vận trù học 9 potx

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 80 ứng dụng trong các bài toán xác ñịnh chi phí tối thiểu nhiều dạng khác. Trong ví dụ trên, tập N 0 qua các bước lặp ñược phát triển như sau: {1}, {1, 3}, {1, 3, 4, 7}, {1, 3, 4, 7, 5}, {1, 4, 3, 7, 5}, {1, 4, 3, 7, 5, 6}, {1, 4, 3, 7, 5, 6, 2}. 3.2. Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất và quy hoạch ñộng Bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất Trong bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất, chúng ta muốn xác ñịnh hành trình ngắn nhất từ một ñịa ñiểm xuất phát (ñiểm gốc) ñể ñi tới ñiểm cần ñến (ñiểm ñích) trên một mạng liên thông. ðể cho dễ hiểu, chúng ta xem xét ví dụ sau ñây. Ví dụ 2: Bài toán người ñi du lịch. Có một người ñi du lịch, xuất phát từ nút 1 và kết thúc hành trình ở nút 10 theo hành trình trên hình III.13. 2 1 7 3 5 4 6 9 8 10 175 175 150 275 200 400 150 100 200 300 100 125 250 275 350 200 Hình III.12. Sơ ñồ hành trình ñường ñi Người du lịch xuất phát từ nút 1. Trong giai ñoạn ñầu anh ta chỉ ñược quyền (và bắt buộc) chọn một trong ba nút (thành phố) 2, 3, 4 ñể vào thăm quan. Giai ñoạn tiếp theo, anh ta chỉ ñược chọn một trong ba nút 5, 6, 7 ñể du lịch. Trong giai ñoạn tiếp nối, anh ta có quyền vào một trong hai nút 8 hoặc 9 trước khi kết thúc hành trình tại nút 10. Như vậy, trong mỗi giai ñoạn người ñi du lịch chỉ ñược quyền ñi vào một thành phố (mỗi thành phố ñược coi là một trạng thái của giai ñoạn ñó). Hãy tìm cách xác ñịnh ñường ñi ngắn nhất từ nút 1 tới nút 10 thoả mãn các ñiều kiện ñặt ra của bài toán. Nguyên tắc tối ưu Bellman trong quy hoạch ñộng Sử dụng nguyên tắc tối ưu Bellman trong quy hoạch ñộng ñể giải bài toán người du lịch, chúng ta chia bài toán thành nhiều giai ñoạn, tức là thành nhiều bài toán nhỏ. Tại mỗi giai ñoạn ta cần tìm phương án tối ưu là các phương án tốt nhất của tình trạng hiện có, xét trong mối quan hệ với các phương án tối ưu ñã tìm ñược của các giai ñoạn trước. Ta có thể giải quyết bài toán dần theo từng giai ñoạn theo cách tính toán tiến hoặc tính toán lùi. ðể giải bài toán này, ta áp dụng cách tính toán lùi (backward computing) với các kí kiệu và dữ kiện cho trong bảng III.19. Bảng III.19. Các giai ñoạn của bài toán quy hoạch ñộng Giai ñoạn ðầu vào ðầu ra ðường ñi tối ưu Khoảng cách tới ñích Giai ñoạn I 8 9 10 10 8 → 10 9 → 10 150 100 Giai ñoạn II 5 6 7 8 9 5 → 8 6 → 9 7 → 8 400 300 275 Giai ñoạn III 2 3 4 5 6 7 2 → 6 3 → 5 4 → 6 600 600 500 Giai ñoạn IV 1 2 3 4 1 → 2 1 → 3 1 → 4 700 775 650 Giải thích: Sử dụng nguyên tắc tối ưu Bellman ñể tìm ñường ñi ngắn nhất từ nút 4 tới nút 10, chúng ta tìm ñược phương án tối ưu là ñi từ nút 4 tới nút 6 cho giai ñoạn III (lúc này d(4, 10) = d(4, 6) + Min d(6, 10) = 200 + 300 = 500). ðiều này là do hai lựa chọn khác là ñi từ nút 4 tới nút 5 hay 7 thì ñều cho khoảng cách từ nút 4 tới ñích là nút 10 lớn hơn (chẳng hạn nếu ñi qua nút 5 thì d(4, 10) = d(4, 5) + Min d(5, 10) = 175 + 400 = 575). Trong bảng III.19, tại giai ñoạn IV, ta thấy khoảng cách ngắn nhất tới ñích là 650. ði ngược lại, từ ñiểm gốc tới ñiểm ñích ta xác ñịnh ñược ñường ñi ngắn nhất là: 1 → 4 → 6 → 9 → 10 với tổng chiều dài là 650. Quy trình tính toán tổng quát − Trước hết, cần chọn có các biến trạng thái (state variables) như mô tả trong bảng III.20. Bảng III.20. Các biến trạng thái của bài toán quy hoạch ñộng Biến Số trạng thái Các trạng thái (nút) Giá trị có thể xảy ra của các biến trạng thái x 4 1 1 x 4 ≡ 1 x 3 3 2, 3, 4 x 3 = 2 ; x 3 = 3; x 3 = 4 x 2 3 5, 6, 7 x 2 = 5 ; x 2 = 6; x 2 = 7 x 1 2 8, 9 x 1 = 8 ; x 1 = 9 x 0 1 10 x 0 = 10 Biến trạng thái mô tả trạng thái của hệ thống trong từng giai ñoạn. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 82 − Xác ñịnh hàm mục tiêu: ðặt F i (x i ) là khoảng cách ngắn nhất tới ñích tính tại giai ñoạn i. Theo bảng III.19, ta thấy: F 1 (x 1 ) =    100 150 F 2 (x 2 ) = 400 300 275      M ụ c ñ ích c ủ a bài toán là c ầ n tìm ñượ c giá tr ị F 4 (x 4 ) = F 4 (1). − L ậ p hàm truy toán: F i+1 (x i+1 ) = Min [F i (x i ) + f i (u i )], Min tìm theo m ọ i t ổ h ợ p thích h ợ p x i và u i , trong ñ ó u i là bi ế n ñ i ề u khi ể n ñể ñ i ề u khi ể n chuy ể n tr ạ ng thái t ừ tr ạ ng thái x i sang x i+1 và f i (u i ) là hi ệ u ứ ng c ủ a bi ế n ñ i ề u khi ể n tác ñộ ng lên hàm truy toán (và lên hàm m ụ c tiêu, n ế u tính ñế n bài toán cu ố i cùng). Theo bi ể u th ứ c c ủ a hàm truy toán ta th ấ y, n ế u F i (x i ) + f i (u i ) là hàm phi tuy ế n thì ph ả i dùng k ĩ thu ậ t t ố i ư u thích h ợ p ñể tìm ra F i+1 (x i+1 ). Sau ñ ây chúng ta ñ i tìm các hàm truy toán F i+1 (x i+1 ) v ớ i quy trình tính toán lùi ñể gi ả i bài toán theo t ừ ng giai ñ o ạ n, nh ằ m cu ố i cùng tìm ra ñượ c F 4 (x 4 ) = F 4 (1). Giai ñoạn 1: Trong giai ñ o ạ n này, mu ố n chuy ể n t ừ nút 10 (x 0 = 10) v ề nút 8 (x 1 = 8) ch ẳ ng h ạ n thì bi ế n ñ i ề u khi ể n u 0 ph ả i có giá tr ị 150 (u 0 = 150). Hi ệ u ứ ng gây nên b ở i u 0 là f(u 0 ) = 150. ð i ề u này có ngh ĩ a là n ế u chuy ể n t ừ nút 10 ng ượ c v ề nút 8 thì c ầ n ñ i quãng ñườ ng có chi ề u dài là 150. F 0 (x 0 ) = 0 x 0 = 10 u 0 f 0 (u 0 ) F 1 (x 1 ) x 1 = 8 + u 0 = 150 150 150 150 x 1 = 9 + u 0 = 100 100 100 100 Chú ý : Không ph ả i bài toán nào u i c ũ ng trùng v ớ i hi ệ u ứ ng f i (u i ) c ủ a nó. Nói chung, bi ế n ñ i ề u khi ể n u i có th ể gây ra hi ệ u ứ ng f i (u i ) khác v ớ i u i c ả v ề ñộ l ớ n c ũ ng nh ư ñơ n v ị ñ o. Giai ñoạn 2: F 1 (x 1 ) + f 1 (u 1 ) x 2 x 1 = 8 x 1 = 9 x 1 = 8 x 1 = 9 F 2 (x 2 ) = Min[F 1 (x 1 ) + f 1 (u 1 )] 5 6 7 +u 1 = 250 − +u 1 = 125 +u 1 = 400 +u 1 = 200 − 400 − 275 500 300 − 400 = 150 + 250 300 = 100 + 200 275 = 150 + 125 Giai ñoạn 3: x 2 F 2 (x 2 ) + f 2 (u 2 ) x 3 5 6 7 x 2 = 5 x 2 = 6 x 2 = 7 F 3 (x 3 ) = Min [F 2 (x 2 ) + f 2 (u 2 )] v ớ i x 2 = 5 v ớ i x 2 = 6 v ớ i x 2 = 7 v ớ i x 1 = 8 v ớ i x 1 = 9 2 3 4 u 2 = 275 u 2 = 200 u 2 = 175 u 2 = 300 − u 2 = 200 − u 2 = 350 u 2 = 275 675 600 575 600 − 500 − 625 550 600 600 500 Giai ñoạn 4: F 3 (x 3 ) + f 3 (u 3 ) x 4 x 3 = 2 x 3 = 3 x 3 = 4 x 3 = 2 x 3 = 3 x 3 = 4 F 4 (x 4 ) = Min [F 3 (x 3 ) + f 3 (u 3 )] 1 u 3 = 100 u 3 =175 u 3 =150 700 775 650 650 ðáp số: F 4 (x 4 ) = F 4 (1) = 650 v ớ i ñườ ng ñ i ng ắ n nh ấ t trên hình III.14. Hình III.14. ðường ñi ngắn nhất 1 → 4 → 6 → 9 → 10 Một số ứng dụng của quy hoạch ñộng Bài toán 1 C ầ n phân ph ố i công su ấ t t ố i ư u c ủ a n nhà máy ñ i ệ n v ớ i ph ụ t ả i t ổ n th ấ t c ố ñị nh. Bi ế t chi phí c ủ a các nhà máy là hàm f i (p i ) ph ụ thu ộ c vào công su ấ t p i , v ớ i i = 1, 2, , n. C ầ n xác ñị nh các giá tr ị c ủ a p i sao cho t ổ ng chi phí là c ự c ti ể u. V ậ y ta có bài toán t ố i ư u sau: Hàm m ụ c tiêu: z = f 1 (p 1 ) + + f n (p n ) → Min v ớ i các ràng bu ộ c: 1 2 n i i,max p p p P 0 p P , + + + =   ≤ ≤  trong ñ ó P là t ổ ng ph ụ t ả i, P i, max là công su ấ t t ố i ñ a cho phép. Ch ẳ ng h ạ n, v ớ i n = 3 ta có BTQHTT (nguyên) sau ñ ây: z = 3p 1 + 2p 2 + p 3 → Min 1 2 3 i 2 3 p p p 15 0 p 6; 0 p 6; 0 p 8 + + =   ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤  n ế u ñ ã bi ế t: x 4 = 1 x 3 = 4 x 0 =10 x 1 = 9 x 2 = 6 u 0 = 100 u 1 = 200 u 3 = 150 u 2 = 200 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 84 1 1 1 2 2 2 3 3 3 f (p ) 3p f (p ) 2p f (p ) p . =   =   =  Chúng ta xét ph ươ ng pháp gi ả i bài toán này v ớ i gi ả thi ế t các công su ấ t p i là nguyên. ðặ t các bi ế n tr ạ ng thái là x 1 , x 2 , x 3 ; các bi ế n ñ i ề u khi ể n là p 1 , p 2 , p 3 v ớ i quan h ệ nh ư sau: x 1 = p 1 , x 2 = p 1 + p 2 , x 3 = p 1 + p 2 + p 3 = 15. Các hi ệ u ứ ng gây nên b ở i các bi ế n ñ i ề u khi ể n là f i (p i ) v ớ i i = 1, 2, 3. Thi ế t l ậ p hàm truy toán F i+1 (x i+1 ) = Min [F i (x i ) + f i+1 (p i+1 )]. ðặ t F 0 (x 0 ) = 0, d ễ th ấ y: F 1 (x 1 ) = Minf 1 (p 1 ), F 2 (x 2 ) = Min[f 1 (p 1 ) + f 2 (p 2 )] và F 3 (x 3 ) = Min[f 1 (p 1 ) + f 2 (p 2 ) + f 3 (p 3 )] = 3p 1 + 2p 2 + p 3 . M ụ c tiêu cu ố i cùng là c ự c ti ể u hóa z = F 3 (x 3 ). S ử d ụ ng nguyên t ắ c t ố i ư u Bellman ta chia bài toán ra các giai ñ o ạ n sau ñ ây (với quy trình tính toán tiến). Giai ñ o ạ n 1: ch ỉ xét công su ấ t p 1 ; Giai ñ o ạ n 2: ch ỉ xét công su ấ t p 1 và p 2 ; Giai ñ o ạ n 3: xét các công su ấ t p 1 , p 2 và p 3 . Giai ñoạn 1: (Coi F 0 (x 0 ) = 0) x 1 x 0 = 0 f 1 (p 1 ) = 3p 1 F 1 (x 1 ) = Min[F 0 (x 0 ) + f 1 (p 1 )] 0 1 2 3 4 5 6 p 1 = 0 p 1 = 1 p 1 = 2 p 1 = 3 p 1 = 4 p 1 = 5 p 1 = 6 0 3 6 9 12 15 18 0 3 6 9 12 15 18 Giai ñoạn 2: x 1 0 1 2 3 4 5 6 F 1 (x 1 ) + f 2 (p 2 ) x 2 p 2 0 1 2 3 4 5 6 F 2 (x 2 ) = Min[F 1 (x 1 ) + f 2 (p 2 )] x 0 =0 x 1 x 3 x 2 p 3 p 1 p 2 Bi ế n ñ i ề u khi ể n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 − − − − − − − 0 1 2 3 4 5 6 0 2 4 6 8 10 12 − − − − − 3 5 7 9 11 13 15 − − − − − − − 6 8 10 12 14 16 18 − − − − − − − 9 11 13 15 17 19 21 − − − − − − − 12 14 16 18 20 22 24 − − − − − − − 15 17 19 21 23 25 27 − − − − − − − 18 20 22 24 26 28 30 0 2 4 6 8 10 12 15 18 21 24 27 30 Giai ñoạn 3: x 2 0 6 7 8 9 10 11 12 F 2 (x 2 ) + f 3 (p 3 ) x 3 p 3 7 8 9 10 11 12 F 3 (x 3 ) = Min [F 2 (x 2 ) + f 3 (p 3 )] 15 − − 8 7 6 5 4 3 23 25 27 29 31 33 23 ðáp số : T ổ ng chi phí ñạ t giá tr ị c ự c ti ể u là 23, v ớ i p 1 = 1, p 2 = 6, p 3 = 8. Chú ý. Các v ấ n ñề c ơ b ả n c ầ n gi ả i quy ế t khi áp d ụ ng ph ươ ng pháp quy ho ạ ch ñộ ng theo nguyên t ắ c Bellman là: − Chia bài toán thành nhi ề u giai ñ o ạ n nh ỏ ñể gi ả i bài toán t ố i ư u cho t ừ ng giai ñ o ạ n. Các y ế u t ố c ủ a bài toán quy ho ạ ch ñộ ng là bi ế n tr ạ ng thái, bi ế n ñ i ề u khi ể n, hàm truy toán và hàm m ụ c tiêu. − Khi chuy ể n t ừ m ộ t tr ạ ng thái nào ñ ó (trong m ộ t giai ñ o ạ n) sang tr ạ ng thái khác (giai ñ o ạ n khác) c ầ n có bi ế n ñ i ề u khi ể n. − M ỗ i giá tr ị c ủ a bi ế n ñ i ề u khi ể n gây ra m ộ t hi ệ u ứ ng lên hàm m ụ c tiêu. − Tu ỳ theo các bài toán t ố i ư u phát sinh trong các giai ñ o ạ n mà l ự a ch ọ n ph ươ ng pháp t ố i ư u thích h ợ p. Trong ví d ụ ñ ang xét, khi các hi ệ u ứ ng f i (p i ) cho d ướ i d ạ ng hàm tuy ế n tính v ớ i các bi ế n p i nh ậ n các giá tr ị r ờ i r ạ c/nguyên thì hàm truy toán F i+1 (x i+1 ) = Min [F i (x i ) + f i+1 x 0 = 0 x 1 = 1 x 3 = 15 x 2 = 7 p 3 = 8 p 1 = 1 p 2 = 6 Biến ñiều khiển Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 86 (p i+1 )] s ẽ tính ñượ c b ằ ng thu ậ t gi ả i d ự a trên b ả ng li ệ t kê (nh ư ph ươ ng pháp gi ả i ñ ã trình bày). N ế u f i (p i ) phi tuy ế n v ớ i các bi ế n p i nh ậ n các giá tr ị liên t ụ c thì ñể tìm F i+1 (x i+1 ) = Min[F i (x i ) + f i+1 (p i+1 )] ta có hai cách: − Cách 1: r ờ i r ạ c hóa theo t ừ ng m ứ c. Ch ẳ ng h ạ n n ế u p 1 ∈ [0, 6] thì coi p 1 ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. − Cách 2: áp d ụ ng ph ươ ng pháp t ố i ư u thích h ợ p v ớ i bi ế n liên t ụ c (xem ch ươ ng I) cho hàm m ụ c tiêu. Ch ẳ ng h ạ n, trong ví d ụ trên khi c ầ n tìm F 2 (x 2 ) = Min [F 1 (x 1 )+ f 2 (p 2 )] = Min[f 1 (p 1 ) + f 2 (p 2 )] = Min [3p 1 + 2p 2 ] v ớ i ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c: p 1 + p 2 ≤ 15 và 0 ≤ p 1 ≤ 6, 0 ≤ p 2 ≤ 6, có th ể áp d ụ ng ph ươ ng pháp ñơ n hình. Bài toán 2 Xác ñị nh tuy ế n ñườ ng ñ i c ủ a ñườ ng dây truy ề n t ả i ñ i ệ n t ừ ñ i ể m A ñế n ñ i ể m B, v ớ i các ch ướ ng ng ạ i v ậ t khác nhau, sao cho t ổ ng chi phí là nh ỏ nh ấ t. Các d ữ ki ệ n c ủ a bài toán cho trên hình III.15. Nh ư v ậ y ñể thi ế t l ậ p s ơ ñồ ñườ ng truy ề n t ả i ñ i ệ n thì xu ấ t phát t ừ A ta có th ể ñị nh tuy ế n ñ i c ủ a ñườ ng truy ề n t ả i ñ i ệ n tr ướ c h ế t ph ả i qua m ộ t trong hai ñ i ể m sát g ầ n, theo h ướ ng b ắ c hay h ướ ng ñ ông, v ớ i các chi phí là 15 và 12. T ừ m ộ t trong hai ñ i ể m này, chúng ta l ạ i ti ế p t ụ c xác ñị nh tuy ế n ñ i cho ñườ ng truy ề n t ả i ñ i ệ n, v ớ i các chi phí ñ ã bi ế t V ậ y ta có bài toán tìm ñườ ng ñ i v ớ i chi phí nh ỏ nh ấ t. 10 8 9 13 10 6 15 12 11 10 15 A B 2 8 10 12 9 6 2 12 4 16 11 7 10 13 7 15 8 11 8 9 Hình III.15. Sơ ñồ tuyến ñi cho dây truyền tải ñiện Bài toán này hoàn toàn t ươ ng t ự v ớ i bài toán ng ườ i du l ị ch ñ ã xét và có th ể gi ả i b ằ ng ph ươ ng pháp quy ho ạ ch ñộ ng ( Hướng dẫn: Chia bài toán thành nhi ề u giai ñ o ạ n nh ỏ theo các ñườ ng v ớ i nét ñứ t n ố i trên hình III.15). 3.3. Mô hình mạng trung chuyển hàng Mô hình mạng vận tải có thể ñược xem xét dưới dạng mô hình mạng trung chuyển hàng (Transshipment Model), trong ñó mỗi ñiểm cung hoặc cầu (hoặc “loại trừ”) ñược coi là các nút trung chuyển hàng, tức là các nút cung cầu kết hợp: vừa nhận hàng ñến vừa chuyển hàng ñi. Việc xem xét như vậy có ý nghĩa thực tiễn hơn do việc tính toán cước phí vận chuyển giữa các nút trung chuyển ñược thực hiện dễ dàng hơn. Ví dụ 3: Ta có 3 ñiểm cung cấp hàng A, B, C và 2 ñiểm cầu S, T với lượng hàng cung và cầu tại mỗi ñiểm cũng như cước phí vận tải trên một ñơn vị hàng cho mỗi cung ñường như trong bảng III.21. Bảng III.21. Các dữ liệu của bài toán vận tải Cước phí vận chuyển/ñơn vị hàng c ij (USD) ñến Nơi ñi S(2300) T(1400) A(1000) 80 215 B(1500) 100 108 C(1200) 102 68 Cần xác ñịnh nên vận chuyển từ mỗi ñiểm cung tới mỗi ñiểm cầu bao nhiêu ñơn vị hàng nhằm thoả mãn nhu cầu cung cầu ñồng thời ñạt tổng chi phí vận tải là nhỏ nhất. ðể ñưa bài toán vận tải trên về bài toán trung chuyển hàng, ta coi các ñiểm A, B, C, S và T vừa là các nút trung chuyển: nhận hàng ñến và chuyển hàng ñi. Do ñó cần thêm vào các cước phí vận tải trên một ñơn vị hàng giữa hai nút bất kì của mạng trung chuyển hàng (xem bảng III.22, chẳng hạn, từ A tới B cước phí ñó là 130, từ A tới S cước phí là 80 như ñã cho, tuy nhiên từ S tới A cước phí lại là 79 trên ñường ñi theo chiều ngược lại). Tại mỗi nút, một lượng hàng hóa bất kì không vượt quá 3700 ñơn vị có thể ñược trung chuyển. Nếu tại mỗi nút cung hay cầu của bài toán vận tải ban ñầu, chúng ta bổ sung thêm một lượng “dự trữ ñệm” là B ≥ 3700 ñơn vị hàng thì hàng có thể chuyển ñi trước khi hàng ñến. Chọn B = 3700, chúng ta sẽ ñưa bài toán trung chuyển hàng về bài toán vận tải với 5 nút cung ñồng thời là 5 nút cầu (có các lượng cung/cầu phải ñược tính toán lại), với phương án vận chuyển tối ưu ñược cho trong bảng III.22: Từ A vận chuyển tới S 1000 ñơn vị hàng, từ B tới C và S 200 và 1300 ñơn vị hàng, từ C tới T 1400 ñơn vị hàng. Bảng III.22. Phương án tối ưu của bài toán trung chuyển hàng Cước phí vận chuyển/ñơn vị hàng c ij (USD) ñến Nơi ñi A 3700 B 3700 C 3700 S 6000 T 5100 A 1000+3700 0 3700 130 90 80 1000 215 B 135 0 101 100 108 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 88 1500+3700 3700 200 1300 C 1200+3700 95 105 0 3500 102 68 1400 S 3700 79 99 110 0 3700 205 T 3700 200 107 72 205 0 3700 Ví dụ 4: Giải bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất (xem sơ ñồ mạng ñường ñi trên hình III.16) bằng cách áp dụng mô hình mạng trung chuyển hàng. ðể cho ñơn giản chúng ta xét ñường ñi hai chiều, chẳng hạn từ nút 2 tới nút 5 và ngược lại ñều có ñường ñi với cùng chiều dài là 500. 2 1 7 3 6 4 5 600 1000 400 800 1100 500 200 900 100 300 700 Hình III.16. Sơ ñồ mạng ñường ñi ðể giải bài toán này chúng ta coi nút 1 là nút ñi ñóng vai trò ñiểm cung duy nhất với lượng cung bằng 1 ñơn vị, còn nút 7 là nút ñến ñóng vai trò nút cầu duy nhất với lượng cầu là 1, các nút còn lại là các nút trung chuyển. Chiều dài các ñường ñi giữa các nút ñược ñiền vào các ô tương ứng, ñược xem như cước phí vận tải. Nếu không có ñường ñi thì ta coi cước phí là M ≈ +∞. Lúc này bài toán ñược ñưa về mô hình mạng trung chuyển hàng với các dữ liệu như mô tả trong bảng III.23 và có thể giải ñược bằng phương pháp phân phối hay phương pháp thế vị như ñã biết. Bảng III.23. Dữ liệu của bài toán ñường ñi ngắn nhất. Nút ñi 2 3 4 5 6 7 là nút ñến là nút 1 200 400 1000 M M M 1 2 0 M 1100 500 M M 0 + B 3 M 0 300 M 100 M 0 + B 4 1100 300 0 800 700 M 0 + B 5 500 M 800 0 M 600 0 + B 6 M 100 M M 0 900 0 + B B = 1 0 + B 0 + B 0 + B 0 + B 0 + B 1 3.4. Bài toán tìm luồng cực ñại Ví dụ 5: Xét mạng ñường ñi có hướng từ nút 1 tới nút 5 với các tải năng tối ña của các cung ñường ñã biết như mô tả trên hình III.17 (chẳng hạn tải năng x 12 của cung ñường nối các nút 1 và 2 phải nằm trong giới hạn từ 0 tới 20). Bài toán ñặt ra là: Cần xác ñịnh ñược luồng cực ñại (Maximal Flow) giữa nút 1 (nút nguồn) và nút 5 (nút hút). Hình III.17. S ơ ñồ ñường ñi và thông lượng Bài toán trên có ý nghĩa thực tế như sau: Coi nút 1 là kho bơm/cấp phát dầu thô với khả năng rất lớn, các ñường ñi là các ống dẫn dầu với các tải năng (tấn/ñơn vị thời gian) ñã xác ñịnh, các nút 2, 3 và 4 là các trạm bơm/trung chuyển dầu, còn nút 5 là kho nhận dầu (ñể ñưa dầu vào lọc). Cần xác ñịnh phương án bơm dầu tối ưu với các tải năng thích hợp của các cung ñường ñể bơm ñược dầu thô nhiều nhất (tính trên một ñơn vị thời gian) từ nút 1 tới nút 5. ðó chính là phương án sau: Bơm 20 tấn dầu thô từ nút 1 qua ñường ñi 1 → 2 → 5 tới nút 5, bơm 15 tấn dầu thô trừ nút 1 qua ñường ñi 1 → 4 → 5 tới nút 5 và bơm 10 tấn dầu thô trừ nút 1 qua ñường ñi 1 → 3 → 5 tới nút 5. Như vậy luồng cực ñại có thể chuyển từ nút 1 ñến nút 5 qua mạng ống dẫn dầu trên có giá trị là 45 tấn/một ñơn vị thời gian. Cần chú ý là tổng lượng dầu ñi qua mỗi cung ñường phải nằm trong giới hạn cho phép của tải năng. Về mặt toán học, khái niệm luồng cực ñại có thể ñược xây dựng như sau ñây ñối với bài toán trên. Trước hết, ta gọi một luồng chấp nhận ñược là một véc tơ (x 12 , x 13 , x 14 , x 24 , x 25 , x 34 , x 35 , x 45 ), x ij ∈[ max ij 0,x ] ∀ cung (i, j) cho trên mạng ñường ñi có hướng và thoả mãn: ki ih k I(i) h O(i) x x ∈ ∈ = ∑ ∑ ∀ nút i trên mạng, trong ñó vế trái là tổng các tải năng của các cung ñi vào nút i, còn vế phải là tổng các tải năng của các cung ñi khỏi nút i. Dễ dàng chứng minh ñược rằng luôn có 1j i5 j O(1) i I(5) x x ∈ ∈ = ∑ ∑ = v. Lúc này, một luồng cực ñại 2 1 3 4 5 (28) (20) (5) (20) (15) (10) (30) (15) [...]... t khi nút hút ñư c ñưa vào t p I thì cũng v ngay bư c k t thúc Bư c k t thúc Tìm ñư ng tăng lu ng P (xem gi i thích ngay sau ñây) và d ng Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 90 ... trên m ng, trong ñó v trái là t ng các t i năng c a các cung k∈I(i) h∈O(i) ñi vào nút i, còn v ph i là t ng các t i năng c a các cung ñi kh i nút i Trong b ng trên, chúng ta xu t phát b i véc tơ lu ng trùng véc tơ 0 v i giá tr lu ng b ng 0 T i bư c l p 1 chúng ta tìm ñư c m t ñư ng tăng lu ng 1 → 2 → 5 t nút 1 t i nút 5 b ng cách th c hi n th t c ñánh d u Th t c ñánh d u Bư c kh i t o G i I là t p nút . ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 88 1500+3700 3700 200 1300 C 1200+3700 95 105 0 3500 102 68 1400 S 3700 79 99 110 0 3700 205 T 3700 200. x 1 2 8, 9 x 1 = 8 ; x 1 = 9 x 0 1 10 x 0 = 10 Biến trạng thái mô tả trạng thái của hệ thống trong từng giai ñoạn. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ………………………………. x 4 = 1 x 3 = 4 x 0 =10 x 1 = 9 x 2 = 6 u 0 = 100 u 1 = 200 u 3 = 150 u 2 = 200 Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 84 1 1 1 2 2 2 3