vận trù học 4 ppt

Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 30 Max z = x 1 + 4x 2 + 0x 3 + 0x 4 , với các ràng buộc 1 2 x 1 + x 2 + 1 4 x 3 = 7 4 (c) 17 2 x 1 + - 3 4 x 2 + x 4 = 39 4 - 1 2 x 1 - 1 4 x 3 + x 5 = 3 4 − x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ≥ 0; x 1 , x 2 , x 3 , x 4 nguyên. Lúc này, chúng ta có bảng ñơn hình II.6 với phương án ñối ngẫu khả thi (phương án ñối ngẫu khả thi là phương án có thể không thỏa mãn ñiều kiện không âm của các biến, nhưng luôn thỏa mãn các ñiều kiện ràng buộc còn lại của BTQHTT và ñiều kiện ∆ j ≤ 0 với mọi chỉ số j). Chúng ta sẽ sử dụng thủ tục xoay của phương pháp ñơn hình ñối ngẫu ñể tìm phương án (ñối ngẫu khả thi) tối ưu thỏa mãn ñiều kiện ∆ j ≤ 0 với mọi chỉ số j (xem bảng ñơn hình bước 3 của bảng II.6). Chú ý: Thủ tục xoay trong phương pháp ñơn hình ñối ngẫu có năm bước, bao gồm: - Trước tiên chọn hàng xoay là hàng với biến x j có giá trị âm (thông thường với trị tuyệt ñối lớn nhất, hoặc chọn ngẫu nhiên). - Sau ñó chọn cột xoay theo quy tắc “tỉ số âm bé nhất” (ứng với tỉ số bé nhất trong các tỉ số có mẫu số âm ñược tạo ra bằng cách lấy hàng ∆ j “chia” cho hàng x j , chỉ xét các tỉ số có mẫu số âm). Nếu không tìm ñược cột xoay thì kết luận bài toán không có phương án khả thi. - Nếu tìm ñược cột xoay thì thực hiện ba bước tiếp theo của thủ tục xoay như trong phương pháp ñơn hình giải BTQHTT. Bảng II.6. Các bảng ñơn hình giải BTQHTT nguyên (tiếp) 1 4 0 0 0 Hệ số hàm mục tiêu Biến cơ sở Phương án x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Bảng ñơn hình bước 3 4 0 0 x 2 x 4 x 5 7/4 39/4 - 3/4 1/2 17/2 - 1/2 1 0 0 1/4 - 3/4 - 1/4 0 1 0 0 0 1 z j ∆ j 7 2 - 1 4 0 1 - 1 0 0 0 0 Bảng ñơn hình bước 4 4 0 x 2 x 4 1 - 3 0 0 1 0 0 - 5 0 1 1 17 1 x 1 3/2 1 0 1/2 0 - 2 z j ∆ j 11/2 1 0 4 0 1/2 - 1/2 0 0 2 - 2 Bảng ñơn hình bước 5 4 0 1 x 2 x 3 x 1 1 3/5 6/5 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 - 1/5 1/10 1 - 17/5 - 3/10 z j ∆ j 26/5 1 0 4 0 0 0 1/10 - 1/10 37/10 - 37/10 Ta nhận thấy: phương án tối ưu chưa thỏa mãn ñiều kiện nguyên. Xét phương trình thứ 3 trong bảng ñơn hình thứ 5 của bảng II.6 ñể làm cơ sở cho việc ñưa vào ñiều kiện ràng buộc bổ sung: 4 5 6 1 7 1 x x x 10 10 5 − − + = − . Sau ñó, tiếp tục quá trình giải sử dụng phương pháp ñơn hình ñối ngẫu (xem bảng II.7): Bảng II.7. Các bảng ñơn hình giải BTQHTT nguyên (tiếp) 1 4 0 0 0 0 Hệ số hàm mục tiêu Biến cơ sở Phương án x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Bảng ñơn hình bước 6 4 0 1 0 x 2 x 3 x 1 x 6 1 3/5 6/5 - 1/5 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 - 1/5 1/10 - 1/10 1 - 17/5 - 3/10 - 7/10 0 0 0 1 z j ∆ j 26/5 1 0 4 0 0 0 1/10 - 1/10 37/10 -37/10 0 0 Bảng ñơn hình bước 7 4 0 1 0 x 2 x 3 x 1 x 4 1 1 1 2 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 - 2 - 1 7 0 - 2 1 - 10 z j ∆ j 5 1 0 4 0 0 0 0 0 3 - 3 1 - 1 Phương án tối ưu ở bảng ñơn hình bước 7 của bảng II.7 ñã thỏa mãn ñiều kiện nguyên. Vậy phương án tối ưu của BTQHTT nguyên là 1 x ∗ = 1, 2 x ∗ = 1 và z max = 5. Khung thuật toán cắt Gomory Xét BTQHTT nguyên Max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + + c n x n Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 32 với hệ ñiều kiện ràng buộc 11 1 12 2 1n n 1 21 1 22 2 2n n 2 m1 1 m2 2 mn n m j j a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b x 0, x nguyên, j 1,n. + + + =   + + + =   + + + =   ≥ ∀ =  Kí hiệu D là miền ràng buộc của BTQHTT không tính tới ñiều kiện nguyên của các biến. Lúc ñó, khung thuật toán cắt Gomory có thể ñược phát biểu như sau cho BTQHTT nguyên dạng Max với D là giới nội khác rỗng. Bước khởi tạo Giải BTQHTT không nguyên tương ứng bằng phương pháp ñơn hình ñể thu ñược phương án tối ưu x 1 . ðặt k = 1. Các bước lặp (bước lặp thứ k) Bước 1: Nếu x k có các tọa ñộ nguyên thì chuyển sang bước kết thúc. Bước 2: Nếu trái lại x k có ít nhất một toạ ñộ không nguyên thì cần chọn ra một biến cơ sở x r có giá trị không nguyên ñể xây dựng ràng buộc bổ sung. Bước 3: Giải bài toán thu ñược bằng phương pháp ñơn hình ñối ngẫu ñể tìm ra phương án tối ưu. ðặt k = k+1 và chuyển về bước 1 (Nếu trong quá trình giải không tìm ñược cột xoay thì kết luận BTQHTT nguyên ban ñầu không có phương án khả thi). Bước kết thúc. In/lưu trữ kết quả và dừng. 1.5. Một số ứng dụng của phương pháp ñơn hình Bài toán phân phối ñiện năng Có ba hộ phụ tải cần ñược cung cấp ñiện năng từ hai nguồn ñiện nằm cách xa nhau. Giá thành truyền tải một ñơn vị ñiện năng từ nguồn i ñến hộ tiêu thụ j là c ij . Khả năng cung cấp ñiện năng của mỗi nguồn bị giới hạn bởi trữ lượng hiện có của chúng là A 1 và A 2 . Nhu cầu tiêu dùng của các hộ tiêu thụ là B 1 , B 2 và B 3 . Gọi x ij là lượng ñiện năng ñược ñưa từ nguồn i tới hộ tiêu thụ j. Cần phải xác ñịnh các x ij sao cho tổng chi phí là nhỏ nhất. Như vậy ta có BTQHTT sau: z = 2 3 ij ij i 1 j 1 c x = = ∑∑ → Min với các ñiều kiện ràng buộc là: x 11 + x 12 + x 13 ≤ A 1 , x 21 + x 22 + x 23 ≤ A 2 , x 11 + x 21 = B 1 , x 12 + x 22 = B 2 , x 13 + x 23 = B 3 , x ij ≥ 0, ∀i = 1, 2 và ∀j = 1, 2, 3. Bài toán phân tải cho máy Một xí nghiệp có hai loại máy M 1 và M 2 . Các loại máy này có thể sản xuất ñược ba loại sản phẩm P 1 , P 2 và P 3 với các năng suất là a ij, chẳng hạn máy M 1 sản xuất sản phẩm P 2 với năng suất a 12 . Mỗi ñơn vị sản phẩm mang lại lãi suất c j với j = 1, 2, 3. Mỗi tháng xí nghiệp phải sản xuất sản phẩm loại j không ít hơn b j ñơn vị và không vượt quá d j ñơn vị, j = 1, 2, 3. Hãy lập kế hoạch phân tải cho các máy sao cho ñạt tổng lợi nhuận lớn nhất. Dễ thấy bài toán này dẫn tới BTQHTT sau: z = 3 2 j ij ij j 1 i 1 c a x = = ∑ ∑ → Max v ớ i các ñ i ề u ki ệ n ràng bu ộ c: a 11 x 11 + a 21 x 21 ≥ b 1 , a 12 x 12 + a 22 x 22 ≥ b 2 , a 13 x 13 + a 23 x 23 ≥ b 3 , a 11 x 11 + a 21 x 21 ≤ d 1 , a 12 x 12 + a 22 x 22 ≤ d 2 , a 13 x 13 + a 23 x 23 ≤ d 3 , x 11 + x 12 + x 13 ≤ m 1 , x 21 + x 22 + x 23 ≤ m 2 , x ij ≥ 0, i = 1, 2 và j = 1, 2, 3. (trong ñ ó m 1 và m 2 là t ổ ng th ờ i gian ch ạ y máy M 1 và M 2 ). Trong các l ĩ nh v ự c quy ho ạ ch s ả n xu ấ t hay qu ả n lí kinh doanh, nói riêng trong ngành c ơ khí và ñ i ệ n l ự c, BTQHTT ñượ c ứ ng d ụ ng r ấ t r ộ ng rãi và mang l ạ i hi ệ u qu ả c ầ n thi ế t. Giải mô hình quy hoạch tuyến tính bằng các phần mềm tính toán Hi ệ n nay có nhi ề u ph ầ n m ề m tính toán gi ả i BTQHTT khá hi ệ u qu ả nh ư Excel, Lingo. Nh ữ ng ph ầ n m ề m này r ấ t thân thi ệ n v ớ i ng ườ i dùng. Tuy nhiên c ầ n nh ấ n m ạ nh r ằ ng, vi ệ c phát bi ể u ñượ c mô hình bài toán và phân tích, ñ ánh giá ñượ c k ế t qu ả m ớ i chính là nh ữ ng khâu quan tr ọ ng nh ấ t trong ph ươ ng pháp mô hình hoá. Sau ñ ây, chúng ta dùng ph ầ n m ề m Lingo ñể gi ả i ví d ụ ñ ã xét ở trên. z = 8x 1 + 6x 2 → Max v ớ i các ràng bu ộ c: 4x 1 + 2x 2 ≤ ≤≤ ≤ 60 2x 1 + 4x 2 ≤ ≤≤ ≤ 48 x 1 , x 2 ≥ 0. ðể gi ả i bài toán này, chúng ta c ầ n cài ñặ t Lingo vào trong máy tính. Nh ấ n vào bi ể u t ượ ng Lingo trên màn hình ñể vào c ử a s ổ Lingo. Sau ñ ó th ự c hi ệ n các l ệ nh Lingo: Menu > New > <Untitle> và gõ vào các d ữ li ệ u c ủ a bài toán nh ư hình II.4. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 34 Hình II.4. Nhập dữ liệu của bài toán quy hoạch tuyến tính trong Lingo Ti ế p theo, c ầ n nháy chu ộ t vào nút LINGO và gi ả i bài toán ñể thu ñượ c k ế t qu ả chi ti ế t nh ư trên hình II.5. Hình II.5. Kết quả giải bài toán quy hoạch tuyến tính trong Lingo K ế t qu ả chi ti ế t cho ta bi ế t giá tr ị c ự c ñạ i c ủ a hàm m ụ c tiêu là 132 v ớ i ph ươ ng án t ố i ư u là: x 1 = 12, x 2 = 6. Các giá tr ị t ố i ư u c ủ a các bi ế n ñố i ng ẫ u là y 1 = 5/3 và y 2 = 2/3 (còn g ọ i là các giá ướ c ñị nh hay giá bóng Shadow Prices ). 2. MÔ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ðA MỤC TIÊU 2.1. Các khái niệm cơ bản Trong các bài toán kĩ thuật, công nghệ, quản lí, kinh tế nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét ñể tối ưu hóa ñồng thời một lúc nhiều mục tiêu. Các mục tiêu này thường là khác về thứ nguyên, tức là chúng ñược ño bởi các ñơn vị khác nhau. Những tình huống như vậy tạo ra các bài toán tối ưu ña mục tiêu. Như vậy, chúng ta cần phải tối ưu hóa (cực ñại hóa hoặc cực tiểu hóa tuỳ theo tình huống thực tế) không phải là chỉ một mục tiêu nào ñó, mà là ñồng thời tất cả các mục tiêu ñã ñặt ra. Có thể nói, BTQHTT ña mục tiêu là BTQHTT mà trong ñó chúng ta phải tối ưu hóa cùng một lúc nhiều mục tiêu. Tuy nhiên, các mục tiêu này thường ñối chọi cạnh tranh với nhau. Việc làm tốt hơn mục tiêu này thường dẫn tới việc làm xấu ñi một số mục tiêu khác. Vì vậy việc giải các bài toán tối ưu ña mục tiêu, tức là tìm ra một phương án khả thi tốt nhất theo một nghĩa nào ñó, thực chất chính là một bài toán ra quyết ñịnh. Hiện tại các tài liệu, sách chuyên khảo, tạp chí cập nhật về lĩnh vực liên ngành Toán − Tin, Khoa học quản lí. Công nghệ thông tin, ñề cập nhiều tới bài toán tối ưu ña mục tiêu. Vấn ñề nghiên cứu cơ sở lí thuyết, thuật toán, lập mô hình, xây dựng hệ máy tính trợ giúp quyết ñịnh và áp dụng các mô hình tối ưu ña mục tiêu cho các quá trình công nghệ, quản lí là một vấn ñề liên ngành ñược rất nhiều nhà khoa học và kĩ sư thực hành quan tâm. Bài toán tối ưu ña mục tiêu mà trong ñó miền ràng buộc D là tập lồi ña diện và các mục tiêu z i = f i (X), với i = 1, 2,…, p, là các hàm tuyến tính xác ñịnh trên D, ñược gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu. Khi ñó, ta có mô hình toán học sau ñây ñược gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính ña mục tiêu: Max CX với ràng buộc X ∈ D ⊂ R n , trong ñó: C là ma trận cấp p × n, D = {X = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n : AX ≤ B}, A là ma trận cấp m×n và B ∈ R m . Ví dụ 1: z 1 = f 1 (X) = 8x 1 + 6x 2 → Max z 2 = f 2 (X) = x 1 + 3x 2 → Max trong ñó X = (x 1 , x 2 ) T , với các ràng buộc: 4x 1 + 2x 2 ≤ 60 2x 1 + 4x 2 ≤ 48 x 1 , x 2 ≥ 0. Ta có thể viết bài toán này dưới dạng ma trận như sau: Max CX với ràng buộc X ∈ D = {X∈ R 2 : AX ≤ B}, trong ñó X = (x 1 , x 2 ) T , B = (60, 48, 0, 0) T , còn C = 8 6 1 3       , A = 4 2 1 0     −   2 4 0 1      −  . Khái niệm then chốt trong tối ưu hóa ña mục tiêu là khái niệm phương án tối ưu Pareto, còn gọi là phương án hữu hiệu (efficient solution). ðịnh nghĩa 1: Một phương án tối ưu Pareto X * có tính chất sau ñây: Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 36 − Trước hết nó phải thuộc vào miền các phương án khả thi của bài toán, tức là phải thoả mãn tất cả các ràng buộc: X * ∈ D. − Với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào ñó tốt hơn (f i (X) tốt hơn f i (X * )) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác xấu hơn (f j (X) xấu hơn f j (X * ), j ≠ i). Phương án X ∈ D ñược gọi là phương án Pareto yếu nếu với mọi phương án khả thi khác X ∈ D mà có một mục tiêu nào ñó tốt hơn (f i (X) tốt hơn f i ( X )) thì cũng phải có ít nhất một mục tiêu khác không tốt hơn (f j (X) không tốt hơn f j ( X ), j ≠ i). Như vậy, một phương án tối ưu Pareto cũng là tối ưu Pareto yếu, ñiều ngược lại không nhất thiết luôn ñúng. ðể nhận biết tập phương án tối ưu Pareto chúng ta cần tới các khái niệm sau: Trước hết xét nón nón β cảm sinh bởi các véc tơ gradient c 1 , c 2 , , c p của các hàm mục tiêu, c 1 , c 2 , , c p chính là các véc tơ hàng của ma trận C. Cho x ∈ D. Tập ñiểm trội tại x là tập x D = { x } ⊕ C ≥ , với C ≥ = {x = (x 1 , x 2 , , x n ) ∈ R n : Cx ≥ 0, Cx ≠ 0} là nón ñối cực (ñược kí hiệu là α trên hình II.6 trong ví dụ ñang xét). Lúc ñó, có thể chứng minh ñược: x ∈ D là phương án tối ưu Pareto khi và chỉ khi x D ∩ D = { x }. Xét lại ví dụ ñã cho trên ñây. Miền các phương án khả thi D (miền giới hạn bởi tứ giác ABCD) ñược biểu thị trên hình II.6, c 1 (8, 6) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 1, còn c 2 (1, 3) là véc tơ gradient và hướng tăng của mục tiêu 2. Trên hình II.6, chúng ta có thể thấy nón β là nón cảm sinh bởi các véc tơ c 1 và c 2 . Xét ñiểm G ∈ AB, dễ dàng xác ñịnh ñược nón ñối cực c 1 (1,3) O x 1 x 2 A(0, 12) B(12, 6) C(15,0) Hình II.6. Minh hoạ hình học BTQHTT hai mục tiêu c 2 (8,6) α O G α và tập ñiểm trội tại G. Dễ thấy, tập hợp P tất cả các phương án tối ưu Pareto bao gồm các ñiểm nằm trên ñoạn AB với A(0, 12) và B(12, 6). 2.2. Phương pháp tổng quát giải BTQHTT ña mục tiêu ðịnh nghĩa 2: Giải bài toán tối ưu toàn cục ña mục tiêu là chọn ra từ tập hợp P các phương án tối ưu Pareto của bài toán một (hoặc một số) phương án tốt nhất (thoả mãn nhất) theo một nghĩa nào ñó dựa trên cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh. Trong ví dụ trên, tuỳ theo cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh, chúng ta có thể chọn ra một hoặc một số ñiểm tối ưu Pareto nằm trên AB làm phương án tối ưu của bài toán. Cách 1: Bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp tìm ra tập hợp P tất cả các phương án tối ưu Pareto. Người ra quyết ñịnh sẽ ñề ra cơ cấu ưu tiên của mình ñối với tập P nhằm tìm ra phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất cho bài toán ña mục tiêu ban ñầu. Cách 2: Việc tìm tập hợp P trong trường hợp các bài toán nhiều biến là khá khó và mất nhiều thời gian. Vì vậy, so với cách 1, cách 2 sẽ tiến hành theo trình tự ngược lại. Trước hết người ra quyết ñịnh sẽ ñề ra cơ cấu ưu tiên của mình. Dựa vào cơ cấu ưu tiên ñó, các mục tiêu sẽ ñược tổ hợp vào một mục tiêu duy nhất, tiêu biểu cho hàm tổng tiện ích của bài toán. Bài toán tối ưu với hàm mục tiêu tổ hợp này sẽ ñược giải bằng một phương pháp tối ưu toán học thích hợp, ñể tìm ra một (hoặc một số) phương án tối ưu Pareto. Lúc này, người ra quyết ñịnh sẽ chọn ra trong số các phương án tối ưu Pareto ñó một phương án tốt nhất. Chúng ta sẽ tiếp tục phân tích cách thứ 2. Rõ ràng, người ra quyết ñịnh không thể ñề ra cơ cấu ưu tiên của mình một cách chính xác ngay từ ñầu. Trong quá trình giải bài toán, trong mỗi bước lặp, sau khi xem xét lại cơ cấu ưu tiên ñã ñề ra, cũng như phương án trung gian vừa tìm ñược, người ra quyết ñịnh có thể dựa vào các thông tin ñó ñể thay ñổi lại cơ cấu ưu tiên của mình. Sau ñó, quá trình giải lại ñược tiếp tục, cho tới khi một phương án tối ưu cuối cùng ñược ñưa ra. ðịnh nghĩa 3: Phương pháp giải bài toán tối ưu ña mục tiêu dựa trên sự trợ giúp của hệ máy tính, nhằm giúp người ra quyết ñịnh từng bước thay ñổi các quyết ñịnh trung gian một cách thích hợp ñể ñi tới một phương án tối ưu Pareto thoả mãn nhất, ñược gọi là phương pháp tương tác người − máy tính. Phương pháp tương tác người − máy tính giải bài toán tối ưu ña mục tiêu có các yếu tố cấu thành sau: − Cơ cấu ưu tiên của người ra quyết ñịnh và hàm tổ hợp tương ứng. − Kiểu tương tác người − máy tính: cho biết các thông tin nào máy tính phải ñưa ra trong các bước lặp trung gian và cách thay ñổi các thông số của cơ cấu ưu tiên từ phía người ra quyết ñịnh. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 38 − Kĩ thuật tối ưu toán học ñược xây dựng dựa trên lí thuyết tối ưu hóa nhằm tìm ra các phương án tối ưu Pareto cho các bài toán cần giải trong các bước lặp trung gian. Cho tới thời ñiểm hiện nay, hàng chục phương pháp giải BTQHTT ña mục tiêu ñã ñược ñề cập tới trong các tạp chí chuyên ngành, mà ña số chúng ñều có những ứng dụng rất thành công trong nhiều lĩnh vực, như phương pháp tham số, phương pháp nón pháp tuyến, phương pháp véc tơ cực ñại, phương pháp trọng số tương tác của Chebysev. Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT ña mục tiêu do Nguyễn Hải Thanh ñề xuất có một số ưu ñiểm cho phép: − Quy các thứ nguyên khác nhau của các hàm mục tiêu về cùng một thang ño ñộ thoả mãn của người ra quyết ñịnh. − Tạo ra một quá trình tương tác người − máy tính ñể tìm ñược nhiều phương án tối ưu Pareto (hay phương án tối ưu Pareto yếu) ñem lại nhiều lựa chọn cho người ra quyết ñịnh. 2.3. Phương pháp thoả dụng mờ tương tác giải BTQHTT ña mục tiêu Bước khởi tạo i) Nhập số liệu cho các hàm mục tiêu tuyến tính z i (i = 1, 2, , p) và m ñiều kiện ràng buộc. Giải BTQHTT cho từng mục tiêu z i (i = 1, 2, , p) với miền ràng buộc D ñược xác ñịnh bởi m ràng buộc ban ñầu ñể thu ñược các phương án tối ưu x 1 , x 2 , , x p (nếu với một mục tiêu nào ñó bài toán không cho phương án tối ưu thì cần xem xét ñể chỉnh sửa lại các ñiều kiện ràng buộc ban ñầu). ii) Tính giá trị các hàm mục tiêu tại p phương án x 1 , x 2 , , x p và lập bảng pay−off. Xác ñịnh giá trị cận trên B i z và giá trị cận dưới w i z của mục tiêu z i (i =1, 2, , p), với B i z = z i (x i ) và w i z = Min {z i (x j ): j = 1, 2, , p}. iii) Xác ñịnh các hàm thoả dụng mờ µ 1 (z 1 ), µ 2 (z 2 ), , µ p (z p ) cho từng mục tiêu theo công thức: w i i i i B w i i z z (z ) , i 1, 2, , p. z z − µ = = − iv) ðặt: S P = {x 1 , x 2 , , x p }, k = 1 và (k) i a = B i z với i = 1, 2, , p. Các bước lặp (xét bước lặp thứ k) Bước 1: i) Xây dựng hàm thoả dụng tổ hợp từ các hàm thoả dụng trên: u = w 1 µ 1 (z 1 ) + w 2 µ 2 (z 2 ) + + w p µ p (z p ) → Max Trong ñó: w 1 , w 2 , , w p là các trọng số (phản ánh tầm quan trọng của từng hàm thoả dụng trong thành phần hàm thoả dụng tổ hợp) ñược người giải lựa chọn thoả mãn ñiều kiện: w 1 + w 2 + + w p = 1 và 0 ≤ w 1 , w 2 , , w p ≤ 1. ii) Giải BTQHTT với hàm thoả dụng tổ hợp với m ràng buộc ban ñầu và p ràng buộc bổ sung z i (x) ≤ (k) i a , i = 1, 2, , p, ñể tìm ñược phương án tối ưu của bước lặp thứ k là x (k) và giá trị của các hàm mục tiêu z i cũng như của các hàm thoả dụng µ i (z i ) (với i =1, 2, , p). Bước 2: i) Nếu µ min = Min {µ i (z i ): i = 1, 2, , p} bé hơn một ngưỡng t nào ñó (t ñược lựa chọn trong ñoạn [0, 1] và có thể ñược sửa chỉnh lại trong quá trình giải bài toán) thì phương án tìm ñược x (k) không ñược chấp nhận. Trong trường hợp trái lại, phương án x (k) ñược chấp nhận vào tập S P các phương án tối ưu Pareto (tối ưu Pareto yếu) cần xem xét nếu x (k) ∉ S P. ii) Nếu người giải bài toán còn muốn tiếp tục mở rộng tập S P thì ñặt k = k + 1. Nếu k > L 1 hoặc số lần bước lặp liên tiếp tập S P không ñược mở rộng vượt quá L 2 (L 1 và L 2 ñược người giải tùy chọn) thì ñặt (k) i a = B i z với i = 1, 2, , p và chọn ngẫu nhiên một chỉ số h ∈ {1, 2, , p} ñể ñặt lại giá trị cắt (k) h a ∈ ( w h z , B h z ]. Quay về bước 1. iii) Nếu người giải bài toán không muốn mở rộng tập S P thì chuyển sang bước 3. Bước 3: i) Loại khỏi tập S P các phương án bị trội. ii) Kết thúc. Ví dụ 2: Giải BTQHTT hai mục tiêu. z 1 = 8x 1 + 6x 2 → Max z 2 = x 1 + 3x 2 → Max với các ràng buộc: 4x 1 + 2x 2 ≤ 60 (D) 2x 1 + 4x 2 ≤ 48 x 1 , x 2 ≥ 0. a. Bước khởi tạo i) Giải BTQHTT cho từng mục tiêu trong ví dụ trên ta có hai bài toán: z 1 = 8x 1 + 6x 2 → Max với ñiều kiện ràng buộc (D) cho phương án tối ưu x 1 (12, 6) và Max z 1 = 132; z 2 = x 1 + 3x 2 → Max cho phương án tối ưu x 2 (0, 12) và Max z 2 = 36. ii) Lập bảng pay−off cho các mục tiêu Phương án X i z 1 z 2 [...]... c l p th 2, ñ t w1 = 0,8, w2 = 0,2, a 1 = 132 và a (2) = 36 s thu ñư c 2 (2) 1 phương án x (12, 6) ≡ x Do ñó t p SP v n chưa ñư c m r ng Trư ng ð i h c Nông nghi p Hà N i – Giáo trình V n trù h c ……………………………… 40 . 4 0 0 0 Hệ số hàm mục tiêu Biến cơ sở Phương án x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Bảng ñơn hình bước 3 4 0 0 x 2 x 4 x 5 7 /4 39 /4 - 3 /4 1/2 17/2 - 1/2 1 0 0 1 /4 - 3 /4 - 1 /4. ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 30 Max z = x 1 + 4x 2 + 0x 3 + 0x 4 , với các ràng buộc 1 2 x 1 + x 2 + 1 4 x 3 = 7 4 (c) 17 2 x 1 + - 3 4 x 2 . vào các d ữ li ệ u c ủ a bài toán nh ư hình II .4. Trường ðại học Nông nghiệp Hà Nội – Giáo trình Vận trù học ……………………………… 34 Hình II .4. Nhập dữ liệu của bài toán quy hoạch tuyến tính