S 3 (thanh toán ch ậ m) cu ố i cùng sau m ộ t th ờ i gian nh ấ t ñị nh có 64,41% s ẽ r ơ i vào tr ạ ng thái S 0 ( ñượ c thanh toán) và 35,59% s ẽ r ơ i vào tr ạ ng thái S 1 (không ñượ c thanh toán). Th ự c hi ệ n phép tính: [500 100] ×    6441,0 8983,0    3559,0 1017,0 = [459,32 140,68], ta th ấ y trong 500 tri ệ u ph ả i thanh toán ñ úng kì h ạ n và 100 tri ệ u thanh toán ch ậ m cu ố i cùng s ẽ có 459,32 tri ệ u ñượ c thanh toán và 140,68 tri ệ u là n ợ “x ấ u” không ñ òi ñượ c. ðể c ả i thi ệ n tình tr ạ ng này, công ti c ầ n nghiên c ứ u tìm ra m ộ t chính sách tín d ụ ng h ợ p lí h ơ n. Ngoài ra, ma tr ậ n R −1 còn cho bi ế t các thông tin sau: − T ổ ng c ủ a các ph ầ n t ử trên hàng th ứ nh ấ t là 1,8644 là th ờ i gian trung bình (tháng) mà m ộ t h ợ p ñồ ng d ạ ng ph ả i thanh toán ñ úng kì h ạ n s ẽ tr ả i qua tr ướ c khi r ơ i vào m ộ t trong các tr ạ ng thái h ấ p th ụ , t ứ c là tr ở thành h ợ p ñồ ng thanh toán ñượ c ho ặ c h ợ p ñồ ng “x ấ u”. − T ổ ng các ph ầ n t ử trên hàng th ứ hai c ủ a R −1 c ũ ng có ý ngh ĩ a t ươ ng t ự ñố i v ớ i các h ợ p ñồ ng d ạ ng thanh toán ch ậ m. − Ph ầ n t ử n ằ m trên hàng 1 và c ộ t 1 c ủ a R −1 cho bi ế t th ờ i gian trung bình (tháng) mà m ộ t h ợ p ñồ ng d ạ ng ph ả i thanh toán ñ úng h ạ n s ẽ ở trong tr ạ ng thái S 2 tr ướ c khi nó r ơ i vào m ộ t trong các tr ạ ng thái h ấ p th ụ là 1,5254 tháng. Ph ầ n t ử n ằ m trên hàng 1 và c ộ t 2 cho bi ế t th ờ i gian trung bình (tháng) mà m ộ t h ợ p ñồ ng d ạ ng ph ả i thanh toán ñ úng h ạ n s ẽ ở trong tr ạ ng thái S 3 tr ướ c khi nó r ơ i vào m ộ t trong các tr ạ ng thái h ấ p th ụ là 0,3390 tháng. − Các ph ầ n t ử n ằ m trên hàng 2 c ủ a ma tr ậ n R -1 có ý ngh ĩ a t ươ ng t ự ñố i v ớ i m ộ t h ợ p ñồ ng d ạ ng ñượ c thanh toán ch ậ m. Sau ñ ây, chúng ta s ẽ ñư a ra một số công thức giải thích các phân tích trên ñ ây cho tr ườ ng h ợ p ma tr ậ n xác su ấ t chuy ể n tr ạ ng thái c ủ a xích Markov có d ạ ng sau: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 144 P = 20 30 1 0 p p        21 31 0 1 p p 22 32 0 0 p p 23 33 0 0 p p        = 1 0 0,5 0,4       3,0 0 1 0 2,0 3,0 0 0       1,0 2,0 0 0 (nh ư trong bài toán trên), =    Κ J    Μ Ο v ớ i J =    0 1    1 0 , K= 20 30 p p    21 31 p p    , O =    0 0    0 0 , M= 22 32 p p    23 33 p p    , trong ñ ó p ij là xác su ấ t chuy ể n t ừ tr ạ ng thái S i sang tr ạ ng thái S j sau m ộ t b ướ c. Không gian tr ạ ng thái g ồ m b ố n tr ạ ng thái S 0 , S 1 , S 2 và S 3 ; các tr ạ ng thái S 0 và S 1 là các tr ạ ng thái h ấ p th ụ , còn S 2 và S 3 là các tr ạ ng thái truy ề n ứ ng. Chúng ta dùng các kí hi ệ u: U = 20 30 u u    21 31 u u    , v ớ i u ik là xác su ấ t h ấ p th ụ vào tr ạ ng thái S k khi tr ạ ng thái ban ñầ u là S i , k = 0, 1, còn i = 2, 3. V = 2 3 v v       , v ớ i v i là th ờ i gian trung bình cho t ớ i khi r ơ i vào m ộ t trong các tr ạ ng thái h ấ p th ụ n ế u tr ạ ng thái ban ñầ u là S i , i = 2, 3. W = 22 32 w w    23 33 w w    , v ớ i w ij là th ờ i gian trung bình xích Markov ở trong tr ạ ng thái S j tr ướ c khi nó r ơ i vào m ộ t trong các tr ạ ng thái h ấ p th ụ n ế u tr ạ ng thái ban ñầ u là S i , i = 2, 3. Lúc ñ ó: U = (I - M) −1 , V = (I - M) −1 ×       1 1 và W = (I - M) −1 ×    0 1    1 0 . Chú ý: Vi ệ c ch ứ ng minh các công th ứ c trên cho tr ườ ng h ợ p t ổ ng quát th ự c ra c ũ ng không quá khó, có th ể tìm th ấ y trong các sách tham kh ả o v ề quá trình Markov. Cách ứ ng d ụ ng phân tích Markov nh ư trong m ụ c này còn có th ể ñượ c áp d ụ ng r ộ ng rãi trong nhi ề u l ĩ nh v ự c khác nh ư Sinh h ọ c, Xã h ộ i h ọ c, Lí thuy ế t nh ậ n d ạ ng và Thi ế t k ế các h ệ th ố ng k ĩ thu ậ t, trong ñ ó có K ĩ thu ậ t ñ i ệ n. 2.4. Tìm phân phối giới hạn cho một hệ thống kĩ thuật Một hệ thống kĩ thuật có hai chi tiết có thể bị hỏng ở bất kì thời ñiểm nào. Tại mỗi thời ñiểm hệ thống có thể rơi vào một trong những trạng thái sau (xem hình V.2): S 0 : cả 2 chi tiết tốt; S 1 : chi tiết 1 hỏng, chi tiết 2 bình thường; S 2 : chi tiết 1 bình thường, chi tiết 2 hỏng; S 3 : cả hai chi tiết ñều hỏng. Nói cách khác, tại mỗi thời ñiểm t, biến X(t) có thể rơi vào một trong các vị trí/trạng thái S 0 , S 1 , S 2 và S 3 . Chú ý rằng lúc này ta có xích Markov (thời gian) liên tục với không gian trạng thái S ={S 0 , S 1 , S 2 , S 3 }. Sau ñây, chúng ta sẽ tìm cách xác ñịnh phân phối giới hạn (long run distribution) của {X(t)} t≥0 . ðây là một vấn ñề khá phức tạp nên chúng ta chỉ có thể trình bày vấn ñề một cách vắn tắt. Trước hết ta nhắc lại về phân phối Poát−xông và phân phối mũ. Giả sử dòng tín hiệu ñến (hay xảy ra) tuân theo phân phối Poát−xông P (λ) với λ là số tín hiệu ñến trung bình trong một khoảng thời gian nhất ñịnh (coi là một ñơn vị thời gian), λ còn ñược gọi là cường ñộ của dòng tín hiệu ñến. Lúc ñó, trong khoảng thời gian như trên thì số tín hiệu xảy ra sẽ nhận giá trị k với xác suất k e k! −λ λ . Ta gọi phần tử xác suất P là xác suất xuất hiện (ít nhất) một tín hiệu trong khoảng thời gian ∆ t. Thế thì, do tính “ñơn nhất” của quá trình Poát−xông, P cũng là xác suất xuất hiện ñúng một tín hiệu trong khoảng thời gian ∆ t. Theo công thức ñã biết thì P = t λ∆ (chính xác tới vô cùng bé o( ∆ t)). Chẳng hạn, nếu λ = 6 tín hiệu/1 phút và ∆t = 2 giây, ta sẽ có P = λ∆t = 6 × (1/30) = 1/5 = 0,2. Từ ñó, ta thấy xác suất ñể có 1 tín hiệu ñến trong khoảng thời gian 2 giây là 0,2. Xét biến ngẫu nhiên T (chẳng hạn thời gian phục vụ một tín hiệu trong một hệ dịch vụ), có phân phối mũ ε(µ) với hàm mật ñộ là f(τ) = µe −µτ . µ cũng ñược gọi là cường ñộ phục vụ hay cường ñộ của “dòng phục vụ”. Hàm phân phối xác suất của T sẽ là F (τ) = P (T ≤ τ) = t 0 0 f (t)dt e dt 1 e τ τ −µ −µτ = µ = − ∫ ∫ . Còn kì vọng toán và ñộ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên T là S 0 S 1 S 2 S 3 Hình V.2. Sơ ñồ các trạng thái Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 146 m T = t 0 0 1 tf (t)dt te dt +∞ +∞ −µ = µ = µ ∫ ∫ , T 1 σ = µ . Ta nhận thấy ngay rằng: P (0 T t) ≤ ≤ ∆ = F(∆t) - F(0) = 1 − e −µ∆t - [1 − e 0 ] = 1 − e −µ∆t = µ ∆t (chính xác tới vô cùng bé o( ∆ t)). Chú ý: Nếu dòng tín hiệu ñến có phân phối Poát−xông P (λ) thì thời gian giữa hai tín hiệu liên tiếp có phân phối mũ ε(λ). Chúng ta quay lại bài toán ñang xét. Gọi λ 1 số lần chi tiết 1 hỏng và λ 2 số lần chi tiết 2 hỏng (tính trung bình) trên 1 ñơn vị thời gian. Lúc ñó, ta có thể coi dòng tín hiệu chi tiết 1 và 2 hỏng là dòng Poát−xông với các tham số λ 1 và λ 2 . Gọi T 1 và T 2 là thời gian sửa chữa chi tiết 1 và 2, có phân phối mũ với các kì vọng tsc 1 và tsc 2 là thời gian sửa chữa (trung bình) chi tiết 1 và chi tiết 2. Vậy T 1 và T 2 có phân phối mũ ε(µ 1 ) và ε(µ 2 ), với µ 1 = 1/tsc 1 và µ 2 = 1/tsc 2 . Tại thời ñiểm t ta có biến ngẫu nhiên X(t) = X t với phân phối xác suất sau ñây: X t S 0 S 1 S 2 S 3 P π 0 (t) π 1 (t) π 2 (t) π 3 (t) Ta tính π 0 (t + t ∆ ) tại thời ñiểm tiếp theo (t + t ∆ ) trong hai trường hợp sau ñây: − Trường hợp 1: Tại thời ñiểm t, hệ thống ở trạng thái S 0 và tại thời ñiểm t + t ∆ , hệ thống vẫn ở trạng thái S 0 (không hỏng). − Trường hợp 2: Tại thời ñiểm t, hệ thống ở trạng thái S 1 hoặc S 2 , còn tại thời ñiểm t + t ∆ hệ thống ở trạng thái S 0 . Do ñó, π 0 (t + ∆t) = π 0 (t) [1 − (λ 1 + λ 2 )∆t] + π 1 (t) µ 1 ∆t + π 2 (t) µ 2 ∆t (*). Thật vậy, xác suất do trường hợp 2 gây nên là π 1 (t)µ 1 ∆t + π 2 (t)µ 2 ∆t, với µ 1 ∆t = P(0 1 T t) ≤ ≤ ∆ là xác su ấ t s ử a ch ữ a xong chi ti ế t 1 trong kho ả ng th ờ i gian ∆t và µ 2 ∆t= P(0 2 T t) ≤ ≤ ∆ là xác su ấ t s ử a ch ữ a xong chi ti ế t 2 trong kho ả ng th ờ i gian ∆t. Trong khi ñ ó, xác su ấ t do tr ườ ng h ợ p 1 gây nên là π 0 (t)[1 − (λ 1 + λ 2 )∆t], v ớ i λ 1 ∆t: xác su ấ t h ỏ ng chi ti ế t 1 trong kho ả ng ∆t, còn λ 2 ∆t: xác su ấ t h ỏ ng chi ti ế t 2 trong kho ả ng ∆t. Nói cách khác, chúng ta ñ ã th ự c hi ệ n công th ứ c xác su ấ t ñầ y ñủ π 0 (t + ∆t) = π 0 (t)p 00 + π 1 (t)p 10 + π 2 (t)p 20 , trong ñ ó: p i0 là xác su ấ t h ệ ở tr ạ ng thái S i t ạ i th ờ i ñ i ể m t và chuy ể n sang tr ạ ng thái S 0 t ạ i th ờ i ñ i ể m (t+ ∆t). T ừ ( * ) ta có: 0 0 1 1 2 2 0 1 0 2 (t t) (t) (t) (t) (t) (t) t π + ∆ − π = π µ + π µ − π λ − π λ ∆ . Cho ∆t → 0 (v ế ph ả i không liên quan v ớ i ∆t) thì 0 1 1 2 2 0 1 0 2 d (t) (t) (t) (t) (t) dt π = π µ + π µ − π λ − π λ Khi t r ấ t l ớ n (h ệ th ố ng ho ạ t ñộ ng trong m ộ t kho ả ng th ờ i gian ñủ dài) thì h ệ th ố ng d ầ n ổ n ñị nh v ớ i phân ph ố i gi ớ i h ạ n có th ể tìm ñượ c, t ứ c là: [π 0 (t), π 1 (t), π 2 (t), π 3 (t)] → [π 0 , π 1 , π 2 , π 3 ]. V ậ y ta có: π 1 µ 1 + π 1 µ 2 − π 0 λ 1 − π 0 λ 2 = 0 (vì 0 d (t) 0 dt π = khi t ñủ l ớ n). M ộ t cách t ươ ng t ự , ta ñ i ñế n h ệ ph ươ ng trình: 0 1 1 2 2 1 2 0 1 1 0 2 3 2 1 1 2 2 0 1 3 1 2 2 3 2 1 1 2 1 2 3 d ( ) 0 dt d ( ) 0 dt d ( ) 0 dt d ( ) 0 dt π  = µ π + µ π − λ + λ π =   π  = λ π + µ π − λ +µ π =   π  = λ π + µ π − λ +µ π =   π  = λ π + λ π − µ + µ π =  M ộ t cách t ổ ng quát, phân ph ố i gi ớ i h ạ n ñượ c tìm t ừ h ệ ph ươ ng trình: j jj i ij i j q q ≠ −π = π ∑ hay i ij i S q 0 ∈ π = ∑ ,∀j ∈S (**) và i i S 1 ∈ π = ∑ , trong ñ ó − q ii là cường ñộ chuyển từ trạng thái i sang các trạng thái khác (không kể i), còn q ij là cường ñộ chuyển từ trạng thái i sang trạng thái j, ñược ñịnh nghĩa như sau: q ii = − lim ∆t→0 (P[X(t t) i/ X(t) i]/ t) + ∆ ≠ = ∆ , q ij = lim ∆t→0 (P[X(t t) j/ X(t) i]/ t) + ∆ = = ∆ , Lúc ñ ó, Q = [q ij ] ñượ c g ọ i là ma trận cường ñộ . T ừ ñ i ề u ki ệ n (**) ta th ấ y, ñể tìm phân ph ố i gi ớ i h ạ n c ầ n ph ả i gi ả i h ệ [π 0 π 1 π 2 π 3 ]Q = 0 hay Q T [π 0 π 1 π 2 π 3 ] T = 0. Ví dụ 1: Cho λ 1 = 1, λ 2 = 2, µ 1 = 2, µ 2 = 3. Từ sơ ñồ cường ñộ chuyển trạng thái cho trên hình V.3, có thể tìm ñược ma trận cường ñộ Q, với Q T có dạng sau: Q T = 3 2 3 0 1 4 0 3 2 0 4 2 0 2 1 5 −     −     −   −   Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 148 Hình V.3. Sơ ñồ cường ñộ chuyển trạng thái Giải thích: q 00 = − 3 do cường ñộ chuyển từ trạng thái S 0 sang các trạng thái khác là λ 1 + λ 2 = 3, còn q 10 = 2 là cường ñộ chuyển từ trạng thái S 1 vào trạng thái S 0 . Giải hệ [π 0 π 1 π 2 π 3 ]Q = 0 hay Q T [π 0 π 1 π 2 π 3 ] T = 0 (với ñiều kiện bổ trợ π 0 + π 1 + π 2 + π 3 = 1) có kết quả: 0 6/15 0,4 π = = ; 1 3/15 0,2 π = = ; 2 4/15 0,27 π = = ; 3 2/15 0,13 π = = . Cần chú ý rằng, hệ [π 0 π 1 π 2 π 3 ] Q = 0 theo một nghĩa nhất ñịnh là tương tự với hệ Π ×(I - P) = 0, như ñã trình bày trong các mục 1.2 và 2.1. Giả sử lợi nhuận/1 ñơn vị thời gian hệ thống mang lại trong các trường hợp có thể xảy ra như sau: nếu hệ thống trong trạng thái S 0 thì lợi nhuận là 8 USD, tại S 1 là 3 USD, tại S 2 là 5 USD, tại S 3 là 0 USD. Vậy lợi nhuận trung bình/1 ñơn vị thời gian là 8 × 0,4 + 3 × 0,2 + 5 × 0,27 = 5,15 (USD). Qua ví dụ ta thấy π 0 , π 1 , π 2 , π 3 ñược xác ñịnh căn cứ vào các giá trị ñã biết λ 1 , λ 2 , µ 1 , µ 2 . λ 1 , λ 2 : số lần chi tiết hỏng (tuỳ thuộc hệ thống cụ thể), µ 1 , µ 2: các tham số sửa chữa cần ñưa vào. Lợi nhuận cuối cùng của hệ thống phụ thuộc vào λ 1 , λ 2 , µ 1 , µ 2 và ñược xác ñịnh bằng cách giải bài toán tối ưu sau: Lợi nhuận L = c 0 π 0 + c 1 π 1 + c 2 π 2 → Max (c 0 , c 1 , c 2 : lợi nhuận từng trạng thái) với các ràng buộc: 1 1 2 2 1 2 0 1 0 2 3 2 1 1 2 0 1 3 1 2 2 2 1 1 2 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 1 , , , 0; , 0 µ π + µ π − λ + λ π =    λ π + µ π − λ + µ π =   λ π + µ π − λ + µ π =   λ π + λ π − µ + µ π =   π + π + π + π =   π π π π ≥ µ µ ≥  S 0 S 1 S 2 S 3 µ 2 λ 2 λ 2 λ 1 1 λ µ 2 µ 1 µ µ 1 Lưu ý: Bài toán trên ñ ây có 6 bi ế n (λ 1 , λ 2 ñ ã bi ế t). Ta ph ả i tìm ñượ c µ 1 , µ 2 t ừ bài toán ñể có ph ươ ng h ướ ng xây d ự ng h ệ th ố ng v ớ i l ợ i nhu ậ n l ớ n nh ấ t. 2.5. Một ứng dụng của quá trình sinh - tử cho hệ thống hàng chờ Quá trình sinh−tử ñược ứng dụng khá rộng rãi trong Lí thuyết ñộ tin cậy, là một môn học của ngành ðiện/ðiện tử và một số ngành khoa học kĩ thuật khác cũng như trong Quản trị kinh doanh và Vận trù học. Quá trình sinh − tử là trường hợp riêng của xích Markov thuần nhất thời gian liên tục, với không gian trạng thái S không quá ñếm ñược S = {S 0 , S 1 , S 2 , , S n , } và ma trận cường ñộ Q = [q ij ] có tính chất q ij = 0 với i − j≥ 2. ðiều này có nghĩa là việc chuyển trạng thái trong quá trình sinh−tử chỉ có thể tới “1 ñơn vị lên hoặc xuống” (xem hình V.3). Hình V.3. Sơ ñồ chuyển trạng thái trong quá trình sinh − tử Từ trạng thái S n tại thời ñiểm t hệ X(t) chỉ có thể chuyển tới một trong các trạng thái S n+1 , S n hoặc S n−1 . Vì vậy chúng ta có các cường ñộ chuyển: µ 0 = λ −1 = 0, q 00 = − λ 0 , q n, n+1 = λ n , q n, n−1 = µ n và q n, n = − (λ n +µ n ) ∀n. Trong trường hợp λ n , µ n > 0, ∀n > 0, theo ñịnh lí ñã ñược chứng minh, phân phối giới hạn có thể tìm ñược bằng cách giải hệ: [π 0 π 1 π 2 π 3 ]Q = 0, với ma trận cường ñộ Q ñã biết. Ma trận chuyển vị của Q có dạng: Q T = 00 01 0n q q q         10 11 1n q q q n0 n1 nn q q q n 1,0 n 1,1 n 1,n q q q + + +         Ta có [ π 0 π 1 π 2 π 3 ]Q = 0 ⇔ Q T [ π 0 π 1 π 2 π 3 ] T = 0 ⇔ 00 10 20 0 01 11 21 1 02 12 22 2 q q q 0 q q q 0 q q q 0 π             π       × =       π             . hay: λ 1 λ 0 S 0 S 1 S 2 S n-1 S n … … µ 1 λ n-1 µ 2 µ n … S n+1 λ n µ n+1 [...]... nghĩa là khách hàng ñ n phòng bán vé v i các th i ñi m ñ n tuân theo lu t phân ph i mũ v i tham s λ = 6) Ngoài ra, còn bi t nguyên t c ph c v là FCFS (First come first served) và th i gian ph c v t i m i qu y có lu t phân ph i mũ v i kì v ng 1/3 (phút) C n tr l i hai câu h i sau ñây: Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 150 ...q00π0 + q10π1 + q20π2 + = 0, q01π0 + q11π1 + q21π2 + = 0, q02π0 + q12π1 + q22π2 + = 0, Do tính ch t ñ c bi t, như ñã phân tích trên, c a ma tr n cư ng ñ Q c a quá trình sinh−t , h trên ñư c vi t m t cách tư ng minh hơn như sau: −λ0π0 + µ1π1 + λ0π0 − (λ1 + µ1)π1 + µ2π2 + = 0, λ1π1 − (λ2 + µ2)π2 + µ3π3 + = 0, = 0, T ñây ñ dàng tìm ñư c πn+1 = (λn/µn+1)πn, ∀n = 1, 2, 3, ñ ñi t i công th c tính πi,∀i .    3390,0 52 54,1    1864,1 3390,0 , và tính ñượ c: R −1 × K =    6441,0 8983,0    355 9,0 1017,0 . Các ph ầ n t ử trong ma tr ậ n trên có ý ngh ĩ a ñặ c bi ệ t. Trong s ố các h ợ p. và 35, 59% s ẽ r ơ i vào tr ạ ng thái S 1 (không ñượ c thanh toán). Th ự c hi ệ n phép tính: [50 0 100] ×    6441,0 8983,0    355 9,0 1017,0 = [ 459 ,32 140,68], ta th ấ y trong 50 0 tri ệ u. là 5 USD, tại S 3 là 0 USD. Vậy lợi nhuận trung bình/1 ñơn vị thời gian là 8 × 0,4 + 3 × 0,2 + 5 × 0,27 = 5, 15 (USD). Qua ví dụ ta thấy π 0 , π 1 , π 2 , π 3 ñược xác ñịnh căn cứ vào các