QUY HOẠCH RỜI RẠC - CHƯƠNG 2 doc

http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.1 Quy hoạch rời rạc Chương 2 NHỮNG KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU Trong chương này sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về quy hoạch tuyến tính, phương pháp đơn hình bình thường, phương pháp đơn hình đối ngẫu từ vựng, và khái niệm về bài toán quy hoạch tuyến tính nguyên. 1. NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1. Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán có dạng: 0 1 1 1 ax (1) , 1, 2, , (2) ,1, , (3) 0, 1, , (4) n jj j n ij j i j n ij j i j j xcxm ax b i l ax b i l m xjn = = = =→ == ≤=+ ≥= ∑ ∑ ∑ y Miền xác định: tập hợp các véc tơ x thoả mãn (2) và (4) y Phương án bài toán: véc tơ x thoả mãn (2) và (4) y Nếu (x 1 ,…,x n ) là phương án của bài toán, 0 1 n jj j x cx = = ∑ thì X  = (x 0 ,x 1 ,…,x n ) gọi là phương án mở rộng của bài toán (1) – (4). y Phương án * X làm cực đại (1) gọi là phương án tối ưu. Phương án mở rộng * X  gọi là phương án tối ưu mở rộng nếu X * là phương án tối ưu . y Kí hiệu: L - miền xác định của bài toán (1)-(4) (, )LC – kí hiệu bài toán qui hoạch tuyến tính (1) - (4) (, )XLC – phương án tối ưu của bài toán (1) - (4) (, )XLC  - phương án tối ưu mở rộng của bài toán (1) - (4) C L là tập hợp các phương án tối ưu của bài toán ( , )LC y Bài toán qui hoạch tuyến tính gọi là giải được nếu tồn tại phương án tối ưu. http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.2 Quy hoạch rời rạc 1.2. Dạng chính tắc của bài toán qui hoạch tuyến tính 0 1 1 ax , 1, 2 , , 0, 1,2, , n jj j n ij j i j j xcxm ax b i m xj n = = =→ == ≥= ∑ ∑ y Gọi 1 2 . . j j j mj a a A a      =      là véc tơ điều kiện thứ j của bài toán (5)-(7) 1 2 . . . B= m b b b        là véc tơ ràng buộc của bài toán (5)-(7). y Phương án X của bài toán (5)-(7) gọi là tựa nếu các véc tơ điều kiện ứng với các thành phần dương của nó là độc lập tuyến tính. y Cơ sở của phương án tựa X là tập hợp |0} j {A j x > . Các thành phần của phương án tựa ứng với các véc tơ cơ sở gọi là các thành phần cơ sở (các biến tương ứng gọi là biến cơ sở), các thành phần còn lại gọi là các thành phần phi cơ sở (các biến tương ứng gọi là biến phi cơ sở). y Nếu 1 ( , , ) n Xx x= phương án tựa của bài toán quy hoạch tuyến tính, 1 ( , , ) jjk A A là cơ sở của phương án tựa, { } 1 , , k B jj= , { } 1, , \NnB= thì hàm mục tiêu 01 , , , n x xx có thể biểu diễn qua các biến phi cơ sở: 0i j ( ), 0,1, , ii j jN x xxxi n ∈ =+ − = ∑ Kí hiệu Q n ={0,1,…,n} B 0 =B∪{0}, N 0 =N∪{0} Bảng đơn hình 0 , ij n iQ jN Tx ∈∈ = gọi là bảng đơn hình đầy đủ. y Phương án tựa bài toán (5) - (7) gọi là không suy biến nếu số ràng buộc của hệ (6) - (7) mà phương án thỏa mãn với dấu bằng bằng đúng n (các ràng buộc này là độc lập tuyến tính). Phương án tựa là suy biến nếu số ràng buộc mà phương án tựa thỏa mãn chặt là lớn hơn n. (5) (6) (7) http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.3 Quy hoạch rời rạc Phương án tựa X của bài toán (5) - (7) là không suy biến nếu các thành phần cơ sở của nó là dương. Cơ sở của phương án tựa không suy biến xác định duy nhất. Ứng với phương án tựa suy biến có nhiều cơ sở. y Tiêu chuẩn tối ưu: để cho phương án mở rộng '' ' 01 ' ( , , , ) n Xxxx=  là tối ưu điều kiện cần và đủ là tồn tại cơ sở B sao cho ' i j 0 ( ), 0,1, , 0, ii j jN j x xxxi n xjN ∈ =+ − = ≥∈ ∑ y Giả sử ràng buộc (6) của bài toán (5) - (7) viết ở dạng: 0i j ( ), 0,1 , ii j jN x xxxi n ∈ =+ − = ∑ . Bảng đơn hình tương ứng 0 , ij n iQ jN Tx ∈∈ = , 210200 11 1 , , , ) ( , , , ), ( , , , ) ( , , , ). 1 0 X=(x x nn n njjn j xx xx x Xxx cxxx = = == ∑  Nếu x i0 ≥ 0 (i = 1, 2, . . ., n) thì bảng đơn hình T gọi là chấp nhận được, véc tơ X là phương án tựa của bài toán quy hoạch tuyến tính. Nếu x 0j ≥ 0 , j∈N thì bảng đơn hình T là chuẩn (đối ngẫu chấp nhận được), véc tơ X gọi là giả phương án, X  gọi là giả phương án mở rộng 2. SO SÁNH THEO NGHĨA TỪ VỰNG 2.1. Véc tơ 12 ( , , , ) n Xxx x= gọi là dương từ vựng X>0 nếu X≠(0,…,0) và thành phần đầu tiên khác 0 là dương. y Véc tơ X gọi là không âm từ vựng X ≥ 0 nếu X>0 hay X=0 y Véc tơ X gọi là lớn hơn từ vựng véc tơ Y (ký hiệu X > Y) nếu X – Y >0 y Véc tơ X ≥ Y (không nhỏ hơn từ vựng) nếu X – Y ≥0 y X gọi là âm từ vựng (ký hiệu là X < 0) nếu –X >0 y Tương tự ta có các định nghĩa X ≤ 0, X < Y, X ≤ Y. 2.2. Phương án X * (phương án mở rộng * X  ) của bài toán (5)- (7) gọi là phương án tối ưu từ vựng (phương án l - tối ưu) nếu đối với mọi phương án mở rộng X  ta có *** * 01 01 ( , , , ) ( , , , ) nn XxxxXxxx=≥=  . Định lý 1. Nếu tập hợp các phương án tối ưu của bài toán (5) - (7) khác rỗng và bị chặn thì tồn tại phương án tối ưu từ vựng X * Định lý 2. Nếu X * phương án tối ưu từ vựng của bài toán (5)-(7) thì X * là phương án tựa. http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.4 Quy hoạch rời rạc Bảng đơn hình 0 , ij n iQ jN Tx ∈∈ = gọi là chuẩn từ vựng (hay là l - chuẩn) nếu 0 1 . . . j j j nj x x R x      =      > 0 , ∀j∈N Định lý 3. Để cho phương án tựa X * của bài toán (5) – (7) là l - tối ưu, điều kiện cần và đủ là tồn tại cơ sở B sao cho bảng đơn hình 0 , ij n iQ jN Tx ∈∈ = là l - chuẩn. Giả phương án X (giả phương án mở rộng X  ) của bài toán (5) – (7) gọi là dương từ vựng nếu bảng đơn hình tương ứng là l - chuẩn, nói gọn lại là l - giả phương án ( l - giả phương án mở rộng). 3. BẢNG ĐƠN HÌNH, PHƯƠNG ÁN, GIẢ PHƯƠNG ÁN Phép biến đổi cơ bản của bảng đơn hình: đưa x k ra khỏi cơ sở, đưa x l vào cơ sở. Phần tử x kl gọi là phần tử quay Giả sử 0 , ij n iQ jN Tx ∈∈ = , cơ sở là B, N= { } 1, , \ , , , 0 kl nBlN kB x ∈ ∈≠ . Gọi { } ( ) { } * \NNkl=∪ , các biến x 0 , x 1 , , x n có thể biểu diễn qua các biến * N và ta được bảng 0 * * , * ij n iQ jN Tx ∈∈ = và cơ sở mới { } ( ) { } * \ B Bl k=∪ . Gọi j R là cột của T, * j R là cột của * T , ta có công thức tính lại như sau * * l k kl kj jj l kl R R x x R RR x  =−     =−   hay viết ở dạng toạ độ {} { } * * , 0,1, 2, , . , ( \ ) 0 , 0,1, , il ik kl kj ij ij il kl x xi n x x x xxjNl i n x  =− =     =− ∀∈ ∪ =   { } ( ) { } \0jNl∀∈ ∪ http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.5 Quy hoạch rời rạc 4. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH 4.1. Thuật toán Phương pháp đơn hình cho phép xây dựng dãy hữu hạn các phương án tựa X 0 , X 1 , …, X k , trong đó X k là phương án tối ưu của bài toán (5) - (7). Hàm mục tiêu x 0 = x 0 (X r ) không giảm khi r tăng. Ứng với mỗi phương án tựa X r có T r , B r , N r . Quá trình giải gồm bước lặp xuất phát (xây dựng phương án tựa xuất phát X 0 ) và dãy các bước lặp tổng quát. Bước lặp tổng quát r ≥ 0 có phương án X r , tương ứng với nó có bảng đơn hình T r và các tập B r , N r . Kiểm tra bảng T r có là chuẩn không (tức là 0 0 jr x jN≥∀∈). Nếu đúng thì X r là tối ưu, nếu không thì xác định l x đưa vào cơ sở theo công thức : { } 00 min | ljr x xjN=∈ Đưa biến k x ra khỏi cơ sở theo tiêu chuẩn 00 min | 1, 2, , ; 0 ki il kl il xx inx xx   = =>    Nếu không có x il (i = 1, 2, , n) dương thì bài toán không giải được, hàm mục tiêu tiến ra dương vô cùng. Tính X r+1 , T r+1 , B r+1 , N r+1 theo các công thức ở tiết 3. 4.2. Cách tính phương án xuất phát Giải bài toán phụ ứng với bài toán (5) – (7) có b i ≥ 0 ( i=1, ,m) : 12 1 1 ( , , ) max , 1,2, , 0, 1, 2, , nm nm j jn n ij j n i i j j fxx x x ax x b i m xj nm + + =+ + = =− ⇒ += = ≥= + ∑ ∑ Bài toán này có phương án tựa 11 ( , , ) (0,0, ,0, , , ) m nm n x xbb + =   . Dùng phương pháp đơn hình giải bài toán phụ, nếu ** * 12 ( , , ) 0 nm fx x x + = thì * 0 ni x + = (i = 1, , m) và véc tơ ** * 12 ( , , ) n x xx là phương án tựa phải tìm X 0 . Nếu * f < 0 thì bài toán (5) – (7) không giải được (không có phương án chấp nhận được). Ví dụ. Giải bài toán sau: http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.6 Quy hoạch rời rạc 012 12 12 12 12 max x 211 38 7 45 5 ,0 x x xx xx xx xx = + +≤ +≤ −≤ ≥ Bài toán được viết lại thành 012 312 412 512 ax x 38 2 11 7 54 5, 0( 1, ,5) j mxx xxx xxx xxxxj = + =− − =− − =− − ≥ = " Ta có các bảng đơn hinh như sau: 1 -x5 -x4 x0 7 0 1 x1 40/9 1/9 5/9 x2 23/9 -1/9 4/9 x3 1 1 -6 x4 0 0 -1 x5 0 -1 0 Vậy phương án tối ưu là (40/9; 23/9; 1; 0 ;0) với trị hàm mục tiêu là 7. Cách trình bày của bảng đơn hình ở trên còn gọi là dạng toạ độ của phương pháp đơn hình. 5. PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH ĐỐI NGẪU TỪ VỰNG 5.1. Phương pháp đơn hình đỗi ngẫu xây dựng một dãy hữu hạn các giả phương án X o , X 1 , , X k . Giả phương án cuối cùng X k là phương án (vì vậy là phương án tối ưu) của bài toán (5) - (7) . Hàm mục tiêu x o = x o (X r ) không tăng khi r tăng. Mỗi giả phương án X r ứng với bảng T r và các tập B r , N r . 1 -x1 -x2 x0 0 -1 -1 x1 0 -1 0 x2 0 0 -1 x3 38 2 11 x4 7 1 1 x5 5 4* -5 1 -x5 -x2 x0 5/4 1/4 -9/4 x1 5/4 1/4 -5/4 x2 0 0 -1 x3 71/2 -1/2 27/2 x4 23/4 -1/4 9/4* x5 0 -1 0 http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.7 Quy hoạch rời rạc Quá trình giải gồm bước lặp ban đầu (xây dựng giả phương án xuất phát X o ) và dãy bước lặp tổng quát. 5.2. Tìm cực đại từ vựng của phương án mở rộng ~ X = ( n1o x, ,x,x ) = 1 1 , , , n jj n j cx x x =     ∑ với các điều kiện 1 n ij j i j ax b = = ∑ (i = 1, , m) 0( 1,2, ,) j x jn≥=" Ký hiệu bài toán là (, )LC hay l - bài toán. Phương pháp đơn hình đỗi ngẫu từ vựng gọi gọn là l - phương pháp. 5.3. Bước lặp r ≥ 0 tổng quát Có l - giả phương án X r với x 0j ≥ 0, j∈ N r , và tương ứng T r , B r , N r , các cột là 0 () r jr R jN∈ . Kiểm tra xem T r có chấp nhận được hay không (tức là x io ≥ 0 với mọi i = 1, ,n). Nếu đúng thì X r là phương án l - tối ưu. Nếu không thì tìm biến x k loại khỏi cơ sở theo quy tắc: k = min { i | i = 1, , n ; x io <0} Tìm x l đưa vào cơ sở theo quy tắc min ; 0 j l rkj kl kj R R lex j N x x x     = ∈<      Nếu trong các số x kj (j∈ N r ) không có số âm thì bài toán không giải được. Nếu có thì biến đổi bảng đơn hình theo các công thức ở tiết 3 ta được X r+1 , T r+1 , B r+1 , N r+1 5.4. Tính l giả phương án Xo Giả sử ta xây dựng bảng đơn hình T ứng với bài toán (5) - (7) không phải là l -chuẩn, ứng với nó có các tập B và N. Giả sử hàm ∑ ∈Nj j x bị chặn trên tập (6)- (7). Khi đó ta tìm được số M sao cho: ∑ ∈Nj j x ≤ M (có thể dùng đơn hình thường để xác định M). Đưa vào biến mới      ≥ −+= + ∈ + ∑ 0x )x.(1Mx 1n Nj j1n Viết ràng buộc mới này vào cuối bảng T, chọn x k loại khỏi cơ sớ theo quy tắc: k = n+1. Chọn biến x l đưa vào cơ số theo quy tắc http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.8 Quy hoạch rời rạc R l = lex min {Rj | j ∈ N } Thực hiện một bước biến đổi bảng đơn hình theo các công thức của tiết 3 ta nhận được bảng T o là l - chuẩn (R j ≥ 0 với j ∈ N o ) và ứng với nó ta có các tập B o và N o : B o = (B ∪ { l }), N o = (N ∪ {n + 1})\ { l }. 5.5. Ví dụ bằng số Giải bài toán sau bằng phương pháp đơn hình đối ngẫu. Max 3210 23 xxxx − − = 000 2 43 1042 321 321 321 321 ≥≥≥ =+− ≥++ ≤ − + xxx xxx xxx xxx , , Sau khi thay ràng buộc đẳng thức bằng hai ràng buộc bất đẳng thức bài toán trên trở thành: Max 3210 23 xxxx − − = 0,0,0 2 2 43 1042 321 321 321 321 321 ≥≥≥ −≤−+− ≤+− −≤−−− ≤ − + xxx xxx xxx xxx xxx Tiếp theo thêm các biến bù ta được bài toán: Max 3210 23 xxxx − − = 0,,,,,, 2 2 34 4210 7654321 3217 3216 3215 3214 ≥ +−+−= −+−= +++−= + − − = xxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx Ta có các bảng đơn hình sau khi thêm ràng buộc phụ : http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.9 Quy hoạch rời rạc 1 -x 1 -x 2 -x 3 x 0 0.00000 -3.00000 1.00000 -2.00000 x 1 0.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 x 2 0.00000 0.00000 -1.00000 0.00000 x 3 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 x 4 10.00000 2.00000 4.00000 -1.00000 x 5 -4.00000 -3.00000 -1.00000 -1.00000 x 6 2.00000 1.00000 -1.00000 1.00000 x 7 -2.00000 -1.00000 1.00000 -1.00000 x 8 100.00000 1.00000* 1.00000 1.00000 Bảng 1 1 -x 8 -x 2 -x 3 x 0 300.00000 3.00000 4.00000 1.00000 x 1 100.00000 1.00000 1.00000 1.00000 x 2 0.00000 - 0.00001 -1.00000 0.00000 x 3 0.00000 - 0.00001 0.00000 -1.00000 x 4 -190.00000 -2.00000 2.00000 -3.00000* x 5 296.00000 3.00000 2.00000 2.00000 x 6 -98.00000 -1.00000 -2.00000 0.00000 x 7 98.00000 1.00000 2.00000 0.00000 Bảng 2 1 -x 8 -x 2 -x 4 x 0 236.66667 2.33333 4.66667 0.33333 x 1 36.66667 0.33333 1.66667 0.33333 x 2 0.00000 - 0.00001 -1.00000 0.00000 x 3 63.33333 0.66667 - 0.66667 - 0.33333 x 4 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 x 5 169.33333 1.66667 3.33333 0.66667 x 6 -98.00000 -1.00000* -2.00000 0.00000 x 7 98.00000 1.00000 2.00000 0.00000 Bảng 3 http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.10 Quy hoạch rời rạc 1 -x 6 -x 2 -x 4 x 0 8.00000 2.33333 0.00000 0.33333 x 1 4.00000 0.33333 1.00000 0.33333 x 2 0.00000 - 0.00001 -1.00000 0.00000 x 3 -2.00000 0.66667 -2.00000* - 0.33333 x 4 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 x 5 6.00000 1.66667 0.00000 0.66667 x 6 0.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 x 7 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 Bảng 4 1 -x 6 -x 3 -x 4 x 0 8.00000 2.33333 0.00000 0.33333 x 1 3.00000 0.66667 0.50000 0.16667 x 2 1.00000 - 0.33333 - 0.50000 0.16667 x 3 0.00000 0.00000 -1.00000 0.00000 x 4 0.00000 0.00000 0.00000 -1.00000 x 5 6.00000 1.66667 0.00000 0.66667 x 6 0.00000 -1.00000 0.00000 0.00000 x 7 0.00000 1.00000 0.00000 0.00000 Bảng 5 Vậy phương án tối ưu là (3, 1, 0, 0, 6, 0, 0) với trị hàm mục tiêu bằng x[0]=-8. 5.6. Chương trình máy tính • Chương trình nhằm giải bài toán quy hoạch tuyến tính có dạng: max 1 0 →= ∑ = j m j j xcx ij m j ij bxa ≤ ∑ =1 , p i , ,1 = 0≥ j x , m j , ,2,1 = [...]... 16 4x2 + 2x5 = 0 sao cho 2x1 + 3x2 - x3 - 4x4 + 6x5 -> max 2x1 + x2 - x3 = 40 5x1 - 2x3 + 2x4 - x5 = 12 3x1 + 2x3 + x4 + 2x5 = 0 sao cho 4x1 + 2x2 + 3x3 + 6x4 + 3x5 + 2x6 -> MIN 3x1 + 6x3 +2x4 + 3x5 = 30 x2 + x3 - 2x4 + x5 + 3x6 = 14 -x1 + 2x3 - x4 + 12 x6 >= 0 -2 x1 + x3 + 3x4 + 2x5... –xm x0 0 -c1 -c2 –cm x1 0 -1 x2 0 0 -1 xm 0 0 0 -1 xm+1 b1 -a11 - a1m xn bp -ap1 -ap,m 0 0 0 - Mảng cs: nhập các số 0,1 ,2, …,n - Mảng nc: nhập các số 1 ,2, …,m Với dữ liệu bài toán trong mục 5.5 thì tệp dữ liệu DN.SLI có dạng : 7 3 100 0 0 -3 1 -2 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 10 2 4 -1 -4 -3 -1 -1 2 1 -1 1 -2 -1 1 -1 0 123 4567 123 • Văn bản chương trình #include... ăn T1, T2, T3 bao nhiêu kg để chi phí cho một bữa ăn là nhỏ nhất 8 Min CX, AX = B, X>=0 2 4 3 1 0 0 1 52 A= 4 2 3 0 1 0 B = 60 3 0 1 0 0 1 36 C = (-5 -4 -5 -2 -1 -3 ) 9 Tìm x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7 >= 0 sao cho 6x1 + x2 + x3 + 3x4 + x5 + -7 x6 + 6x7 -> min -x1 + x2 -x4 +x6 + x7 = 15 -2 x1 + x3 -2 x6 - x7 = 9 4x1 +2x4 + x5 -3 x6 =2 10 Tìm x1, x2, x3, x4, x5 >= 0 sao cho 4x1 + x2 + x3 + 3x4 -> min 2x2 + x3... 6x3 +2x4 + 3x5 = 30 x2 + x3 - 2x4 + x5 + 3x6 = 14 -x1 + 2x3 - x4 + 12 x6 >= 0 -2 x1 + x3 + 3x4 + 2x5 + x6 = 0 sao cho x1 + 3x2 - 2 x3 - 5x4 - 3x5 -> Max x1 - x3 + 2x4 - x5 = 0 3x1 + 4x2 + 4x4 - 3x5 = 40 x1 + 4x2 + 2x4 . 1 1 x5 5 4* -5 1 -x5 -x2 x0 5/4 1/4 -9 /4 x1 5/4 1/4 -5 /4 x2 0 0 -1 x3 71 /2 -1 /2 27 /2 x4 23 /4 -1 /4 9/4* x5 0 -1 0 http://www.ebook.edu.vn Bùi Thế Tâm II.7 Quy hoạch rời rạc Quá trình. min 2x2 + x3 + x4 = 16 4x2 + 2x5 <= 8 x1 + x2 + 2x4 + x5 = 2 11. Tìm x1, x2, x3, x4, x5 >= 0 sao cho 2x1 + 3x2 - x3 - 4x4 + 6x5 -& gt; max 2x1 + x2 - x3 = 40 5x1 - 2x3 + 2x4 - x5. -1 90.00000 -2 .00000 2. 00000 -3 .00000* x 5 29 6.00000 3.00000 2. 00000 2. 00000 x 6 -9 8.00000 -1 .00000 -2 .00000 0.00000 x 7 98.00000 1.00000 2. 00000 0.00000 Bảng 2 1 -x 8 -x 2 -x 4 x 0 23 6.66667