vận trù học 1 pptx

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………...6LỜI NÓI ðẦU Vận trù học Operations Research ñược xem là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí mà trong

BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO TRƯỜNG ðẠI HỌC NÔNG NGHIỆP HÀ NỘI

PGS TS NGUYỄN HẢI THANH

VẬN TRÙ HỌC Giáo trình cho ngành Tin học và Công nghệ thông tin

Hà Nội −−−− 2008

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 2

MỤC LỤC

Trang

1 Giới thiệu về Vận trù học / Khoa học quản lí 9

1.2 Các bước áp dụng Vận trù học 10 1.3 Quá trình phát triển của Vận trù học 11

2 Các ứng dụng và phương pháp ñịnh lượng cơ bản của Vận trù học 12

2.2 Các phương pháp ñịnh lượng 14

CHƯƠNG II MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 16

1 Mô hình quy hoạch tuyến tính 16

1.1 Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính 16 1.2 Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc 19 1.3 Phương pháp ñơn hình hai pha giải BTQHTT

1.4 Phương pháp cắt Gomory giải BTQHTT nguyên 29

1.5 Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình 33

2 Mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 35

2.2 Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu 37 2.3 Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT

2.4 Một ứng dụng của mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu 44

3 Mô hình tối ưu phi tuyến ñơn và ña mục tiêu 45

3.2 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

3.3 Một số phương pháp giải bài toán tối ưu phi tuyến

BÀI TẬP CHƯƠNG II 54

1.1 Phát biểu bài toán vận tải 57 1.2 Tạo phương án vận tải xuất phát 58 1.3 Phương pháp phân phối giải bài toán vận tải 60 1.4 Phương pháp phân phối cải biên giải bài toán vận tải 62

2.1 Các khái niệm cơ bản về PERT 66 2.2 Sơ ñồ PERT với số liệu ngẫu nhiên 71 2.3 ðiều chỉnh dự án khi kế hoạch một số hoạt ñộng bị phá vỡ 73 2.4 Tính thời gian rút gọn tối ưu bằng phương pháp ñơn hình 74 2.5 Áp dụng mạng PERT trong phân tích chi phí và

3.1 Bài toán cây khung tối thiểu 77 3.2 Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất và quy hoạch ñộng 79 3.3 Mô hình mạng trung chuyển hàng 86 3.4 Bài toán tìm luồng cực ñại 88

CHƯƠNG IV GIỚI THIỆU LÍ THUYẾT MÔ PHỎNG VÀ

1 Mục ñích và các công cụ của mô phỏng 96

1.1 Khái niệm về mô phỏng ngẫu nhiên 96 1.2 Các công cụ chủ yếu của mô phỏng 97 1.3 Mô phỏng một số phân phối xác suất 98

2 Áp dụng mô phỏng ngẫu nhiên 101

2.1 Vai trò của phương pháp mô phỏng 101 2.2 Các bước cần tiến hành khi áp dụng mô phỏng 102 2.3 Một số ví dụ về áp dụng phương pháp mô phỏng 102

3 Một số vấn ñề về mô hình hàng chờ 112

3.1 Một số yếu tố cơ bản của hệ thống hàng chờ 112

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 4

3.4 Áp dụng mô phỏng cho một số hệ thống hàng chờ 118

CHƯƠNG V PHÂN TÍCH MARKOV VÀ ỨNG DỤNG 131

1 Các khái niệm cơ bản về xích Markov 131

1.2 Ma trận xác suất chuyển trạng thái và phân phối dừng 132

2 Một số ứng dụng của phân tích Markov 138

2.2 Chính sách thay thế vật tư thiết bị 138 2.3 Phân tích Markov trong dự báo thất thu cho

2.4 Tìm phân phối giới hạn cho một hệ thống kĩ thuật 142 2.5 2.5 Một ứng dụng của quá trình sinh−tử cho hệ thống hàngchờ 147

3.1 Mô phỏng xích Markov thời gian rời rạc 149 3.2 Mô phỏng xích Markov thời gian liên tục 151

CHƯƠNG VI MỘT SỐ MÔ HÌNH RA QUYẾT ðỊNH VÀ ỨNG DỤNG 158

1 Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh 158

1.2 Ra quyết ñịnh trong môi trường bất ñịnh nghiêm ngặt 160 1.3 Ra quyết ñịnh trong môi trường rủi ro 163

2.1 Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất tiên nghiệm 167 2.2 Phân tích quyết ñịnh Bayes dựa trên xác suất hậu nghiệm 167

3 Cây quyết ñịnh và các bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169

3.1 Bài toán quyết ñịnh nhiều giai ñoạn 169 3.2 Phân tích Bayes sử dụng cây quyết ñịnh 171

4 Ra quyết ñịnh dựa trên tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 174

4.1 Khái niệm hàm thỏa dụng 174 4.2 Tiêu chuẩn kì vọng thỏa dụng tối ña 175

5 Lí thuyết trò chơi và ứng dụng 179

5.1 Một số khái niệm cơ bản của lí thuyết trò chơi 179 5.2 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược thuần nhất 181 5.3 Trò chơi hai người – tổng không với chiến lược hỗn hợp 182 5.4 Lời giải bằng ñồ thị cho các trò chơi cỡ 2×N hoặc M×2 186 5.5 Giới thiệu về trò chơi nhiều người 188

CHƯƠNG VII CÁC MÔ HÌNH QUẢN LÍ HÀNG DỰ TRỮ 193

1.1 Các chức năng của việc dự trữ hàng 193 1.2 Hệ thống quản lí hàng dự trữ theo phân loại giá trị ABC 193 1.3 Mô hình quản lí hàng dự trữ tổng quát 194

2 Một số mô hình tất ñịnh trong quản lí hàng dự trữ 196

2.1 Mô hình tĩnh Wilson với một mặt hàng 196 2.2 Mô hình tĩnh một mặt hàng với dự trữ ñệm 199 2.3 Mô hình tĩnh một mặt hàng với giá chiết khấu 200 2.4 Mô hình tĩnh nhiều mặt hàng với diện tích kho hạn chế 202 2.5 Mô hình ñộng một mặt hàng N chu kì 204

3 Mô hình lập kế hoạch sản xuất N chu kì 207

3.1 Mô hình lập kế hoạch không cho phép nợ hàng 208 3.2 Mô hình lập kế hoạch cho phép nợ hàng 209

4 Một số mô hình xác suất trong quản lí hàng dự trữ 210

4.1 Mô hình xác suất với chế ñộ báo cáo theo dõi thường xuyên 210 4.2 Mô hình xác suất một chu kì 213 4.3 Mô hình xác suất nhiều chu kì 218

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 6

LỜI NÓI ðẦU

Vận trù học (Operations Research) ñược xem là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học và các công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể mô hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí

ñưa ra các quyết ñịnh hợp lí nhất Trên thế giới việc nghiên cứu và ứng dụng Vận trù học ngày càng phát triển sâu rộng với nhiều tạp chí chuyên ngành nổi tiếng, môn Vận trù học ñược giảng dạy với thời lượng khá lớn bao gồm nhiều nội dung phong phú và cấp thiết trong nhiều chương trình ñào tạo ñại học và cao học

Hiện nay, những môn học trang bị kiến thức cơ sở về kinh tế - quản lí nói chung

và các phương pháp toán - tin ứng dụng trong mô hình hóa và phân tích các bài toán quyết ñịnh nói riêng ñược ñưa vào giảng dạy trong các chương trình ñào tạo ñại học trong và ngoài nước ðối với sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin và Toán - Tin ứng dụng, khối kiến thức về kinh tế - quản lí là thực sự cần thiết cho các cương vị làm việc sau này, ñặc biệt là cương vị CIO (Chief Information Officer - Giám ñốc Thông tin) Trong chương trình ñào tạo ngành Tin học của Khoa Công nghệ thông tin, Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội, khối kiến thức trên bao gồm Tối

ưu hóa, Phân tích số liệu, Quản trị học, Các phương pháp toán kinh tế và Vận trù học Giáo trình “Vận trù học” với thời lượng 60 tiết ñược biên soạn lần ñầu nhằm trước hết phục vụ việc dạy và học môn học này cho sinh viên năm thứ ba hoặc năm thứ tư ngành Tin học Hi vọng rằng, sau khi ra trường các kĩ sư Tin học sẽ áp dụng và triển khai các phương pháp vận trù học ñược một cách rộng rãi với nhiều hiệu quả thiết thực trong việc xây dựng các hệ thống thông tin quản lí và các phần mềm tính toán cho các bài toán quản lí, quản trị kinh doanh và kinh tế - công nghệ khác Qua giáo trình này, sinh viên cần nắm ñược một số mô hình vận trù học cơ bản, biết cách vận dụng các phương pháp và kĩ thuật toán học, các quy trình tính toán khoa học thích hợp ñể phân tích và xử lí các mô hình ñó Các chủ ñề trong giáo trình bao gồm: Một số mô hình tối ưu (Optimization Model) như các mô hình quy hoạch tuyến tính cũng như phi tuyến ñơn và ña mục tiêu ñược ñề cập tới trong Chương II Chương III giới thiệu về các mô hình mạng (Network Model) với các bài toán về mạng vận tải, mạng PERT, về quy hoạch ñộng áp dụng trong tìm ñường ñi ngắn nhất và bài toán tìm luồng cực ñại Một số ứng dụng của mô hình hàng chờ (Waiting Line Model)

và mô phỏng ngẫu nhiên (Stochastic Simulation) ñược trình bày trong Chương IV Chương V giới thiệu các khái niệm cơ bản và ứng dụng của xích Markov (Markov Chain) Chương VI là các kiến thức cơ sở của lí thuyết quyết ñịnh (Decision Theory) như các quy tắc ra quyết ñịnh trong các môi trường bất ñịnh và rủi ro, phân tích quyết

ñịnh Bayes, cây quyết ñịnh và lí thuyết trò chơi Chương VII trình bày về mô hình quản lí hàng dự trữ (Inventory Management Model), một vấn ñề quan trọng phát sinh trong quản lí tài nguyên và nguồn lực của các doanh nghiệp ðây là các chủ ñề chủ yếu nhất của môn Vận trù học mà sinh viên các ngành Tin học, Công nghệ thông tin

và Toán - Tin ứng dụng tại các trường ñại học nước ngoài bắt buộc phải học Phần bài tập sau từng chương giúp sinh viên củng cố các kiến thức ñã học và thực hành áp dụng các quy trình tính toán khoa học Những sinh viên khá có thể tự học sâu thêm bằng cách thu thập tài liệu liên quan qua nhiều nguồn, ñặc biệt trên Internet và viết các phần mềm nhỏ

Giáo trình cũng có thể ñược lấy làm tài liệu tham khảo hay dạy và học các phương pháp toán ứng dụng hay mô hình hóa cho các chuyên ngành như: Quản lí ñất

ñai, Kinh tế nông nghiệp, Cơ ñiện và một số chuyên ngành quản lí − kinh tế − công nghệ khác ở bậc ñại học hoặc cao học

Một số tài liệu người học có thể tham khảo thêm là: Gillet B E., Introduction to Operations Research, McGraw Hill, New York, 1990; Taha H A., Operations Research, MacMillan Publishing Company, New York, 1989; Levin R I., Rubin D S

and Stinson J P. , Quantitative approaches to management, McGraw Hill, New York,

1986; Phan Quốc Khánh, Vận trù học, Nxb Giáo dục, 2004; Tạp chí Ứng dụng Toán học, Hội Ứng dụng Toán học Việt Nam, 2003 - 2007

Trong quá trình biên soạn, tuy tác giả rất cố gắng nhưng có lẽ không tránh khỏi sai sót Tác giả xin chân thành cảm ơn các ý kiến ñóng góp chỉnh sửa bản thảo bài giảng môn học của các ñồng nghiệp trong Khoa Công nghệ thông tin và sinh viên ngành Tin học các khóa K47, K48, K49, K50 của Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội và luôn mong muốn tiếp tục nhận ñược nhiều góp ý của các nhà khoa học, các giảng viên và sinh viên ñể cho giáo trình ñược hoàn chỉnh hơn, chính xác hơn và sinh

ñộng hơn

Hà Nội, ngày 10 tháng 10 năm 2008

Tác giả

Trường ðại học Nơng nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……… 8

Chương I

MỞ ðẦU

1 GIỚI THIỆU VỀ VẬN TRÙ HỌC VÀ KHOA HỌC QUẢN LÍ

1.1 Vai trị của Vận trù học

Vận trù học (Operations Research − OR) là ngành học nghiên cứu về các hoạt động hợp lí Việc tổ chức và tiến hành các hoạt động trong nhiều lĩnh vực như kinh tế, xã hội,

quốc phịng, kinh doanh, sản xuất, dịch vụ địi hỏi các nhà quản lí phải vận dụng một cách thích hợp các điều kiện cho phép để trù tính và đưa ra các quyết định

ðối với bộ máy quản lí các cấp trong các doanh nghiệp, tập đồn, cơng ti , ra quyết định chính là trách nhiệm then chốt nhất Quá trình ra quyết định được bắt đầu khi bộ máy quản lí phát hiện một vấn đề nào đĩ cần quan tâm tới Sau đĩ, cần xác định rõ vấn

đề, phát biểu mục tiêu phải hướng tới và các điều kiện hạn chế (cịn gọi là các điều kiện ràng buộc) cũng như tìm kiếm và đánh giá các phương án Cuối cùng, phải chọn ra một phương án hành động được coi là hợp lí hơn cả nhằm giải quyết vấn đề một cách tốt nhất Năng lực của bộ máy quản lí được thể hiện ở khả năng phát hiện vấn đề và giải quyết bài tốn quyết định phát sinh

Một quá trình ra quyết định chính là một quá trình phân tích và tổng hợp thơng tin,

cĩ thể cĩ hình thức định tính hay định lượng Với cách tiếp cận định tính, người quản lí

cĩ thể dựa vào các nhận định chủ quan và kinh nghiệm sẵn cĩ của mình để đưa ra quyết định Trong một số trường hợp, cách tiếp cận này cĩ tính “trực giác” nhưng cũng giúp đưa ra được quyết định đủ tốt Tuy nhiên, trong rất nhiều trường hợp khác, cách tiếp cận định lượng sẽ cĩ hiệu quả thật sự trong việc trợ giúp quá trình ra quyết định Cách tiếp cận định lượng thường được nhà quản lí thực hiện trong các trường hợp sau:

- Vấn đề đặt ra khá phức tạp bao gồm nhiều biến và do đĩ cần phải thiết lập mơ hình tốn học và sử dụng các cơng cụ định lượng để tìm ra được phương án giải quyết

- Các dữ liệu liên quan tới vấn đề cần khảo sát cĩ dạng dữ liệu số và mục tiêu cần hướng tới cĩ tính chất định lượng, chẳng hạn như cần nâng cao hay hạ thấp một chỉ số nào đấy

- Vấn đề đặt ra cĩ tính chất “lặp”, tức là quá trình giải quyết vấn đề cĩ thể bao gồm một số cơng đoạn/thủ tục lặp đi lặp lại nhiều lần và vì vậy, tiếp cận định lượng sẽ giúp người quản lí tiết kiệm thời gian cũng như chi phí

- Tiếp cận định lượng đã tỏ ra hữu hiệu trong một số tình huống tương tự hoặc khi người quản lí đã cĩ kinh nghiệm và thành cơng trong việc giải quyết các vấn đề tương

tự dựa trên tiếp cận định lượng

Có thể nói, Vận trù học là một công cụ ñịnh lượng nền tảng của Khoa học quản lí

(Management Science − MS), mà trong ñó các phương pháp và kĩ thuật của Toán học

cũng như các công cụ tính toán, lưu trữ và xử lí dữ liệu của Tin học ñược áp dụng ñể

mô hình hóa, phân tích và tìm ra lời giải cho các bài toán quyết ñịnh, nhằm hỗ trợ bộ máy quản lí ñưa ra ñưa ra ñược quyết ñịnh ñúng ñắn trong ñiều kiện nguồn lực và tài nguyên hạn chế Vì vậy, Vận trù học có một vai trò rất quan trọng trong việc thiết lập các kế hoạch dài hạn, phát triển các chiến lược chủ ñạo cũng như trong việc hỗ trợ các hoạt ñộng diễn ra hàng ngày trong nhiều lĩnh vực

Vận trù học là một ngành học vừa có tính khoa học vừa có tính nghệ thuật Với tư cách là một khoa học, Vận trù học nghiên cứu và thiết lập các mô hình toán học của các vấn ñề phát sinh từ thực tế cũng như các phương pháp toán học/các thuật giải ñể giải quyết mô hình ñặt ra Tuy nhiên, Vận trù học cũng là một nghệ thuật, vì rằng sự thành công của quá trình ra quyết ñịnh phụ thuộc phần lớn vào tính sáng tạo và năng lực của các nhà phân tích quyết ñịnh Việc thu thập số liệu, thiết lập mô hình và triển khai phương án tìm ñược trên thực tế phụ thuộc vào khả năng của chuyên gia hay nhóm chuyên gia làm Vận trù học trong việc khai thác ñược thông tin xác thực cũng như xây dựng ñược sự giao tiếp tin cậy với bộ máy quản lí

1.2 Các bước áp dụng Vận trù học

Các bước cơ bản khi áp dụng Vận trù học ñể thiết lập và giải quyết một mô hình phát sinh từ thực tế có thể ñược tóm lược như sau:

− Khảo sát thực tế và phát hiện vấn ñề Tại bước này, cần áp dụng và hoàn thiện

các kĩ năng như: biết lắng nghe, ñiều tra và khảo sát dữ liệu, biết phân tích các hoạt ñộng thực tế cũng như phân biệt ñược các yếu tố quan trọng với các chi tiết thứ yếu

− Phân tích vấn ñề và xây dựng mô hình Trước hết cần xác ñịnh rõ mục tiêu

nghiên cứu và ñịnh dạng rõ bài toán phát sinh và phương án giải quyết, từ ñó xác ñịnh các yếu tố liên quan mà nhà quản lí có thể kiểm soát ñược Nói cách khác, cần xác ñịnh mục tiêu và các ñiều kiện hạn chế/ñiều kiện ràng buộc dưới dạng ñịnh tính Sau

ñó lựa chọn các biến quyết ñịnh và xây dựng mô hình toán học phù hợp, phản ánh ñược thực tế khách quan

− Thu thập số liệu ñầu vào và xác ñịnh phương pháp giải quyết Căn cứ mô hình ñã

xây dựng ñược cần thu thập các số liệu ñầu vào cần thiết, ñộ tin cậy của số liệu ñầu vào ảnh hưởng rất ñáng kể tới kết quả ñầu ra của mô hình Với mô hình ñã xây dựng ñược cần tìm ra một phương pháp giải quyết thích hợp dựa trên các phương pháp ñã biết hoặc phát triển phương pháp mới

− Xác ñịnh quy trình giải/thuật giải và chọn lựa phương án hợp lí Có thể giải mô

hình bằng cách tính toán thông thường nhằm lựa chọn trong các phương án khả thi một hoặc một số phương án hợp lí hơn cả ðối với các mô hình lớn, gồm nhiều biến quyết ñịnh và nhiều ñiều kiện ràng buộc cần lập trình và giải mô hình trên máy tính

Trường đại học Nông nghiệp Hà Nội Ờ Giáo trình Vận trù học ẦẦẦ 10

− Kiểm thử mô hình và ựánh giá phương án tìm ựược Trong trường hợp phương án

tìm ựược kéo theo các kết quả bất thường về mặt tắnh toán hoặc không phù hợp với thực

tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình, rà soát lại các số liệu ựầu vào cũng như các bước tắnh toán hay chọn lựa phương án Sau ựó giải lại mô hình ựể tìm ra phương án phù hợp hơn

− Triển khai phương án tìm ựược trên thực tế Trong toàn bộ quá trình ra quyết

ựịnh, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lắ, giải thắch rõ ràng về tác dụng của mô hình ựã ựặt ra để phương án cuối cùng ựược triển khai trên thực tế, cần có báo cáo chi tiết giúp bộ máy quản lắ hiểu rõ các hiệu quả thiết thực mà phương

án có thể mang lại Tuy nhiên, cũng cần nêu rõ các ựiều kiện ựảm bảo cần thiết cũng như phân tắch rõ các yếu tố lợi nhuận/chi phắ/rủi ro của phương án

1.3 Quá trình phát triển của Vận trù học

Những tiến bộ nhân loại ựạt ựược trong vài thế kỉ vừa qua và trong giai ựoạn hiện tại có phần ựóng góp quan trọng của các phương pháp khoa học trong việc giải quyết các vấn ựề kinh tế, xã hội Phương pháp luận khoa học, trước ựây thường ựược biết tới trong các vấn ựề của Khoa học tự nhiên, ngày nay ngày càng ựược ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của Khoa học quản lắ như: lập kế hoạch, tổ chức và kiểm soát các hoạt ựộng

Từ hàng vài nghìn năm trước, các hoạt ựộng chế tạo và lắp ráp tàu biển tại Venice

ựã ựược tổ chức một cách khá khoa học Vào cuối thế kỉ XIX, Frederick W Taylor ựã

giải quyết thành công bài toán quan trọng của Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial

Engineering) lúc ựó là chế tạo ra các loại xẻng ựể khai thác các loại quặng khác nhau với năng suất cao nhất Cũng vào thời gian này, Henry L Gantt giải quyết thành công

bài toán lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) khi sản phẩm ựược chế tạo và

hoàn thiện qua nhiều công ựoạn Dần dần, các nhà quản lắ mở rộng các bài toán trong một số hoạt ựộng kĩ nghệ công nghiệp sang các hoạt ựộng khác của công ti như: khai thác và sử dụng các nguồn nguyên liệu, thuê và phát triển nhân lực, chắnh sách tài chắnh, bất ựộng sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội cũng bắt ựầu quan tâm tới các bài toán quản lắ và nhận thức ựược tầm quan trọng của việc giải quyết vấn ựề một cách

hệ thống, tầm quan trọng của các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ nghệ và quản lắ đó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lắ

Từ ựầu thế kỉ XX, Vận trù học/Khoa học quản lắ ựã ựược áp dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Tại nước Anh vào năm 1914 - 1915 F W Lanchester ựã xem xét các hoạt ựộng quân sự một cách ựịnh lượng khi ựưa ra phương pháp ựánh giá sức mạnh quân sự thông qua số lượng bộ binh và hỏa lực Còn tại Mĩ lúc ựó, T A Edison nghiên cứu và mô phỏng các hoạt ựộng hợp lắ của tàu chiến trong tấn công và tiêu diệt các tàu ngầm Vào năm 1917, nhà bác học người đan Mạch A K Erlang cho công bố các công trình về các hoạt ựộng hợp lắ trong hệ dịch vụ ựiện thoại và bưu ựiện, có tên gọi tổng