vận trù học pot

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 10 − Kiểm thử mô hình và ñánh giá phương án tìm ñược. Trong trường hợp phương án tìm ñược kéo theo các kết quả bất thường về mặt tính toán hoặc không phù hợp với thực tế, cần kiểm tra và chỉnh sửa lại mô hình, rà soát lại các số liệu ñầu vào cũng như các bước tính toán hay chọn lựa phương án. Sau ñó giải lại mô hình ñể tìm ra phương án phù hợp hơn. − Triển khai phương án tìm ñược trên thực tế. Trong toàn bộ quá trình ra quyết ñịnh, chuyên gia Vận trù học cần quan hệ chặt chẽ với nhà quản lí, giải thích rõ ràng về tác dụng của mô hình ñã ñặt ra. ðể phương án cuối cùng ñược triển khai trên thực tế, cần có báo cáo chi tiết giúp bộ máy quản lí hiểu rõ các hiệu quả thiết thực mà phương án có thể mang lại. Tuy nhiên, cũng cần nêu rõ các ñiều kiện ñảm bảo cần thiết cũng như phân tích rõ các yếu tố lợi nhuận/chi phí/rủi ro của phương án. 1.3. Quá trình phát triển của Vận trù học Những tiến bộ nhân loại ñạt ñược trong vài thế kỉ vừa qua và trong giai ñoạn hiện tại có phần ñóng góp quan trọng của các phương pháp khoa học trong việc giải quyết các vấn ñề kinh tế, xã hội. Phương pháp luận khoa học, trước ñây thường ñược biết tới trong các vấn ñề của Khoa học tự nhiên, ngày nay ngày càng ñược ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của Khoa học quản lí như: lập kế hoạch, tổ chức và kiểm soát các hoạt ñộng. Từ hàng vài nghìn năm trước, các hoạt ñộng chế tạo và lắp ráp tàu biển tại Venice ñã ñược tổ chức một cách khá khoa học. Vào cuối thế kỉ XIX, Frederick W. Taylor ñã giải quyết thành công bài toán quan trọng của Kĩ nghệ công nghiệp (Industrial Engineering) lúc ñó là chế tạo ra các loại xẻng ñể khai thác các loại quặng khác nhau với năng suất cao nhất. Cũng vào thời gian này, Henry L. Gantt giải quyết thành công bài toán lập tiến trình sản xuất (Production Scheduling) khi sản phẩm ñược chế tạo và hoàn thiện qua nhiều công ñoạn. Dần dần, các nhà quản lí mở rộng các bài toán trong một số hoạt ñộng kĩ nghệ công nghiệp sang các hoạt ñộng khác của công ti như: khai thác và sử dụng các nguồn nguyên liệu, thuê và phát triển nhân lực, chính sách tài chính, bất ñộng sản Các nhà khoa học tự nhiên, xã hội cũng bắt ñầu quan tâm tới các bài toán quản lí và nhận thức ñược tầm quan trọng của việc giải quyết vấn ñề một cách hệ thống, tầm quan trọng của các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ nghệ và quản lí. ðó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lí. Từ ñầu thế kỉ XX, Vận trù học/Khoa học quản lí ñã ñược áp dụng khá rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Tại nước Anh vào năm 1914 - 1915 F. W. Lanchester ñã xem xét các hoạt ñộng quân sự một cách ñịnh lượng khi ñưa ra phương pháp ñánh giá sức mạnh quân sự thông qua số lượng bộ binh và hỏa lực. Còn tại Mĩ lúc ñó, T. A. Edison nghiên cứu và mô phỏng các hoạt ñộng hợp lí của tàu chiến trong tấn công và tiêu diệt các tàu ngầm. Vào năm 1917, nhà bác học người ðan Mạch A. K. Erlang cho công bố các công trình về các hoạt ñộng hợp lí trong hệ dịch vụ ñiện thoại và bưu ñiện, có tên gọi tổng quát là hệ thống hàng chờ (Waiting Line System). Năm 1915, Ford W. Harris công bố về cách xác ñịnh dung lượng lô hàng tối ưu trong bài toán quản lí hàng dự trữ (Inventory Management). Sau ñó một loạt công trình ñược các tác giả khác tiếp tục công bố về các mô hình kiểm soát hàng dự trữ. Các ứng dụng của lí thuyết xác suất trong kiểm ñịnh chất lượng (Quality Control) cũng ñược ñề cập tới trong các bài báo của Walter Shewhart. Mô hình quy hoạch tuyến tính (Linear Programming) ñược giáo sư ðại học Havard Wassily Leontieff áp dụng vào những năm 1930 ñể mô tả và phân tích toàn bộ nền kinh tế Mĩ. Các ứng dụng của Vận trù học trong kinh doanh lần ñầu tiên ñược Horace C. Levinson phát triển trong giai ñoạn 1920 - 1930 ñể nghiên cứu các mối quan hệ giữa doanh thu và quảng cáo, giữa thu nhập và ñịa ñiểm sinh sống của người tiêu dùng và các mặt hàng mua sắm. Sau năm 1945, Vận trù học tiếp tục ñược ứng dụng ngày càng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực. Rất nhiều bài toán quản lí ñược giải quyết bằng phương pháp ñơn hình (Simplex Method) do George B. Danzig ñưa ra vào năm 1947. Các mô hình mạng (Network Model) ñược phát triển lần ñầu vào năm 1958 với sự trợ giúp của công ti tư vấn Booz, Allen và Hamilton. Tại Việt Nam, từ nhiều năm trước ñây các hoạt ñộng giảng dạy và nghiên cứu về Vận trù học ñã ñược tiến hành tại một số cơ sở ñào tạo và nghiên cứu như ðại học Tổng hợp Hà Nội, Viện Toán học, Viện ðiều khiển kinh tế… Vận trù học ñược ñưa vào ứng dụng thành công trong một số lĩnh vực như giao thông, thủy lợi, sản xuất nông nghiệp và công nghiệp, dịch vụ, quốc phòng, với các ñóng góp của các giáo sư Hoàng Tụy, Trần Vũ Thiệu, Nguyễn ðình Ngọc, Nguyễn Quý Hỷ. ðược thành lập vào năm 2002, Tạp chí Ứng dụng Toán học ñã và ñang công bố nhiều bài báo trong lĩnh vực Vận trù học. Ngày nay, tại nhiều nước trên thế giới, các Hội Vận trù học và các Viện Khoa học quản lí ñược thành lập, với nhiều tạp chí chuyên khảo nổi tiếng. Có thể giới thiệu ở ñây một số tạp chí quốc tế như: Operations Research, Management Science, A.I.E.E. Transactions, C.O.R.S. Journal, Industrial Engineering, European Journal of Operational Research, Asia-Pacific Journal of Operational Research, Decision Sciences, Decision Support Systems. 2. CÁC ỨNG DỤNG VÀ PHƯƠNG PHÁP ðỊNH LƯỢNG CƠ BẢN CỦA VẬN TRÙ HỌC 2.1. Một số ứng dụng Các ứng dụng cơ bản của Vận trù học có thể ñược phân loại theo các lĩnh vực sau ñây: - Lập kế hoạch sử dụng các phương tiện, bao gồm: xác ñịnh quy mô và ñịa ñiểm xây dựng xí nghiệp, lập kế hoạch cho bệnh viện, các hệ thống cung ứng dịch vụ quốc tế, xác ñịnh số lượng phương tiện cần thiết, sắp xếp phương án vận chuyển, bố trí kho hàng, phân công nhiệm vụ. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 12 - Chế tạo, sản xuất: kiểm soát hàng dự trữ, cân bằng sản xuất và tiếp thị, lập tiến trình sản xuất, ñảm bảo ổn ñịnh sản xuất. - Xây dựng: phân phối các dự trữ tài nguyên cho các dự án, xác ñịnh số thành viên của các ñội công tác, duy trì tiến trình công tác, lập tiến trình dự án. - ðặt hàng, mua nguyên liệu: chuyển giao vật liệu, chính sách mua hàng và ñặt lại hàng tối ưu. - Tiếp thị: xác ñịnh chi phí tiếp thị, thời ñiểm giới thiệu sản phẩm mới, chọn lựa danh mục sản phẩm hỗn hợp. - Tài chính: chính sách cổ tức, phân tích ñầu tư và chọn lựa danh mục ñầu tư. - Kế toán: lập kế hoạch luồng tiền, chính sách tín dụng, lập kế hoạch cho chiến lược kế toán nợ. - Chính sách nhân lực: tuyển dụng nhân viên, lập kế hoạch nhân lực, lập tiến trình bồi dưỡng cán bộ, cân bằng các kĩ năng. - Nghiên cứu và phát triển: Kiểm soát các dự án nghiên cứu và phát triển, lập kế hoạch phát triển sản phẩm mới. Chúng ta hãy xem xét một cách chi tiết hơn vấn ñề trên qua một vài ứng dụng ñiển hình của Vận trù học/Khoa học quản lí như sau: - Bài toán lập kế hoạch nhân lực. Một công ti cần thường xuyên duy trì 1000 nhân viên, trong số ñó có 70% nhân viên “cũ” (ñã làm việc tại công ti từ một năm trở lên) và 30% nhân viên “mới” (làm việc dưới một năm). Theo các kết quả thống kê có ñược, trong số nhân viên mới thông thường 50% bỏ việc trong vòng 4 tháng ñầu, 20% bỏ việc trong vòng 4 tháng tiếp theo, 10% bỏ việc trong 4 tháng kế tiếp và chỉ có 20 % không bỏ việc trong năm ñầu tiên vào làm việc. Trong số nhân viên cũ, thông thường hàng năm có 30% bỏ việc (tức là khoảng 10% cho mỗi kì 4 tháng). Vậy công ti cần xác ñịnh tỉ lệ tuyển nhân viên mới hàng năm như thế nào ñể: i) duy trì ổn ñịnh ñược lượng lao ñộng, ii) giảm lượng lao ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước, iii) tăng lượng lao ñộng hàng năm theo một tỉ lệ ñịnh trước. - Bài toán phân công nhiệm vụ. Một nhóm 3 kĩ sư A, B và C ñược phân công hoàn thành 3 nhiệm vụ 1, 2 và 3. Cần giao cho mỗi kĩ sư một nhiệm vụ sao cho tổng số ngày công thực hiện 3 nhiệm vụ trên là thấp nhất, biết rằng kĩ sư A có thể hoàn thành các nhiệm cụ 1, 2, 3 theo thứ tự trong vòng 2, 6 và 3 ngày, còn số ngày như vậy cho các kĩ sư B và C là 8,4, 9 và 5, 7, 8. Bằng cách liệt kê các phương án phân công nhiệm vụ (có tất cả 3! = 6 phương án phân công), có thể tìm ñược ngay phương án phân công tối ưu là: phân công cho kĩ sư A nhiệm vụ 3, kĩ sư B nhiệm vụ 2 và kĩ sư C nhiệm vụ 1. Tuy nhiên, nếu bài toán ñược mở rộng khi cần phân công 20 nhiệm vụ cho 20 kĩ sư thì phương pháp liệt kê (với tất cả là 20! ≈ 2,433×10 18 phương án phân công) tỏ ra rất kém tác dụng. Như vậy cần phải nghiên cứu một phương pháp khác ñể giải quyết bài toán phân công nghiệm vụ tổng quát. 2.2. Các phương pháp ñịnh lượng Các phương pháp ñịnh lượng cơ bản thường ñược sử dụng trong Vận trù học/Khoa học quản lí bao gồm: - Các phương pháp tối ưu giải mô hình quy hoạch tuyến tính và phi tuyến, quy hoạch ñộng và quy hoạch ña mục tiêu. - Các kĩ thuật/thuật toán chuyên dụng giải các mô hình mạng như bài toán vận tải, bài toán tìm ñường ñi ngắn nhất, mô hình mạng PERT, bài toán tìm luồng cực ñại. - Kĩ thuật mô phỏng giải các mô hình hàng chờ/dịch vụ công cộng. - Phân tích Markov ứng dụng trong kinh doanh và quản lí. - Các phương pháp chọn lựa quyết ñịnh dựa trên Lí thuyết quyết ñịnh và Lí thuyết trò chơi. - Các mô hình quản lí hàng dự trữ. Do thời lượng có hạn, một số phương pháp khác của Vận trù học như các phương pháp dự báo, hệ chuyên gia, khai phá dữ liệu và tri thức không ñược ñề cập tới trong giáo trình này. 2.3. Hệ thông tin quản lí Các tiêu chuẩn về số liệu. Các phương pháp ñịnh lượng hay kĩ thuật tính toán ñược ñề cập trên ñây thường ñòi hỏi các số liệu ñầu vào phải ñảm bảo các tiêu chuẩn sau: - Chính xác: số liệu phải không có sai sót. - Chi phí hiệu quả: chi phí thu thập số liệu thấp hơn giá trị chúng có thể mang lại. - Cập nhật: số liệu phản ánh ñúng các ñiều kiện hiện tại. - Tin cậy: số liệu phát sinh kết quả không có gì bất thường. - Dễ sử dụng: số liệu có thể ñược sử dụng thân thiện mà không phải sửa ñổi gì thêm. Các tiêu chuẩn trên ñây có thể có tính chất “thỏa hiệp”, có nghĩa là nếu một tiêu chuẩn nào ñó trở nên tốt hơn thì cũng dẫn tới một tiêu chuẩn khác xấu ñi. Chẳng hạn, chi phí lấy số liệu thấp thường ảnh hưởng tới tính chính xác và ñộ tin cậy của số liệu. Tuy nhiên, năm tiêu chuẩn này luôn là mục tiêu cần “cực ñại hóa” khi thu thập số liệu. Khái niệm hệ thông tin quản lí. Có thể coi hệ thông tin quản lí là một hệ thống các số liệu/dữ liệu ñược thu thập, tổ chức, phân tích, xử lí và lưu trữ trên máy tính/mạng máy tính dưới dạng thông tin hỗ trợ các quyết ñịnh quản lí. ðể ứng dụng thành công các phương pháp ñịnh lượng của Vận trù học, chúng ta luôn cần thiết lập ñược một hệ thông tin quản lí ñủ tốt nhằm cung cấp các số liệu cần thiết cho mô hình toán học của vấn ñề Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 14 cần giải quyết. Rõ ràng rằng, các số liệu thô thu thập ñược trong bước khảo sát thực tế và phát hiện vấn ñề ñược biến ñổi một cách thích hợp thành thông tin hỗ trợ ra quyết ñịnh. Chẳng hạn, các số liệu thô về hệ số lợi nhuận của một loại sản phẩm ñược biến ñổi thành hệ số lợi nhuận (trung bình)/ñơn vị sản phẩm, là một dạng thông tin hỗ trợ việc lập kế hoạch sản xuất sản phẩm này. Máy tính/mạng máy tính có rất nhiều ñiểm mạnh như: tính chính xác, tính nhất quán, bộ nhớ lớn, xử lí ñược nhiều số liệu và phép toán phức tạp, làm việc theo các quy tắc và chương trình ñịnh sẵn. Tuy nhiên, ñể thiết lập một hệ thông tin quản lí hiệu quả, cần xác ñịnh ñược các dạng thông tin hỗ trợ cần thiết giúp phát huy tốt nhất các ưu ñiểm suy luận sáng tạo và linh hoạt của người ra quyết ñịnh. Một hệ thông tin quản lí “nhiều máy tính quá” thường dẫn ñến phương án có tính cơ giới, sự phản ứng thiếu linh hoạt và quyết ñịnh ở phạm vi hẹp. Trái lại, một hệ thông tin quản lí “nhiều tính người quá” thường dẫn ñến sự phản ứng chậm chạp và sự hạn chế trong việc sử dụng số liệu cũng như khả năng tìm kiếm và ñánh giá các phương án thay thế. ðây chính là các vấn ñề cần chú trọng khi các chuyên gia Vận trù học và Công nghệ thông tin cùng nhau xem xét và xây dựng một hệ thông tin quản lí. Hệ thông tin quản lí có thể ñược phân ra ba loại cơ bản: hệ thống cho ñầu ra là các kiểu báo cáo, hệ thống trả lời các truy vấn dạng “what - if” và hệ hỗ trợ ra quyết ñịnh (Decision Support System - DSS). Các hệ hỗ trợ ra quyết ñịnh là loại hệ thông tin quản lí hoàn thiện nhất cho phép tích hợp quá trình ra quyết ñịnh tương tác người - máy tính với các cơ sở dữ liệu và các mô hình ñịnh lượng nhằm hỗ trợ trực tiếp việc ñưa ra quyết ñịnh. Chương II MỘT SỐ MÔ HÌNH VÀ PHƯƠNG PHÁP TỐI ƯU 1. MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Phát biểu mô hình quy hoạch tuyến tính Với mục ñích tìm hiểu bước ñầu, xét mô hình toán học sau ñây, còn gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính hay bài toán quy hoạch tuyến tính (BTQHTT), mà trong ñó chúng ta muốn tối ưu hóa (cực ñại hóa hay cực tiểu hoá) hàm mục tiêu: z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + c n x n → Max (Min), với các ñiều kiện ràng buộc: a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n ≤ b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n ≤ b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mn x n ≤ b m x 1 , x 2 , , x n ≥ 0 (ñiều kiện không âm). Trong trường hợp tổng quát, BTQHTT có thể bao gồm các ràng buộc dạng ≥, ≤ hoặc dạng =, các biến có thể có dấu ≥ 0, ≤ 0 hoặc dấu tùy ý. Ví dụ 1: z = 8x 1 + 6x 2 → Max, với các ràng buộc: 4x 1 + 2x 2 ≤ 60 2x 1 + 4x 2 ≤ 48 x 1 , x 2 ≥ 0. BTQHTT trên ñây chính là một bài toán quyết ñịnh. Cần tìm các giá trị của các biến quyết ñịnh x 1 , x 2 ñể các ràng buộc ñược thoả mãn và hàm mục tiêu ñạt giá trị lớn nhất. Bài toán này có ý nghĩa kinh tế như sau: Giả sử một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I và II. ðể sản xuất ra một ñơn vị sản phẩm I cần có 4 ñơn vị nguyên liệu loại A và 2 ñơn vị nguyên liệu loại B, các chỉ tiêu ñó cho một ñơn vị sản phẩm loại II là 2 và 4. Lượng nguyên liệu dự trữ loại A và B hiện có là 60 và 48 (ñơn vị). Bộ máy quản lí cần ñưa ra quyết ñịnh nên lựa chọn phương án sản xuất nào ñể triển khai nhằm ñạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận trên mỗi ñơn vị sản phẩm bán ra là 8 và 6 (ñơn vị tiền tệ) cho các sản phẩm loại I và II. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 16 Phương pháp ñồ thị giải BTQHTT hai biến Phương pháp ñồ thị có ý nghĩa minh hoạ và giúp hiểu bản chất vấn ñề. Bước 1: Vẽ miền ràng buộc/miền các phương án khả thi, là tập hợp các phương án khả thi (các phương án, nếu nói một cách ngắn gọn). Mỗi phương án ñược thể hiện qua bộ số (x 1 , x 2 ) còn gọi là véc tơ nghiệm, thoả mãn tất cả các ràng buộc ñã có (xem hình II.1). − Trước hết chúng ta vẽ ñồ thị 4x 1 + 2x 2 = 60 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm trên ñồ thị: (0, 30) và (15, 0). ðồ thị trên là một ñường thẳng chia mặt phẳng làm hai nửa mặt phẳng: một phần gồm các ñiểm (x 1 , x 2 ) thoả mãn 4x 1 + 2x 2 ≤ 60; một phần thoả mãn 4x 1 + 2x 2 ≥ 60. Ta tìm ñược nửa mặt phẳng thoả mãn 4x 1 + 2x 2 ≤ 60. − Tương tự, có thể vẽ ñồ thị 2x 1 + 4x 2 = 48 bằng cách xác ñịnh hai ñiểm thuộc ñồ thị (0, 12) và (24, 0). Sau ñó tìm nửa mặt phẳng thoả mãn 2x 1 + 4x 2 ≤ 48. − Lúc này, giao của hai nửa mặt phẳng tìm ñược trên cho ta tập hợp các ñiểm (x 1 , x 2 ) thoả mãn hai ràng buộc ñầu tiên. Tuy nhiên, ñể thoả mãn ñiều kiện không âm của các biến, ta chỉ xét các ñiểm nằm trong góc phần tư thứ nhất. Vậy miền các phương án khả thi là miền giới hạn bởi tứ giác OABC. Bước 2: Trong miền (OABC) ta tìm ñiểm (x 1 , x 2 ) sao cho z = 8x 1 + 6x 2 ñạt giá trị lớn nhất. Cách 1: Dùng ñường ñồng mức. Tùy theo giá trị của x 1 , x 2 mà z có mức giá trị khác nhau. − Vẽ ñường ñồng mức: 8x 1 + 6x 2 = c ở mức c = 24, (ta có thể chọn giá trị c bất kì, nhưng chọn c = 24 là bội số chung của 6 và 8 ñể việc tìm toạ ñộ các ñiểm cắt hai trục toạ ñộ thuận lợi hơn). Chúng ta dễ dàng tìm ñược hai ñiểm nằm trên ñường ñồng mức là (0, 4) và (3, 0). Các ñiểm nằm trên ñường ñồng mức này ñều cho giá trị hàm mục tiêu z = 24. 30 4x 1 + 2x 2 = 60 O 4 8 1 x 1 2x 1 + 4x 2 = 48 x 2 6 15 3 24 A B C Hình II.1. Phương pháp ñồ thị giải bài toán quy hoạch tuyến tính − Tương tự, có thể vẽ ñường ñồng mức thứ hai: 8x 1 + 6x 2 = 48 ñi qua hai ñiểm (0, 8) và (6, 0). Chúng ta nhận thấy, nếu tịnh tiến song song ñường ñồng mức lên trên theo hướng của véc tơ pháp tuyến n r (8, 6) thì giá trị của hàm mục tiêu z = 8x 1 + 6x 2 tăng lên. Vậy giá trị z lớn nhất ñạt ñược khi ñường ñồng mức ñi qua ñiểm B(12, 6) (tìm ñược x 1 = 12, x 2 = 6 bằng cách giải hệ phương trình 4x 1 + 2x 2 = 60 và 2x 1 + 4x 2 = 48). Kết luận: Trong các phương án khả thi thì phương án tối ưu là (x 1 , x 2 ) = (12, 6). Tại phương án này, giá trị hàm mục tiêu là lớn nhất z max = 8 × 12 + 6 × 6 = 132. Nhận xét: Phương án tối ưu của bài toán trên (hay các BTQHTT khác, nếu có) luôn ñạt ñược tại một trong các ñỉnh của miền phương án khả thi D (là một tập lồi ña diện trong trường hợp BTQHTT tổng quát) hay còn gọi là các ñiểm cực biên (chính xác hơn, miền ñiểm cực biên là ñiểm thuộc miền D, mà không thể tìm ñược một ñoạn thẳng nào cũng thuộc miền D nhận ñiểm ñó là ñiểm trong). Nhận xét trên ñây là một ñịnh lí toán học ñã ñược chứng minh một cách tổng quát trong các giáo trình môn học Tối ưu hoá. Nói một cách hình ảnh, muốn ñạt ñược phương án tối ưu cho các BTQHTT thì cần phải “mạo hiểm” ñi xét các ñiểm cực biên của miền phương án khả thi. Cách 2: Từ nhận xét trên, ñể tìm phương án tối ưu ta chỉ cần so sánh giá trị của hàm mục tiêu tại các ñiểm cực biên của miền phương án. Tính giá trị z tại O(0, 0): z(0, 0) = 0; tại A(0, 12): z(0, 12) = 72; tại C(15,0): z(15, 0) = 120; tại B(12, 6): z(12, 6) = 132 = Max{z(O), z(A), z(B), z(C)}. Vậy z max = 132. Nhận xét: Muốn tìm phương án tối ưu của BTQHTT ta xuất phát từ một ñiểm cực biên nào ñó, tìm cách cải thiện hàm mục tiêu bằng cách ñi tới ñiểm cực biên kề nó. Tiếp tục như vậy cho tới khi tìm ñược phương án tối ưu. Trong trường hợp BTQHTT có phương án tối ưu thì quy trình giải này bao gồm hữu hạn bước (do số ñiểm cực biên là hữu hạn). Sơ ñồ khối Bắt ñầu Nhập dữ liệu Tìm ñiểm cực biên xuất phát Tìm ñiểm cực biên kề tốt hơn Kiểm tra ñiều kiện tối ưu In và lưu trữ kết quả Dừng ðúng Sai Hình II.2. Sơ ñồ khối giải BTQHTT Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 18 ðối với BTQHTT ñang xét, quy trình giải ñược minh hoạ như sau: O(0, 0) → A(0,12) → B(12,6) dừng z = 0 → z = 72 → z = 132 hoặc: O(0, 0) → C(15, 0) → B(12, 6) dừng z = 0 → z = 120 → z = 132. Quy trình giải BTQHTT tổng quát có sơ ñồ khối giản lược như trình bày trên hình II.2. Trong sơ ñồ trên, vì mục ñích trình bày vấn ñề ñơn giản, chúng ta không ñề cập tới các trường hợp khi BTQHTT có miền phương án là tập rỗng (lúc ñó ta không tìm ñược phương án xuất phát) cũng như khi ta không tìm ñược ñiểm cực biên kề tốt hơn mặc dù ñiều kiện tối ưu chưa thoả mãn (lúc ñó tập các giá trị hàm mục tiêu z không bị chặn). 1.2. Phương pháp ñơn hình giải BTQHTT dạng chính tắc ðây là phương pháp số giải BTQHTT theo sơ ñồ trên. ðể giải ví dụ 1 trên ñây, trước hết chúng ta cần ñưa BTQHTT về dạng chính tắc bằng cách thêm vào các biến bù không âm x 3 và x 4 như sau: z = 8x 1 + 6x 2 + 0x 3 + 0x 4 → Max với các ràng buộc: 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 60 2x 1 + 4x 2 + x 4 = 48 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0. Một cách tổng quát, BTQHTT dạng chính tắc là bài toán với các biến không âm, các ràng buộc với dấu “=”, hệ số vế phải của các ràng buộc không âm. Ngoài ra, mỗi phương trình bắt buộc phải có một biến ñứng ñộc lập với hệ số +1. ðể giải BTQHTT dạng chính tắc trên ñây, cần lập một số bảng ñơn hình như trình bày trong bảng II.1. Trước hết, cần ñiền số liệu của bài toán ñã cho vào bảng ñơn hình bước 1: − Cột 1 là cột hệ số hàm mục tiêu ứng với các biến cơ sở ñã chọn. Phương án xuất phát có thể chọn là x 1 = x 2 = 0 (ñây chính là ñiểm gốc toạ ñộ O(0, 0)), do ñó x 3 = 60, x 4 = 48). Như vậy tại bước này chúng ta chưa bước vào sản xuất, nên trong phương án chưa có ñơn vị sản phẩm loại I hay II ñược sản xuất ra (chỉ “sản xuất” ra các lượng nguyên liệu dư thừa, ta cũng nói là các “sản phẩm” loại III và IV) và giá trị hàm mục tiêu z tạm thời bằng 0. Các biến bù có giá trị lớn hơn 0 có nghĩa là các nguyên liệu loại tương ứng chưa ñược sử dụng hết. Ta gọi các biến x 3 và x 4 là các biến cơ sở vì chúng có giá trị lớn hơn 0 còn x 1 và x 2 là các biến ngoài cơ sở vì chúng có giá trị bằng 0. Với bài toán có hai ràng buộc, tại mỗi bước chỉ có hai biến cơ sở. − Cột 2 là cột các biến cơ sở. Trong cột 3 (cột phương án) cần ghi các giá trị của các biến cơ sở ñã chọn. − Các cột tiếp theo là các cột hệ số trong các ñiều kiện ràng buộc tương ứng với các biến x 1 , x 2 , x 3 và x 4 của bài toán ñã cho. Bảng II.1. Các bảng ñơn hình giải BTQHTT c 1 = 8 c 2 = 6 c 3 = 0 c 4 = 0 Hệ số hàm mục tiêu c j Biến cơ sở Phương án x 1 x 2 x 3 x 4 0 0 x 3 x 4 60 48 4 2 2 4 1 0 0 1 Hàng z z 0 = 0 z 1 = 0 z 2 = 0 z 3 = 0 z 4 = 0 Hàng ∆ j = c j − z j ∆ 1 = 8 ∆ 2 = 6 ∆ 3 = 0 ∆ 4 = 0 8 0 x 1 x 4 15 18 1 0 1/2 3 1/4 −1/2 0 1 Hàng z z 0 = 120 z 1 = 8 z 2 = 4 z 3 = 2 z 4 = 0 Hàng ∆ j = c j − z j ∆ 1 = 0 ∆ 2 = 2 ∆ 3 = −2 ∆ 4 = 0 8 6 x 1 x 2 12 6 1 0 0 1 1/3 −1/6 −1/6 1/3 Hàng z z 0 = 132 8 6 5/3 2/3 Hàng ∆ j = c j − z j 0 0 −5/3 −2/3 Phân tích bảng ñơn hình bước 1 − Hệ số ứng với biến x 1 trên hàng thứ nhất là a 11 = 4 có nghĩa là tỉ lệ thay thế riêng giữa một ñơn vị sản phẩm loại I và một ñơn vị sản phẩm loại III là 4 (giải thích: xét phương trình/ràng buộc thứ nhất 4x 1 + 2x 2 + x 3 = 60, x 1 tăng một ñơn vị thì x 3 phải giảm bốn ñơn vị nếu giữ nguyên x 2 ). Tương tự ta có thể giải thích ñược ý nghĩa của các hệ số a ij khác cho trên hàng 1 và hàng 2 trong bảng ñơn hình bước 1. − Chúng ta xét hàng z của bảng ñơn hình. ðể tính z 1 , cần áp dụng công thức z 1 = (cột hệ số của hàm mục tiêu) × (cột hệ số của biến x 1 ) = 0×4 + 0×2 = (giá một ñơn vị sản phẩm loại III)×(tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại III) + (giá một ñơn vị sản phẩm loại IV) × (tỉ lệ thay thế riêng loại I/loại IV) = tổng chi phí phải bỏ ra khi ñưa thêm một ñơn vị sản phẩm loại I vào phương án sản xuất mới = 0. Các giá trị z j , với j = 1, 2, 3, 4, ñược tính tương tự và chính là các chi phí khi ñưa một thêm một ñơn vị sản phẩm loại x j vào phương án sản xuất mới. Còn z 0 là giá trị của hàm mục tiêu ñạt ñược tại phương án ñang xét: z 0 = (cột hệ số của hàm mục tiêu)× (cột phương án) = 0×60 + 0×48 = 0. [...]... (xem hình II.3) (2) (3) Ch ng h n: (1)cũ = 4, 2(cũ) = 2 (3)cũ = ph n t xoay = 4, (4)cũ = 2 ⇒ (1)m 2 =4−2× = 3 4 (1) (4) Hình II.3 Quy t c hình ch nh t Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 20 i . dạy và nghiên cứu về Vận trù học ñã ñược tiến hành tại một số cơ sở ñào tạo và nghiên cứu như ðại học Tổng hợp Hà Nội, Viện Toán học, Viện ðiều khiển kinh tế… Vận trù học ñược ñưa vào ứng dụng. 2002, Tạp chí Ứng dụng Toán học ñã và ñang công bố nhiều bài báo trong lĩnh vực Vận trù học. Ngày nay, tại nhiều nước trên thế giới, các Hội Vận trù học và các Viện Khoa học quản lí ñược thành. các nghiên cứu liên ngành bao gồm khoa học cơ bản, kĩ nghệ và quản lí. ðó cũng là khởi nguồn của Khoa học quản lí. Từ ñầu thế kỉ XX, Vận trù học/ Khoa học quản lí ñã ñược áp dụng khá rộng rãi